sáng kiến Một số dạng toán về dãy số và ứng dụng”.PDF

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT TRỰC NINH BÁO CÁO SÁNG KIẾN ĐỀ TÀI: “MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ ỨNG DỤNG” Tác giả: Nguyễn Đình Dùng Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ Toán học Chức vụ: Phó hiệu trưởng Nơi công tác: Trường THPT Trực Ninh Nam Định, ngày 20 tháng năm 2016 Mục lục Trang Thông tin chung sáng kiến Báo cáo sáng kiến I Điều kiện, hoàn cảnh tạo sáng kiến II Mô tả giải pháp III Nội dung Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Dãy số 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Cách xác định dãy số 1.1.3 Giới hạn dãy số 1.2 Một vài dãy số chương trình Toán phổ thông 1.2.1 Cấp số cộng 1.2.2 Cấp số nhân 1.2.3 Dãy Fibonacci 1.2.4 Dãy Farey 1.2.5 Dãy Lucas 10 Chương MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ 11 2.1 Dạng toán tìm giới hạn dãy số 11 2.2 Dạng toán tìm tổng, tích dãy số 19 2.3 Dạng dãy truy hồi liên quan số phương 33 2.4 Một số ứng dụng dãy số 37 2.4.1 Ứng dụng dãy số hình học 37 2.4.2 Ứng dụng tính chất dãy số giải phương trình hàm 41 bất phương trình hàm 2.4.3 Ứng dụng tính chất dãy số chứng minh bất đẳng thức 45 2.4.4 Một vài ứng dụng khác dãy số 53 IV Hiệu sáng kiến đem lại 59 V Cam kết không chép vi phạm quyền 61 Tài liệu tham khảo 62 THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1.Tên sáng kiến: “ Một số dạng toán dãy số ứng dụng” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học 3.Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 10 tháng 10 năm 2014 đến ngày 10 tháng 05 năm 2016 Tác giả: Họ tên: NGUYỄN ĐÌNH DÙNG Ngày sinh: 12/08/1975 Nơi thƣờng trú: Trực Thanh, Trực Ninh, Nam Định Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ toán học Chức vụ công tác: Phó hiệu trƣởng Nơi làm việc: Trƣờng THPT Trực Ninh Địa liên hệ: Nguyễn Đình Dùng xã Trực Thanh,Trực Ninh, Nam Định Điện thoại: 0917493236 Tỷ lệ đóng góp tạo sáng kiến 100% Đồng tác giả (nếu có): không Họ tên………………………………………………… Năm sinh: ………………………………………………… Nơi thƣờng trú: ………………………………………… Trình độ chuyên môn: …………………………………… Chức vụ công tác: ………………………………………… Nơi làm việc: ……………………………………………… Địa liên hệ: …………………………………………… 6.Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trƣờng THPT Trực Ninh Địa chỉ: TT Cát Thành – huyện Trực Ninh – tỉnh Nam Định Điện thoại: 03503883099 BÁO CÁO SÁNG KIẾN I Điều kiện, hoàn cảnh tạo sáng kiến Trong chƣơng trình Toán phổ thông nói chung, dạng tập, đề thi chọn học sinh giỏi nói riêng tập liên quan đến dãy số phong phú, đa dạng Hiện trƣờng THPT nói chung nhiều giáo viên môn Toán khai thác có hiệu vấn đề liên quan đến dãy số, nhiên việc sâu tìm hiểu để dạy, bồi dƣỡng, học sinh giỏi cấp dạng tập cho học sinh khá, giỏi liên quan đến dãy số chƣơng trình Toán phổ thông hạn chế Đặc biệt việc bổ sung nguồn tài liệu cho giáo viên tổ Toán nhà trƣờng để tham khảo ôn thi cho học sinh lớp 11,12 nhằm mục đích cho học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi tỉnh kì thi học sinh giỏi quốc gia Với mong muốn tìm hiểu, học hỏi tích lũy thêm kinh nghiệm để phục vụ công tác giảng dạy Toán trƣờng THPT , chọn hƣớng nghiên cứu để viết