Vế trái của phương trình không nhỏ hơn 6, còn vế phải không lớn hơn 6. Bất đẳng thức Cauchy viết lại dưới dạng : ﾧ.. Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tổng của số hữu tỉ a với số vô tỉ [r]
(1)(2)PHẦN I: ĐỀ BÀI
7 Chứng minh ﾧ số vô tỉ
2 a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = x2 + y2
a b
ab
4 a) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : ﾧ bc ca ab
a b c
a b c b) Cho a, b, c > Chứng minh : ﾧ c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b
7 Cho a, b, c số dương Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) a b a b 8 Tìm liên hệ số a b biết : ﾧ
9 a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a
b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 10 Chứng minh bất đẳng thức :
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm giá trị x cho :
a) | 2x – | = | – x | b) x2 – 4x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 12 Tìm số a, b, c, d biết : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)
13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ
14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 15 Chứng minh khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau :
x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 =
2
1 A
x 4x
16 Tìm giá trị lớn biểu thức : ﾧ 17 So sánh số thực sau (không dùng máy tính) :
7 15 17 45 a) ﾧ b) ﾧ
23 19
và 27
3 c) ﾧ d) ﾧ
2 18 Hãy viết số hữu tỉ số vô tỉ lớn ﾧ nhỏ ﾧ
2 2
3x 6x 7 5x 10x 21 2x x 19 Giải phương trình : ﾧ.
20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy =
1 1
S
1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998
21 Cho ﾧ.
1998
1999 Hãy so sánh S ﾧ
a 22 Chứng minh : Nếu số tự nhiên a khơng phải số phương ﾧ số vơ tỉ 23 Cho số x y dấu Chứng minh :
x y
2 yx a) ﾧ
2
2
x y x y
0
y x y x
(3)4 2
4 2
x y x y x y
2
y x y x y x
c) ﾧ.
24 Chứng minh số sau số vô tỉ : 1 a) ﾧ
3 m
n
b) ﾧ với m, n số hữu tỉ, n ≠
25 Có hai số vơ tỉ dương mà tổng số hữu tỉ không ?
2
2
x y x y
4
y x y x
26 Cho số x y khác Chứng minh : ﾧ.
2 2
2 2
x y z x y z
y z x y z x27 Cho số x, y, z dương Chứng minh : ﾧ. 28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ 29 Chứng minh bất đẳng thức :
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
c) (a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2) 30 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤
x y x y 31 Chứng minh : ﾧ.
2
1 A
x 6x 17
32 Tìm giá trị lớn biểu thức : ﾧ.
x y z
A
y z x
33 Tìm giá trị nhỏ : ﾧ với x, y, z > 34 Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y =
35 Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ ; x + y + z = 36 Xét xem số a b số vơ tỉ không :
a
b a) ab ﾧ số vô tỉ a
b b) a + b ﾧ số hữu tỉ (a + b ≠ 0) c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b ≠ 0)
37 Cho a, b, c > Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
a b c d
2
b c c d d a a b 38 Cho a, b, c, d > Chứng minh : ﾧ
2x x x 39 Chứng minh ﾧ ﾧ ﾧ1
40 Cho số nguyên dương a Xét số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n Chứng minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96
41 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa :
2
2
1 1
A= x B C D E x 2x
x
x 4x x 2x 1 x
2
G 3x 1 5x 3 x ﾧﾧx
42 a) Chứng minh : | A + B | ≤ | A | + | B | Dấu “ = ” xảy ?
2
M x 4x 4 x 6x 9 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : ﾧ.
2 2
(4)1998
1999 43 Giải phương trình : ﾧ
44 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa :
2
2
1
A x x B C 9x D
1 3x x 5x
ﾧ
2
2
1 x
E G x H x 2x 3 x
x
2x x
ﾧ
2
x 3x
0 x
45 Giải phương trình : ﾧ
A x x 46 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : ﾧ. B x x 47 Tìm giá trị lớn biểu thức : ﾧ
3
a b=
2
5 13 và 1 48 So sánh : a) ﾧ b) ﾧ n 2 n và n+1 n c) ﾧ (n số nguyên dương)
2
A 1 6x 9x (3x 1) 49 Với giá trị x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : ﾧ.
a) 3 b) 11 2 c) 27 10 2 50 Tính : ﾧ
2
d) A m 8m 16 m 8m 16 e) B n n 1 n n 1 ﾧ (n ≥ 1)
8 41 M
45 41 45 41
51 Rút gọn biểu thức : ﾧ.
2 2
(2x y) (y 2) (x y z) 52 Tìm số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : ﾧ0
2
P 25x 20x 4 25x 30x 9 53 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : ﾧ. 54 Giải phương trình sau :
2 2 2
a) x x 2 x 0 b) x 1 x c) x x x x 0 ﾧ
4 2
d) x x 2x 1 e) x 4x 4 x 4 0 g) x 2 x 3 ﾧ5
2 2
h) x 2x 1 x 6x 1 i) x 5 x x 25ﾧ
k) x x 1 x x 1 l) 8x 1 3x 5 7x 4 2x 2 ﾧ
2
x y
2 x y
55 Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện : xy = x > y CMR: ﾧ. 56 Rút gọn biểu thức :
a) 13 30 b) m m m m
c) 2 2 2 d) 227 30 123 22
6
2
2
ﾧ 57 Chứng minh ﾧ 58 Rút gọn biểu thức :
6 6 9 2 6
a) C b) D
2
(5)a) 6 20 1+ b) 17 12 1 c) 28 16 2 ﾧ
2
A x x 4x 4 60 Cho biểu thức : ﾧ
a) Tìm tập xác định biểu thức A
b) Rút gọn biểu thức A
a) 11 10 b) 14 61 Rút gọn biểu thức sau : ﾧ
3 11 6
c)
2 10
ﾧ
2 2
1 1 1
a b c a b c 62 Cho a + b + c = ; a, b, c ≠ Chứng minh đẳng thức : ﾧ
2
x 16x 60 x 6 63 Giải bất phương trình : ﾧ.
2
x 3 x 64 Tìm x cho : ﾧ.
65 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biết : ﾧ x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = (1)
2
2
1 16 x
a) A b) B x 8x
2x
x 2x
66 Tìm x để biểu thức có nghĩa: ﾧ.
2
2
x x 2x x x 2x
A
x x 2x x x 2x
67 Cho biểu thức : ﾧ.
a) Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A <
0,9999 68 Tìm 20 chữ số thập phân số : ﾧ (20 chữ số 9)
2 69 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : A = | x - ﾧ| + | y – | với | x | + | y | = 70 Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx =
n n n+1 71 Trong hai số : ﾧ (n số nguyên dương), số lớn ?
x y
2
yx 72 Cho biểu thức ﾧ Tính giá trị A theo hai cách.
( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)73 Tính : ﾧ
3 ; 3 ; 2 3 74 Chứng minh số sau số vô tỉ : ﾧ a 3 b=2 1
5
2
2
75 Hãy so sánh hai số : ﾧ ; ﾧ 4 4 276 So sánh ﾧ số 0.
2
Q
2
77 Rút gọn biểu thức : ﾧ.
P 14 40 56 140 78 Cho ﾧ Hãy biểu diễn P dạng tổng thức bậc hai
2
x y y x 79 Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biết : ﾧ.1 A x x 80 Tìm giá trị nhỏ lớn : ﾧ.
2
M a b
(6)2b c ad ; 2c d ab ; 2d a bc ; 2a b cd 82 CMR số ﾧ có hai số dương (a, b, c, d > 0)
N 18 83 Rút gọn biểu thức : ﾧ.
x y z xy yz zx84 Cho ﾧ, x, y, z > Chứng minh x = y = z. 85 Cho a1, a2, …, an > a1a2…an = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n
a b22 2(a b) ab
86 Chứng minh : ﾧ (a, b ≥ 0)
a , b , c 87 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài ﾧ lập thành tam giác
2
ab b a
A
b b
2
(x 2) 8x
B
2 x
x
88 Rút gọn : a) ﾧ b) ﾧ
2
a
2
a
89 Chứng minh với số thực a, ta có : ﾧ Khi có đẳng thức ? A 3 5 3 90 Tính : ﾧ hai cách.
3
và 6,9 b) 13 12
5
91 So sánh : a) ﾧ
2 3
P
2 2
92 Tính : ﾧ.
x 2x 5 x 2 2x 5 2 293 Giải phương trình : ﾧ.
n
1.3.5 (2n 1)
P
2.4.6 2n 2n
94 Chứng minh ta ln có : ﾧ ; (n ( Z+
2
a b
a b
b a
95 Chứng minh a, b > ﾧ
2
x 4(x 1) x 4(x 1) 1
x
x 4(x 1)
96 Rút gọn biểu thức : ﾧ A = ﾧ.
a b b a
a) : a b
ab a b
97 Chứng minh đẳng thức sau : ﾧ (a, b > ; a ≠ b)
14 15 a a a a
b) : c) 1 a
1 a a
ﾧ (a > 0).
a) 5 3 29 20 ; b) 3 5 13 48 98 Tính : ﾧ.
c) 7 48 28 16 7 48
ﾧ.
a) 3 15 b) 2 15 12 799 So sánh : ﾧ
16
c) 18 19 d) 25
2
(7)2
a a b a a b
a b
2
ﾧ (a, b > a2 – b > 0)
2 3 2 2
a) ; b)
2 2 17 12 17 12
Áp dụng kết để rút gọn : ﾧ
2 10 30 2
c) :
2 10 2
ﾧﾧ
101 Xác định giá trị biểu thức sau :
2
2
xy x y
a) A
xy x y
1 1
x a , y b
2 a b
ﾧ với ﾧ (a > ; b > 1)
a bx a bx
b) B
a bx a bx
2
2am
x , m
b m
ﾧ với ﾧ
2
2x x
P(x)
3x 4x
102 Cho biểu thức ﾧ
a) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) b) Chứng minh x > P(x).P(- x) <
2
x x x x
A
4 1
x x
103 Cho biểu thức ﾧ
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên 104 Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức sau:
2
a) x b) x x (x 0) c) 1 x d) x 4 ﾧ
2
e) 3x g) 2x 2x h) x 2x i)
2x x
ﾧ
A x 2x 1 x 2x 1 105 Rút gọn biểu thức : ﾧ, ba cách ? a) 5 48 10 3 106 Rút gọn biểu thức sau : ﾧ
b) 4 10 5 4 10 5 c) 94 42 5 94 42 5 ﾧ.
b 107 Chứng minh đẳng thức với b ≥ ; a ≥ ﾧ
a b a b a a b
2
a a b a a b
a b
2
a) ﾧ b) ﾧ A x 2x 4 x 2x 4 108 Rút gọn biểu thức : ﾧ
x y 2 x y 2109 Tìm x y cho : ﾧ
2 2
2 2
a b c d a c b d
110 Chứng minh bất đẳng thức : ﾧ
2 2
a b c a b c
b c c a a b
111 Cho a, b, c > Chứng minh : ﾧ.
112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh :
a) a 1 b 1 c 3,5 b) a b b c c a ﾧ.
2 2 2 2
a c b c a d b d (a b)(c d)
(8)A x x114 Tìm giá trị nhỏ : ﾧ. (x a)(x b)
A
x
115 Tìm giá trị nhỏ : ﾧ
116 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ x 117 Tìm giá trị lớn A = x + ﾧ.
x 1 5x 1 3x 2 118 Giải phương trình : ﾧ x x 1 x x 2 119 Giải phương trình : ﾧ
2
3x 21x 18 x 7x 2 120 Giải phương trình : ﾧ
2 2
3x 6x 7 5x 10x 14 2x x 121 Giải phương trình : ﾧ
3 ; 2 3122 Chứng minh số sau số vô tỉ : ﾧ
x 2 x 123 Chứng minh ﾧ.2
124 Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp hình học :
2 2
a b b c b(a c) ﾧ với a, b, c > 0.
(a b)(c d) ac bd 125 Chứng minh ﾧ với a, b, c, d > 0.
a , b , c 126 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài ﾧ lập thành tam giác
2
(a b) a b
a b b a
2
127 Chứng minh ﾧ với a, b ≥
a b c
2
b c a c a b 128 Chứng minh ﾧ với a, b, c > 0.
2
x y y x 129 Cho ﾧ Chứng minh x2 + y2 = 1.1 A x x 1 x x 1 130 Tìm giá trị nhỏ ﾧ A x x 131 Tìm GTNN, GTLN ﾧ.
2
A x 1 x 2x 5 132 Tìm giá trị nhỏ ﾧ
2
A x 4x 12 x 2x 3 133 Tìm giá trị nhỏ ﾧ.
2
a) A 2x x b) A x 99 101 x
134 Tìm GTNN, GTLN : ﾧ
a b
1
x y 135 Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa mãn ﾧ (a b số dương). 136 Tìm GTNN A = (x + y)(x + z) với x, y, z > , xyz(x + y + z) =
xy yz zx
A
z x y
137 Tìm GTNN ﾧ với x, y, z > , x + y + z =
2 2
x y z
A
x y y z z x
xy yz zx 1 138 Tìm GTNN ﾧ biết x, y, z > , ﾧ.
