MỘT số DẠNG TOÁN về ỨNG DỤNG của TÍCH PHẦN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHẦN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG -Lương Ngọc Huyên Giáo viên trường THPT Chuyên Tuyên Quang Bài toán tính diện tích hình phẳng tích phân dạng toán hay gặp đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi Đại học Cao đẳng Bài viết nhằm giúp học sinh làm quen với dạng toán kĩ giải dạng toán trước bước vào kì thi quan trọng Công thức tính diện tích hình phẳng Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = f ( x), y = g ( x ), x = a, x = b (a < b) (từ kí hiệu ( H ) = {y = f ( x), y = g ( x ), x = a, x = b} ), với f ( x), g ( x) hàm số liên tục đoạn [a; b] Khi diện tích hình ( H ) cho công thức b S ( H ) = ∫ f ( x) − g ( x ) dx (*) a Một số dạng toán 2.1 Tính trực tiếp diện tích hình phẳng theo công thức (*) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng ( H ) = { y = sin x, x = 0, x = π } Giải Áp dụng công thức (*) ta có π π π π 1 π  S ( H ) = ∫ | sin x | dx = ∫ sin xdx = ∫ (1 − cos x) dx =  x − sin x ÷ = 20 2 0 0 2 Nhận xét Vấn đề khó khăn việc áp dụng trực tiếp công thức (*) phá dấu giá trị tuyệt đối Chú ý hàm số f ( x) − g ( x) liên tục đoạn [a; b] , để phá dấu giá trị tuyệt đối ta làm sau: + Tìm tất nghiệm x1 , x2 , , xn phương trình f ( x) − g ( x) = khoảng (a; b) + Vì f ( x) − g ( x) liên tục đoạn [a; b] nên khoảng (a; x1 ), ( x1; x2 ), , ( xn ; b) f ( x) − g ( x) giữ nguyên dấu Vậy b x1 x2 b x1 xn S ( H ) = ∫ | f ( x ) − g ( x) | dx = ∫ | f ( x) − g ( x) | dx + ∫ | f ( x) − g ( x) | dx + + ∫ | f ( x ) − g ( x) | dx a a x1 x2 a x1 = ∫ ( f ( x) − g ( x)) dx + ∫ ( f ( x) − g ( x))dx + + b ∫ ( f ( x) − g ( x))dx xn Ví dụ Tính diện tích hình phẳng ( H ) = { y = x , y = − x, x = 0, x = 2} x Giải Ta có S ( H ) = ∫ | + x − | dx Phương trình x + x − = có nghiệm x = khoảng (0; 2) , 2 1 S ( H ) = ∫ | x + x − | dx + ∫ | x + x − | dx = ∫ (2 x + x − 3)dx + ∫ (2 x + x − 3)dx 1  2x x2   2x x2  + − 3x ÷ +  + − 3x ÷ = + Suy S ( H ) =   ln 2   ln 2  ln 2.2 Tính diện tích hình phẳng giả thiết thiếu cận Ví dụ Tính diện tích hình phẳng ( H ) = {y = ln x, y = 0, x = e} Giải Xét phương trình ln x = ⇔ x = Do e e 1 e S ( H ) = ∫ | ln x | dx = ∫ ln xdx = x ln x − ∫ dx = e Nhận xét Để tính diện tích hình phẳng trường hợp ta cần tìm thêm cận cách xét nghiệm phương trình f ( x) = g ( x) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng ( H ) = {y = x , x − y = 0} x= Giải Xét phương trình x = x ⇔ Vậy x = 4 S (H ) = ∫ 4 2 x x x2   x − dx = ∫  x − ÷dx =  x x − ÷ = 2 0 3 0 2.3 Tính diện tích hình phẳng đường giới hạn chưa có dạng “chuẩn” y = f ( x) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn elip ( E ) : x2 y2 + = (a, b > 0) a b2 b  y = f ( x) = a − x2  x y a Giải Ta biến đổi + = ⇔  a b  y = g ( x) = − b a − x  a 2 a x = a b b 2b 2 a − x = − a − x ⇔ S ( E ) = a − x dx Xét phương trình Vậy  ∫ a a a −a  x = −a  π π Đổi biến số với x = a sin t , t ∈  − ;  ta tính S ( E ) = π ab  2 Nhận xét Để tính diện tích hình phẳng trường hợp ta biến đổi đường cho giả thiết dạng “chuẩn” y = f ( x) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng có diện tích nhỏ giới hạn đường (C ) : x + y = ( P ) : y = − x  y = f ( x ) = − x (G ) 2  x + y = ⇔ Giải Ta có  y = g ( x) = − − x (G2 ) Phần hình phẳng cần tính diện tích phần hình phẳng giới hạn đường (G2 ) ( P ) x =   Vậy S = ∫  − x + − x ÷dx Xét phương trình − − x = − x ⇔  3   x = − − 3 Dễ thấy  ∫  − x − −2  (a) ÷dx =   π π Bằng cách đặt x = a sin t , t ∈  − ;  ta tính  2 ∫ − x dx = − 4π + (b) 4π + 3 2.4 Tính diện tích hình phẳng có nhiều đường dạng y = f ( x) Từ (a), (b) suy S = Ví dụ Tính diện tích hình phẳng ( H ) = {y = x , y = 0, y = − x} Giải Xét phương trình: x = ⇔ x = 0; x = − x ⇔ x = 1; − x = ⇔ x = Vẽ đường y = x , y = 0, y = − x hệ trục tọa độ Oxy :  x4 x2  +  2x − ÷ = Vậy S ( H ) = ∫ x dx + ∫ (2 − x )dx =  1 1 Nhận xét Khi tính diện tích hình phẳng trường hợp ta cần tìm hoành độ giao điểm đường y = f ( x), y = g ( x ), y = k ( x), Sau vẽ đường hệ trục tọa độ Oxy Từ xác định công thức tính diện tích hình phẳng cần tìm Ví dụ Tính diện tích hình phẳng ( H ) = {y = x, y = − x}  y = f ( x) = x Giải Ta có y = x ⇔   y = g ( x) = − x Xét phương trình: x = − x ⇔ x = 0; x = − x ⇔ x = 1; − x = − x ⇔ x = Vẽ đường y = x, y = − x hệ trục tọa độ Oxy : Vậy S ( H ) = 2∫   x2 xdx + ∫ (2 − x + x )dx = x x +  x − + x x ÷ = 3  1 Chú ý: Khi vẽ hình ta tính diện tích hình phẳng công thức (*) mà không dấu giá trị tuyệt đối cách trừ hàm số có đồ thị “phía trên” cho hàm số có đồ thị “phía dưới” (khi biểu thức lấy giá trị tuyệt đối có giá trị không âm) 2.5 Tính diện tích hình phẳng hàm ngược Ví dụ Tính diện tích hình phẳng ( H ) = {y = x, y = − x} y =1 Vậy Giải Xét phương trình y = − y ⇔   y = −2  y2 y3  S ( H ) = ∫ (2 − y − y )dy =  y − − ÷ =  −2  −2 Nhận xét + So với cách giải Ví dụ rõ ràng cách giải gọn không cần thiết phải vẽ hình + Khi sử dụng phương pháp ta coi x giá trị hàm số ứng với biến số y Khi công thức tính diện tích hình phẳng ( H ) = {x = f ( y ), x = g ( y ), y = a, y = b}, a < b b S ( H ) = ∫ | f ( y ) − g ( y ) | dy a Ví dụ 10 Tính diện tích hình phẳng ( H ) = { y = x, y = (4 − x)3} 2 Giải Viết lại y = x ⇔ x = Xét phương trình y = y = − y2 ⇔  Vậy y = 2 2 S (H ) = 2 y ; y = (4 − x )3 ⇔ x = − y ∫ y + y − dy = 2 ∫ 2 1   35  y − 4y ÷  y + y − ÷dy =  y + 4   12 0 = 128 15 Bài tập áp dụng Bài Tính diện tích hình phẳng sau ( H1 ) = { y = log x; Ox; x = e} 2 ( H ) = {x = ay; y = ax}, a > ( H ) = {y = − x; x + y − = 0} ( H ) = {y = x, y = 0, x − y + = 0} ( H ) = {y =| x − x + |, y = x + 4} 2 ( H ) : y = x (4 − x ) Bài Cho Parabol ( P ) : y = x điểm A(1; 4) Viết phương trình đường thẳng (d ) qua A cắt ( P ) hai điểm phân biệt đồng thời ( d ) tạo với ( P ) hình phẳng có diện tích nhỏ nhất./ ... biến số với x = a sin t , t ∈  − ;  ta tính S ( E ) = π ab  2 Nhận xét Để tính diện tích hình phẳng trường hợp ta biến đổi đường cho giả thiết dạng “chuẩn” y = f ( x) Ví dụ Tính diện tích hình. .. sin t , t ∈  − ;  ta tính  2 ∫ − x dx = − 4π + (b) 4π + 3 2.4 Tính diện tích hình phẳng có nhiều đường dạng y = f ( x) Từ (a), (b) suy S = Ví dụ Tính diện tích hình phẳng ( H ) = {y = x ,... hình phẳng có diện tích nhỏ giới hạn đường (C ) : x + y = ( P ) : y = − x  y = f ( x ) = − x (G ) 2  x + y = ⇔ Giải Ta có  y = g ( x) = − − x (G2 ) Phần hình phẳng cần tính diện tích phần hình