báo cáo sáng kiến với đề tài: "Một số dạng toán dãy số ứng dụng" với mục đích: Hệ thống đƣa lời giải cách chi tiết cho số dạng toán dãy số ứng dụng bồi dƣỡng học sinh giỏi Toán THPT Nhiệm vụ sáng kiến bao hàm: (1) Hệ thống hóa kiến thức sở dãy số, số tính chất dãy số số ứng dụng dãy số đƣợc giới thiệu chƣơng trình phổ thông (2) Chọn lọc số dạng tập liên quan đến dãy số thƣờng xuất đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi quốc gia cố gắng đƣa lời giải tƣờng minh cho tập mà tài liệu tham khảo chƣa đƣa lời giải chi tiết II Mô tả giải pháp 1.Trước tạo sáng kiến Trong chƣơng trình toán THPT dạng toán dãy số mẻ với học sinh, kì thi chất lƣợng nhà trƣờng đề cập đến dạng toán dãy số dạng vận dụng vận dụng cao, nguồn tài liệu ôn tập thƣờng xuyên cho học sinh giỏi không nhiều Với học sinh giỏi niềm say mê toán học không dừng lại mức độ nhận biết, mà biết vận dụng, vận dụng cao Đặc biệt năm UBND tỉnh Sở giáo dục tổ chức thi để tuyển chọn học sinh giỏi tỉnh tham dự thi kì thi học sinh giỏi quốc gia, đối tƣợng học sinh THPT không chuyên thƣờng lúng túng dạng toán dãy số học sinh đƣợc tiếp cận biết đƣợc cách làm Trong trình giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi , nhiều em học sinh có tâm lý lo sợ gặp toán này, niềm say mê toán học em có song tiếp cận nên em không tự tin giải dạng toán Vì việc phân chia số dạng toán dãy ứng dụng giúp em tự định phƣơng pháp, kinh nghiệm cho thân để tiếp tục nâng cao niềm say mê toán học em, đồng nghiệp có nguồn tài liệu tham khảo để giảng dạy Sau có sáng kiến Sáng kiến viết theo cấu trúc gồm chƣơng bao hàm kiến thức chuẩn bị phân dạng toán dãy số, đặc biệt nêu số ứng dụng dãy số giúp học sinh giải đƣợc nhiều dạng đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi Quốc gia nhƣ bất đẳng thức, hình học… Dạng toán dãy số ứng dụng mang lại cho học sinh nhiều kinh nghiệm, định hƣớng giải toán dãy số.Học sinh say mê toán học tìm thấy nhiều điều bổ ích, không ngại giải dạng III NỘI DUNG Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Dãy số 1.1.1 Định nghĩa Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dƣơng ℕ∗ đƣợc gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu: u: ℕ∗  n u(n) Dãy số thƣờng đƣợc viết dƣới dạng khai triển: u1, u2, u3,…, un, … u1 số hạng đầu, un = u(n) số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số Mỗi hàm số u xác định tập M = {1,2,3,…, m} với m  * đƣợc gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển của dãy số hữu hạn: u1, u2, u3,…,um u1 số hạng đầu, um số hạng cuối Dãy số (un) đƣợc gọi là: - Dãy đơn điệu tăng un+1 > un, với n = 1, 2, … - Dãy đơn không giảm un+1  un, với moi n = 1, 2, … - Dãy đơn điệu giảm un+1 < un, với n = 1, 2, … - Dãy đơn điệu không tăng un+1  un, với n = 1, 2, … Dãy số (un) gọi bị chặn tồn số M cho un < M, với n = 1, 2, …; đƣợc gọi dãy số bị chặn dƣới tồn số m cho un > m, với n = 1, 2, …; Một dãy số bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dƣới Dãy số (un) gọi tuần hoàn với chu kì k un + k = un, với  n  * Dãy số (un) gọi dãy dừng tồn số N0 cho un = C với n  N0, (C số, gọi số dừng) 1.1.2 Cách xác định dãy số i) Dãy số cho công thức số hạng tổng quát n  1   1  Ví dụ: un       