2
A a b
139 Tìm giá trị lớn : a) ﾧ với a, b > , a + b ≤
4 4 4 4 4 4
B a b a c a d b c b d c d
b) ﾧ với a, b, c, d > a + b + c + d =
(9)b c A
c d a b
141 Tìm GTNN ﾧ với b + c ≥ a + d ; b, c > ; a, d ≥ 0. 142 Giải phương trình sau :
2
a) x 5x 3x 12 0 b) x 4x x 1 c) 4x 1 3x 1 ﾧ
d) x 1 x 2 e) x x 1 x 1 g) x 2x 1 x 2x 1
h) x x 2 x x 1 i) x x x 1 ﾧﾧﾧ
2 2
k) 1 x x x 1 l) 2x 8x 6 x 2x 2 ﾧ
2
m) x 6 x x 1 n) x 1 x 10 x 2 x 5 ﾧ
o) x 1 x x x 3x 5 4 2x ﾧ p) 2x 3 x 2 2x 2 x 2 x 2 ﾧ.
2
q) 2x 9x 2x 1 2x 21x 11 ﾧ
A 2 2 18 20 2
143 Rút gọn biểu thức : ﾧ
1 1
1 n 1
2 n
144 Chứng minh rằng, (n ( Z+ , ta có : ﾧ
1
a) b)
1 2 x x 1 145 Trục thức mẫu : ﾧ.
a) 5 3 29 20 b) 5 13 48 c) 5 3 29 12 5 146 Tính : ﾧ
a 3 3 10
147 Cho ﾧ Chứng minh a số tự nhiên
3 2 2
b
17 12 17 12
148 Cho ﾧ b có phải số tự nhiên khơng ?
149 Giải phương trình sau :
a) x x b) x x 3
5 x x x x
c) d) x x 5
5 x x
ﾧ
M 12 29 25 21 12 29 25 21
150 Tính giá trị biểu thức : ﾧ
1 1
A
1 2 3 n n
151 Rút gọn : ﾧ.
1 1
P
2 3 4 2n 2n
152 Cho biểu thức : ﾧ
a) Rút gọn P b) P có phải số hữu tỉ không ?
1 1
A
2 1 2 3 100 99 99 100
153 Tính : ﾧ.
1 1
1 n
2 n
154 Chứng minh : ﾧ
(10)a a 1 a 2 a 3 156 Chứng minh : ﾧ (a ≥ 3)
2
x x
2
157 Chứng minh : ﾧ (x ≥ 0)
S x 1 y 2 158 Tìm giá trị lớn ﾧ , biết x + y = 4.
3 2a 2a
a : A
4 1 2a 1 2a
159 Tính giá trị biểu thức sau với ﾧ.
160 Chứng minh đẳng thức sau :
a) 4 15 10 4 15 2 b) 2 6 1
ﾧ
2
c) 5 10 d) 48 e) 17 5
2
ﾧ 16 Chứng minh bất đẳng thức sau :
5 5
a) 27 48 b) 10
5 5
ﾧ
5 1
c) 0,2 1,01
3
1 3
ﾧ
2 3 3
d)
2 6 6
ﾧ
e) 2 1 2 1,9 g) 17 12 2 1 ﾧ
2 2
h) 7 i) 0,8
4
ﾧ
2 n n n n
n
162 Chứng minh : ﾧ Từ suy ra:
1 1
2004 2005
2 1006009
ﾧ
3
2
a) b)
2 2
163 Trục thức mẫu : ﾧ.
3
x y=
3
164 Cho ﾧ Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2.
2002 2003
2002 2003
2003 2002 165 Chứng minh bất đẳng thức sau : ﾧ.
2
x 3xy y
A
x y
x 3 y 3 5166 Tính giá trị biểu thức : ﾧ với ﾧ.
2
6x
3 x x
x x
167 Giải phương trình : ﾧ.
1
3 5x 72 b) 10x 14 c) 2 2x
4
168 Giải bất pt : a) ﾧ 169 Rút gọn biểu thức sau :
a
a) A 29 12 b) B a a(a 1) a
a
(11)2 2
2 2
x x x 5x x x
c) C d) D
2x x 3x x (x 2) x
ﾧ
1 1
E
1 2 3 24 25
ﾧ
2
1 A
2 x
170 Tìm GTNN GTLN biểu thức ﾧ.
2
A
1 x x
171 Tìm giá trị nhỏ ﾧ với < x < 1. a) A x 1 y 2
y x
B
x y
172 Tìm GTLN : ﾧ biết x + y = ; b) ﾧ a 1997 1996 ; b 1998 1997173 Cho ﾧ So sánh a với b, số lớn ?
2
1
a) A b) B x 2x
5 x
174 Tìm GTNN, GTLN : ﾧ.
2
A x x 175 Tìm giá trị lớn ﾧ.
176 Tìm giá trị lớn A = | x – y | biết x2 + 4y2 =
177 Tìm GTNN, GTLN A = x3 + y3 biết x, y ≥ ; x2 + y2 =
A x x y y x y 1 178 Tìm GTNN, GTLN ﾧ biết ﾧ.
2 x
1 x x 3x (x 2)
x
179 Giải phương trình : ﾧ.
2
x 2x 9 4x 2x 180 Giải phương trình : ﾧ.
1 1
2 3 (n 1) n 181 CMR, (n ( Z+ , ta có : ﾧ.
1 1
A
1.1999 2.1998 3.1997 1999.1
182 Cho ﾧ Hãy so sánh A 1,999
x y x ; y 183 Cho số x, y ﾧ số hữu tỉ Chứng minh số ﾧ số hữu tỉ
3
a ; b 2
3
184 Cho ﾧ CMR : a, b số hữu tỉ.
2 a a a a a a
P
a
a a a
185 Rút gọn biểu thức : ﾧ (a > ; a ≠ 1)
a a 1
4 a a 4a
a a a
186 Chứng minh : ﾧ (a > ; a ≠ 1)
x 22 8x
2 x
x
187 Rút gọn : ﾧ (0 < x < 2)
b ab a b a b
a :
a b ab b ab a ab
188 Rút gọn : ﾧ
2
2
5a
2 x x a
x a
(12) 2 a a a a
A a : a a
1 a a
190 Cho ﾧ
a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A với a = c) Với giá trị a | A | = A
a b a b b b
B
a ab ab a ab a ab
191 Cho biểu thức : ﾧ.
a 5 a) Rút gọn biểu thức B. b) Tính giá trị B ﾧ.
c) So sánh B với -1
1 a b
A :
a a b a a b a b
192 Cho ﾧ
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm b biết | A | = -A
a ; b 2 c) Tính giá trị A ﾧ.
a a 1
A a a
a a a
193 Cho biểu thức ﾧ
a) Rút gọn biểu thức A
a
2
A Ab) Tìm giá trị A ﾧ. c) Tìm giá trị a để ﾧ.
a a a a a
A
2 a a a
194 Cho biểu thức ﾧ.
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị A để A = -
1 a a a a
A :
1 a a a a
195 Thực phép tính : ﾧ
2 3
B
2 2
196 Thực phép tính : ﾧ
197 Rút gọn biểu thức sau :
3
x y 1 1
a) A :
x y
xy xy x y xy x y x y
ﾧ
x 2 ; y 2 3với ﾧ
2 2
x x y x x y
B
2(x y)
b) ﾧ với x > y > 0
2
2a x C
1 x x
1 a a
x
2 a a
c) ﾧ với ﾧ ; < a < 1
2
a b
D (a b)
c
d) ﾧ với a, b, c > ab + bc + ca = 1
x x x x
E 2x
x 2x x 2x
(13)2
x x 2x
x x
x x x
198 Chứng minh : ﾧ với x ≥
1 2
a , b
2
199 Cho ﾧ Tính a7 + b7 a 1 200 Cho ﾧ
m m 1 a) Viết a2 ; a3 dạng ﾧ , m số tự nhiên.
b) Chứng minh với số nguyên dương n, số an viết dạng
2 201 Cho biết x = ﾧ nghiệm phương trình x3 + ax2 + bx + c = với hệ số hữu tỉ Tìm nghiệm lại
1 1
2 n n
2 n
202 Chứng minh ﾧ với n( N ; n ≥ 6 6
203 Tìm phần nguyên số ﾧ (có 100 dấu căn)
2
a 2 Tính a) a b) a 204 Cho ﾧ.
x y x , y 205 Cho số x, y, ﾧ số hữu tỉ Chứng minh số ﾧ số hữu tỉ
1 1
2 3 (n 1) n 206 CMR, (n ≥ , n ( N : ﾧ
1 25
1 1
a a a a 207 Cho 25 số tự nhiên a1 , a2 , a3 , … a25 thỏa đk : ﾧ Chứng minh 25 số tự nhiên tồn số
2 x x
2
2 x 2 x
208 Giải phương trình ﾧ.
1 x x
a
1 x x
209 Giải biện luận với tham số a ﾧ.
x y 2y
y z 2z
z x 2x
210 Giải hệ phương trình ﾧ
211 Chứng minh :
8 7 7
a) Số ﾧ có chữ số liền sau dấu phẩy
7 3 10
b) Số ﾧ có mười chữ số liền sau dấu phẩy n 212 Kí hiệu an số nguyên gần ﾧ (n ( N*), ví dụ :
1
1 1 a 1 ; 1, 4 a 1 ; 1,7 a 2 ; 2 a ﾧ2
1 1980
1 1
a a a a Tính : ﾧ.
n
a 2 2
213 Tìm phần ngun số (có n dấu căn) : a) ﾧ
n
a 4 4 an 1996 1996 1996 1996
(14)2
A 4n 16n 8n 3 214 Tìm phần nguyên A với n ( N : ﾧ
3 2200
215 Chứng minh viết số x = ﾧ dạng thập phân, ta chữ số liền trước dấu phẩy 1, chữ số liền sau dấu phẩy
3 2250
216 Tìm chữ số tận phần nguyên ﾧ A 1 2 3 24
217 Tính tổng ﾧ
218 Tìm giá trị lớn A = x2(3 – x) với x ≥
3x 1 37 x 2
3x 2 x 3 219 Giải phương trình : a) ﾧ b) ﾧ.
a b a b 4 2220 Có tồn số hữu tỉ dương a, b không : a) ﾧ b) ﾧ.
3
35 b) 2 4
221 Chứng minh số sau số vô tỉ : a) ﾧ
3
a b c
abc
222 Chứng minh bất đẳng thức Cauchy với số không âm : ﾧ
a b c d
1 a b c d
1 abcd
81
223 Cho a, b, c, d > Biết ﾧ Chứng minh : ﾧ
2 2
2 2
x y z x y z
y z x y z x224 Chứng minh bất đẳng thức : ﾧ với x, y, z > 0
3 3 3
a 3 3 ; b 3 225 Cho ﾧ Chứng minh : a < b.
n
1
1
n
226 a) Chứng minh với số nguyên dương n, ta có : ﾧ.
n n
3 b) Chứng minh số có dạng ﾧ (n số tự nhiên), số ﾧ có giá trị lớn
2
A x x x x 1 227 Tìm giá trị nhỏ ﾧ. 228 Tìm giá trị nhỏ A = x2(2 – x) biết x ≤
2
A x x 229 Tìm giá trị lớn ﾧ.
230 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x(x2 – 6) biết ≤ x ≤
231 Một miếng bìa hình vng có cạnh dm Ở góc hình vng lớn, người ta cắt hình vng nhỏ gấp bìa để hộp hình hộp chữ nhật khơng nắp Tính cạnh hình vng nhỏ để thể tích hộp lớn
232 Giải phương trình sau :
3
3
a) 1 x 16 x 3 b) x x 1 ﾧ
3
3 3
c) x 1 x 1 5x d) 2x x ﾧ1
3 2 3 3
3
3
x 3x x x 7 x x 5
e) g) x
2 x x
ﾧ
3
2 2 3
3
h) (x 1) (x 1) x 1 1 i) x 1 x 2 x 0 ﾧ
2
4 4 4
k) x x x 3 l) a x b x a b 2x ﾧ (a, b tham số)
4 2
3 3
2
3 3
a a b b
A
a ab b
233 Rút gọn ﾧ.
2
A x x 1 x 234 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : ﾧx
(15)3
3 236 Chứng minh ﾧ số vô tỉ
3 6
a) 1 2 b) 2 237 Làm phép tính : ﾧ.
3
a 20 14 2 20 14 2 238 Tính : ﾧ.
37 2 37 5 2
239 Chứng minh : ﾧ.
4
A 7 48 28 16 7 48
240 Tính : ﾧ
3
x 3 9241 Hãy lập phương trình f(x) = với hệ số nguyên có nghiệm : ﾧ.
3
3
1
x
7
242 Tính giá trị biểu thức : M = x3 + 3x – 14 với ﾧ.
3x 2 325 x 3
243 Giải phương trình : a) ﾧ.
2
3
b) x (x 3) 6 c) x 32 x 32 3 ﾧ
3 3
A x 2 1 x 1 x 2 1 x 1
244 Tìm GTNN biểu thức : ﾧ
4
4 abcd 245 Cho số dương a, b, c, d Chứng minh : a + b + c + d ≥ ﾧ
3 3
3
3 3
8 x x x x
P : x
2 x x x x 2 x
246 Rút gọn : ﾧ ; x > , x ≠ 8
3
x 5 17 5 17 247 CMR : ﾧ nghiệm phương trình x3 – 6x – 10 = 0.
3
1
x 15
4 15
248 Cho ﾧ Tính giá trị biểu thức y = x3 – 3x + 1987.
3
3
3
a
a
2 a a
249 Chứng minh đẳng thức : ﾧ.
3 3
9 5 2,1
250 Chứng minh bất đẳng thức : ﾧ.
251 Rút gọn biểu thức sau :
3
4 2
3 3
3
2
3 3 3
3
1
a a b b b 4b b 24
A b)
1
b b
a ab b b 2 1 2.
b
a) ﾧ
2 2
3 3
3
3
2
3 3
a a 2a b a b a b ab
C
a b
a ab a
c) ﾧ.
