Các định lý hội tụ của dãy số, dãy hàm và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ CÔNG HUÂN CÁC ĐỊNH LÝ HỘI TỤ CỦA DÃY SỐ, DÃY HÀM VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ CÔNG HUÂN CÁC ĐỊNH LÝ HỘI TỤ CỦA DÃY SỐ, DÃY HÀM VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN TS NGUYỄN NGỌC QUỐC THƯƠNG Mục lục Mở đầu 1 Đại cương dãy số dãy hàm 1.1 Dãy số 1.2 Dãy hàm Các định lý hội tụ dãy số dãy hàm 2.1 Các định lý hội tụ dãy số 2.2 Các định lý hội tụ dãy hàm 20 Một số ứng dụng 27 3.1 Dãy cấp số cộng số ứng dụng thực tế 27 3.2 Dãy cấp số nhân số ứng dụng thực tế 32 3.3 Một số toán nâng cao bồi dưỡng học sinh giỏi 37 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 i Mở đầu Dãy số dãy hàm chủ đề trọng tâm giải tích tốn học Trong lý thuyết dãy số, dãm hàm người ta ln quan tâm đến hội tụ, phân kỳ chúng Luận văn nhằm nghiên cứu trình bày cách có hệ thống các định lý hội tụ dãy số, dãy hàm ứng dụng quan trọng chúng Ngoài luận văn giới thiệu số toán nâng cao dãy số, dãy hàm phù hợp với việc bồi dưỡng học sinh giỏi bậc trung học phổ thông Luận văn chia thành ba chương Chương trình bày số khái niệm kết quan trọng dãy số dãy hàm Chương trình bày cách chi tiết có hệ thống định lý liên quan đến hội tụ dãy số hội tụ điểm, hội tụ dãy hàm Cuối chương giới thiệu số ứng dụng dãy cấp số cộng, dãy cấp số nhân số tốn nâng cao phù hợp với chương trình tốn bậc phổ thơng Luận văn hồn thành Khoa Toán Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Ngọc Quốc Thương Nhân tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc đến thầy Tôi biết ơn tất thầy Khoa Tốn Thống kê dạy dỗ, dìu dắt tơi suốt năm học đại học năm học thạc sỹ Tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất bạn lớp Cao học Toán K21 (2018-2020) quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian qua Cuối tơi xin bày tỏ lịng kính trọng, biết ơn bố, mẹ gia đình người thân Mặc dù cố gắng thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn khơng thể trách khỏi thiếu sót Rất mong q thầy cơ, bạn đọc góp ý để luận văn hoàn thiện Bịnh Định, tháng năm 2020 Học viên Võ Công Huân Chương Đại cương dãy số dãy hàm Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm dãy số, dãy hàm, ví dụ tính chất dãy số, dãy hàm 1.1 Dãy số Định nghĩa 1.1 Dãy số ánh xạ a : N Đ R cho n ÞĐ a♣nq :✏ an Dãy số thường ký hiệu tan ✉, ♣an q, a1 , a2 , , an , Trong luận văn ta dùng ký hiệu ♣an q Số hạng an gọi số hạng tổng quát dãy ♣an q Dãy số thường cho công thức số hạng tổng quát