Đang tải... (xem toàn văn)
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN —————————————— HỒ ĐỨC TÂY PHƯƠNG PHÁP HÀM LỒI VÀ ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LUẬN VĂN PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Bình Định Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN —————————————— HỒ ĐỨC TÂY PHƯƠNG PHÁP HÀM LỒI VÀ ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LUẬN VĂN: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Bình Định-Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN —————————————— HỒ ĐỨC TÂY PHƯƠNG PHÁP HÀM LỒI VÀ ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 8460113 Người hướng dẫn: PGS-TS Lương Đăng Kỳ Mục lục Mở đầu Lý 1.1 1.2 1.3 1.4 thuyết hàm lồi Hàm lồi R Một số bất đẳng thức sinh từ Hàm log-lồi Tính trơn hàm lồi hàm lồi Phương pháp hàm lồi giải toán bất đẳng thức 2.1 Định lý Popoviciu áp dụng 2.1.1 Định lý Popoviciu 2.1.2 Áp dụng vào giải toán bất đẳng thức 2.2 Định lý EV (Equal Variable) áp dụng 2.2.1 Định lý EV 2.2.2 Áp dụng vào giải toán bất đẳng thức Phương pháp hàm lồi phải hàm lõm bất đẳng thức 3.1 Phương pháp hàm lồi phải 3.2 Phương pháp hàm lõm trái 3.3 Phương pháp hàm lõm trái- lồi phải 3.4 Áp dụng vào giải toán bất đẳng thức 2 10 11 15 15 15 20 30 30 41 trái giải toán 49 49 53 55 56 Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64 Mở đầu Lý thuyết hàm lồi có vị trí quan trọng Tốn học, có liên quan đến nhiều lĩnh vực Toán học Giải tích lồi, Giải tích hàm, Tuy nhiên, dự án hay luận án, luận văn hàm lồi chủ yếu liên quan đến chuyên ngành Toán ứng dụng hay Giải tích Trong giảng dạy mơn Tốn chương trình phổ thơng, bất đẳng thức đóng vai trị quan trọng q trình phát triển tư tốn học học sinh Bên cạnh đề thi học sinh giỏi cấp, đề thi tốt nghiệp câu chặng điểm, phân loại học sinh thường câu hỏi bất đẳng thức Chẳng hạn số bất đẳng thức liên quan đến hàm lồi bất đẳng thức Popoviciu, Jensen, Hadamard, mở rộng cơng cụ hữu hiệu để giải toán bất đẳng thức chương trình phổ thơng Tuy nhiên kiến thức hàm lồi không dạy cách đầy đủ phổ biến bậc phổ thơng, việc tiếp cận với phương pháp giải tốn cơng cụ hàm lồi học sinh nhiều hạn chế Do việc bồi dưỡng nâng cao kiến thức hàm lồi cho giáo viên cần thiết Là giáo viên THPT, mong muốn cung cấp cho học sinh kiến thức hay để em áp dụng q trình học tập, đặc biệt giải toán bất đẳng thức Và kiến thức hàm lồi phần thiếu tham gia bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi trường Với hình thức thi trắc nghiệm nay, việc áp dụng tính chất hàm lồi giúp em nhanh chóng giải toán liên quan đến cực trị câu hỏi vận dụng cao Đó lý chọn đề tài “Phương pháp hàm lồi ứng dụng chứng minh bất đẳng thức” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Chương Lý thuyết hàm lồi Tài liệu tham khảo chương [6] Trong chương này, kí hiệu I khoảng R, log x lôgarit số e x 1.1 Hàm lồi R Định nghĩa 1.1.1 Một hàm f : I → R gọi lồi f ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)f (x) + λf (y) (1.1) với x, y ∈ I λ ∈ [0, 1] Hàm f gọi lồi ngặt Bất đẳng thức (1.1) nghiêm ngặt với giá trị x, y phân biệt λ ∈ (0, 1) Nếu −f hàm lồi ta nói f hàm lõm (tương tự hàm lõm ngặt) Nếu f vừa lồi vừa lõm, ta nói f hàm affine Ví dụ 1.1.2 Hàm số f (x) = x2 lồi ngặt R với x ̸= y ∈ R, λ ∈ (0, 1), ta có f ((1 − λ)x + λy) = [(1 − λ)x + λy]2 Ta cần chứng minh [(1 − λ)x + λy]2 < (1 − λ)x2 + λy , tức (1 − λ)λx2 + (1 − λ)λy − 2(1 − λ)λxy > Bất đẳng thức với x ̸= y ∈ R, λ ∈ (0, 1) Mệnh đề 1.1.3 Cho hàm số f lồi khoảng I u < v thuộc I Khi với x ∈ [u, v], ta có f (x) ≤ f (u) + f (v) − f (u) (x − u) v−u Chứng minh Từ định nghĩa, ta thấy f lồi I u < v thuộc I cung đồ thị f (x) đoạn [u, v] nằm đoạn thẳng nối hai điểm (u, f (u)), (v, f (v)) Chú ý phương trình đường thẳng qua hai điểm (u, f (u)), (v, f (v)) y = f (u) + f (v) − f (u) (x − u) v−u Từ Mệnh đề 1.1.3, ta thấy f lồi đoạn [u, v] bị chặn đoạn Hơn ta có f (x) ≤ M = max {f (u), f (v)} Định lý 1.1.4 Nếu f hàm lồi khoảng I liên tục điểm I Chứng minh Lấy điểm a ∈ intI , chọn ε > cho [a − ε, a + ε] ⊂ I Khi 1 f (a) ≤ f (a − ε) + f (a + ε) 2 Với t ∈ [0, 1], ta có f (a ± tε) = f ((1 − t)a + t(a ± ε)) ≤ (1 − t)f (a) + tf (a ± ε), suy t[f (a ± ε) − f (a)] ≥ f (a ± tε) − f (a) ≥ −t[f (a ∓ ε) − f (a)] Do |f (a ± tε) − f (a)| ≤ t max {|f (a − ε) − f (a)|, |f (a + ε) − f (a)|} Bất đẳng thức với t ∈ [0, 1], hàm f liên tục Chú ý hàm f lồi khoảng (u, v), ta chưa thể kết luận hàm số cho liên tục đoạn [u, v] Chẳng hạn xét hàm số f (x) = x ∈ (0, 1), f (0) = f (1) = Khi f lồi (0, 1) rõ ràng không liên tục đoạn [0, 1] Bổ đề 1.1.5 Cho f hàm số lồi khoảng I Khi f đơn điệu intI , tồn điểm ξ ∈ intI cho f đơn điệu giảm (−∞, ξ] ∩ I tăng [ξ, ∞) ∩ I Chứng minh Lấy a, b ∈ intI cho a < b đặt m = inf {f (x) : x ∈ [a, b]} Vì f liên tục [a, b] nên f đạt giá trị nhỏ [a, b], suy tồn giá trị ξ ∈ [a, b] cho m = f (ξ) ξ−y Giả sử a < x < y < ξ Khi y = ξ−x x + y−x ξ−x ξ Vì f lồi nên f (y) ≤ ξ−y y−x f (x) + f (ξ) ≤ f (x) ξ−x ξ−x Do f giảm [a, ξ] Nếu ξ < b, chứng minh tương tự ta có f tăng [ξ, b] Trường hợp ξ = a hàm số cho tăng [a, b], ξ = b hàm số cho giảm [a, b] Hệ 1.1.6 Nếu f hàm lồi I không đơn điệu phần I f đạt cực tiểu toàn cục điểm thuộc phần I Định lý 1.1.7 Hàm số f : I → R lồi f thỏa mãn hai điều kiện sau (a) f liên tục điểm I (b) f hàm tựa lồi, tức f( x+y f (x) + f (y) )≤ 2 với x, y ∈ I Chứng minh Giả f hàm lồi I , theo Định lý 1.1.4 f liên tục điểm I Bất đẳng thức phần (b) hiển nhiên f lồi Bây giả sử f thỏa mãn hai điều kiện (a) (b) Ta chứng minh f lồi phản chứng Giả sử f không lồi Xét hàm φ(x) = −f (x) + f (a) + f (b) − f (a) (x − a), x ∈ [a, b] b−a Đặt γ = inf {φ(x) : x ∈ [a, b]} Vì f không lồi nên tồn đoạn [a, b] I cho đồ thị f [a, b] không nằm đoạn thẳng nối hai điểm (a, f (a)), (b, f (b)), γ < Mặc khác −φ(x) = f (x) − f (a) − f (b) − f (a) (x − a), x ∈ [a, b] b−a (a) Vì f tựa lồi hàm −f (a) − f (b)−f b−a (x − a) tựa lồi nên −φ tựa lồi Dễ thấy −φ liên tục φ(a) = φ(b) = Đặt c = inf {x ∈ [a, b] : φ(x) = γ} Khi c ∈ (a, b) φ(c) = γ Khi với h > cho c ± h ∈ (a, b), theo định nghĩa c ta có φ(c − h) > φ(c), φ(c + h) ≥ φ(c) Từ suy −φ(c − h) − φ(c + h) Chọn x = c − h, y = c + h, −φ(c) > −φ( x+y −φ(x) − φ(y) )> 2 Điều mâu thuẫn với −φ tựa lồi Định lý chứng minh Hệ 1.1.8 Giả sử f : I → R liên tục Khi f lồi f (x + h) + f (x − h) − 2f (x) ≥ với x ∈ I với h > thỏa x + h x − h thuộc I Mệnh đề 1.1.9 (1) Tổng hai hàm lồi hàm lồi (cùng tập xác định) Nếu hai hàm lồi ngặt tổng hai hàm lồi ngặt (2) Tích hàm lồi (lồi ngặt) với số dương hàm lồi (lồi ngặt) (3) Giả sử f g hai hàm lồi dương khoảng I Khi tích chúng lồi (f (x) − f (y)(g(x) − g(y)) ≥ với x, y ∈ I (4) Hạn chế hàm lồi (lồi ngặt) khoảng tập xác định hàm lồi (lồi ngặt) (5) Nếu f (x) hàm liên tục lồi khoảng I g(x) hàm lồi đồng biến tập giá trị f (x) hàm g(f (x)) lồi I (6) Giả sử hàm số f (x) liên tục đồng biến (a, b) f −1 (x) hàm ngược hàm số f (x) Khi f (x) lồi (lồi ngặt) f −1 (x) lõm (lõm ngặt) Nếu f (x) nghịch biến f (x) lồi (lồi ngặt) f −1 (x) lồi (lồi ngặt) (7) Nếu f hàm lõm dương f1 hàm lồi (8) Cho f, g : I → R hàm lồi (lồi ngặt) Khi hàm max {f, g} (x) = max {f (x), g(x)} hàm lồi (lồi ngặt) 1.2 Một số bất đẳng thức sinh từ hàm lồi Bổ đề 1.2.1 (Bất đẳng thức Jensen) Hàm số f xác định khoảng I lồi với điểm x1 , x2 , , xn ∈ I với số thực n P λ1 , , λn ∈ [0, 1] thỏa λi = 1, ta có i=1 f n X i=1 ! λi xi ≤ n X λi f (xi ), i=1 f lồi ngặt bất đẳng thức nghiêm ngặt với xi không với số λi > Chứng minh Giả sử f lồi I Ta chứng minh ! n n X X f λi xi ≤ λi f (xi ) i=1 i=1 phương pháp quy nạp Thật với n = 1, n = 2, bất đẳng thức hiển nhiên Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh với n = k ≥ Tức ! k k X X f λi xi ≤ λi f (xi ) i=1 i=1 Với n = k + 1, x1 , , xk , xk+1 ∈ I λi ≥ 0, i = 1, , k + 1, k+1 P = Ta i=1 có k+1 X k−1 X λi xi = i=1 λ = x∗ = λk xk + 1−k i=1 k−1 P λi Dễ i=1 λk+1 xk+1 λk xk λk+1 xk+1 λi xi + (1 − λ) + 1−k 1−k , thấy < λ < phần tử 1−k k+1 X ∈ I Do k−1 X λi xi = i=1 λi xi + (1 − λ)x∗ i=1 Từ giả thiết quy nạp ý k−1 P λi + − λ = ta có i=1 f k−1 X ! ∗ λi xi + (1 − λ)x ≤ i=1 k−1 X λi f (xi ) + (1 − λ)f (x∗ ) i=1 Mặt khác f lồi nên λk+1 xk+1 λk λk+1 λk xk ∗ + ≤ f (xk ) + f (xk+1 ) f (x ) = f 1−k 1−k 1−k 1−k Từ suy f k+1 X ! ≤ λi xi i=1 k+1 X λi f (xi ) i=1 Vậy bất đẳng với n = k + Ngược lại, giả sử f n X i=1 ! λi xi ≤ n X λi f (xi ) i=1 dễ dàng suy f hàm lồi Bổ đề chứng minh ... Áp dụng vào giải toán bất đẳng thức Phương pháp hàm lồi phải hàm lõm bất đẳng thức 3.1 Phương pháp hàm lồi phải 3.2 Phương pháp hàm lõm trái 3.3 Phương pháp hàm lõm trái- lồi. .. hàm lồi Hàm lồi R Một số bất đẳng thức sinh từ Hàm log -lồi Tính trơn hàm lồi hàm lồi Phương pháp hàm lồi giải toán bất đẳng. .. Khi Chứng minh Bổ đề suy từ λ1 = = λn = ap bq ab ≤ + p q Chứng minh Nếu hai số thực a b bất đẳng thức chứng minh Giả sử a, b số thực dương Khi hàm số f (x) = ex hàm số lồi Áp dụng bất đẳng thức