Đang tải... (xem toàn văn)
hocBDT dvi Đồng Tháp Nguyễn Tuấn Anh ỨNG DỤNG MỘT BỔ ĐỀ KẾT HỢP VỚI ĐẠO HÀM TRONG CHỨNG MINH BĐT Ngày 15 tháng 10 năm 2016 Tóm tắt nội dung Chứng minh BĐT bằng phương pháp đánh giá xuất hiện rất lâu,.
Đồng Tháp Nguyễn Tuấn Anh ỨNG DỤNG MỘT BỔ ĐỀ KẾT HỢP VỚI ĐẠO HÀM TRONG CHỨNG MINH BĐT Ngày 15 tháng 10 năm 2016 Tóm tắt nội dung Chứng minh BĐT phương pháp đánh giá xuất lâu, nhiên phương pháp có khuyết điểm dạng phải suy đoán dạng BĐT phụ để đánh giá Bài viết trình bày bổ đề (sẽ làm cấu hình cho đánh giá) kết hợp với phương pháp đạo hàm nhằm tạo cách đánh giá chung cho lớp nhỏ toán bất đẳng thức Mọi đóng góp tài liệu xin gửi về: anh110004@gmail.com Xin gửi lời cám ơn chân thành đến với q Thầy Cơ tổ Tốn Nguyễn Tuấn Anh THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp Mục lục Bổ đề ví dụ mở đầu 1.1 Bổ đề (Võ Quốc Bá Cẩn - Vasile Cirtoaje) 1.2 Bổ đề kết hợp với đạo hàm 2 Các ví dụ áp dụng 2.1 Các ví dụ 2.2 Khai thác thêm đôi phương pháp 10 2.3 Các ví dụ nâng cao 13 Kết luận 18 THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp Nguyễn Tuấn Anh Bổ đề ví dụ mở đầu 1.1 Bổ đề (Võ Quốc Bá Cẩn - Vasile Cirtoaje) Với ba số thực dương a, b, c có tích 1 + + ≥1 a2 + a + b2 + b + c2 + c + Chứng minh Vì abc = nên tồn x, y, z > cho a= yz zx xy ; b = ; c = x2 y2 z2 Khi BĐT trở thành: y4 z4 x4 + + ≥1 y 2z + yzx2 + x4 z x2 + zxy + y x2 y + xyz + z Theo BĐT Cauchy ta có: y4 z4 x4 + + y z + yzx2 + x4 z x2 + zxy + y x2 y + xyz + z 2 x2 + y + z ≥ x + y + z + x2 y + y 2z + z x2 + xyz (x + y + z) Vậy ta cần chứng minh: 2 2 x +y +z ≥ x4 + y + z + x2 y + y 2z + z x2 + xyz (x + y + z) ⇔ x2 y + y z + z x2 ≥ xyz (x + y + z) 1 ⇔ (xy − yz)2 + (yz − zx)2 + (zx − xy)2 ≥ 2 Đẳng thức xảy a = b = c = Bổ đề rõ kết hợp với đạo hàm nào? Ta xét ví dụ sau thay cho lời giới thiệu phương pháp.1 1.2 Bổ đề kết hợp với đạo hàm Ví dụ (Lê Hữu Điền Khuê) Với ba số thực dương a, b, c có tích Chứng minh rằng: 3a2 1 1 ≥1 + + 2 + (a − 1) 3b + (b − 1) 3c + (c − 1)2 Trong viết, không cần nhấn mạnh gọi kết hợp đơn giản Bổ đề THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp Nguyễn Tuấn Anh Phân tích: Quá giống giả thiết kết luận so với bổ đề không may chổ ≥ 3a2 + (a − 1)2 a2 + a + BĐT lúc Vậy ta điều chỉnh lại tí, ta đăt câu hỏi phải a2 + a + 1? bổ đề yêu cầu phải có dạng a2m + am + được, a4 + a2 + hay a6 + a3 + Hóa vấn đề ta cần có đánh giá ≥ 3a2 + (a − 1)2 a2m + am + với a dương, đồng nghĩa để chứng minh toán ta việc tìm m Ta xem f (a) = 3a2 + (a − 1) − a2m + am + hàm số theo biến a nhiệm vụ cuối tìm m cho hàm số đạt GTNN a = Vẫn phức tạp, ta mò mẫm để giải hẳn hoi nên chưa cần đảm bảo cần đủ Ta giảm nhẹ lại, cực trị a = sao? (vì có tham số cần phương trình giải được) hy vọng GTNN −8a + f ′ (a) = 3a2 + (a − 1) + 2 2ma2m−1 + mam−1 (a2m + am + 1) −2 m + =0⇔m=2 3 ⇒ f ′ (1) = ⇔ Vậy ta cần chứng tỏ 3a2 + (a − 1) ≥ a4 + a2 + Thật vậy, BĐT tương đương: a(a − 1)2 (a + 2) ≥ LỜI GIẢI Ta có đánh giá sau (tương tự cho b, c): 3a2 + (a − 1) Vì vậy: 3a2 + (a − 1) + ≥ ≥ 3b2 a4 + (b − 1) a4 + + a2 + 1 3c2 + (c − 1)2 1 + + 2 + a + b + b + c + c2 + THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp Nguyễn Tuấn Anh theo bổ đề ta điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = Nhận xét: • Tìm tham số m để có đánh giá