Đang tải... (xem toàn văn)
Việc chứng minh một số là số hữu tỉ hay vô tỉ chủ yếu dựa vào các định nghĩa trên, trong đó việc chứng minh một số là số vô tỉ hầu hết là sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng... Chứ[r]
(1)Nguyễn Tăng Vũ (GV trường PTNK TPHCM)
Trong viết nhỏ xin giới thiệu số toán liên quan đến tập hợp số hữu tỉ vơ tỉ, số xuất kì thi tuyển sinh vào 10 hay kì thi học sinh giỏi Đầu tiên ta xem lại số khái niệm tính chất quan trọng
Định nghĩa Tập hợp số có dạng p
q p, q số nguyên, q 6= gọi số hữu tỉ Kí hiệu Q
Định nghĩa Tập hợp số số vô tỉ gọi số vơ tỉ, kí hiệu I
Tính chất Ta có số tính chất sau số vô tỉ hữu tỉ Tổng hiệu tích thương hai số hữu tỉ hữu tỉ
2 Tổng, tích, thương số hữu tỉ vô tỉ số vô tỉ
Việc chứng minh số số hữu tỉ hay vô tỉ chủ yếu dựa vào định nghĩa trên, việc chứng minh số số vơ tỉ hầu hết sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng Ta bắt đầu với toán sau:
Ví dụ 1 Chứng minh √2 số vô tỉ Chứng minh √2 +√3 số vô tỉ
Lời giải
Ta sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng Giả sử √2 số hữu tỉ, tức tồn p
q p, q ∈ Z,(p, q) = 1, q 6= 0và √
2 = p
q
Khi ta có p2 = 2q2, suy ra p2 chia hết cho 2mà 2nguyên tố nênp chia hết cho 2, p= 2k
(2)thuẫn)
Vậy điều giả sử sai, √2là số vô tỉ
2 Giả sử √2 +√3 = a hữu tỉ, suy √6 = a
2−5
2 hữu tỉ Chứng minh tương
tự ta suy điều vơ lí
Từ tốn ta chứng minh tốn tổng quát sau:
Ví dụ Cho n số tự nhiên nếu√n khơng số tự nhiên √n số vô tỉ
Lời giải Giả sử √n vô tỉ số nguyên, suy ra√n= p
q (p, q) = 1, q >1
Tương tự ta cóp2 =nq2 Doq >1nên có ước nguyên tố, giả sửrlà ước nguyên tố củaq, suy p2 chia hết cho r, suy ra p chia hết chor, đó (p, q)6= 1 (vơ lí). Vậy số nguyên số nguyên số vô tỉ
Đặt √2 = x, ta có x2 = 2 ⇔ x2 −2 = 0, đến ta thấy √2 là nghiệm của phương trình x2−2 = Ta chứng minh phương trình x2 −2 = khơng có nghiệm hữu tỉ, từ suy √2 khơng số hữu tỉ Tất nhiên việc chứng minh không khác chứng minh Tuy nhiên với nhìn khác, ta có tốn sau:
Ví dụ Cho phương trình với hệ số nguyên a0, a1,· · · , an: anxn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0 = Khi p
q với(p, q) = 1là nghiệm hữu tỉ phương trình thìp|a0, q|an.Đặt biệt an = phương trình có nghiệm hữu tỉ nghiệm số nguyên
Lời giải Thế p
q vào phương trình qui đồng, ta có
anpn+an−1qpn−1+· · ·+a1qn−1p+a0qn=
Khi anpn chia hết cho q, suy an chia hết cho q, tương tự a0 chia hết cho p
Cũng tương tự, ta có tốn sau:
Ví dụ Cho phương trình ax2+bx+c= 0, a, b, c số tự nhiên lẻ Chứng minh phương trình khơng có nghiệm hữu tỉ
Lời giải Giả sử p
(3)Sử dụng tồn ta chứng minh√2+√6là số vơ tỉ theo khác Bằng cách chứng minha=√2 +√6là nghiệm phương trình bậc 4:x4−10x2−1 = 0, dễ thấy phương trình khơng có nghiệm hữu tỉ nên√2 +√6 số vô tỉ Sau ta tới số toán khác liên quan đến số hữu tỉ vơ tỉ
Ví dụ Cho số thực x, y, z khác thỏa xy, yz, xz số hữu tỉ Chứng minh x2+y2+z2 là số hữu tỉ.