cho công thức truy hồi (hay quy nạp) Ta xét số ví dụ sau Ví dụ 1.2 Cho dãy số ♣an q xác định π an ✏ n2   sin , n ➙ n Với cách định nghĩa ta hoàn toàn xác định số hạng dãy, chẳng hạn cho n ✏ 100 số hạng thứ 100 dãy π a100 ✏ 1002   sin 100 ✘ Xét dãy ♣anq xác định an 1 ✏ q an   d, n ➙ Nếu ta xét hàm số bậc f ♣xq ✏ qx   d dãy viết lại an 1 ✏ f ♣an q, n ➙ Ví dụ 1.3 Cho trước hai số thực q, d với q Dãy định nghĩa gọi dãy truy hồi tuyến tính cấp Ta xét hai trường hợp đặc biệt sau • Cho q ✏ 1, dãy ♣anq có dạng an 1 ✏ an   d, n ➙ Dãy ♣an q gọi dãy cấp số cộng (hay gọi tắt cấp số cộng) với công sai d • Cho d ✏ 0, dãy ♣an q có dạng an 1 ✏ q an, n ➙ Dãy ♣an q gọi dãy cấp số nhân (hay gọi tắt cấp số nhân) với công bội q Định nghĩa 1.4 Dãy số ♣an q gọi • bị chặn tồn số thực M (không phụ thuộc vào n) cho an ↕ M ❅n € N; • bị chặn tồn số thực L (không phụ thuộc vào n) cho an ➙ L ❅n € N; • bị chặn bị chặn bị chặn dưới, hay tồn số thực P (không phụ thuộc vào n) cho ⑤an⑤ ↕ P ❅n € N Định nghĩa 1.5 Dãy số ♣an q gọi ↕ an 1 (an ➙ an 1) với n € N; (giảm nghiêm ngặt) an ➔ an 1 (an → an 1 ) với n € N • tăng (giảm) an • tăng nghiêm ngặt Ta gọi chung dãy tăng, tăng nghiêm ngặt, giảm giảm nghiêm ngặt dãy đơn điệu Định nghĩa 1.6 Cho dãy số ♣an q ♣mn q dãy tăng nghiêm ngặt số tự nhiên Khi dãy ♣amn q gọi dãy dãy ♣an q Ta viết ♣amn q ⑨ ♣an q Ví dụ 1.7 Dãy ♣a2n q dãy dãy ♣an q Dãy ♣an q dãy Dãy a1 , a1 , a2 , a3 , a3 , không dãy dãy ♣an q ➙ n với n Nếu ♣am q ⑨ ♣ak q ♣ak q ⑨ ♣an q ♣am q ⑨ ♣an q Định nghĩa 1.9 ([3]) Ta gọi số thực L giới hạn dãy ♣an q, kí hiệu lim an ✏ L an Ñ L, với ε → 0, tồn N € N cho với n ➙ N ta có Nhận xét 1.8 kn Nếu ♣amn q ⑨ ♣an q mn n n kn ⑤an ✁ L⑤ ➔ ε Khi ta nói dãy ♣an q hội tụ Trong trường hợp ngược lại ta nói dãy tan ✉ phân kỳ Định nghĩa 1.10 ([3]) Ta nói dãy ♣an q phân kỳ đến  ✽, kí hiệu lim an ✏ an Ñ  ✽, với M → 0, tồn N € N cho với n ➙ N ta có an → M Ta nói dãy ♣an q phân kỳ đến ✁✽, kí hiệu lim an ✏ ✁✽ an M ➔ 0, tồn N € N cho với n ➙ N ta có an  ✽ Đ ✁✽, với ➔ M Định lý 1.1 ([3]) Mỗi dãy số có nhiều giới hạn Chứng minh Giả sử phản chứng tồn dãy ♣an q có hai giới hạn L1 L2 Đặt L1 ✁ L2 ε✏ Vì dãy ♣an q hội tụ đến L1 nên tồn N1 € N cho n ➙ N1 đ ⑤an ✁ L1⑤ ➔ ε Vì dãy ♣an q hội tụ đến L2 nên tồn N2 n ➙ N2 Đặt N € N cho ñ ⑤an ✁ L2⑤ ➔ ε ✏ max tN1, N 2✉ giả sử n ➙ N Khi ⑤L1 ✁ L2⑤ ✏ ⑤♣L1 ✁ anq   ♣an ✁ L2q⑤ ↕ ⑤an ✁ L1⑤   ⑤an ✁ L2⑤ ➔ ε   ε ✏ 2ε ✏ 32 ⑤L1 ✁ L2⑤ ➔ ⑤L1 ✁ L2⑤ Điều vô lý Vậy dãy khơng thể có nhiều giới hạn Định nghĩa 1.11 (Dãy Cauchy, [3]) Dãy số ♣an q gọi