Một số bài toán về ứng dụng bổ đề hình bình hành

Trong chuyên đề này, thuvientoan.net xin giới thiệu đến các bạn một số bài toán hình học áp dụng bổ đề quen thuộc này.. Vẽ đường kính AD Chứng minh rằng BHCD.[r]

(1)

http://thuvientoan.net/ Chuyên đề Hình học lớp

MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG BỔ ĐỀ VỀ HÌNH BÌNH HÀNH thuvientoan.net

I Mở đầu

Trong chương trình Trung học sở, cụ thể mơn Hình học lớp 9, hẳn bạn đọc quen thuộc với toán sau:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O có , H trực tâm Vẽ đường kính AD Chứng minh BHCD là hình bình hành

Nhận xét toán quen thuộc, bạn biết nhiều cách chứng minh, nhiên việc áp dụng vào tốn khác khơng dễ Trong chun đề này, thuvientoan.net xin giới thiệu đến bạn số tốn hình học áp dụng bổ đề quen thuộc

II Chứng minh bổ đề

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O có , H trực tâm Vẽ đường kính AD Chứng minh BHCD là hình bình hành

Chứng minh

Do ADlà đường kính  O nên ACD90 Suy DCAC mà BH AC Nên BHAC

Tương tự ta chứng minh CHDB

Từ suy tứ giác BHCD hình bình hành

Nhận xét: Khi gọi M trung điểm BC ta có M trung điểm HD

III Bài toán áp dụng

Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn  O có , H trực tâm, M trung điểm BC Đường thẳng qua H vng góc với HM cắt AB AC, E D, Chứng minh H trung điểm DE

Lời giải

Vẽ đường kính AK Khi H M K, , thẳng hàng Các tứ giác HDBK HECK, nội tiếp

Khi KDHKBH KEHKCH

Tứ giác HKBC hình bình hành nên KBHKCH Do KDHKEH Suy tam giác KDE cân K Do H trung điểm đoạn thẳng DE

(2)

http://thuvientoan.net/

Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O đường cao , BD CE, cắt H Đường tròn ngoại tiếp tam giác AED cắt  O P Gọi M trung điểm BC Chứng minh P H M, , thẳng hàng

Lời giải

Ta có ADH AEH900 nên tứ giác AEHD nội tiếp đường trịn đường kính AH Suy đường trịn ngoại tiếp tam giác AED đường trịn đường kính AH Suy APH 90

Gọi K giao điểm PH  O suy APK900 hay AK đường kính  O Theo bổ đề ta có H M K, , thẳng hàng, suy P H M, , thẳng hàng

Bài Cho tam giác nhọn ABC có ABAC, nội tiếp đường tròn  O Gọi H trực tâm tam giác ABC Gọi M trung điểm BC, đường thẳng OM cắt đường thẳng AB AC, P Q, Gọi N trung điểm PQ. Chứng minh hai đường thẳng HM AN cắt điểm nằm đường tròn  O

Lời giải

Ta có AQPMQC (hai góc đối đỉnh) Mà OM BC nên OMAH hay OQ AH

Suy MQCDAC Mà DACSBC nên AQPSBC Hay AQPHBC

Chứng minh tương tự ta chứng minh APQHCB Do AQPHBC

Mà M trung điểm BC N, trung điểm PQ BC PQ, hai cạnh tương ứng nên BHM QAN

Suy BMHQNA

D P

E

M H

K O

C B

(3)

http://thuvientoan.net/

Gọi E giao điểm MH AN

Ta có MEN1800EMNENM1800EMNBMH1800BMN90 Kẻ đường kính AXcủa đường trịn  O Từ suy tứ giác BHCX hình bình hành Suy M H X, , thẳng hàng

Mà MEN900 suy XEA90 Do E thuộc đường tròn  O

Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn  O có , H trực tâm, G trọng tâm a) Chứng minh G H O, , thẳng hàng

b) Chứng minh GH2GO

Lời giải

Vẽ đường kính AD, ta có tứ giác BHCD hình bình hành Gọi M trung điểm BC, suy M trung điểm HD Do G trọng tâm tam giác ABC nên AG2GM

Tam giác AHD có AM trung tuyến AG2GM nên G trọng tâm tam giác AHD

Mà HO trung tuyến tam giác AHD nên G thuộc HO GH 2GO

Nhận xét: Đường thẳng qua H G O, , gọi đường thẳng Euler tam giác ABC

Trong chuyên đề tiếp theo, tiếp túc khai thác số tính chất đường thẳng Euler! E

N P

Q

M H

X O

C B

A

G

M F

E

H

D O

C B

(4)

http://thuvientoan.net/ IV Các tập tự luyện

Bài Cho tam giác ABC có đường cao BD CE, cắt H Gọi P giao điểm DE BC, M

là trung điểm BC Chứng minh MH AP