5    n ii) Dãy số cho phương pháp truy hồi Ví dụ: Dãy số (un) đƣợc xác định bởi: u1  1, u2  50  un1  4un  5un1  1975 n  2,3, iii) Dãy số cho phương pháp mô tả Ví dụ: Cho a1 = 19, a2 = 98 Với số nguyên n  1, xác định an +2 số dƣ phép chia an + an +1 cho 100 1.1.3 Giới hạn dãy số Định nghĩa Ta nói dãy số (un) có giới hạn số thực a hữu hạn với số dƣơng  (có thể bé tùy ý), tồn số n0  thể phụ thuộc vào  vào dãy số (un) xét), cho với số (n0 có n , n  n0 ta có un  a   Khi kí hiệu lim un  a limun = a n  nói dãy số (un) hội tụ a Dãy số không hội tụ gọi dãy phân kì Định lý 1: Nếu dãy số hội tụ giới hạn Định lý (Tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass): a) Một dãy số đơn điệu bị chặn hội tụ b) Một dãy số tăng bị chặn hội tụ c) Một dãy số giảm bị chặn dƣới hội tụ Định lý : Nếu (un)  a (vn)  (un), (vn)  C (vn)  a Định lý (Định lý kẹp giới hạn): Nếu với n  n0 ta có un  xn  limun = limvn = a limxn = a Định lý (Định lý Lagrange): Nếu hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a; b] có đạo hàm khoảng (a; b) tồn c  (a; b) thỏa mãn: f(b) – f(a) = f’(c)(b – a) Định lý (Định lý trung bình Cesaro): Nếu dãy số (un) có giới hạn hữu hạn a dãy số trung bình cộng  u1  u2   un    có giới hạn a n   Định lý phát biểu dƣới dạng sau: Nếu nlim  un1  un   a nlim   un  a (Định lý Stolz) n Định lý 7: Cho f: D  D hàm liên tục, đó: i) Phƣơng trình f(x) = x có nghiệm phƣơng trình fn(x) = x có nghiệm ii) Gọi  ,  mút trái, mút phải D Biết lim [f ( x)  x] x  lim [f ( x)  x] dƣơng âm Khi phƣơng trình f(x) = x có x   nghiệm phƣơng trình fn(x) = x có nghiệm fn(x) = f ( f ( ( f ( x) ) n lân Chứng minh i) Nếu x0 nghiệm phƣơng trình f(x) = x x0 nghiệm phƣơng trình fn(x) = x Ngƣợc lại, phƣơng trình f(x) = x vô nghiệm f(x) – x > f(x) – x < với x D fn(x) – x > fn(x) – x < với x  D nên phƣơng trình fn(x) = x vô nghiệm ii) Giả sử phƣơng trình f(x) = x có nghiệm x0 nghiệm phƣơng trình fn(x) = x Đặt F(x) = f(x) - x F(x) liên tục (x0;  )  ; x0  nên F(x) giữ nguyên dấu Nếu lim [f ( x)  x] lim [f ( x)  x] dƣơng F(x) > khoảng x   x  (x0;  )  ; x0  suy f(x) > x với x D\{x0} Xét x1 D\{x0} suy f(x1) > x1  f(f(x1)) > f(x1)> x1 => fn(x1) > x1 nên x1 không nghiệm phƣơng trình fn(x) = x Vậy phƣơng trình fn(x) = x có nghiệm x = x0 Nếu lim [f ( x)  x] lim [f ( x)  x] âm chứng minh tƣơng tự x   x  Ta thấy nghiệm phƣơng trình fn(x) = x nghiệm phƣơng trình fn(x) = x, phƣơng trình fn(x) = x có nghiệm phƣơng trình fn(x) = x có nghiệm Định lý 8: Cho hàm f: D  D hàm đồng biến Dãy (xn) thỏa mãn xn+1 = f(xn), x  * , đó: i) Nếu x1< x2 dãy (xn) tăng ii) Nếu x1< x2 dãy (xn) giảm Chứng minh (bằng phƣơng pháp quy nạp) - Với n = 1, ta có x1 < x2 mệnh - Giả sử mệnh đề với n = k (k  1) tức uk < uk +1 f(uk) < f(uk+1) suy uk+1 < uk+2 (đpcm) Định lý 9: Cho hàm f: D  D hàm nghịch biến Dãy (xn) thỏa mãn xn+1 = f(xn), x  * Khi đó: Các dãy (x2n+1) (x2n) đơn điệu, dãy tăng, dãy giảm i) Nếu dãy (xn) bị chặn  = limx2n  = limx2n+1 ii) Nếu f(x) liên tục  ,  nghiệm phƣơng trình f(f(x)) = x (1) iii) Nếu phƣơng trình (1) có nghiệm  =  limxn =  =  Chứng minh: i) Vì f(x) hàm nghịch biến nên f(f(x)) đồng biến Áp dụng định lý ta có điều phải chứng minh ii) Suy từ i) iii) Ta có