dãy Cauchy (hay dãy bản) với ε → 0, tồn N ✏ N ♣εq € N cho với m ➙ n ➙ N ta có ⑤am ✁ an⑤ ➔ ε Định lý 1.2 (Tính chất dãy Cauchy) Cho ♣an q dãy Cauchy Khi Nếu ♣amn q ⑨ ♣an q lim amn Ñ✽ n ✏ a nlim a ✏ a; Đ✽ n Dãy ♣an q bị chặn Chứng minh Cố định ε → Vì lim amn Đ✽ n ✏ a nên tồn n1 ✏ n1♣εq € N cho ⑤am ✁ a⑤ ➔ ε④2 ❅n → n1 n Vì tan ✉ dãy Cauchy nên tồn n2 ✏ n2♣εq € N cho ⑤am ✁ an⑤ ➔ ε④2 ❅m, n ➙ n2 Khi đó, mn ➙ n nên với n ➙ n0 ✏ maxtn1, n2✉, ta có ⑤an ✁ a⑤ ↕ ⑤an ✁ am ⑤   ⑤am ✁ a⑤ ➔ ε n n Vậy dãy tan ✉ hội tụ đến a Vì tan ✉ dãy Cauchy nên với ε ✏ tồn số tự nhiên n0 cố định cho ⑤ an ✁ an ⑤ ➔ ❅ n ➙ n Vì ⑤an ⑤ ✁ ⑤an0 ⑤ ↕ ⑤an ✁ an0 ⑤ nên ⑤an⑤ ➔ ⑤an ⑤   ❅n ➙ n0 Đặt M Khi Vậy dãy ♣an q bị chặn ✏ maxt⑤a1⑤, , ⑤an ✁1⑤, ⑤an ⑤   1✉ 0 ⑤an⑤ ↕ M ❅n € N Định nghĩa 1.12 Dãy đoạn ran , bn s ⑨ R gọi thắt lại ran 1, bn 1s ⑨ ran, bns với số tự nhiên n nlim ♣b ✁ anq ✏ Ñ✽ n Định lý 1.3 (Nguyên lý Cantor dãy đoạn thắt lại, [1]) Mọi dãy đoạn thắt lại có điểm chung Chứng minh Giả sử tran , bn s✉ thắt lại Khi dãy tan ✉ tăng bị chặn b1 dãy tbn ✉ giảm bị chặn a1 Vì dãy tan ✉ tbn ✉ hội tụ Vì lim ♣bn ✁ an q ✏ nên tồn ξ cho lim an ✏ ξ ✏ lim bn Vì dãy tan ✉ tăng dãy Đ✽ Ñ✽ Ñ✽ tbn✉ giảm nên ξ € ran, bns với n € N Giả sử tồn ξ ✶ € ran, bns với n Khi ⑤ξ ✁ ξ ✶⑤ ↕ bn ✁ an với n Do nlim ♣b ✁ anq ✏ ta suy ξ ✏ ξ ✶ Ñ✽ n n 1.2 n n Dãy hàm Định nghĩa 1.13 (Dãy hàm) Giả sử F ✏ ✥ ✭ f :AÑR họ tất hàm số xác định A ⑨ R Ta gọi ánh xạ f : N Đ F, n ÞĐ fn ♣xq dãy hàm xác định A Dãy hàm thường ký hiệu tfn ♣xq✉ f1 ♣xq, f2 ♣xq, ,fn ♣xq, Với x0 € A tfn ♣x0 q✉ dãy số Nếu dãy số tfn ♣x0 q✉ hội tụ (tương ứng, phân kỳ) điểm x0 gọi điểm hội tụ (tương ứng, điểm phân kỳ) dãy hàm tfn♣xq✉ Tập A0 gồm điểm hội tụ dãy hàm tfn ♣xq✉ gọi miền hội tụ dãy hàm Tập A1 ✏ A③A0 gồm điểm phân kỳ dãy hàm tfn ♣xq✉ gọi miền phân kỳ dãy hàm Định nghĩa 1.14 (Hội tụ điểm, [3]) Dãy hàm tfn ♣xq✉ xác định A ⑨ R gọi hội tụ điểm đến hàm số f ♣xq A với x € A ε → 0, tồn N ✏ N ♣x, εq € N cho với n ➙ N ta có ✞ ✞fn x ✞ ♣ q ✁ f ♣xq✞ ➔ ε Ký hiệu: fn ♣xq Ñ f ♣xq, x € A 31 Lời giải Theo giả thiết tốn với k, n, m € Z ta có: ✩ ✬ ✬ a ✬ ✫ ✩   kd ✏ 25 ✫♣n ✁ k qd ✏ 18 ñ✪ ñ ♣m ✁ n2n ✁ kqd ✏ a1   nd ✏ 43 ✬ ✬ ♣ m ✁ n q d ✏ 27 ✬ ✪a1   md ✏ 25 Mặt khác 2005 ✏ 70   9.215 ✏ a1   md   215♣m ✁ 2n   k qd ✏ a1   ♣216m ✁ 430n   215kqd ✏ a1   ld, với l ✏ 216m ✁ 430n   215k, l € Z Vậy 2005 hạng tử dãy cho Ta xét ứng dụng cấp số cộng ví dụ thực tế sau: Ví dụ 3.8 ([2]) Khi ký hợp đồng dài hạn (10 năm) với kỹ sư tuyển dụng Công ty liên doanh A đề xuất hai phương án trả lương