2
M x 4a 9 x 4x 8 252 Cho ﾧ Tính giá trị biểu thức M biết rằng:
2
x 4x 9 x 4x 2 ﾧ.
2 2
P x 2ax a x 2bx b 253 Tìm giá trị nhỏ : ﾧ (a < b) 254 Chứng minh rằng, a, b, c độ dài cạnh tam giác :
abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) 255 Tìm giá trị biểu thức | x – y | biết x + y = xy = -1
(16)x y z x y z 5 257 Tìm x, y, z biết : ﾧ.
y x x 1 x x 1 258 Cho ﾧ CMR, ≤ x ≤ giá trị y số.
3
M x 1 x x 259 Phân tích thành nhân tử : ﾧ (x ≥ 1).x
2 260 Trong tất hình chữ nhật có đường chéo ﾧ, tìm hình chữ nhật có diện tích lớn
a b c
2
261 Cho tam giác vng ABC có cạnh góc vng a, b cạnh huyền c Chứng minh ta ln có : ﾧ
262 Cho số dương a, b, c, a’, b’, c’ Chứng minh :
a b c
aa' bb' cc' (a b c)(a ' b' c')
a' b' c'
Nếu ﾧ 263 Giải phương trình : | x2 – | + | x2 – | =
264 Chứng minh giá trị biểu thức C không phụ thuộc vào x, y : x y4
1 x y
C
4xy x y
x y x y
x y x y
ﾧ với x > ; y > 0.
265 Chứng minh giá trị biểu thức D không phụ thuộc vào a:
2 a a a a a a
D
a
a a a
ﾧ với a > ; a ≠
c ac
B a
a c a c
a c
ac c ac a ac
266 Cho biểu thức ﾧ.
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tính giá trị biểu thức B c = 54 ; a = 24 c) Với giá trị a c để B > ; B <
2 2
2mn 2mn
A= m+ m
1+n n n
267 Cho biểu thức : ﾧ với m ≥ ; n ≥ 1
m 56 24 5 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị A với ﾧ.
c) Tìm giá trị nhỏ A
2
2
1 x x 1 x x
D
x x
1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x
268 Rút gọn ﾧ
1 x x
P :
x
x x x x x
269 Cho ﾧ với x ≥ ; x ≠ 1.
a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x cho P <
2
x x 2x x
y
x x x
270 Xét biểu thức ﾧ.
a) Rút gọn y Tìm x để y = b) Giả sử x > Chứng minh : y - | y | = c) Tìm giá trị nhỏ y ?
(17)7
m
n
2
2
2
m
7 hay 7n m
n
m 72
m
n 7 Giả sử ﾧ số hữu tỉ ( ﾧ (tối giản) Suy ﾧ (1) Đẳng thức chứng tỏ ﾧ mà số nguyên tố nên m ﾧ Đặt m = 7k (k ( Z), ta có m2 = 49k2 (2) Từ (1) (2) suy 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3) Từ (3) ta lại có n2 ﾧ số nguyên tố nên n ﾧ m n chia hết phân số ﾧ không tối giản, trái giả thiết Vậy ﾧ khơng phải số hữu tỉ; ﾧ số vô tỉ
2 Khai triển vế trái đặt nhân tử chung, ta vế phải Từ a) ( b) (ad – bc)2 ≥ Cách : Từ x + y = ta có y = – x Do : S = x2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + ≥ Vậy S = ( x = y =
Cách : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta có : (x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1) ( ≤ 2(x2 + y2) = 2S ( S ≥ ( mim S = x = y =
bc ca bc ab ca ab
và ; ;
a b a c b c
bc ca bc ca bc ab bc ab
2 2c; 2b
a b a b a c a c
ca ab ca ab
2 2a
b c b c 4 b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương ﾧ, ta có: ﾧ;ﾧ cộng vế ta bất đẳng thức cần chứng minh Dấu xảy a = b = c
3a 5b
3a.5b
c) Với số dương 3a 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta có : ﾧ 12
5 12
5 ( (3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b) ( 122 ≥ 60P ( P ≤ ﾧ ( max P = ﾧ Dấu xảy 3a = 5b = 12 : ( a = ; b = 6/5
5 Ta có b = – a, M = a3 + (1 – a)3 = 3(a – ½)2 + ¼ ≥ ¼ Dấu “=” xảy a = ẵ Vy M = ẳ ( a = b = ½
6 Đặt a = + x ( b3 = – a3 = – (1 + x)3 = – 3x – 3x2 – x3 ≤ – 3x + 3x2 – x3 = (1 – x)3 Suy : b ≤ – x Ta lại có a = + x, nên : a + b ≤ + x + – x =
Với a = 1, b = a3 + b3 = a + b = Vậy max N = a = b = Hiệu vế trái vế phải (a – b)2(a + b)
8 Vì | a + b | ≥ , | a – b | ≥ , nên : | a + b | > | a – b | ( a2 + 2ab + b2 ≥ a2 – 2ab + b2 ( 4ab > ( ab > Vậy a b hai số dấu
9 a) Xét hiệu : (a + 1)2 – 4a = a2 + 2a + – 4a = a2 – 2a + = (a – 1)2 ≥
b) Ta có : (a + 1)2 ≥ 4a ; (b + 1)2 ≥ 4b ; (c + 1)2 ≥ 4c bất đẳng thức có hai vế dương, nên : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 ≥ 64abc = 64.1 = 82 Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥
10 a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) Do (a – b)2 ≥ 0, nên (a + b) ≤ 2(a2 + b2) b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 Khai triển rút gọn, ta :
3(a2 + b2 + c2) Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
2x x 3x x
2x x
2x x x x 2
11 a) ﾧ
b) x2 – 4x ≤ ( (x – 2)2 ≤ 33 ( | x – | ≤ ( -3 ≤ x – ≤ ( -1 ≤ x ≤
c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – ( (2x – 1)2 ≤ Nhưng (2x – 1)2 ≥ 0, nên : 2x – = Vậy : x = ½
12 Viết đẳng thức cho dạng : a2 + b2 + c2 + d2 – ab – ac – ad = (1) Nhân hai vế (1) với đưa dạng : a2 + (a – 2b)2 + (a – 2c)2 + (a – 2d)2 = (2) Do ta có :
a = a – 2b = a – 2c = a – 2d = Suy : a = b = c = d = 13 2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998 ( M ≥ 1998
a b a b
(18)14 Giải tương tự 13
15 Đưa đẳng thức cho dạng : (x – 1)2 + 4(y – 1)2 + (x – 3)2 + =
2
2
1 1
A max A= x
x 4x x 5
16 ﾧ 7 15 9 16 7 7 1517 a) ﾧ Vậy ﾧ < 7 17 1 16 4 7 49 45b) ﾧ.
23 19 23 16 23 2.4
5 25 27
3 3
c) ﾧ
2 2
3 2 3 18 12 18 12
d) Giả sử ﾧ Bất đẳng thức cuối đúng, nên : ﾧ.
2
2
18 Các số 1,42 ﾧ
2 2
3(x 1) 4 5(x 1) 16 (x 1) 19 Viết lại phương trình dạng : ﾧ.
Vế trái phương trình khơng nhỏ 6, cịn vế phải khơng lớn Vậy đẳng thức xảy hai vế 6, suy x = -1
a b ab
2
2
a b ab
2
20 Bất đẳng thức Cauchy ﾧ viết lại dạng ﾧ (*) (a, b ≥ 0). Áp dụng bất dẳng thức Cauchy dạng (*) với hai số dương 2x xy ta :
2
2x xy
2x.xy
2
ﾧ
Dấu “ = “ xảy : 2x = xy = : tức x = 1, y = ( max A = ( x = 2, y =
1
a b
ab
1998
1999 21 Bất đẳng thức Cauchy viết lại dạng : ﾧ Áp dụng ta có S > ﾧ 22 Chứng minh
2 2
x y x y 2xy (x y)
2
y x xy xy
x y
y x 23 a) ﾧ Vậy ﾧ
2 2
2 2
x y x y x y x y x y
A
y x y x y x y x y x
b) Ta có : ﾧ Theo câu a :
2
2
2
x y x y x y
A 2 1
y x y x y x
ﾧ
4 2
4 2
x y x y
0
y x y x
x y
2
yx c) Từ câu b suy : ﾧ Vì ﾧ (câu a) Do :
4 2
4 2
x y x y x y
2
y x y x y x
ﾧ.
1 2 24 a) Giả sử ﾧ = m (m : số hữu tỉ) ( ﾧ = m2 – ( ﾧ số hữu tỉ (vơ lí)
n
n 3 b) Giả sử m + ﾧ = a (a : số hữu tỉ) ( ﾧ = a – m ( ﾧ = n(a – m) ( ﾧ số hữu tỉ, vô lí
(19)2
2
2
x y x y
a a
y x y x
2
2
x y
2
y x 26 Đặt ﾧ Dễ dàng chứng minh ﾧ nên a2 ≥ 4, | a | ≥ (1) Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : a2 – + ≥ 3a
( a2 – 3a + ≥ ( (a – 1)(a – 2) ≥0 (2)
Từ (1) suy a ≥ a ≤ -2 Nếu a ≥ (2) Nếu a ≤ -2 (2) Bài toán chứng minh
27 Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với :
4 4 2 2
2 2
x z y x z x x z y x z y xyz
0 x y z
ﾧ
Cần chứng minh tử không âm, tức : x3z2(x – y) + y3x2(y – z) + z3y2(z – x) ≥ (1)
Biểu thức không đổi hốn vị vịng x ( y ( z ( x nên giả sử x số lớn Xét hai trường hợp :
a) x ≥ y ≥ z > Tách z – x (1) thành – (x – y + y – z), (1) tương đương với : x3z2(x – y) + y3x2(y – z) – z3y2(x – y) – z3y2(y – z) ≥
( z2(x – y)(x3 – y2z) + y2(y – z)(yx2 – z3) ≥
Dễ thấy x – y ≥ , x3 – y2z ≥ , y – z ≥ , yx2 – z3 ≥ nên bất đẳng thức b) x ≥ z ≥ y > Tách x – y (1) thành x – z + z – y , (1) tương đương với :
x3z2(x – z) + x3z2(z – y) – y3x2(z – y) – z3y2(x – z) ≥ ( z2(x – z)(x3 – zy2) + x2(xz2 – y3)(z – y) ≥ Dễ thấy bất đẳng thức dúng
Cách khác : Biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với :
2 2
x y z x y z
1 1
y z x y z x
ﾧ.