f(f(x2n) = f(x2n+1) = x2n+2 lim f(f(x2n) = limx2n+2 =  , limx2n =  f(x) liên tục nên f(f(  ) =  Chứng minh tƣơng tự ta có f(f(  ) =  Vậy  ,  nghiệm phƣơng trình f(f(x)) = x 1.2 Một vài dãy số chương trình Toán phổ thông 1.2.1 Cấp số cộng 48 Mặt khác: 𝑛 − 𝑇 = − 𝑎1 𝑎 +𝑎 +1− 𝑎2 𝑎 +𝑎 + ⋯+ − 𝑎𝑛 𝑎 𝑛 +𝑎 = 𝑎2 𝑎3 𝑎𝑛 𝑎1 + + ⋯+ + = 𝑇 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 > 𝑎1 + 𝑎2 𝑎2 + 𝑎3 𝑎𝑛 −1 + 𝑎𝑛 𝑎𝑛 + 𝑎1 Vậy n-T >1 => T < n – G ≤ n-1 Tóm lại ta chứng minh đƣợc K ≥ G ≤ n -1, với x > ta có: 𝑇 1, 𝑥, … , 𝑥 𝑛−1 = 𝑥 𝑥 𝑛−2 𝑥 𝑛−1 + + ⋯ + 𝑛−2 + 𝑛−1 + 𝑥 𝑥 + 𝑥2 𝑥 + 𝑥 𝑛−1 𝑥 +1 1 𝑥 𝑛−1 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 = + + ⋯+ + 𝑛−1 = + 1+𝑥 1+𝑥 1+𝑥 𝑥 +1 + 𝑥 𝑥 𝑛−1 + Hơn nữa: 𝑇 1, 𝑥, … , 𝑥 𝑛−1 > 𝐾 ⟹ lim n 𝑇 1, 𝑥, … , 𝑥 𝑛−1 ≥ 𝐾 ⟹ ≥ 𝐾 ⟹ 𝐾 = 𝑇 1, 𝑥, … , 𝑥 𝑛−1 < 𝐺 ⟹ lim 𝑇 1, 𝑥, … , 𝑥 𝑛−1 𝑛 →+∞ ≤𝐺 ⟹𝑛−1 ≤𝐺 ⟹𝐺 = 𝑛 − Vậy số K lớn thỏa mãn bất đẳng thức K = số G nhỏ G = n-1 Bài toán 2.4.14 (IMO 1982) Cho dãy vô hạn số dƣơng (𝑥𝑛 ) thỏa mãn điều kiện: = 𝑥0 ≥ 𝑥1 ≥ 𝑥2 ≥ ⋯ ≥ 𝑥𝑛 ≥ 𝑥𝑛+1 ≥ ⋯ (4.3) a) Chứng minh với dãy có tính chất (4.3) nhƣ tồn số n≥1 cho: 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 −1 + + + ⋯.+ ≥ 3,999 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥𝑛 b) Tìm dãy số có tính chất (4.3) cho: 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 −1 + + + ⋯.+ ≤ 4, ∀𝑛 = 1,2, … 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥𝑛 Lời giải: a) 𝑥 𝑛 −1 Vì 𝑥𝑛−1 − 2𝑥𝑛 𝑥𝑛 ≥ 𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛 ⇔ 𝑥𝑛 −1 − 4𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 + 4𝑥𝑛 ≥ ⇔ nên ta có BĐT: 𝑥 𝑛 −1 𝑥𝑛 ≤ 𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛 , ∀𝑛 = 1,2, … Cộng vế BĐT ta đƣợc: 49 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛−1 + + + ⋯.+ ≥ 𝑥0 − 𝑥𝑛 (4.4) 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥𝑛 Vì dãy số 𝑥𝑛 +∞ 𝑛 =0 giảm bị chặn dƣới số nên hội tụ - Nếu lim 𝑥𝑛 =0: Khi tồn n để 𝑥𝑛 ≤ n 0,001 ⟹ − 𝑥𝑛 = − 4𝑥𝑛 ≥ 3,999 Với giá trị n theo (4.4) ta có: 𝑥02 𝑥1 + 𝑥1 + 𝑥2 𝑥22 𝑥3 + ⋯.+ 𝑥 𝑛 −1 𝑥𝑛 ≥ 3,999 (ĐPCM) - Nếu lim 𝑥𝑛 =a > Khi đó: lim n n 𝑛0 ∈ * cho 𝑥 𝑛 −1 𝑥𝑛 𝑥 𝑛 −1 𝑥𝑛 = lim xn21 n lim xn = 𝑎2 𝑎 = 𝑎 => tồn n 𝑎 > , ∀𝑛 ≥ 𝑛0 Vì a>0 nên tồn 𝑝 ∈ 𝑍, 𝑝 > 𝑎 cho 𝑝 > => với 𝑛 ≥ 𝑛0 ta có: 𝑥𝑛+𝑝−2 𝑥𝑛 −1 𝑥𝑛 𝑎 + +⋯+ > 𝑝 >4 𝑥𝑛 𝑥𝑛 +1 𝑥𝑛 +𝑝−1 Vậy tồn số nguyên dƣơng n cho: 𝑥02 𝑥1 + 𝑥1 𝑥2 + 𝑥22 𝑥3 + ⋯.+ 𝑥 𝑛 −1 𝑥𝑛 b) Xét dãy số 𝑥𝑛 ≥ 3,999 (ĐPCM) +∞ 𝑛 =0 𝑣ớ𝑖 𝑥𝑛 = 𝑛 , ∀𝑛 = 1,2, … Khi tính chất (4.3) đƣợc thỏa mãn với n = 1,2, … ta có: 1 − 𝑛 −1 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 −1 1 + + + ⋯.+ = + + + ⋯ + 𝑛−2 = + 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥𝑛 2 1− =2+2− >4 2𝑛 Bài toán 2.4.15 Tìm tất số thực α cho bất đẳng thức: 1 + + ≥ (4.5) 𝑎𝛼 (𝑏 + 𝑐) 𝑏 𝛼 (𝑐 + 𝑎) 𝑐 𝛼 (𝑐 + 𝑎) Đúng với ba số thực dƣơng a,b,c thỏa mãn điều kiện abc =1 Lời giải: - Xét trƣờng hợp α ≥ Không tính tổng quát ta giả sử a≤ b ≤c 50 1 𝑎 𝑏 𝑐 Đặt 𝑥 = , 𝑦 = , 𝑧 = (4.5) có dạng: 𝑥 𝛼 −1 𝑦 +𝑧 + 𝑦 𝛼 −1 𝑧+𝑥 Do 𝑥 ≥ 𝑦 ≥ 𝑧 suy 𝑥 𝛼 −1 𝑦 +𝑧 Mà 𝑥 𝑦+𝑧 + 𝑦 𝛼 −1 + 𝑧+𝑥 𝑦 𝑧+𝑥 + + 𝑧 𝛼 −1 𝑥+𝑦 𝑥 𝑦 +𝑧 + 𝑧 𝛼 −1 ≥ 𝑥+𝑦 𝑦 𝑧+𝑥 ≥ ≥ 4.6 𝑧 𝑥+𝑦 theo bất đẳng thức Chebychev ta có: ≥ 𝑥 𝛼−2 + 𝑦 𝛼−2 + 𝑧 𝛼−2 𝑥+𝑦 𝑧 x > 0,y > 0, z > xyz = Bất đẳng thức 𝑥 𝑦 +𝑧 ≥ , 𝑥 𝛼−2 + 𝑦 𝛼−2 + 𝑧 𝛼−2 ≥ 3 + 𝑦 𝑧+𝑥 𝑥𝑦𝑧 + 𝑧 𝑥+𝑦 𝛼−2 = nên 𝑥 𝛼−1 𝑦 𝛼−1 𝑧 𝛼−1 + + ≥ 𝑦+𝑧 𝑧+𝑥 𝑥+𝑦 Vậy (4.5) tức (4.6) α ≥ - Nếu α ≤ -1 đặt β = 1-α ≥ theo chứng minh ta có: 𝑥𝛽 1 𝑎𝛽 −1 𝑏 𝛽 −1 𝑐 𝛽 −1 + 𝛽 + 𝛽 ≥ ⟺ + + ≥ 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 𝑎+𝑏 𝑦+𝑧 𝑦 𝑧+𝑥 𝑧 𝑥+𝑦 𝑎−𝛼 𝑏 −𝛼 𝑐 −𝛼 1 ⟺ + + ≥ ⟺ 𝛼 + 𝛼 + 𝛼 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 𝑎+𝑏 𝑎 𝑏+𝑐 𝑏 𝑐+𝑎 𝑐 𝑎+𝑏 Vậy (4.5) α ≤ -1 ≥ - Xét -1 < α < Xét dãy 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 , 𝑐𝑛 nhƣ sau: 𝑎𝑛 = 𝑛, 𝑏𝑛 = 𝑛, 𝑐𝑛 = 𝑛2 ,𝑛 ∈ * , ta đặt: 1 2𝑛2−𝛼 𝑛2𝛼−1 𝑆𝑛 = 𝛼 + 𝛼 + 𝛼 = + 𝑎𝑛 𝑏𝑛 + 𝑐𝑛 𝑏𝑛 𝑐𝑛 + 𝑎𝑛 𝑐𝑛 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 𝑛 +1 S n  , suy với n đủ lớn 𝑆𝑛 ≤ , dẫn tới (4.5) không Khi nlim  -1 < α < - Xét 𝛼 = Xét dãy 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 , 𝑐𝑛 nhƣ sau: 𝑎𝑛 = 𝑛, 𝑏𝑛 = 𝑛, 𝑐𝑛 = 𝑛2 , n  * , ta đặt: 1 2𝑛2−𝛼 𝑛2𝛼−1 𝑆𝑛 = 𝛼 + 𝛼 + 𝛼 = + 𝑎𝑛 𝑏𝑛 + 𝑐𝑛 𝑏𝑛 𝑐𝑛 + 𝑎𝑛 𝑐𝑛 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 𝑛 +1 51 S n  , suy với n đủ lớn 𝑆𝑛 < , dẫn tới (4.5) không Khi nlim  𝛼= - Xét 𝑛2 < 𝛼 < Xét dãy 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 , 𝑐𝑛 nhƣ sau: 𝑎𝑛 = 𝑛, 𝑏𝑛 = 𝑛, 𝑐𝑛 = ,𝑛 ∈ *, ta đặt: 1 2𝑛2−𝛼 𝑛2𝛼−1 𝑆𝑛 = 𝛼 + 𝛼 + 𝛼 = + 𝑎𝑛 𝑏𝑛 + 𝑐𝑛 𝑏𝑛 𝑐𝑛 + 𝑎𝑛 𝑐𝑛 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 𝑛 +1 Khi lim S n  , suy với n đủ lớn 𝑆𝑛 ≤ , dẫn tới (4.5) không n 2 < 𝛼 < 2.Vậy tập hợp giá trị α cần tìm −∞; −1 ∪ 2; +∞     Bài toán 2.4.16 Cho dãy số U n  xác định nhƣ sau: U n  n     n 1 với n=1,2,3…Chứng minh với n ta có U n  Lời giải: Ta chứng minh đƣợc:     2cos n   2n1   sin ( n  ) n 1   Từ ta có: U n     2  cos n  cos n sin ( n 1 ) 2 2  cos sin (  4sin ( Do cos (  n2 )  nên Vậy U n   cos n 1   2n  ) ).cos ( n2 cos (  2n   )  ) n2  cos (  2n  ) n Bài toán 2.4.17 Cho dãy số (an) (bn) xác định nhƣ sau: 52 2 , an1    an2 2 a0  ; b0  1, bn1   b2  (với n = 0,1,2, ) bn Chứng minh rằng: 2n2 an    2n2 bn với n  Lời giải:     cos 2  sin Ta có a0   sin ; a1  2 2 Bằng phép quy nạp suy ra: 2n2 an    2n2 bn (1) Ta có: b0   tan  22 (2) 1    tan  cos   2 b1    tan phép quy nạp, có bn  tan n    2 tan tan 2 2 Sử dụng bất đẳng thức sin     tan     ta đƣợc: sin  n2 Bài toán ak a n k ak   tan n2  k dãy số n an Lời giải: Ta có: ak nak nak ak n ak ak ak ak ak ak ak n ak a n k1 1 1 ak2 n ak n ak ak ak ak ak ak ak ak sử dụng (1),(2), a0 , a1 , a2 , , an n Chứng minh hay 2n2 an    2n2 bn n2 Cho 2.4.18 a0   1 ak2 thoả mãn 53 ak 1 ak n ak 1 Ta có a0 , a1 , a2 , , an dãy số tăng: ak 1 an ak ak a0 n n k 1=1 ak n n 1 n ak an Từ (1), (2) ak 1 1 ak an n n k 1 an n an a1 a0 n n (1) n n 1 a0 ak ak 1 ak n n an a2 an an 1 a0 n n n n an an n n n (2) 2.4.4 Một vài ứng dụng khác dãy số Xét họ phƣơng trình 𝐹 𝑘, 𝑥 = 0, 𝑘 = 1, 𝑛 Nếu với k phƣơng trình 𝐹 𝑘, 𝑥 = có nghiệm miền D dãy số 𝑘𝑥 đƣợc xác định Từ liên hệ hàm 𝑘, 𝑥 , dãy số có tính chất đặc biệt Bài toán 2.4.19 Kí hiệu 𝑥𝑛 nghiệm phƣơng trình: 𝑥 + 𝑥−1 + ⋯+ 𝑥−𝑛 = thuộc khoảng (0;1) a) Chứng minh dãy 𝑥𝑛 hội tụ b) Hãy tìm giới hạn 1 𝑥 𝑥−1 Nhận xét: 𝑥𝑛 xác định hàm số 𝑓𝑛 𝑥 = + +⋯+ 𝑥−𝑛 liên tục đơn điệu (0;1) Tuy nhiên, ta xác định đƣợc giá trị cụ thể 𝑥𝑛 Để chứng minh tính hội tụ 𝑥𝑛 , ta cần chứng minh tính đơn điệu bị chặn Với tính bị chặn thứ tốt < 𝑥𝑛 < 54 Với tính đơn