để người lao động chọn, cụ thể là: Phương án 1: người lao động nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc kể từ năm thứ hai, mức lương tăng thêm triệu đồng năm Phương án 2: người lao động nhận nhận triệu đồng cho quí kể từ quí làm việc thứ hai mức lương tăng thêm 500.000 đồng quí Nếu bạn người lao động bạn chọn phương án nào? Lời giải Vấn đề đặt ra: Chọn hai phương án để nhận lương Ta thấy việc người lao động chọn hai phương án nhận lương phải vào số tiền mà họ đuợc nhận 10 năm Phương án giải quyết: Ta nhận thấy hai phương án số tiền nhận sau năm (một quí) tuân theo quy luật định : Phương án 1: cấp số cộng với số hạng đầu u1 ✏ 36 triệu cơng sai d ✏ triệu Phương án 2: cấp số cộng với số hạng đầu u1 ✏ triệu công sai d ✏ 0, triệu Vậy theo phương án 1: tổng số tiền người lao động nhận là: S10 ✏ ♣72   9.3q.5 ✏ 195♣triệuq Theo phương án 2: tổng số tiền mà người lao động nhận là: S10 ✏ ♣14   39.0, 5q.20 ✏ 670♣triệuq 32 Vậy nguời lao động chọn phương án để nhận lương sau 10 năm số tiền lương cao 3.2 Dãy cấp số nhân số ứng dụng thực tế Xét tốn phổ thơng có ứng dụng cấp số nhân Ví dụ 3.9 ([2]) Viết lại số thập phân vơ hạn tuần hồn sau thành phân số: a) 0.3333 ; b) 0.7777 ; c) 0.454545 ; d) 1.227027027 Lời giải Mỗi số thập phân vô hạn tuần hồn viết dạng tổng nhiều số thập phân viết dạng cấp số nhân 0, 333 ✏ ✏ 3     10 100 1000 1 ✏ 10 ✁ 10     103n   Tương tự 0, 777 ✏ 7 7         n   ✏ 10 100 1000 10 45 45 45 0, 4545 45 ✏     ✏ ✏ 100 10000 100 ✁ 100 11 Với số 1.227027027 , ta nhận thấy có 027 lặp vơ hạn nên ta phân tích sau: 12 27 27 1.227027027 ✏       10 1000 1000000 681 27 ✏ ✏ 65   1000 555 ✁ 1000 Ví dụ 3.10 ([2]) Dãy tan ✉ cấp số cộng với số hạng thứ 1, thứ 20 thứ 58 số hạng liên tiếp cấp số nhân Tìm cơng bội cấp số nhân 33 Lời giải Giả sử a1 , a20 , a58 số hạng cấp số cộng với a1 số hạng d cơng sai Khi ta có a1 ✏ a1 ✏ a1   19d a58 ✏ a1   57d a20 Vì a1 , a20 , a58 hạng tử liên tiếp cấp số nhân nên ta có công bội q ✏ aa20 ✏ aa58 ✏ a1  a 19d ✏ aa1    57d 19d Suy 20 1 ♣a1   19dq2 ✏ a1♣a1   57dq Biến đổi rút gọn ta thu kết quả: 19d♣a1 ✁ 19dq ✏ Vì a1 ✘ a20 ✘ a58 d ✘ nên a1 ✏ 19d Từ kêt vừa thu ta có q   19d ✏ ✏ a1  a 19d ✏ 19d19d Vậy công bội cấp số nhân q ✏ Ví dụ 3.11 ([2], ASHME) Cho dãy số thực a1 , a2 , a3 với a1 99a3n với n ➙ Tìm a100 Lời giải Vì nên a3n 1 ✏ 99a3n an 1 an ✏ ❄ 99 Do dãy số thực cho cấp số nhân với công bội q tiên a1 ✏ ❄ Vậy a100 ✏ 1.