28 Chứng minh phản chứng Giả sử tổng số hữu tỉ a với số vô tỉ b số hữu tỉ c Ta có : b = c – a Ta thấy, hiệu hai số hữu tỉ c a số hữu tỉ, nên b số hữu tỉ, trái với giả thiết Vậy c phải số vô tỉ
29 a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) ( (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 Khai triển rút gọn ta : 3(a2 + b2 + c2) Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
c) Tương tự câu b
30 Giả sử a + b > ( (a + b)3 > ( a3 + b3 + 3ab(a + b) > ( + 3ab(a + b) > ( ab(a + b) > ( ab(a + b) > a3 + b3 Chia hai vế cho số dương a + b : ab > a2 – ab + b2 ( (a – b)2 < 0, vô lí Vậy a + b ≤
x y x y x y x y x y x y 31 Cách 1: Ta có : ﾧ ≤ x ; ﾧ ≤ y nên ﾧ + ﾧ ≤ x + y Suy ﾧ + ﾧ số nguyên không vượt x + y (1) Theo định nghĩa phần nguyên, ﾧ số nguyên lớn không vượt x + y (2) Từ (1) (2) suy : ﾧ + ﾧ ≤ ﾧ
x y Cách : Theo định nghĩa phần nguyên : ≤ x - ﾧ < ; ≤ y - ﾧ < 1. x y Suy : ≤ (x + y) – (ﾧ + ﾧ) < Xét hai trường hợp :
- x y x y x y Nếu ≤ (x + y) – (ﾧ + ﾧ) < ﾧ = ﾧ + ﾧ (1)
- x y x y x y x y x y x y Nếu ≤ (x + y) – (ﾧ + ﾧ) < ≤ (x + y) – (ﾧ + ﾧ + 1) < nên
ﾧ = ﾧ + ﾧ + (2) Trong hai trường hợp ta có : ﾧ + ﾧ ≤ ﾧ
A 32 Ta có x2 – 6x + 17 = (x – 3)2 + ≥ nên tử mẫu A số dương , suy A > : A lớn ( ﾧ nhỏ ( x2 – 6x + 17 nhỏ
1
(20)33 Khơng dùng phép hốn vị vịng quanh x ( y ( z ( x giả sử x ≥ y ≥ z Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương x, y, z :
3
x y z x y z
A
y z x y z x
ﾧ
x y z x y z
min x y z
y z x y z x
Do ﾧ
x y z x y y z y
y z x y x z x x
x y
2 y x
x y z
3 y z x
y z y
1
z x x Cách : Ta có : ﾧ Ta có ﾧ (do x, y > 0) nên để chứng minh ﾧ ta cần chứng minh : ﾧ (1)
(1) ( xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz)
( xy + z2 – yz – xz ≥ ( y(x – z) – z(x – z) ≥ ( (x – z)(y – z) ≥ (2)
x y z
y z x(2) với giả thiết z số nhỏ số x, y, z, (1) Từ tìm được giá trị nhỏ ﾧ
34 Ta có x + y = ( x2 + 2xy + y2 = 16 Ta lại có (x – y)2 ≥ ( x2 – 2xy + y2 ≥ Từ suy 2(x2 + y2) ≥ 16 ( x2 + y2 ≥ A = x = y =
35 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm :
3 xyz = x + y + z ≥ 3.ﾧ (1) 3(x y)(y z)(z x)
2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3.ﾧ (2)
3A
2
Nhân vế (1) với (2) (do hai vế không âm) : ≥ 9.ﾧ ( A ≤ ﾧ
3
2
1
3 max A = ﾧ x = y = z = ﾧ 36 a) Có thể b, c) Khơng thể
37 Hiệu vế trái vế phải (a – b)2(a + b)
2
1
xy(x y) 38 Áp dụng bất đẳng thức ﾧ với x, y > :
2 2
2
a c a ad bc c 4(a ad bc c )
b c d a (b c)(a d) (a b c d)
ﾧ (1)
2
2
b d 4(b ab cd d )
c d a b (a b c d)
Tương tự ﾧ (2)
2 2
2
a b c d 4(a b c d ad bc ab cd)
b c c d d a a b (a b c d)
Cộng (1) với (2) ﾧ= 4B
1
2 Cần chứng minh B ≥ ﾧ, bất đẳng thức tương đương với :
2B ≥ ( 2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) ≥ (a + b + c + d)2 ( a2 + b2 + c2 + d2 – 2ac – 2bd ≥ ( (a – c)2 + (b – d)2 ≥ :
x x 2x x 39 - Nếu ≤ x - ﾧ < ½ ≤ 2x - ﾧ < nên ﾧ = ﾧ
x x x 2x x - Nếu ½ ≤ x - ﾧ < ≤ 2x - ﾧ < ( ≤ 2x – (2 ﾧ + 1) < ( ﾧ = ﾧ + 1 40 Ta chứng minh tồn số tự nhiên m, p cho :
m chữ số
96000 00
m chữ số
97000 00
(21)
m m
a 15p
10 10 Tức 96 ≤ ﾧ < 97 (1) Gọi a + 15 số có k chữ số : 10k – ≤ a + 15 < 10k
k k
1 a 15 1
10 10 10 n k k
a 15p
x
10 10 k
15
10 ( ﾧ (2) Đặt ﾧ Theo (2) ta có x1 < ﾧ <
x n xp k k
a 15p
10 10 Cho n nhận giá trị 2, 3, 4, …, giá trị xn tăng dần, lần tăng không đơn vị, ﾧ trải qua giá trị 1, 2, 3, … Đến lúc ta có ﾧ = 96 Khi 96 ≤ xp < 97 tức 96 ≤ ﾧ < 97 Bất đẳng thức (1) chứng minh
42 a) Do hai vế bất đẳng thức khơng âm nên ta có : | A + B | ≤ | A | + | B | ( | A + B |2 ≤ ( | A | + | B | )2
( A2 + B2 + 2AB ≤ A2 + B2 + 2| AB | ( AB ≤ | AB | (bất đẳng thức đúng) Dấu “ = “ xảy AB ≥
b) Ta có : M = | x + | + | x – | = | x + | + | – x | ≥ | x + + – x | = Dấu “ = “ xảy (x + 2)(3 – x) ≥ ( -2 ≤ x ≤ (lập bảng xét dấu) Vậy M = ( -2 ≤ x ≤
c) Phương trình cho ( | 2x + | + | x – | = | x + | = | 2x + + – x | ( (2x + 5)(4 – x) ≥ ( -5/2 ≤ x ≤
x
x
43 Điều kiện tồn phương trình : x2 – 4x – ≥ ( ﾧ
2
x 4x y 0 Đặt ẩn phụ ﾧ, ta : 2y2 – 3y – = ( (y – 2)(2y + 1) = 0. 45 Vô nghiệm
x x 46 Điều kiện tồn ﾧ x ≥ Do : A = ﾧ + x ≥ ( A = ( x = 0. x 47 Điều kiện : x ≤ Đặt ﾧ = y ≥ 0, ta có : y2 = – x ( x = – y2.
13
13
13
11
4 B = – y2 + y = - (y – ½ )2 + ﾧ ≤ ﾧ max B = ﾧ ( y = ½ ( x = ﾧ 48 a) Xét a2 b2 Từ suy a = b
5 13 3 (2 1) 3 1 b) ﾧ Vậy hai số nhau.
n 2 n 1 n 2 n 1 1 n+1 n n 1 n 1
c) Ta có : ﾧ n 2 n 1 n 1 n nên n+2 n 1 n 1 nMà ﾧ.
49 A = - | – 3x | + | 3x – |2 = ( | 3x – 1| - ½ )2 + ¾ ≥ ¾ Từ suy : A = ắ ( x = ẵ x = 1/6
51 M =
52 x = ; y = ; z = -3
2
x
5 553 P = | 5x – | + | – 5x | ≥ | 5x – + – 5x | = P = ( ﾧ. 54 Cần nhớ cách giải số phương trình dạng sau :
2
B
A (B 0) A
a) A B b) A B c) A B
A B A B B
ﾧ
B
A
d) A B A B e) A B
B
A B
ﾧ
(22)A B 0 c) Phương trình có dạng : ﾧ A d) Đưa phương trình dạng : ﾧ.B e) Đưa phương trình dạng : | A | + | B | = g, h, i) Phương trình vơ nghiệm
x 1 k) Đặt ﾧ = y ≥ 0, đưa phương trình dạng : | y – | + | y – | = Xét dấu vế trái. 8x u ; 3x v ; 7x z ; 2x t 0 l) Đặt : ﾧ.
2 2
u v z t
u v z t
8x 1 7x 4 x 3 Ta hệ : ﾧ Từ suy : u = z tức : ﾧ
2 2 2
x y 2(x y) x y 2(x y) 2xy (x y 2) 55 Cách : Xét ﾧ.0
2
2
2
2
x y
x y
2
x y x y
Cách : Biến đổi tương đương ﾧ( (x2 + y2)2 – 8(x – y)2 ≥ ( (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2 – 2) ≥ ( (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2) + 16 ≥ ( (x2 + y2 – 4)2 ≥ Cách : Sử dụng bất đẳng thức Cauchy :
2 2 2
x y x y 2xy 2xy (x y) 2.1
(x y) (x y)
x y x y x y x y x y
ﾧ (x > y).
6
x ; y
2
x ; y
2
Dấu đẳng thức xảy ﾧ ﾧ
2
2 2 2
1 1 1 2 1 1 1 2(c b a
a b c a b c ab bc ca a b c abc
62 ﾧ =
2 2
1 1
a b c = ﾧ Suy điều phải chứng minh.
2 (x 6)(x 10) 0 x
x 16x 60 x 10 x 10
x x
x
63 Điều kiện : ﾧ.
Bình phương hai vế : x2 – 16x + 60 < x2 – 12x + 36 ( x > Nghiệm bất phương trình cho : x ≥ 10
2
x 364 Điều kiện x2 ≥ Chuyển vế : ﾧ ≤ x2 – (1)
2
x x2
2
x
x
x
1 x x 2
Đặt thừa chung : ﾧ.(1 - ﾧ) ≤ ( ﾧ
Vậy nghiệm bất phương trình : x = ﾧ ; x ≥ ; x ≤ -2.
65 Ta có x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = ( (x2 + y2)2 – 4(x2 + y2) + = - x2 ≤ Do : A2 – 4A + ≤ ( (A – 1)(A – 3) ≤ ( ≤ A ≤
(23)2
2
4 x 4 x
16 x
x 2
2x (x 4) x 2
2 x 2
1
x 8x x
1
2 x
2
b) B có nghĩa ( ﾧ.
2
2
2
x 2x x(x 2) x
x
x x 2x
x x 2x
67 a) A có nghĩa ( ﾧ
2
2 x 2xb) A = ﾧ với điều kiện trên.
2
x 2x 2 c) A < ( ﾧ < ( x2 – 2x < ( (x – 1)2 < ( -ﾧ < x – < ﾧ( kq
20 chữ số
0,999 99
a a a 68 Đặt ﾧ = a Ta chứng minh 20 chữ số thập phân ﾧ chữ số Muốn cần chứng minh a < ﾧ < Thật ta có : < a < ( a(a – 1) < ( a2 – a < ( a2 < a Từ a2 < a < suy a < ﾧ <
20 chữ số 20 chữ số
0,999 99 0,999 99
Vậy ﾧ 69 a) Tìm giá trị lớn Áp dụng | a + b | ≥ | a | + | b |
2 2 A ≤ | x | + ﾧ + | y | + = + ﾧ ( max A = + ﾧ (khi chẳng hạn x = - 2, y = - 3) b) Tìm giá trị nhỏ Áp dụng | a – b | ≥ | a | - | b
2 2 A ≥ | x | - ﾧ | y | - = - ﾧ ( A = - ﾧ (khi chẳng hạn x = 2, y = 3) 70 Ta có : x4 + y4 ≥ 2x2y2 ; y4 + z4 ≥ 2y2z2 ; z4 + x4 ≥ 2z2x2 Suy :
x4 + y4 + z4 ≥ x2y2 + y2z2 + z2x2 (1)
3 Mặt khác, dễ dàng chứng minh : Nếu a + b + c = a2 + b2 + c2 ≥ ﾧ
3 Do từ giả thiết suy : x2y2 + y2z2 + z2x2 ≥ ﾧ (2)
3 3
Từ (1) , (2) : A = ﾧ ( x = y = z = ﾧ
n n n+1 n 2 n 1 n 1 n
n 2 n 1 n 1 n n n 2 n 1 71 Làm 8c (§ 2) Thay so sánh ﾧ ta so sánh ﾧ ﾧ Ta có : ﾧ
72 Cách : Viết biểu thức dấu thành bình phương tổng hiệu Cách : Tính A2 suy A
73 Áp dụng : (a + b)(a – b) = a2 – b2 74 Ta chứng minh phản chứng
3 15
2
r
15
3 5a) Giả sử tồn số hữu tỉ r mà ﾧ = r ( + ﾧ + = r2 ( ﾧ Vế trái số vơ tỉ, vế phải số hữu tỉ, vơ lí Vậy ﾧ số vô tỉ
b), c) Giải tương tự
3 3 2 1 3 2 2 75 a) Giả sử a > b biến đổi tương đương : ﾧ
3 3 2 2 2 2 27 8 2 15 2 225 128
(24)4 4 2 76 Cách : Đặt A = ﾧ, rõ ràng A > A2 = ( A = ﾧ
4 4 2.B 7 0 Cách : Đặt B = ﾧ ( B =
0
4 2 4
2 2.3 2.4
Q
2 4
77 ﾧ.
40 2.5 ; 56 2.7 ; 140 5.7 2 5 778 Viết ﾧ Vậy P = ﾧ.
2
x y 1 y x y x 279 Từ giả thiết ta có : ﾧ Bình phương hai vế đẳng thức ta : ﾧ Từ : x2 + y2 =
2 80 Xét A2 để suy : ≤ A2 ≤ Vậy : A = ﾧ ( x = ± ; max A = ( x =
2 2 2
M a b a b a b 2a 2b 2
81 Ta có : ﾧ
a b
max M a b
2 a b
ﾧ.
2a b cd 2c d ab a b ab c d cd a c
82 Xét tổng hai số : ﾧ =
a c a b 2 c d2 a c = ﾧ
N 18 12 4 2 83 ﾧ =
2 2 22 2 2 2 2 2 22 2 3 2 = ﾧ
x y z xy yz zx
2 2
x y y z z x 0
84 Từ ﾧ ( ﾧ Vậy x = y = z
85 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ( i = 1, 2, 3, … n )
ab 86 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số a + b ≥ ﾧ ≥ 0, ta có :
2
a b ab 2(a b) ab hay a b 2 2(a b) ab
ﾧ Dấu “ = “ xảy a = b
bc
2
b c a
87 Giả sử a ≥ b ≥ c > Ta có b + c > a nên b + c + ﾧ > a hay ﾧ b c a a , b , c Do : ﾧ Vậy ba đoạn thẳng ﾧ lập thành tam giác 88 a) Điều kiện : ab ≥ ; b ≠ Xét hai trường hợp :
b.( a b) a a b a
A
b b
b b b
* Trường hợp : a ≥ ; b > : ﾧ
2
ab b a a a a
A 1
b b b b
b
* Trường hợp : a ≤ ; b < : ﾧ.
2
(x 2) 8x
x x
x 2
x
x
(25)2 x x
(x 2) 8x (x 2) x
B
2 x 2 x 2
x x ﾧ
x Nếu < x < | x – | = -(x – 2) B = - ﾧ x Nếu x > | x – | = x – B = ﾧ
2
2
2
2 2
a 1
a
a
a a a
89 Ta có : ﾧ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
2
2
1
a a
a a
2 a 2 a
ﾧ Vậy ﾧ Đẳng thức xảy :
2
2
1
a a
a
ﾧ.