điều kiện cần chưa phải đủ, nên cần kiểm tra lại mà đơn giản biến đổi tương đương • Cách tìm m đạo hàm thật khơng mới, nhiên kết hợp bổ đề phương pháp thật cho cách nhìn hoàn toàn THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp Nguyễn Tuấn Anh Các ví dụ áp dụng 2.1 Các ví dụ Ví dụ (Đề thi chọn đội tuyển Anh dự thi IMO 2005) Với ba số thực dương a, b, c có tích Chứng minh rằng: b+3 c+3 a+3 ≥3 + + (a + 1) (b + 1) (c + 1)2 Phân tích: Ta tìm m để có đánh giá a+3 (a + 1) Thực ta m = LỜI GIẢI Ta có: a+3 (a + 1) 2 ≥ a2m + am + ≥ 3 a + a4 + x3 (x − 1)2 x5 + 2x4 − x2 + x + ⇔ (x4 + 1) (x6 + x3 + 1) ≥0 với x = a , BĐT hiển nhiên Vậy nên: a+3 (a + 1) + ≥ b+3 (b + 1) + c+3 (c + 1)2 3 a +a +1 + 3 b +b +1 + 3 c + c4 + Theo bổ đề ta điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = Ví dụ (Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam dự thi IMO 2005) Với ba số thực dương a, b, c có tích Chứng minh rằng: 1 3 + + ≥ (a + 1) (b + 1) (c + 1) Phân tích: Ta tìm m để có đánh giá: (a + 1) ≥ a2m + am + tìm m = 23 THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp Nguyễn Tuấn Anh LỜI GIẢI Ta có: ≥ (a + 1) ⇔ với x = √ a3 + a2 + (x − 1)2 5x4 + 10x3 + 6a2 + 10a + (x2 + 1) (x6 + x3 + 1) a Đánh giá tương tự cho b, c kết hợp với bổ đề ta điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = Kết thúc tiếp tục đưa hàng loạt ví dụ tương tự chắn làm bạn đọc cảm thấy đơn điệu chưa thấy hiệu Tiếp đến ta đến với số toán mà dạng ban đầu khó mà nghĩ đến bổ đề Ví dụ (Vasile Cirtoaje - Discrete Inequalities Vol 3) Với ba số thực dương a, b, c có tích Chứng minh rằng: √ 1 +√ +√ ≥1 3 a2 + 25a + b2 + 25b + c2 + 25c + Phân tích: Ta chọn kiểu đánh giá: √ a2 + 25a + ≥ a2m + am + chọn m = Lý ta mạnh dạn chọn cách đánh giá xin giải thích sau LỜI GIẢI Ta có: √ a2 + 25a + 1 ≥ a + a3 + √ √ √ √ 3 3 a( a − 1) a +4 a+1 ⇔ √ a2 + √ a+1 3 (a2 + 35a + 1) ≥0 Đánh giá tương tự cho b, c kết hợp với bổ đề ta điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = Ví dụ (MEMO, 2012) Với ba số thực dương a, b, c có tích Chứng minh rằng: √ 16a2 + + √ 16b2 + + √ 16c2 + ≥ (a + b + c) + THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp Nguyễn Tuấn Anh Phân tích: Ta tìm m để có đánh giá: p 16a2 + − 4a ≥ a2m + am + ta tìm m = Vấn đề lại biến đổi tương đương để chứng minh đánh giá vừa chọn LỜI GIẢI Để thuận lợi ta đặt a = x5 ta có: p ⇔√ 16a2 + − 4a ≥ 16x10 + + 4x5 a + a5 + ≥ ⇔ 3x8 + 3x4 + − 4x5 x8 + x4 + 2 ≥ 16x10 + ⇔ 3x4 (x − 1)2 3x10 + 6x9 + 9x8 + 4c7 + 5x6 + 6x5 + 7x4 + 2x2 + 4x + ≥ Vậy đánh giá tức: p p 16a2 + − 4a + ≥ 16b2 + − 4b + 5 a +a +1 + p 16c2 + − 4c 5 a +a +1 + a + a5 + Áp dụng bổ đề ta điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = Nhận xét: Bước chứng minh đánh giá tương đối nặng kỹ dù khơng khó Thầy giáo Võ Quốc Bá Cẩn khắc phục cách thực bước đánh giá phụ tóm tắt sau: p 16a2 + − 4a ≥ 2a + ≥ + 2a + a5 + a5 + 2a2 Tiếp đến ta bắt đầu với ví dụ mà giả thiết khác Ví dụ (Azerbaijan NMO 2015) Với ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ≥ 15 16 THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp Nguyễn Tuấn Anh Phân tích: Để vận dụng bổ đề ta thay đổi giả thiết lại cách đặt b c a x = ;y = ;z = 2 Khi xyz = BĐT viết lại là: 2 x +y +z + 1 + + x2 y z ≥ 15 đến ý tưởng toán rõ ràng sử dụng BĐT AM - GM, giải