♣ 99q99 ✏ 9933 ✏ ❄ ✏ a3n 1 ✏ 99 số hạng đầu Ví dụ 3.12 ([2], Rivkin) Các nghiệm phương trình x3 ✁ 7x2   14x   a ✏ hạng tử liên tiếp cấp số nhân tăng Tính nghiệm 34 Lời giải Vì x1 , x2 , x3 nghiệm phương trình cho, nên theo định lý Viet ta có x1 x2 x3 ✏ ✁a x1   x2   x ✏7 x1 x2   x2 x3   x3 x1 ✏ 14 Vì nghiệm hạng tử liên tiếp cấp số nhân tăng nên ✏ ✁a x1   x1 r   x1 r ✏ x21 r   x21 r   x31 r ✏ 14 x31 r3 (3.1) (3.2) (3.3) Chia vế theo vế (3.3) cho (3.2) ta x1 Thay x1 ✏ 2r vào (3.3) ta có ✏ 2r 2r2 ✁ 5r   ✏ Phương trình có nghiệm r1 ✏ 21 r2 ✏ Vì dãy cần tìm dãy tăng nên chọn r ✏ 2, x1 Và ✏ 1, x2 ✏ 2, x3 ✏ a ✏ ✁x31 r3 ✏ ✁8 Ví dụ 3.13 Các số 100, 101 102 có phải số hạng (không cần liên tiếp) cấp số nhân? Lời giải Giả sử 100, 101, 102 số hạng cấp số nhân Khi đó: ✏ 100 ✏ a1ri✁1 aj ✏ 101 ✏ a1 rj ✁1 ak ✏ 102 ✏ a1 rk✁1 Do 101 100 102 101 ✏ r j ✁i ✏ r k ✁j 35 Suy 102 j ✁i k✁j ♣ 101 q ✏ r♣j ✁j q♣k✁j q ✏ ♣ q 100 101 Rút gọn biểu thức ta thu kết 101k✁i ✏ 102j✁i.100k✁j Vì i ➔ j ➔ k nên vế trái số lẻ vế phải số chẵn Do biểu thức vơ lí Vậy 100, 101, 102 hạng tử cấp số nhân Ví dụ 3.14 ([2]) Đồng vị phóng xạ Iot, 131 I, sử dụng y học hạt nhân cho thủ tục chẩn đoán để xác định rối loạn tuyến giáp xạ hình Tốc độ phân rã khơng đổi k 131 I 9, 93.10✁7 s✁1 Phương trình phân rã 131 I Đ131 Xe   e✁ Tình chu kì bán rã 131 I ngày Tính thời gian cần thiết để chất phóng xạ 131 I giảm 30% lượng phóng xạ ban đầu Ta tìm hiểu ứng dụng cấp số nhân thông qua ví dụ thực tế tốn phóng xạ toán lãi suất Lời giải Gọi x0 lượng chất phóng xạ ban đầu, x lượng chất phóng xạ lại sau thời gian t, k số phóng xạ Ta có phương trình phân rã sau x ✏ x0 e✁kt Nếu x ✏ x0 (3.4) t ✏ t ta rút công thức sau: k ✏ ✁ lnt ✏ lnt 2 (3.5) Thay (3.5) vào (3.4) ta thu công thức x ✏ x0 e✁kt t t1 ✏ x0♣eln q ✏ x0♣ 12 q t t1 (3.6) Theo giả thiết tốn cơng thức (3.5) chu kì bán rã t1 ln ✏ 9, 93.10 ✁7 ✏ 698033, 41♣giâyq ✓ 8, 079♣ngàyq Sử dụng công thức (3.4), thay x ✏ 0, 3x0 ta phương trình 0, 9, 93.106✁7s✁1 Khi ln 10 t✏ ✓ 1212460♣giâyq ✓ 14♣ngàyq 9, 93.10✁7 ✏ e✁kt với k ✏ Vậy chu kì bán rã ngày thời gian để lượng phóng xạ cịn lại 30% 14 ngày 36 Ta tìm hiểu cách tính giá trị lãi tương lai cho khoản tiền cố định Tiền gửi vào tài khoản trả lãi, cộng gộp theo định kỳ Nhưng khơng nhiều người gửi khoản tiền lớn tiền thời điểm tài khoản Hầu hết người tiết kiệm đầu tư tiền cách gửi tiền số lượng nhỏ thời điểm khác Hãy xét ví dụ sau: Ví dụ 3.15 ([2]) Giả sử 100 triệu (Việt Nam đồng) số tiền gửi vào ngân hàng vào ngày tháng năm từ 2015 đến 2020, với lãi suất năm 5% Tính giá trị tài khoản sau năm sau lần gửi cuối Lời giải Ta