2 2x 3 2x 4 93 Nhân vế pt với ﾧ, ta : ﾧ ( 5/2 ≤ x ≤ 3. 94 Ta chứng minh qui nạp toán học :
1
1
P
2
a) Với n = ta có : ﾧ (*)
k
1 1.3.5 (2k 1)
P
2.4.6 2k
2k 2k
b) Giả sử : ﾧ (1)
c) Ta chứng minh (*) n = k + , tức :
k
1 1.3.5 (2k 1)
P
2.4.6 (2k 2)
2k 2k
ﾧ (2)
2k 2k
2k 2k
Với số nguyên dương k ta có : ﾧ (3)
Nhân theo vế bất đẳng thức (1) (3) ta bất đẳng thức (2) Vậy ( n ( Z+ ta có
n
1.3.5 (2n 1)
P
2.4.6 2n 2n
ﾧ
2 3
a b a b
a b a b
b a ab
95 Biến đổi tương đương : ﾧ
2
( a b)(a ab b)
a b ab a ab b a b
ab
ﾧ (đúng)
2
x 4(x 1)
1 x
x 4(x 1)
x
x 4(x 1)
x
96 Điều kiện : ﾧ
2
A A=
1 x x-1
Xét hai khoảng < x < x > Kết : ﾧ 105 Cách : Tính A ﾧ Cách : Tính A2
2x 1 Cách : Đặt ﾧ = y ≥ 0, ta có : 2x – = y2.
2 y 1
y 2y y 2y
2x 2x 2x 2x y
A
2 2 2
(26)1
A (y y 1)
2
Với y ≥ (tức x ≥ 1), ﾧ
2
1 2y
A (y y 1) y 4x
2
Với ≤ y < (tức ﾧ ≤ x < 1), ﾧ x 2 108 Nếu ≤ x ≤ A = ﾧ Nếu x ≥ A = ﾧ.
x y 2 x y109 Biến đổi : ﾧ Bình phương hai vế rút gọn, ta : 2(x y 2) xyﾧ Lại bình phương hai vế rút gọn : (2 – y)(x – 2) = 0.
Đáp : x = , y ≥ , x ≥ , y = 110 Biến đổi tương đương :
a2 b c2 d2
(1) ( a2 + b2 + c2 + d2 + ﾧ ≥ a2 + c2 + 2ac + b2 + d2 + 2bd
a2 b c2 d2
( ﾧ ≥ ac + bd (2)
* Nếu ac + bd < 0, (2) chứng minh * Nếu ac + bd ≥ 0, (2) tương đương với :
(a2 + b2)(c2 + d2) ≥ a2c2 + b2d2 + 2abcd ( a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 ≥ a2c2 + b2d2 + 2abcd ( (ad – bc)2 ≥ (3) Bất đẳng thức (3) đúng, bất đẳng thức (1) chứng minh
111 Cách : Theo bất đẳng thức Cauchy :
2 2
a b c 2 a .b c 2.a a a a b c
b c b c b c
ﾧ.
2
b b a c ; c c a b
a c a b
Tương tự : ﾧ.
2 2
a b c a b c a b c a b c
b c c a a b 2
Cộng vế bất đẳng thức : ﾧ
Cách : Theo BĐT Bunhiacôpxki : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by + cz)2 Ta có :
2 2
2 2
a b c X b c c a a b
b c c a a b
ﾧ ≥
2
a b c b c a c a b
b c c a a b
≥ ﾧ
2 2 2
2
a b c 2(a b c) (a b c) a b c a b c
b c c a a b b c c a a b
( ﾧ.
x y xy
2
112 a) Ta nhìn tổng a + dạng tích 1.(a + 1) áp dụng bđt Cauchy : ﾧ (a 1) a
a 1.(a 1)
2
ﾧ
b c
b 1 ; c 1
2
Tương tự : ﾧ a b c
a b c 3,5
2
Cộng vế bất đẳng thức : ﾧ
Dấu “ = ” xảy ( a + = b + = c + ( a = b = c = 0, trái với giả thiết a + b + c = a 1 b 1 c 3,5 Vậy : ﾧ.
(27)1 a b b c c a 2 (1 1)X a b 2 b c 2 c a 2
a b b c c a 2 a b b c c a 6
ﾧ ( ﾧ ≤ 3(a + b + b + c + c + a) = 6(ﾧ 113 Xét tứ giác ABCD có AC ( BD, O giao điểm hai đường chéo
OA = a ; OC = b ; OB = c ; OD = d với a, b, c, d > Ta có :
2 2 2 2
AB a c ; BC b c ; AD a d ; CD b d ﾧ
AC = a + b ; BD = c + d Cần chứng minh : AB.BC + AD.CD ≥ AC.BD Thật ta có : AB.BC ≥ 2SABC ; AD.CD ≥ 2SADC Suy :
Suy : AB.BC + AD.CD ≥ 2SABCD = AC.BD
a2 c2 b2 c2 a2 d2 b2 d2 (a b)(c d)
Vậy : ﾧ Chú ý : Giải cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
(m2 + n2)(x2 + y2) ≥ (mx + ny)2 với m = a , n = c , x = c , y = b ta có :
a2 c c2 b2
(a2 + c2)(c2 + b2) ≥ (ac + cb)2 ( ﾧ ≥ ac + cb (1)
a2 d2 d2 b2
Tương tự : ﾧ ≥ ad + bd (2) Cộng (1) (2) suy đpcm
2
1 1
A x x x Vaäy A
2 4
114 Lời giải sai : ﾧ.
1
1
4 Phân tích sai lầm : Sau chứng minh f(x) ≥ - ﾧ , chưa trường hợp xảy f(x) = - ﾧ
x
Xảy dấu đẳng thức ﾧ Vơ lí
x x Lời giải : Để tồn ﾧ phải có x ≥ Do A = x + ﾧ ≥ A = ( x =
2
(x a)(x b) x ax+ bx+ab ab
A x (a b)
x x x
115 Ta có ﾧ.
ab
x ab
x
ab a b2
Theo bất đẳng thức Cauchy : ﾧ nên A ≥ ﾧ + a + b = ﾧ
a b2
ab
x x ab
x x
min A = ﾧ chi ﾧ.
116 Ta xét biểu thức phụ : A2 = (2x + 3y)2 Nhớ lại bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
(am + bn)2 ≤ (a2 + b2)(m2 + n2) (1)
Nếu áp dụng (1) với a = 2, b = 3, m = x, n = y ta có :
A2 = (2x + 3y)2 ≤ (22 + 32)(x2 + y2) = 13(x2 + y2)
Vói cách ta không số α mà A2 ≤ α Bây giờ, ta viết A2 dạng :
2x 3y2
A2 = ﾧ áp dụng (1) ta có :
2 2 2
2 2
A x y (2 3)(2x 3y ) 5.5 25
ﾧ
x y
x y
2x 3y
Do A2 ≤ 25 nên -5 ≤ A ≤ A = -5 ( ﾧ
a d b c
O D
C B
(28)x y
x y 2x 3y
ﾧ max A = ( ﾧ
2 x 117 Điều kiện x ≤ Đặt ﾧ = y ≥ 0, ta có : y2 = – x.
2
2 9
a y y y maxA= y x
2 4 4
ﾧ
118 Điều kiện x ≥ ; x ≥ 1/5 ; x ≥ 2/3 ( x ≥
2
2 15x 13x 2 Chuyển vế, bình phương hai vế : x – = 5x – + 3x – + ﾧ (3)
2
2 15x 13x 2 Rút gọn : – 7x = ﾧ Cần có thêm điều kiện x ≤ 2/7.
Bình phương hai vế : – 28x + 49x2 = 4(15x2 – 13x + 2) ( 11x2 – 24x + = (11x – 2)(x – 2) = ( x1 = 2/11 ; x2 =
Cả hai nghiệm không thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình cho vơ nghiệm 119 Điều kiện x ≥ Phương trình biến đổi thành :
x 1 x 1 2 x 1 x 1 1 ﾧ
x 1 x 1 1 x 1 x 2 * Nếu x > : ﾧ, không thuộc khoảng xét. x 1 x 1 2 * Nếu ≤ x ≤ : ﾧ Vơ số nghiệm ≤ x ≤ 2
Kết luận : ≤ x ≤
2
x 7x 7 120 Điều kiện : x2 + 7x + ≥ Đặt ﾧ = y ≥ ( x2 + 7x + = y2.
Phương trình cho trở thành : 3y2 – + 2y = ( 3y2 + 2y – = ( (y – 1)(3y + 5) =
2
x 7x 7 ( y = - 5/3 (loại) ; y = Với y = ta có ﾧ = ( x2 + 7x + = (
( (x + 1)(x + 6) = Các giá trị x = - 1, x = - thỏa mãn x2 + 7x + ≥ nghiệm (1)
2
3(x 1) 4 5(x 1) 9 4 5 121 Vế trái : ﾧ.
Vế phải : – 2x – x2 = – (x + 1)2 ≤ Vậy hai vế 5, x = - Với giá trị hai bất đẳng thức trở thành đẳng thức Kết luận : x = -
3
2
5 a
2
3 2
122 a) Giả sử ﾧ = a (a : hữu tỉ) ( - ﾧ = a2 ( ﾧ Vế phải số hữu tỉ, vế trái số vơ tỉ Vơ lí Vậy ﾧ số vô tỉ
b) Giải tương tự câu a x 2 x
2
a b
a ; b
2
123 Đặt ﾧ = a, ﾧ = b, ta có a2 + b = Sẽ chứng minh a + b ≤ Cộng vế bất đẳng thức : ﾧ
124 Đặt đoạn thẳng BH = a, HC = c đường thẳng Kẻ HA ( BC với AH = b Dễ thấy AB.AC ≥ 2SABC = BC.AH 125 Bình phương hai vế rút gọn, ta bất đẳng thức tương
đương : (ad – bc)2 ≥ Chú ý : Cũng chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki bc 126 Giả sử a ≥ b ≥ c > Theo đề : b + c > a Suy : b + c + ﾧ > a (
b c 2 a b c a
( ﾧ b , c , a Vậy ba đoạn thẳng có độ dài ﾧ lập thành tam giác 127 Ta có a, b ≥ Theo bất đẳng thức Cauchy :
2
(a b) a b a b a b ab a b
2 2
ﾧ
1 ab a b
2
a b b aCần chứng minh : ﾧ ≥ ﾧ Xét hiệu hai vế :
c a
b
C B
(29)1 ab a b
2
ab a b
1
ab a b a b
2
2
1
ab a b
2
ﾧ - ﾧ = ﾧ =
=ﾧ ≥
4 Xảy dấu đẳng thức : a = b = ﾧ a = b =
b c.1 b c 1 : 2 b c a
a a 2a
128 Theo bất đẳng thức Cauchy : ﾧ.
a 2a
b c a b c
b 2b ; c 2c
a c a b c a b a b c Do : ﾧ Tương tự : ﾧ
a b c 2(a b c) 2
b c c a a b a b c
Cộng vế : ﾧ.
a b c
b c a a b c
c a b
Xảy dấu đẳng thức : ﾧ, trái với giả thiết a, b, c > 0.
Vậy dấu đẳng thức không xảy
129 Cách : Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Ta có :
x y2 y x22 x2 y y x2 2
ﾧ Đặt x2 + y2 = m, ta : 12 ≤ m(2 - m) ( (m – 1)2 ≤ ( m = (đpcm)
2
x y 1 y x Cách : Từ giả thiết : ﾧ Bình phương hai vế :
2
1 x x x2(1 – y2) = – 2y ﾧ + y2(1 – x2) ( x2 = – 2y ﾧ + y2
2
1 x x 0 = (y - ﾧ)2 ( y = ﾧ ( x2 + y2 = 130 Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | A = ( ≤ x ≤
2
1 x x x 131 Xét A2 = + ﾧ Do ≤ ﾧ ≤ ( ≤ + ﾧ ≤ 4 ( ≤ A2 ≤ A = ﾧ với x = ± , max A = với x =
2 2 2
a b c d (a c) (b d) 132 Áp dụng bất đẳng thức : ﾧ (bài 23)
2 2 2
A x 1 (1 x) 2 (x x) (1 2) 10ﾧ
1 x
min A 10 x
x
ﾧ
2
x 4x 12 (x 2)(6 x)
1 x (x 1)(3 x)
x 2x
133 Tập xác định : ﾧ (1)
Xét hiệu : (- x2 + 4x + 12)(- x2 + 2x + 3) = 2x + Do (1) nên 2x + > nên A >
2
2
A (x 2)(6 x) (x 1)(3 x)
Xét : ﾧ Hiển nhiên A2 ≥ dấu “ = ” khơng xảy (vì A > 0) Ta biến đổi A2 dạng khác :
(x 2)(6 x)(x 1)(3 x) A2 = (x + 2)(6 – x) + (x + 1)(3 – x) - ﾧ = (x 2)(6 x)(x 1)(3 x) = (x + 1)(6 – x) + (6 – x) + (x + 2)(3 – x) – (3 – x) - ﾧ
(x 2)(6 x)(x 1)(3 x) = (x + 1)(6 – x) + (x + 2)(3 – x) - ﾧ + 3
(30)3 A2 ≥ Do A > nên A = ﾧ với x = 134 a) Điều kiện : x2 ≤
* Tìm giá trị lớn : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
2
5 x A2 = (2x + 1.ﾧ)2 ≤ (22 + 11)(x2 + – x2) = 25 ( A2 ≤ 25.
2
2 2
2 2
x
x 5 x
A 25 x 4(5 x ) x
x x 5
ﾧ.