2 Giả sử x3+y3+z3 cũng số hữu tỉ Chứng minh x, y, z là số hữu tỉ.
Lời giải
1 Ta có xy, yz ∈Q, suy x z ∈Q Mà xz ∈Q suy x2 ∈
Q Tương tự ta có y2, z2 ∈
Q
2 Ta có x(x3+y3 +z3) = (x2)2+ (xy)y2+ (xz)z2 ∈
Q Suy x∈Q Tương tự ta có y, z ∈Q
Chú ý.Với cách giải ta chấp nhận khơng thể xảy rax3+y3+z3 = 0 vì phương trình khơng có nghiệm ngun hay nghiệm hữu tỷ
Ví dụ Tìm tất số tự nhiên a, bsao cho √
2 +√a √
3 +√b
là số hữu tỉ
Lời giải Đặtx=
√
2 +√a √
3 +√b số nguyên Suy √a−x√b=x√3−√2
Bình phương hai vế ta cóa+x2b−2x√ab= 3x2+ 2−2x√6⇒a+x2b−3x2−2 = 2x(√ab−√6)
Suy √ab−√6 = y∈Q
Khi ab= +y2 −2y√6 Vì √6 số vơ tỉ nên đẳng thức xảy y= ab=
Ta xét trường hợp sau:
a = 1, b= ⇒x= √1
6 vô tỉ
a = 2, b= ⇒x=
√
2
√
(4) a = 3, b= ⇒x=
a = 6, b= ⇒x=√2 vô tỉ Vậy a= 3, b = số cần tìm
Ví dụ Tìm tất số hữu tỉ dương (x, y, z) cho x+1
y, y+
1
z, z+
1
x
là số nguyên
Lời giải Đặta =x+
y(1), b=y+
1
z(2), c=z+
1
x(3) Từ (1) ta cóy=
a−x, z=
1
b−y =
a−x
ab−1−bx Thế vào (3) ta có: a−x
ab−1−bx +
1
x =c⇔(bc−1)x+ (a−b+c−abc)x+ab−1 = (4) Nếu bc= b= 1, c= suy a= Khi =x+
x +y+
1
y +z+
1
z ≥6 (vô lý)
Nếu bc 6= 1, ta xem (4) phương trình bậc hai có nghiệm hữu tỷ x, đó∆ = (a−b+c−abc)2−4(bc−1)(ab−1) = (abc−a−b−c)2 −4 số phương
Đặtt =abc−a−b−cta có t2−4 =k2, giải được t= 2 hoặc t =−2.
= abc−a−b−c+ =a(bc−1)−b−c+ ≥bc−b−c+ = (b−1)(c−1) Suy b=c= (vô lý)
= abc−a−b−c−2≥(b−1)(c−1)−4⇒(b−1)(c−1)≤4
Nếu (b−1)(c−1) = b = 2, c = 5; b = 3, c = 3; b = 5, c = Trong trường hợp a=
Nếu a= 1, b= 2, c = giải (x, y, z) = (1 3,
3 2,2)
Nếu a= 1, b= 3, c = (x, y, z) = (1 2,2,1)
Nếu a= 1, b= 5, c= (x, y, z) = (2
3,3,2) Nếu (b−1)(c−1) = ⇒bc=
b+c+ =abc−a=a(bc−1)⇒bc−1|bc⇒bc= 1, a= (loại) Khi (b−1)(c−1) = 2⇒a=b =c= 2, giải (x, y, z) = (1,1,1)
Ví dụ Tính tổng bình phương tất số thực x cho x2+ 6x và x+ x
là số nguyên
Lời giải
Xét sốxthỏa mãn điều kiện Đặtx2+ 6x=a, x+ 1/x=blà số ngun x2+ =bx Trừ vế có
(5)nguyên hay(b+ 6)x=a+ 1, chứng tỏx số hữu tỷ
Đặt x = uv với u, v số nguyên nguyên tố Suy x+ 1x = (u2+v2)/(uv) nguyên nênu2+v2 chia hết cho uv hay u2 chia hết cho v.Tương tự thìv2 chia hết chou, mà u, v nguyên tố nên chúng nhận giá trị
1,−1 Thay ngược vào suy x= −1.Tổng bình phương cần tìm Trên số tốn liên quan đến số hữu tỉ, vơ tỉ, hi vọng em có thêm kinh nghiệm để làm tình Sau số tập rèn luyện
Bài Tìm đa thức hệ số nguyên nhận α= +√3
2 +√3
4làm nghiệm Chứng minhα số vô tỷ
Bài Cho số a, b cho a−√ab b−√ab số hữu tỉ Chứng minh a, b số hữu tỉ
Bài Ta nói căp số (a,b)a 6= b, có tính chất P a2 +b ∈ Q và b2+a∈
Q Chứng minh rằng: Các số a= +
√
2
2 , b =
1−√2
2 số tỷ có tính chấtP
2 Nếu (a,b) có tính chấtP a+b∈Q\{1} a, bà số hũu tỷ Nếu (a,b) có tính chấtP a
b ∈Q a,b số hũu tỷ
Bài Với số hữu tỷ q đặt Vq ={x∈Q|x3−2015x=q} Tìm q cho Vq có tập rỗng Vq có phần tử Gọi S(Vq) số phần tử Vq, tìm tất giá trị S(Vq)
Bài Cho số thực x thỏa x2 +x và x3+ 2x là số hữu tỷ Chứng minh x số hữu tỷ
2 Chứng minh tồn số vô tỷ x cho x2+x x3−2x hữu tỷ
Bài Chứng minh √2 +√3 +√5 +√7 số vô tỷ