điệu: Từ mối liên hệ 𝑓𝑛 𝑥 𝑓𝑛 +1 𝑥 : 𝑓𝑛+1 𝑥 = 𝑓𝑛 𝑥 + 𝑥−𝑛 −1 ta chứng minh tính đơn điệu 𝑥𝑛 Lời giải: a) Rõ ràng 𝑥𝑛 đƣợc xác định nhất, < 𝑥𝑛 < Ta có: 𝑓𝑛 +1 𝑥𝑛 = 𝑓𝑛 𝑥𝑛 + 𝑥 𝑛 −𝑛 −1 = 𝑥 𝑛 −𝑛 −1 < 0, 𝑓𝑛 +1 0+ > Theo tính chất hàm liên tục khoảng (0; 𝑥𝑛 ), 𝑓𝑛 +1 𝑥 có nghiệm 𝑥𝑛 +1 Suy 𝑥𝑛 +1 < 𝑥𝑛 hay dãy số 𝑥𝑛 giảm Do dãy số bị chặn dƣới nên dãy có giới hạn 1 𝑛 b).Ta ta sử dụng tính chất: + + + ⋯ + > ln⁡ (𝑛) để chứng minh giới hạn nói 0: Thật vậy, giả sử nlim xn  a  Do dãy số giảm nên ta có 𝑥𝑛 ≥ 𝑎 với  1 𝑛 n Mặt khác + + + ⋯ + → ∞ 𝑘𝑕𝑖 𝑛 → +∞ nên tồn N 1 1 𝑛 𝑎 cho với n ≥ N ta có + + + ⋯ + > 𝑥𝑛 + 𝑥 𝑛 −1 +⋯+ 𝑥 𝑛 −𝑛 < 𝑥𝑛 + −1 + −2 +⋯+ −𝑛 =>với n ≥ N ta có:0 = 1 𝑎 𝑎 < − = (mâu thuẫn) Vậy nlim xn   Bài toán 2.4.20 (VMO 2007) Cho số thực a > 𝑓𝑛 𝑥 = 𝑎10 𝑥 𝑛+10 + 𝑥 𝑛 + ⋯ + 𝑥 + a) Chứng minh với số nguyên dƣơng n, phƣơng trình 𝑓𝑛 𝑥 = 𝑎 có nghiêm dƣơng b) Gọi nghiệm 𝑥𝑛 , chứng minh 𝑥𝑛 có giới hạn hữu n dần đến vô Lời giải: a) Vì hàm số 𝑓𝑛 𝑥 tăng (0; +∞) nên kết câu a) hiển nhiên b) Dễ thấy < 𝑥𝑛 < ta chứng minh dãy 𝑥𝑛 tăng Vì 𝑓𝑛+1 𝑥𝑛 = 𝑎10 𝑥𝑛𝑛+11 + 𝑥𝑛𝑛+1 + ⋯ + 𝑥𝑛 + = 𝑥𝑛 𝑓𝑛 𝑥𝑛 + = 𝑎𝑥𝑛 + 55 => 𝑥𝑛 < 𝑥𝑛 +1 < nên ta cần chứng minh 𝑥𝑛 < Thật vậy, 𝑥𝑛 ≥ 𝑎−1 𝑎−1 𝑛 𝑎 𝑎−1 𝑎 +𝑎− 𝑎−1 𝑓𝑛 𝑥𝑛 ≥ 𝑎 𝑎−1 𝑛 𝑎 𝑎−1 𝑎 10 𝑎−1 𝑛+10 𝑎 + 1− 𝑎 −1 𝑛 +10 𝑎 𝑎 −1 1− 𝑎 = > 𝑎 (Do a-1>1) Vậy dãy số 𝑥𝑛 tăng bị chăn dƣới nên hội tụ Nhận xét: Ở toán trên, từ mối quan hệ 𝑓𝑛+1 = 𝑥𝑓𝑛 + ta tìm đƣợc mối quan hệ 𝑥𝑛 𝑣à 𝑥𝑛+1 sử dụng định lý Lagrange để đánh giá hiệu số 𝑥𝑛 giá trị giới hạn Bài toán 2.4.21.(VMO 2002) Cho n số nguyên dƣơng Chứng minh phƣơng trình: 𝑥−1 + 4𝑥−1 + ⋯+ 1 𝑛 𝑥−1 = có nghiệm 𝑥𝑛 > Chứng minh n dần đến dƣơng vô cùng, 𝑥𝑛 dần đến Lời giải: Phƣơng trình toán có dạng: 1 1 + + ⋯+ − = (4.7) 𝑥 − 4𝑥 − 𝑛 𝑥−1 Ký hiệu 𝑓𝑛 𝑥 hàm vế trái phƣơng trình (4.7) Ta có với 𝑛∈ * , hàm số 𝑓𝑛 𝑥 liên tục nghịch biến khoảng (1;+∞) Mặt khác, ta có 𝑓𝑛 𝑥 → +∞ 𝑘𝑕𝑖 𝑥 → 1+ 𝑣à 𝑓𝑛 𝑥 → − 𝑘𝑕𝑖 𝑥 → 1+ nên suy với 𝑛 ∈ * , phƣơng trình có nghiệm 𝑥𝑛 > Với 𝑛 ∈ = = * , ta có: 𝑓𝑛 = 4−1 + 16−1 +⋯+ 4𝑛 −1 − 1 1 + + ⋯+ − 1.3 3.5 2𝑛 − 2𝑛 + 1 1 1 1 − + − + ⋯+ − − 3 2𝑛 − 2𝑛 + =− < = 𝑓𝑛 𝑥𝑛 4𝑛 − 𝑓𝑛 𝑥 nghịch biến (1;+∞), suy 𝑥𝑛 < 4, 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑛 ∈ * 4.8 56 Mặt khác, với ∈ lý Lagramge với 𝑛 ∈ 𝑓𝑛 −𝑓𝑛 𝑥 𝑛 4−𝑥 𝑛 − = 𝑓′ 𝑛 𝑐 = 4𝑛 +2 4−𝑥 𝑛 * −1 𝑐−1 *, hàm 𝑓𝑛 𝑥 khả vi [𝑥𝑛 ; 4] nên theo định tồn 𝑐 ∈ (𝑥𝑛 ; 4) cho: + < − ,∀ 𝑛 ∈ * Từ (4.8) (4.9) ta đƣợc: − −4 4𝑐−1 +⋯+ ⟹ 𝑥𝑛 > − 4𝑛 +2 −𝑛 𝑛 𝑐−1 4𝑛 +2 đặt 𝑓𝑛 𝑥 = 𝑥 𝑛 − 𝑥 − Khi : 𝑓𝑛+1 = −1 < 𝑣à 𝑓𝑛+1 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛𝑛+1 − 𝑥𝑛 − > 𝑥𝑛𝑛 − 𝑥𝑛 − = 𝑓𝑛 𝑥𝑛 = => < 𝑥𝑛+1 < 𝑥𝑛 => 𝑥𝑛 có giới hạn hữu hạn a Ta chứng minh a = Thật vậy, giả sử a >1 Khi 𝑥𝑛 ≥ 𝑎 với n ta tìm đƣợc n đủ lớn cho 𝑥𝑛𝑛 ≥ 𝑎𝑛 > 𝑥𝑛 + < mâu thuẫn 𝑓𝑛 𝑥𝑛 = Đặt 𝑥𝑛 = + 𝑦𝑛 với nlim yn  , thay vào phƣơng trình 𝑓𝑛 𝑥𝑛 = ta  đƣợc: + 𝑦𝑛 𝑛 = + 𝑦𝑛 Lấy logarit hai vế ta đƣợc: 𝑛𝑙𝑛 + 𝑦𝑛 = 𝑙𝑛2 => lim 𝑛 + 𝑦𝑛 = 𝑙𝑛2 Nhƣng lim 𝑙𝑛 1+𝑦 𝑛 𝑦𝑛 =1 => lim 𝑛𝑦𝑛 = 𝑙𝑛2 => lim 𝑛(𝑥𝑛 − 1) = 𝑙𝑛2 n Bài toán 2.4.23.Xét phƣơng trình 1 1       x 1 4x 1 k x 1 n x 1 n nguyên dƣơng 1) Chứng minh với số nguyên dƣơng n, phƣơng trình có nghiệm lớn 1, kí hiệu nghiệm xn 57 2) Chứng minh dãy số (xn) có giới hạn n   Lời giải: Kí hiệu fn(x) = 1 1       x 1 4x 1 k x 1 n x 1 1) Dễ thấy, với n *, hàm