Với x = A = Vậy max A = với x =
* Tìm giá trị nhỏ : Chú ý từ A2 ≤ 25, ta có – ≤ x ≤ 5, không xảy 5 A2 = - Do tập xác định A, ta có x2 ≤ ( - ﾧ ≤ x ≤ ﾧ Do : 2x ≥ - ﾧ
2
5 x x 5 ﾧ ≥ Suy :A = 2x + ﾧ ≥ - ﾧ Min A = - ﾧ với x = -ﾧ b) Xét biểu thức phụ | A | áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Cauchy :
2 2
2
A x 99 99 101 x x (99 1)(99 101 x ) x 10 200 x
x 200 x
10 1000
2
ﾧ
2
2
2
x 101
99 99
A 1000 x 10
1 101 x
x 200 x
ﾧ Do : - 1000 < A < 1000.
min A = - 1000 với x = - 10 ; max A = 1000 với x = 10
a b ay bx
x y a b
x y x y
135 Cách : A = x + y = 1.(x + y) = ﾧ.
ay bx ay bx
2 ab
x y x y Theo bất đẳng thức Cauchy với số dương : ﾧ.
2
A a b ab a b
Do ﾧ
2
min A a b
ay bx
x y
x a ab
a b
1
x y y b ab
x, y
ﾧ với ﾧ
Cách : Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
2
2
a b a b
A (x y).1 (x y) x y a b
x y x y
ﾧ.
Từ tìm giá trị nhỏ A xyz(x y z)
136 A = (x + y)(x + z) = x2 + xz + xy + yz = x(x + y + z) + yz ﾧ
2 A = chẳng hạn y = z = , x = ﾧ -
xy yz xy yz
2 2y
(31)yz zx zx xy
2z ; 2x
x y y z Tương tự : ﾧ Suy 2A ≥ 2(x + y + z) = 2.
1
3 A = với x = y = z = ﾧ
2 2
x y z x y z
x y y z z x
138 Theo tập 24 : ﾧ Theo bất đẳng thức Cauchy :
xy yz zx
x y y z z x x+y+z
xy ; yz ; zx nên
2 2 2
ﾧ
2
1 x y z
3
min A = ﾧ ﾧ
2 2 2
A a b a b a b 2a 2b 2
139 a) ﾧ
a b
max A a b
2 a b
ﾧ
a b 4 a b 4 a b4 2(a2 b2 6ab)
b) Ta có : ﾧ
4
2 2
4
2 2
4
2
a c 2(a c 6ac) ; a d 2(a d 6ad)
b c 2(b c 6bc) ; b d 2(b d 6bd)
c d 2(c d 6cd)
Tương tự : ﾧﾧ Suy : B ≤ 6(a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd) = 6(a + b + c + d)2 ≤
1
a b c d
max B a b c d
4 a b c d
ﾧ
x y x y x y
A 3 3 18
140 ﾧ A = 18 với x = y = 2.
141 Không tính tổng quát, giả sử a + b ≥ c + d Từ giả thiết suy : a b c d
b c
2
ﾧ
b c b c c c a b c d c d c d
A
c d a b c d c d a b 2(c d) c d a b
ﾧ
Đặt a + b = x ; c + d = y với x ≥ y > 0, ta có :
x y y y x y x y x y 1
A
2y y x 2y x 2y x 2y x 2
ﾧ
1
min A d , x y , b c a d
2
ﾧ ; chẳng hạn a 1, b 1,c 2,d 0 ﾧ
2
(x 3) ( x 3) 142 a) ﾧ Đáp số : x = 3.0
2 b) Bình phương hai vế, đưa : (x2 + 8)(x2 – 8x + 8) = Đáp số : x = + ﾧ c) Đáp số : x = 20
x 2 x 1 d) ﾧ Vế phải lớn vế trái Vô nghiệm.
(32)1
2 g) Bình phương hai vế Đáp số : ﾧ ≤ x ≤
x 2 y 2 y 3 h) Đặt ﾧ = y Đưa dạng ﾧ = Chú ý đến bất đẳng thức :
y 2 y y y 1 ﾧ Tìm ≤ y ≤ Đáp số : ≤ x ≤ 11. x x 1 x
16
25 i) Chuyển vế :ﾧ, bình phương hai vế Đáp : x = (chú ý loại x = ) 16
25 k) Đáp số : ﾧ
l) Điều kiện : x ≥ x = - Bình phương hai vế rút gọn :
2
2 2(x 1) (x 3)(x 1) x ﾧ.1
Bình phương hai vế : 8(x + 1)2(x + 3)(x – 1) = (x + 1)2(x – 1)2 ( (x + 1)2(x – 1)(7x + 25) = 25
x
ﾧ loại Nghiệm : x = ± m) Vế trái lớn x, vế phải không lớn x Phương trình vơ nghiệm
n) Điều kiện : x ≥ - Bình phương hai vế, xuất điều kiện x ≤ - Nghiệm : x = -
o) Do x ≥ nên vế trái lớn 2, vế phải nhỏ Suy hai vế 2, x = 1, thỏa mãn phương trình
2x 3 x 2 y ; 2x 2 x 2 p) Đặt ﾧ (1) Ta có :z
2
y z 1 x ; y z x 2 ﾧ Suy y – z = 1. z x 2 Từ ﾧ (2) Từ (1) (2) tính x Đáp số : x = (chú ý loại x = - 1).
a b a 15b
;
2 q) Đặt 2x2 – 9x + = a ≥ ; 2x – ≥ b ≥ Phương trình : ﾧ Bình phương hai vế rút gọn ta : b = b = a Đáp số : ﾧ
2 k k
1 2
2 k k
k k k k k k k k
144 Ta có : ﾧ
1 1
1 2( 1) 2( 2) 2( 3) 2( n n )
2 n
Vậy : ﾧ =
2( n 1) = ﾧ (đpcm).
150 Đưa biểu thức dấu dạng bình phương M = -2 n 151 Trục thức mẫu hạng tử Kết : A = ﾧ -
1
( a a 1) P ( 2n 1)
a a 1 152 Ta có : ﾧ.
P số hữu tỉ (chứng minh phản chứng)
1 1
A 10
(n 1) n n n 1 n n 1 153 Ta chứng minh : ﾧ
1 1 1
1 n n
2 n n
154 ﾧ
17 155 Ta có a + = ﾧ Biến đổi đa thức ngoặc thành tổng lũy thừa số a + A = [(a + 1)5 – 3(a + 1)4 – 15(a + 1)3 + 52(a + 1)2 – 14(a + 1)]2000
(33)1
a a ; a a
a a a a
156 Biến đổi : ﾧ.
2
2 1 1
x x x x x x x x
2 4 2
157 ﾧ.
1
x x
2
Dấu “ = “ khơng xảy khơng thể có đồng thời : ﾧ
2
a b 2(a b )168 Trước hết ta chứng minh : ﾧ (*) (a + b ≥ 0) S x 1 y 2 2(x y 2) 2Áp dụng (*) ta có : ﾧ
3 x
x y 2
maxS
x y
y
ﾧ
* Có thể tính S2 áp dụng bất đẳng thức Cauchy
2
1
B x
A
180 Ta phải có ( A ( ≤ ﾧ Dễ thấy A > Ta xét biểu thức : ﾧ Ta có :
2 2
0 x 3 3 x 0 2 2 x ﾧ.2
2
min B 2 3 x x 0
1
max A
2
ﾧ Khi ﾧ (
2
max B 2 x 0 x
1
2 ( ﾧ Khi A = ﾧ
2x x
B
1 x x
181 Để áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta xét biểu thức : ﾧ Khi :
2x x
(1) 2x x
B 2 B 2 x x
1 x x
0 x (2)
ﾧ
2 Giải (1) : 2x2 = (1 – x)2 ( ( x ﾧ ( = ( – x ( Do < x < nên x ﾧ = – x (
1
2
2 1 x = ﾧ.
2 Như B = ﾧ ( x = ﾧ -
2 2x x 2x 1 x
A B
1 x x x x x x
Bây ta xét hiệu : ﾧ
2 Do A = ﾧ + x = ﾧ -
182 a) Điều kiện : x ≥ , y ≥ Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm giảm tổng : a b
ab
a b 2(a2 b )2
ﾧ Ở ta muốn làm tăng tổng Ta dùng bất đẳng thức : ﾧ
A x 1 y 2 2(x y 3) 2ﾧ
x y x 1,5
max A
x y y 2,5
ﾧ
Cách khác : Xét A2 dùng bất đẳng thức Cauchy a b
ab
(34)x , y 2
2(y 2)
x 1.(x 1) , y
2
Ta xem biểu thức ﾧ tích : ﾧ x 1.(x 1) x 1
x x 2x
Theo bất đẳng thức Cauchy : ﾧ
y 2.(y 2) y 2
y y 2y 2
ﾧ
x 1 x
1 2
max B
y 2 y
2 4
ﾧ 1
a , b
1997 1996 1998 1997
1997 1996 1998 1997183 ﾧ Ta thấy ﾧ
Nên a < b
1
5 184 a) A = - ﾧ với x = max A = ﾧ với x = ± ﾧ 5 b) B = với x = ± ﾧ max B = ﾧ với x =
2
2 x (1 x )
A x (1 x )
2
185 Xét – ≤ x ≤ A ≤ Xét ≤ x ≤ ﾧ
2
x x
1
max A x
2 x
ﾧ
186 A = ( x – y ( ≥ 0, A lớn chi A2 lớn Theo bđt Bunhiacôpxki :
2
2 1 2
A (x y) 1.x 2y (x 4y )
2 4
ﾧ 2
2y x
5
max A = x
2 5
x 4y y
10 x 5 y 10
ﾧ ﾧ
187 a) Tìm giá trị lớn : Từ giả thiết :
3
3 2
3
0 x x x
x y x y
0 y y y
ﾧ 3 x x
max A x 0, y V x 1, y
y y ﾧ x y 2
b) Tìm giá trị nhỏ : (x + y)2 ≤ 2(x2 + y2) = ( x + y ≤ ﾧ Do :
3
3 x y x y
x y
2
ﾧ Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
2 2 2 2
3 3 3
(x y )(x y) x y x y x x y y
ﾧ= (x2 + y2) = 1
1
min A x y
2
(35)A = a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab = – 3ab Do ab ≥ nên A ≤ max A = ( a = b = ( x = x = 1, y =
2
(a b) 1 1
ab ab 3ab A x y
4 4 4
Ta có ﾧ 189 Điều kiện : – x ≥ , – x ≥ nên x ≤ Ta có :
x
1 x (x 1)(x 2) x
x
ﾧ
1 x (x 1)(x 2) (x 1)(x 2) 3 x 3 x ( ﾧ.8
2
x 2x 3 190 Ta có : + 4x + 2x2 = 2(x2 + 2x + 1) + = 2(x + 1)2 + > với x Vậy phương trình xác định với giá trị x Đặt ﾧ = y ≥ 0, phương trình có dạng :
2 2
y
y 2 (loai y
y2 - y ﾧ - 12 = ( (y - ﾧ)(y + ﾧ) = ( ﾧ
2
x 2x 3 Do ﾧ = ﾧ ( x2 + 2x + = 18 ( (x – 3)(x + 5) = ( x = ; x = -5
1 1 1 1
k k k
(k 1)k k k
(k 1) k k k k k
191 Ta có : ﾧ
k 1
1
k k k
1 1
2
(k 1) k k k
= ﾧ Do : ﾧ.
1 1 1 1 1
2
2 (n 1) n 2 n n
Vậy : ﾧ
1
2
n
= ﾧ (đpcm).
1
a b
ab 192 Dùng bất đẳng thức Cauchy ﾧ (a, b > ; a ≠ 0). x y 193 Đặt x – y = a , ﾧ + ﾧ = b (1) a, b ( Q
x y a) Nếu b = x = y = 0, ﾧ , ﾧ ( Q
x y a a
x y
b b
x y
b) Nếu b ≠ ﾧ Q (2).
1 a a
x b Q ; y b Q
2 b b
Từ (1) (2) : ﾧ.
x2 a2 x x2 a2 x a2
199 Nhận xét : ﾧ Do :
2 2
2
2 2
2 2
5 x a x x a x
5a
2 x x a (1) x x a
x a x a
ﾧ
2 2
x a x x xx x 0 x2 a2 x 0
Do a ≠ nên : ﾧ Suy : ﾧ , (x.
2 2 2
2 2
x x
2 x a x a x 5x x a
25x 9x 9a
(36)x
3
x a
3
4
0 x a
4
ﾧ.
1 2a x
2 a(1 a)
1 x2
1
2 a(1 a) 207 c) Trước hết tính x theo a ﾧ Sau tính ﾧ ﾧ. Đáp số : B =
d) Ta có a2 + = a2 + ab + bc + ca = (a + b)(a + c) Tương tự :
b2 + = (b + a)(b + c) ; c2 + = (c + a)(c + b) Đáp số : M =
2 2x
A
x
208 Gọi vế trái A > Ta có ﾧ Suy điều phải chứng minh
4
1
2 2209 Ta có : a + b = - , ab = - ﾧ nên : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = + ﾧ. 17
4 9
3
4 4a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = ﾧ ; a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = - - ﾧ
7 17 239
4 64 64
Do : a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = ﾧ.
2
a ( 1) 3 2 9 8210 a) ﾧ.
3
a ( 1) 2 7 50 49ﾧ.