dừng lại Ta tìm lời giải dựa bổ đề làm chắn lời giải thú vị đẹp mắt, tức ta cần tìm m cho đánh giá: nhận m = LỜI GIẢI 4x2 + 15 ≥ x2 x2m + xm + 4x2 + 15 ≥ −12 −6 x x +x +1 −6 Ta có: thật vậy, 4x2 + 15 ≥ −12 −6 x2 x +x +1 ⇔ 4t10 + 15t12 ≥ t10 + t6 + t12 ⇔ 4t20 + + t6 + t12 ≥ 15t22 Với t5 = a, BĐT cuối theo AM - GM Đánh giá tương tự cho biến b, c kết hợp với bổ đề ta điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = Nhận xét: Qua giải ta thấy bổ đề chứng minh BĐT cổ điển AM - GM (đương nhiên nói ba biến) Ví dụ (AM - GM biến) Với ba số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a+b+c √ ≥ abc Phân tích: Trước hết ta chuẩn hóa abc = (để vận dụng bổ đề) BĐT cần chứng minh là: a+b+c≥3 THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp Nguyễn Tuấn Anh ta tìm đánh giá a≥ a2m + am + tìm m = −1 Việc hồn thành giải dành lại cho bạn đọc Nhận xét: Có vẻ ta đem công cụ mạnh để xử lý tốn đơn giản, nhiên ví dụ mấu chốt vấn đề để giải thích lý ta mạnh dạn chọn Bổ đề làm cấu hình để đánh giá: • Bổ đề chứng minh BĐT Cauchy dạng phân thức hệ BĐT Cauchy, mà BĐT Cauchy xuất phát từ đẳng thức Lagrange nên ta không trùng lấp dùng Bổ đề để chứng minh cho AM - GM ba biến • Ta phải thừa nhận BĐT AM - GM BĐT cổ điển sử dụng nhiều (chính xác nhiều) chứng minh BĐT, mà đơi lại chứng minh AM - GM Điều cho ta lịng tin đơi giải nhiều dạng tốn khơng phải hạn chế dạng giống Bổ đề Câu hỏi đặt ngẫu nhiên có áp dụng đơi khơng? Câu trả lời thật khó nói tùy thuộc vào người giải để thấy điều ta vào toán sau: THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp 2.2 Nguyễn Tuấn Anh Khai thác thêm đơi phương pháp Ví dụ (Vasile Cˆırtoaje, 2012) Với ba số thực dương a, b, c có tích Chứng minh rằng: √ 25a2 + 144 + √ 25b2 + 144 + √ 25c2 + 144 ≤ (a + b + c) + 24 Phân tích: Ta tìm m cho đánh giá p 5a + − 25a2 + 144 ≥ a2m + am + thật khơng may khơng có m thỏa mãn lý a tiến vế phải số âm Gấp giấy lại kết luận đôi phương pháp bổ đề không dùng rồi, bạn đọc suy nghĩ thật tiếc Ta để ý chút, lý làm vế phải âm số 144 số đằng trước không đủ để trị! Vậy phải thay số khác không? đủ? Với phân tích ta tiến hành giải ln, chắn bạn đọc chọn số 12 thay cho số sau: 5a + 12 − tìm m = p 25a2 + 144 ≥ a2m 12 + am + −10 Việc lại chứng minh đánh sau: 13 5a + 12 − p 25a2 + 144 ≥ 12 −20 13 −10 + a 13 + 2a 14 20 10 ⇔ 5t + 10t − 12t + 10 ≥ t 25t26 + 144 ⇔ 20 5t30 − 6t27 + 10t20 − 12t17 + 10t10 − 12t7 + ≥ với t13 = a Có thể dùng hàm số để chứng BĐT phức tạp, ta dùng AM - GM với cách ghép cặp thú vị: 30 12 27 5t + t ≥ 6t 9t20 + 3t8 ≥ 12t17 Vậy ta cần chứng minh: 8t10 + 4t ≥ 12t7 t20 − t12 + 2t10 − 3t8 − 4t + ≥ ⇔ 6t20 + 12t10 + 30 ≥ 6t12 + 18t8 + 24t ta lại ghép cặp dùng AM - GM: 20 12 6t + ≥ 10t 12t10 + 2t12 + ≥ 18t8 2t12 + 22 ≥ 24t 10 THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp Nguyễn Tuấn Anh Vậy đánh giá chứng minh Hoàn thành giải dành cho bạn đọc Nhận xét: Chắc chắn bạn đọc chưa thỏa mãn với giải trên, ví dụ chọn khơng phải để phơ diễn kỹ thuật tính tốn Một câu hỏi đặt với tốn khác số thêm vào bao nhiêu? Chắc chắn điều trực giác khơng đứng phía Ta điều chỉnh cách đánh giá tí cách để lý giải cho số 12 p + 3k 5a + + k − 25a + 144 ≥ a2m + am + Để đảm bảo vế phải không âm ta phải chọn k ≥ 3, áp dụng phương pháp tìm m ta được: −10 −40 −1=k ≥3⇔ ≤m