số fn(x) liên tục nghịch biến khoảng 1;  Hơn fn(x)   x  1+ fn(x)   Từ suy với n  2) Với n  * * x   phƣơng trình fn(x) có nghiệm xn > , ta có: 1 1 f n (4)         2 1 1 (2k )  (2n)  1 1 1 1    1            2 3 2k  k  2n  2n      f n ( xn ) 2(2n  1) Do hàm fn(x) nghịch biến 1;  suy xn < với n  khác, với n  n  * * * (1) Mặt , hàm fn(x) khả vi [xn; 4], theo định lý Lagrange, với tồn t (xn; 4) cho: f n (4)  f n ( xn ) 1 4 n '  f n (t )       với n   xn (t  1)2 (4t  1)2 (n2 t  1)2 Suy 1   với n  2(2n  1)(4  xn ) Từ (1) (2) ta có:  *  xn    xn  với n  2(2n  1) * (2) 2(2n  1) * ; theo định lý giới hạn kẹp ta có điều phải chứng minh Bài toán 2.4.24 Chứng minh với số nguyên dƣơng n cho trƣớc phƣơng trình x2n+1 = x + có nghiệm thực Gọi nghiệm xn xn Tính nlim  Lời giải: 58 - Nếu x < -1 x2n+1 < x < x+1 - Nếu –  x  x2n+1 – x = (-x)(1-x2n) < suy x2n+1 < x + - Nếu < x  x2n+1  x < x + Vậy x nghiệm phƣơng trình x2n+1 = x + x > Đặt fn(x) = x2n+1 – x – Ta có fn’(x) = (2n+1)x2n – > [1, +) suy hàm f tăng nửa khoảng Vì f(1) = - < f(2) = 22n+1 – > nên phƣơng trình có nghiệm xn thuộc (1, 2) Theo lý luận trên, nghiệm suy Xét fn+1 = x2n+3 – x – Ta có: fn+1(1) = - < 0; fn+1(xn) = xn2n+3 – xn – = xn2n+3 – xn2n+1 > => < xn+1 < xn => {xn} giảm bị chặn dƣới => dãy {xn} có giới hạn hữu hạn a, a  Ta chứng minh a = Thật vậy, giả sử a > Khi xn  a với n ta tìm đƣợc n đủ lớn cho: xn2n+1  a2n+1 > Trong ta có xn + < x1 + < (Mâu thuẫn) Bài toán 2.4.25 Cho phƣơng trình x + 2x2 + … + nxn = với n nguyên dƣơng a) Chứng minh với n nguyên dƣơng, khoảng (0; +  ), phƣơng trình có nghiệm nhất, kí hiệu xn b) Chứng minh dãy (xn) có giới hạn hữu hạn n  +  Tìm giới hạn Lời giải: a) Xét hàm số fn(x) = x + 2x2 +…+ nxn 2 n–1 f n' (x) = + x + …+ n x liên tục có: f n' (x) > x   0;   nên hàm số fn(x) tăng  0;   Mặt khác fn(0) = khoảng  0;   < 0, fn(1) > nên phƣơng trình fn(x) = có 59 1 b) Ta có f n       n   3 3 n 1  n 1 1 1 f n         n     3  3  3 Trừ vế theo vế ta đƣợc: 1 1 f n          3 3 Suy xn > , n   n 1  n 3 1 n 2n    1  n   n    0 n 2  3.3n Áp dụng định lý Lagrange, tồn yn   ; xn  cho: 3  2n  1 1  f n ( xn )  f n    xn  f n' ( yn )  xn  f n' ( yn ) > với yn > n 4.3 3 3 2n    lim xn  n n 4.3 lim n  IV Hiệu sáng kiến đem lại Hiệu mặt kinh tế Qua việc dạy học sinh giỏi nhận thấy, học sinh tiếp thu kiến thức chủ động hơn, khả phân tích, nhận xét, đánh giá, liên hệ tốt Bên cạnh đó, học sinh giỏi say mê nghiên cứu, sƣu tầm bổ sung thêm dạng toán dãy số.Thƣ viện trƣờng THPT Trực Ninh bổ sung thêm nguồn tài liệu cho học sinh, giáo viên tham khảo giảng dạy Với định hƣớng nghiên cứu nhƣ vậy, học sinh giáo viên có nhiều cách tiếp cận, sƣu tầm, bổ sung cho nguồn tài liệu ngày phong phú, học sinh, giáo viên phân loại dạng tốt biến kĩ thuật giải thành phƣơng pháp cho thục để áp dụng giải toán qua lối tƣ hợp lý dạng dãy số Hiệu mặt xã hội 60 Dãy số chuyên đề thú vị chƣơng trình môn Toán bậc THPT nói chung, đặc biệt trƣờng THPT chuyên Các toán liên quan đến dãy số phong phú, đa dạng, thƣờng toán khó kỳ thi học sinh giỏi môn Toán cấp quốc gia, khu vực, quốc tế nhƣ Olympic 30/4 Mong muốn học sinh trƣờng THPT không chuyên nói chung học sinh say mê toán học nói riêng đƣợc