2 2 b) Theo khai triển Newton : (1 - ﾧ)n = A - B ﾧ ; (1 + ﾧ)n = A + B ﾧ với A, B ( N 2 2 Suy : A2 – 2B2 = (A + B ﾧ)(A - B ﾧ) = [(1 + ﾧ)(1 - ﾧ)]n = (- 1)n
Nếu n chẵn A2 – 2b2 = (1) Nếu n lẻ A2 – 2B2 = - (2) Bây ta xét an Có hai trường hợp :
2 2 A2 2B2
* Nếu n chẵn : an = (ﾧ - 1)n = (1 - ﾧ)n = A - B ﾧ = ﾧ Điều kiện A2 – 2B2 = thỏa mãn (1)
2 2 2B2 A2
* Nếu n lẻ : an = (ﾧ - 1)n = - (1 - ﾧ)n = B ﾧ - A = ﾧ Điều kiện 2B2 – A2 = thỏa mãn (2)
2 2 211 Thay a = ﾧ vào phương trình cho : ﾧ + 2a + b ﾧ + c = ( ﾧ(b + 2) = -(2a + c)
Do a, b, c hữu tỉ nên phải có b + = 2a + c = Thay b = - , c = - 2a vào phương trình cho :
x3 + ax2 – 2x – 2a = ( x(x2 – 2) + a(x2 – 2) = ( (x2 – 2)(x + a) = Các nghiệm phương trình cho là: ± ﾧ - a
1 1
A
2 n
212 Đặt ﾧ
A n 3 a) Chứng minh ﾧ : Làm giảm số hạng A :
1 2
2 k k
k k k k 1 k ﾧﾧ
A 2 2 3 n n 1
Do ﾧ
2 n 2 n 2 n n
(37)
1 2
2 k k
k k k k k 1 ﾧ
A 2 n n 1 3 2 2 n 2
Do : ﾧ.
n
a 6 6
213 Kí hiệu ﾧ có n dấu Ta có :
1 100 99
a ; a a 3 ; a a 3 a a 3 6 ﾧ Hiển nhiên a100 > ﾧ > Như < a100 < 3, [ a100 ] =
3 214 a) Cách (tính trực tiếp) : a2 = (2 + ﾧ)2 = + ﾧ
4 48 Ta có ﾧ nên < ﾧ < ( 13 < a2 < 14 Vậy [ a2 ] = 13 3 Cách (tính gián tiếp) : Đặt x = (2 + ﾧ)2 x = + ﾧ
3 Xét biểu thức y = (2 - ﾧ)2 y = - ﾧ Suy x + y = 14
3 Dễ thấy < - ﾧ < nên < (2- ﾧ)2 < 1, tức < y < Do 13 < x < 14 Vậy [ x ] = 13 tức [ a2 ] = 13
b) Đáp số : [ a3 ] = 51
x y b 215 Đặt x – y = a ; ﾧ (1) a b số hữu tỉ Xét hai trường hợp :
x y a a
x y
b b
x y
a) Nếu b ≠ ﾧ số hữu tỉ (2) Từ (1) (2) ta có :
1 a
x b
2 b
1 a
y b
2 b
ﾧ số hữu tỉ ; ﾧ số hữu tỉ. x , y b) Nếu b = x = y = 0, hiển nhiên ﾧ số hữu tỉ
1 n 1 1 1
n n
n(n 1) n n
(n 1) n n n n n
216 Ta có ﾧ
n 1 1
1
n n n n n
ﾧ Từ ta giải tốn.
217 Chứng minh phản chứng Giả sử 25 số tự nhiên cho, khơng có hai số Khơng tính tổng qt, giả sử a1 < a2 < … < a25 Suy : a1 ≥ , a2 ≥ , …
1 25
1 1 1
a a a 1 25 a25 ≥ 25 Thế : ﾧ (1) Ta lại có :
1 1 2
25 24 25 25 24 24 2 ﾧ
2 2
25 24 24 23 1
24 24 23 23 2
2 25 1
ﾧﾧ (2)
1 25
1 1
a a a Từ (1) (2) suy : ﾧ, trái với giả thiết Vậy tồn hai số 25 số a1 , a2 , … , a25
2 x a ; 2 x 218 Điều kiện : ≤ x ≤ Đặt ﾧ b x
2
a b
2
(38)2 2 2 ( a2 ﾧ - a2b + b2 ﾧ + ab2 = ﾧ(2 - b ﾧ + a ﾧ - ab) ( ﾧ(a2 + b2 – + ab) – ab(a – b) = 2(a – b)
2 ( ﾧ(2 + ab) = (a – b)(2 + ab) (chú ý : a2 + b2 = 4) ( a – b = ﾧ (do ab + ≠ 0)
4 x Bình phương : a2 + b2 – 2ab = ( 2ab = ( ab = ( ﾧ = Tìm x =
2 a
1 x
a
219 Điều kiện : < x ≤ , a ≥ Bình phương hai vế thu gọn : ﾧ a
a 1 Với a ≥ 1, bình phương hai vế, cuối : x = ﾧ. Điều kiện x ≤ thỏa mãn (theo bất đẳng thức Cauchy)
2 a
a 1 Kết luận : Nghiệm x = ﾧ Với a ≥ 1.
220 Nếu x = y = 0, z = Tương tự y z Nếu xyz ≠ 0, hiển nhiên x, y, z >
2y 2y
x y
1 y y
Từ hệ phương trình cho ta có : ﾧ.
y z ; z xTương tự ﾧ Suy x = y = z Xảy dấu “ = ” bất đẳng thức với x = y = z = Kết luận : Hai nghiệm (0 ; ; 0) , (1 ; ; 1)
7
1
10 221 a) Đặt A = (8 + ﾧ)7 Để chứng minh tốn, cần tìm số B cho < B < ﾧ A + B số tự nhiên
7 7 Chọn B = (8 - ﾧ)7 Dễ thấy B > > ﾧ Ta có + ﾧ > 10 suy :
7
7 7
1 1
8
10 10
8 7
ﾧ
7 Theo khai triển Newton ta lại có : A = (8 + ﾧ)7 = a + b ﾧ với a, b ( N 7 B = (8 - ﾧ)7 = a - b ﾧ Suy A + B = 2a số tự nhiên
7
1
0 B
10
Do ﾧ A + B số tự nhiên nên A có bảy chữ số liền sau dấu phẩy Chú ý : 10- = 0,0000001
b) Giải tương tự câu a
n n n ,5 n 222 Ta thấy với n số phương ﾧ số tự nhiên, n khác số phương ﾧ số vơ tỉ, nên ﾧ khơng có dạng ﾧ Do ứng với số n ( N* có số nguyên an gần ﾧ
Ta thấy rằng, với n 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … an 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, … Ta chứng minh an nhận giá trị : hai số 1, bốn số 2, sáu số 3… Nói cách khác ta chứng minh bất phương trình :
1
1 x
2
ﾧ có hai nghiệm tự nhiên
1
2 x
2
ﾧ có bốn nghiệm tự nhiên
1
3 x
2
(39)1
k x k
2
4
4 Tổng quát : ﾧ có 2k nghiệm tự nhiên Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với : k2 – k + ﾧ < x < k2 + k + ﾧ Rõ ràng bất phương trình có 2k nghiệm tự nhiên : k2 – k + ; k2 – k + ; … ; k2 + k Do :
1 1980
2 soá soá 88 soá
1 1 1 1 1 2.44 88
a a a 1 2 2 44 44 44
ﾧ 223 Giải tương tự 24
a) < an < Vậy [ an ] = b) ≤ an ≤ Vậy [ an ] = c) Ta thấy : 442 = 1936 < 1996 < 2025 = 452, 462 = 2116
1996 a1 = ﾧ = 44 < a1 < 45 Hãy chứng tỏ với n ≥ 45 < an < 46
Như với n = [ an ] = 44, với n ≥ [ an ] = 45
224 Cần tìm số tự nhiên B cho B ≤ A < B + Làm giảm làm trội A để hai số tự nhiên liên tiếp
2
16n 8n 3 Ta có : (4n + 1)2 < 16n2 + 8n + < (4n + 2)2 ( 4n + < ﾧ < 4n + 2
2
16n 8n 3 ( 4n2 + 4n + < 4n2 + ﾧ < 4n2 + 4n + < 4n2 + 8n + 4
2
16n 8n 3 ( (2n + 1)2 < 4n2 + ﾧ < (2n + 2)2. Lấy bậc hai : 2n + < A < 2n + Vậy [ A ] = 2n + 225 Để chứng minh toán, ta số y thỏa mãn hai điều kiện : < y < 0,1 (1)
x + y số tự nhiên có tận (2)
3 2200 3 2
Ta chọn y = ﾧ Ta có < ﾧ < 0,3 nên < y < 0,1 Điều kiện (1) chứng minh
Bây ta chứng minh x + y số tự nhiên có tận Ta có :
200 200 100 100
x y 3 3 6 6
ﾧ 6 Xét biểu thức tổng quát Sn = an + bn với a = + ﾧ , b = - ﾧ
6 Sn = (5 + ﾧ)n = (5 - ﾧ)n
A b có tổng 10, tích nên chúng nghiệm phương trình X2 -10X + = 0, tức : a2 = 10a – (3) ; b2 = 10b – (4)
Nhân (3) với an , nhân (4) với bn : an+2 = 10an+1 – an ; bn+2 = 10bn+1 – bn Suy (an+2 + bn+2) = 10(an+1 + bn+1) – (an + bn), tức Sn+2 = 10Sn+1 – Sn , hay Sn+2 ﾧ- Sn+1 (mod 10)
Do Sn+4 ﾧ - Sn+2 ﾧ Sn (mod 10) (5)
6 6 Ta có S0 = (5 + ﾧ)0 + (5 - ﾧ)0 = + = ; S1 = (5 + ﾧ) + (5 - ﾧ) = 10 Từ cơng thức (5) ta có S2 , S3 , … , Sn số tự nhiên, S0 , S4 , S8 , … , S100 có tận 2, tức tổng x + y số tự nhiên có tận Điều kiện (2) chứng minh Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh
3 2250 5 6 125
226 Biến đổi ﾧ Phần nguyên có chữ số tận (Giải tương tự 36)
227 Ta có :
A 1 3 4 8 9 15 16 24
ﾧ
(40)Vậy A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.9 = 70
x
x
x
x
x
x
3
x x x
2 1
3
228 a) Xét ≤ x ≤ Viết A dạng : A = 4.ﾧ ﾧ.(3 – x)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm ﾧ, ﾧ, (3 – x) ta : ﾧ.ﾧ.(3 – x) ≤ ﾧ Do A ≤ (1)
x x
maxA x
x
b) Xét x > 3, A ≤ (2) So sánh (1) (2) ta đến kết luận ﾧ
229 a) Lập phương hai vế, áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta :
3
x x (x 1)(7 x).2 8 (x 1)(7 x) 0 ﾧ ( x = - ; x = (thỏa)
3 x y ; x z
b) Điều kiện : x ≥ - (1) Đặt ﾧ Khi x – = y2 ; x + = z2
2
y z (2)
z y (3)
z (4)
nên z2 – y3 = Phương trình cho đưa hệ :ﾧ
Rút z từ (2) : z = – y Thay vào (3) : y3 – y2 + 6y – = ( (y – 1)(y2 + 6) = ( y = Suy z = 2, thỏa mãn (4) Từ x = 3, thỏa mãn (1) Kết luận : x =
1 2
2 230 a) Có, chẳng hạn : ﾧ.
4
a b 2b) Không Giả sử tồn số hữu tỉ dương a, b mà ﾧ Bình phương hai vế : a b ab ab (a b) ﾧ.
2 Bình phương vế : 4ab = + (a + b)2 – 2(a + b)ﾧ ( 2(a + b) ﾧ = + (a + b)2 – 4ab Vế phải số hữu tỉ, vế trái số vơ tỉ (vì a + b ≠ 0), mâu thuẩn
35
m n
3
m n
m
n 231 a) Giả sử ﾧ số hữu tỉ ﾧ (phân số tối giản) Suy = ﾧ Hãy chứng minh m lẫn n chia hết cho 5, trái giả thiết ﾧ phân số tối giản
32 4
m
n b) Giả sử ﾧ số hữu tỉ ﾧ (phân số tối giản) Suy :
3 3
3 3
3 3
3
m 2 4 6 8.m 6 6m m 6n 6mn (1) m 2 m 2
n n n ﾧ
m
n Thay m = 2k (k ( Z) vào (1) : 8k3 = 6n3 + 12kn2 ( 4k3 = 3n3 + 6kn2 Suy 3n3 chia hết cho ( n3 chia hết cho ( n chia hết cho Như m n chia hết cho 2, trái với giả thiết ﾧ phân số tối giản
3
a b c abc
3
3 3
x y z xyz hay
3
232 Cách : Đặt a = x3 , b = y3 , c = z3 Bất đẳng thức cần chứng minh ﾧ tương đương với ﾧ x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ Ta có đẳng thức :
1
2 x3 + y3 + z3 – 3xyz = ﾧ(x + y + z)[(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2] (bài tập sbt)
3
a b c abc
3
(41)Cách : Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho bốn số không âm Ta có :
a b c d a b c d 1 ab cd ab cd abcd
4 2 2
ﾧ
4
a b c d abcd
4
a b c d
3
Trong bất đẳng thức ﾧ, đặt ﾧ ta :
4
4
a b c
a b c a b c a b c a b c
3 abc. abc.