tiếp cận giải đƣợc số dạng toán dãy số Sáng kiến “ Một số dạng toán dãy số ứng dụng” hoàn thành nhiệm vụ sau: Trình bày hệ thống số kiến thức dãy số chƣơng trình Toán THPT Hệ thống hóa đƣa lời giải chi tiết số dạng toán dãy số nhƣ: Tìm giới hạn dãy số; tìm tổng, tích dãy số; toán dãy số lien quan số phƣơng Trình bày số ứng dụng dãy số vào việc giải dạng toán khác, chẳng hạn nhƣ: Ứng dụng dãy số để giải phƣơng trình hàm; Bất phƣơng trình hàm; Chứng mimh bất đẳng thức; Thiết lập số toán dãy số Trong ôn tập em làm tự tin hơn, có kĩ làm tốt nhƣ tiếp cận dạng dãy số cách thuận lợi, giải đề thi học sinh giỏi quốc gia dạng em thấy khả quan có niềm tin tiếp cận, đặc biệt em say mê toán học muốn tìm tòi phát triển thêm giúp cho học sinh đam mê yêu thích môn Toán Học sinh học tốt phần khó, giúp tƣ logic môn toán đƣợc toàn diện hơn, kết học tập học sinh cao Cụ thể kết đánh giá học sinh năm học năm học 2014-2015 2015- 2016 áp dụng đề tài tiến hành dạy ôn cho học sinh giỏi kết qủa học sinh thấy yêu thích dạng toán cần thấy nghiên cứu cách nghiêm túc hơn, em sáng tạo tƣ môn Toán 61 Với lợi ích xã hội mà sáng kiến đem lại, muốn chia sẻ sáng kiến cho giáo viên đồng nghiệp để chất lƣợng dạy học nói chung dạy học môn Toán nói riêng thực đáp ứng yêu cầu mà Bộ Giáo dục Đào tạo đƣợc đề V.Cam kết không chép vi phạm quyền Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm không vi phạm quyền nhƣ chép nội dung dƣới hình thức trình thực đề tài Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm vi phạm lời cam kết Trực Ninh, ngày 20 tháng 05 năm 2016 CƠ QUAN ÁP DỤNG SÁNG KIẾN TÁC GIẢ SÁNG KIẾN TRƢỜNG THPT TRỰC NINH Xác nhận …………………………………… ……………………………………… ……………………………………… Nguyễn Đình Dùng 62 Tài liệu tham khảo [1] Lê Hải Châu (1992) Thi vô địch toán quốc tế NXB TP Hồ Chí Minh [2] Trần Nam Dũng (2010) Dãy số toán dãy số NXB ĐHKHTN-ĐHQG TP Hồ Chí Minh [3] Nguyễn Quý Dy (chủ biên), Nguyễn Văn Nho, Vũ Văn Thoa (2009) Tuyển tập 200 toán vô địch toán (tập 3) Nhà xuất Giáo dục [4] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thuỷ Thanh (2002) Giới hạn dãy số hàm số Nhà xuất Giáo dục [5] Nguyễn Văn Mậu (2003) Một số toán chọn lọc dãy số NXB Giáo dục [6] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Văn Xoa (2006) Tuyển tập Đề thi tuyển sinh Trung học phổ thông Chuyên môn Toán NXB Giáo dục [7] Nguyễn Văn Mậu (1990) Phương trình hàm NXB Giáo dục [8] Vũ Dương Thụy (chủ biên), Nguyễn Văn Nho (2001) 40 năm Olympic Toán học quốc tế NXB Giáo dục [9] www.VnMath.com ... dãy số 1.2 Một vài dãy số chương trình Toán phổ thông 1.2.1 Cấp số cộng 1.2.2 Cấp số nhân 1.2.3 Dãy Fibonacci 1.2.4 Dãy Farey 1.2.5 Dãy Lucas 10 Chương MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ 11 2.1 Dạng. .. Dạng toán tìm giới hạn dãy số 11 2.2 Dạng toán tìm tổng, tích dãy số 19 2.3 Dạng dãy truy hồi liên quan số phương 33 2.4 Một số ứng dụng dãy số 37 2.4.1 Ứng dụng dãy số hình học 37 2.4.2 Ứng dụng... liệu tham khảo 62 THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1.Tên sáng kiến: “ Một số dạng toán dãy số ứng dụng” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học 3.Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 10 tháng 10 năm 2014