4 3
ﾧ.
a b c
a b c abc a b c 3abc
3
Chia hai vế cho số dương ﾧ (trường hợp
các số a, b, c 0, toán chứng minh) : ﾧ a b c
3
Xảy đẳng thức : a = b = c = ﾧ ( a = b = c =
b c d 1 a
b c d 1 a a 1
3
1 b c d 3. bcd
a b c d 1 (b 1)(c 1)(d 1) 233 Từ giả thiết suy : ﾧ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương : ﾧ Tương tự :
3
3
3
1 3. acd
b (a 1)(c 1)(d 1)
1 3. abd
c (a 1)(b 1)(d 1)
1 3. abc
d (a 1)(b 1)(c 1)
ﾧ
1
1 81abcd abcd
81
Nhân từ bốn bất đẳng thức : ﾧ
2 2
2 2
x y z
A
y z x
234 Gọi ﾧ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
2
2 2
2 2
x y z x y z
3A (1 1)
y z x y z x
ﾧ (1)
3
x y z 3. x y z . 3
y z x y z x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số không âm : ﾧ (2)
2
x y z x y z x y z
3A A
y z x y z x y z x
Nhân vế (1) với (2) : ﾧ
3 3
x 3 ; y 3 3235 Đặt ﾧ x3 + y3 = (1) Xét hiệu b3 – a3 , ta : b3 – a3 = 24 – (x + y)3 = 24 – (x3 + y3) – 3xy(x + y)
Do (1), ta thay 24 4(x3 + b3), ta có :
b3 – a3 = 4(x3 + y3) – (x3 + y3) – 3xy(x + y) = 3(x3 + y3) – 3xy(x + y) = = 3(x + y)(x2 – xy + y2 – xy) = 3(x + y)(x – y)2 > (vì x > y > 0)
Vậy b3 > a3 , b > a
236 a) Bất đẳng thức với n = Với n ≥ 2, theo khai triển Newton, ta có :
n
2 n
1 n(n 1) n(n 1)(n 2) n(n 1) 2.1
1 n
n n 2! n 3! n n! n
(42)1 1
1
2! 3! n!
< ﾧ
1 1
2! 3! n! 1.2 2.3 (n 1)n Dễ dàng chứng minh : ﾧ
1 1 1
1 1
2 n n n
n
1
(1 )
n
= ﾧ Do ﾧ
33 2 33
b) Với n = 2, ta chứng minh ﾧ (1) Thật vậy, (1) ( ﾧ( 32 > 22
nn n 1 n 1
Với n ≥ 3, ta chứng minh ﾧ (2) Thật :
n n(n 1) n n(n 1) n n n n
n
(n 1)
(2) n n (n 1) n n n
n n
ﾧ (3)
n
1
1
n
Theo câu a ta có ﾧ , mà ≤ n nên (3) chứng minh. Do (2) chứng minh
2
A 2 x 1 x x 1 4
237 Cách : ﾧ A = với x = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :
2 4
4
A 2 (x x 1)(x x 1) 2 x x 2 ﾧ A = với x =
238 Với x < A ≥ (1) Với ≤ x ≤ 4, xét - A = x2(x – 2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm :
3
3
x x x
A x x .(x 2) 2 2 2x 8
4 2 3
ﾧ
- A ≤ 32 ( A ≥ - 32 A = - 32 với x = 239 Điều kiện : x2 ≤
3
2
2 2
2 2
x x 9 x
x x 2 2
A x (9 x ) (9 x ) 4.27
2
ﾧ
6 max A = ﾧ với x = ± ﾧ 240 a) Tìm giá trị lớn :
6 Cách : Với ≤ x < ﾧ A = x(x2 – 6) ≤
6 Với x ≥ ﾧ Ta có ﾧ ≤ x ≤ ( ≤ x2 ≤ ( ≤ x2 – ≤ Suy x(x2 – 6) ≤ max A = với x =
Cách : A = x(x2 – 9) + 3x Ta có x ≥ 0, x2 – ≤ 0, 3x ≤ 9, nên A ≤ max A = với x =
b) Tìm giá trị nhỏ :
2 2 2 Cách : A = x3 – 6x = x3 + (2 ﾧ)3 – 6x – (2 ﾧ)3 == (x + ﾧ)(x2 - ﾧ x + 8) – 6x - 16 ﾧ
2 2 2 2 = (x + ﾧ)(x2 - ﾧ x + 2) + (x + ﾧ).6 – 6x - 16 ﾧ= (x + ﾧ)(x - ﾧ)2 - ﾧ ≥ - ﾧ
(43)2 3
x 2.2 x3 + ﾧ + ﾧ ≥ 3.ﾧ = 6x
2 2 Suy x3 – 6x ≥ - ﾧ A = - ﾧ với x = ﾧ 241 Gọi x cạnh hình vng nhỏ, V thể tích hình hộp
Cần tìm giá trị lớn V = x(3 – 2x)2 Theo bất đẳng thức Cauchy với ba số dương :
3
4x 2x 2x
1
2 4V = 4x(3 – 2x)(3 – 2x) ≤ ﾧ = max V = ( 4x = – 2x ( x = ﾧ
1
2 Thể tích lớn hình hộp dm3 cạnh hình vng nhỏ ﾧ dm
3 2 x a ; x b
242 a) Đáp số : 24 ; - 11 b) Đặt ﾧ Đáp số : ; ; 10
2 c) Lập phương hai vế Đáp số : ; ± ﾧ
32x 1
d) Đặt ﾧ = y Giải hệ : x3 + = 2y , y3 + = 2x, (x – y)(x2 + xy + y2 + 2) = 0
1
2
( x = y Đáp số : ; ﾧ
1 x x
2 e) Rút gọn vế trái : ﾧ Đáp số : x = 4.
3 7 x a ; x b
3
a b
2
a b
a b
3
a b
2
g) Đặt ﾧ Ta có : a3 + b3 = 2, a3 – b3 = 12 – 2x, vế phải phương trình cho ﾧ Phương trình cho trở thành : ﾧ = ﾧ
3
3
a b a b
a b a b
Do a3 + b3 = nên ﾧ ( (a – b)(a3 + b3) = (a + b)(a3 – b3) Do a + b ≠ nên : (a – b)(a2 – ab + b2 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Từ a = b ta x = Từ ab = ta x = ; x =
3x a ; x b
h) Đặt ﾧ Ta có : a2 + b2 + ab = (1) ; a3 – b3 = (2) Từ (1) (2) : a – b = Thay b = a – vào (1) ta a = Đáp số : x =
3x 2
i) Cách : x = - nghiệm phương trình Với x + ≠ 0, chia hai vế cho ﾧ
3 x a ; x b
x x
Đặt ﾧ Giải hệ a3 + b3 = 2, a + b = - Hệ vô nghiệm.
3x 2
y 13 3y 13 yCách : Đặt ﾧ = y Chuyển vế : ﾧ Lập phương hai vế ta :
6
3 y 1 3y 16
y3 – + y3 + + 3.ﾧ.(- y) = - y3 ( y3 = y ﾧ
6 3y 1
Với y = 0, có nghiệm x = - Với y ≠ 0, có y2 = ﾧ Lập phương : y6 = y6 – Vô n0
Cách : Ta thấy x = - nghiệm phương trình Với x < - 2, x > - 2, phương trình vơ nghiệm, xem bảng :
x x 1
ﾧ 3x 2 ﾧ x 3 ﾧ Vế trái
x < -
x > - x < - 1> - < 0> < 1> < 0>
4ab 4a b
k) Đặt + x = a , – x = b Ta có : a + b = (1), ﾧ = (2)
3-2x
3-2x
x
x x
x x x x
(44)m n mn
2
a b a b a b a b
2 2
1 a b a b
a b 1
2 2
Theo bất đẳng thức Cauchy ﾧ, ta có ﾧﾧ Phải xảy dấu đẳng thức, tức : a = b = Do x =
4a x m ; b x n 0
l) Đặt ﾧ m4 + n4 = a + b – 2x
4
4m n
Phương trình cho trở thành : m + n = ﾧ Nâng lên lũy thừa bậc bốn hai vế thu gọn : 2mn(2m2 + 3mn + 2n2) =
Suy m = n = 0, cịn m, n > 2m2 + 3mn + 2n2 > Do x = a , x = b Ta phải có x ≤ a , x ≤ b để thức có nghĩa Giả sử a ≤ b nghiệm phương trình cho x = a
243 Điều kiện để biểu thức có nghĩa : a2 + b2 ≠ (a b không đồng thời 0)
3a x ; b3 y
4 2 4 2 2
2 2
x x y y x 2x y y 2x y
A
x xy y x xy y
Đặt ﾧ, ta có : ﾧ =
22 2 2
2
2 2
x y (xy) x y xy x y xy
x y xy
x xy y x y xy
ﾧ.
2
3 3
A a b abVậy : ﾧ (với a2 + b2 ≠ 0).
244 Do A tổng hai biểu thức dương nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy :
2 2 2
A x x 1 x x x x x x (x x 1)(x x 1)ﾧ =
4
4
2 x x 2 2 = ﾧ Đẳng thức xảy :
2
4
x x x x
x
x x 1
ﾧ.Ta có A ≥ 2, đẳng thức xảy x = Vậy : A = ( x = 0.
3 245 Vì + ﾧ nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0, nên ta có : 3 3(1 + ﾧ)3 + a(1 + ﾧ)2 + b(1 + ﾧ) + 12 =
3 Sau thực phép biến đổi, ta biểu thức thu gọn :(4a + b + 42) + (2a + b + 18) ﾧ =
3 Vì a, b( Z nên p = 4a + b + 42 ( Z q = 2a + b + 18( Z.Ta phải tìm số nguyên a, b cho p + q ﾧ=
3 p
q Nếu q ≠ ﾧ = - ﾧ, vơ lí Do q = từ p + q ﾧ = ta suy p = Vậy + ﾧ nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = :
4a b 42 2a b 18
ﾧ Suy a = - 12 ; b = 6.
33
p q
p q
3
p q
p
q 246 Giả sử ﾧ số hữu tỉ ﾧ (ﾧ phân số tối giản ) Suy : = ﾧ Hãy chứng minh p q chia hết cho 3, trái với giả thiết ﾧ phân số tối giản
2
31 2 6 1 2 61 2 2 63 2
247 a) Ta có : ﾧ
2
2
31 2 26 63 2 26 63 2 2 1
Do : ﾧ
69 23 5 1
(45)248 Áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta có :
3 3 2
a 20 14 20 14 (20 14 2)(20 14 2).a a 40 20 (14 2) aﾧ ( a3 – 6a – 40 = ( (a – 4)(a2 + 4a + 10) = Vì a2 + 4a + 10 > nên ( a =
249 Giải tương tự 21 3 2250 A = + ﾧ.
251 Áp dụng : (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
33 39
Từ x = ﾧ Suy x3 = 12 + 3.3x ( x3 – 9x – 12 = 0. 252 Sử dụng đẳng thức (A – B)3 = A3 – B3 – 3AB(A – B) Tính x3 Kết M = 253 a) x1 = - ; x2 = 25
3
u= x , v- = -x
3
u v
v u
b) Đặt ﾧ, ta : ﾧ ( u = v = - ( x = 1.
2
4x 32 y 0
c) Đặt : ﾧ Kết x = ± 7.
3
A x 1 x 1
254 Đưa biểu thức dạng : ﾧ Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | A = ( -1 ≤ x ≤
255 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai lần
3 2
3x y x y P x 23
256 Đặt ﾧ
2 2
P x a x b
258 Ta có : ﾧ = | x – a | + | x – b | ≥ | x – a + b – x | = b – a (a < b) Dấu đẳng thức xảy (x – a)(x – b) ≥ ( a ≤ x ≤ b Vậy P = b – a ( a ≤ x ≤ b
259 Vì a + b > c ; b + c > a ; c + a > b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương
(a b c) (b c a) (b c a) (c a b)
(a b c)(b c a) b (b c a)(c a b) c
2
(c a b) (a b c)
(c a b)(a b c) a
2
ﾧ Các vế bất dẳng thức dương Nhân bất đẳng thức theo vế ta bất đẳng thức cần chứng minh Đẳng thức xảy :
a + b – c = b + c – a = c + a – b ( a = b = c (tam giác đều)
2
x y (x y) (x y) 4xy 4 2 260 ﾧ. 261 2A = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2
2 2 Ta có : c – a = - (a – c) = - [(a – b) + (b – c)] = - (ﾧ + + ﾧ - 1) = - ﾧ 2 Do : 2A = (ﾧ+ 1)2 + (ﾧ - 1)2 + (-2 ﾧ)2 = 14 Suy A =
x 1 2 y 2 2 z 3 2 0
262 Đưa pt dạng : ﾧ 263 Nếu ≤ x ≤ y =
x y M x 1 x 3 x 1
264 Đặt : ﾧ
2 265 Gọi kích thước hình chữ nhật x, y Với x, y ta có : x2 + y2 ≥ 2xy Nhưng x2 + y2 = (8 ﾧ)2 = 128, nên xy ≤ 64 Do : max xy = 64 ( x = y =
266 Với a, b ta ln có : a2 + b2 ≥ 2ab Nhưng a2 + b2 = c2 (định lí Pytago) nên :
a b
c2 ≥ 2ab ( 2c2 ≥ a2 +b2 + 2ab ( 2c2 ≥ (a + b)2 ( c ﾧ ≥ a + b ( c ≥ ﾧ Dấu đẳng thức xảy a = b
a 'b ab' 2 a 'c ac' 2 b'c bc'2 0
(46)