kiểm tra tài khoản vào ngày tháng năm 2021 Vào ngày tháng năm 2015, ta gửi 100 triệu vào tài khoản, đến ngày tháng năm 2021, sau năm, ta thu khoảng tiền gốc lẫn lãi 100♣1   0.05q6 ✏ 134 triệu Tuy nhiên, ta gửi thêm 100 triệu vào môi ngày tháng năm, nên ta tình riêng khoản gửi thêm Vào ngày tháng năm 2016, ta gửi 100 triệu vào tài khoản, đến ngày tháng năm 2021, sau năm, ta thu khoảng tiền gốc lẫn lãi 100♣1   0.05q5 triệu Tương tự khoản vào năm 2017, 2018, 2019 2020 100♣1   0.05q4 100♣1   0.05q3 100♣1   0.05q2 100♣1   0.05q1 Vậy tổng số tiền gốc lẫn lãi vào ngày tháng năm 2021 là: S ✏ 100♣1   0.05q6   100♣1   0.05q5   100♣1   0.05q4   100♣1   0.05q3   100♣1   0.05q2   100♣1   0.05q1 ✏ 105   105.1, 05   105.1, 052   105.1, 053   105.1, 054   105.1, 055 Ta nhận xét số hạng lập thành cấp số nhân với số hạng đầu u1 công bội q ✏ 1, 05 Suy 105♣1, 056 ✁ 1q ✓ 714, 42 S6 ✏ 1, 05 ✁ ✏ 105 37 Vậy vào ngày tháng năm 2021, ta có số tiền 714 triệu tài khoản hiển nhiên số tiền lớn tổng 600 triệu không gửi ngân hàng 3.3 Một số toán nâng cao bồi dưỡng học sinh giỏi Ta xét toán nâng cao bồi dưỡng học sinh giỏi có ứng dụng cấp số cộng, cấp số nhân Ví dụ 3.16 ([2]) Cho số a, b, c z Ba số hạng đầu lập thành cấp số cộng, ba số hạng cuối lập thành cấp số nhân Tổng số hạng bên 4, tổng số hạng bên Tìm số Lời giải Vì a, b, c lập thành cấp số cộng nên theo tính chất trung bình cộng ta có b✏ a c Mặt khác ta có đ a   c ✏ 2b a z ✏4 b   c ✏ Suy Thay a   c ✏ 2b vào (3.7) ta a b c z 3b   z ✏ (3.7) ✏ ñ z ✏ ✁ 3b Vì b, c, z lập thành cấp số nhân nên theo tính chất trung bình nhân ta có c2 ✏ bz Thay c ✏ ✁ b vào phương trình ta có ♣2 ✁ bq2 ✏ b♣6 ✁ 3bq Rút gọn phương trình ta 2b2 ✁ 5b   ✏ Phương trình có nghiệm b ✏ b ✏ 0, Với nghiệm b khác nhau, ta nhận trường hợp giá trị a, b, c, z 38 1) b ✏ z ✏ ✁ 3b ✏ a ✏ 3b ✁ ✏ c✏2✁b✏0 2) b ✏ 0, z ✏ 4, a ✏ ✁0, c ✏ 1, Vậy ♣a, b, c, z q ✏ t♣4, 2, 0, 0q, ♣✁0, 5; 0, 5; 1, 5; 4, 5q✉ Ví dụ 3.17 ([2]) Dãy a1 , a2 , a3 có a1 ✏ 19, a9 bình cộng n ✁ số hạng đàu tiên Tìm a2 ✏ 99 với n ➙ 3, an trung Lời giải Ta xét số hạng thứ n1 an✁1 Suy ✏ a1   a2n ✁   an✁2 a1   a2     an✁2 Xét số hạng thứ n ✏ ♣n ✁ 2qan✁1 ✏ a1   a2   n  ✁ a1n✁2   an✁1 ñ an♣n ✁ 1q ✏ ♣n ✁ 2qan✁1   an✁1 ñ an♣n ✁ 1q ✏ ♣n ✁ 1qan✁1 ñ an ✏ an✁1, ❅n ➙ an Vậy từ số hạng thứ trở đi, tất số hạng dãy a9 a3 ✏ 99 Áp dụng tính chất trung bình cộng cấp số cộng ta có ✏ 99 Tức ✏ a1  2 a2 ñ 99 ✏ 19  2 a2 ñ a2 ✏ 2.99 ✁ ✏ 179 a3 Vậy a2 ✏ 179 Ví dụ 3.18 ([2], MGU Entrance exam 2008) Các số nguyên x, y, z số hạng cấp só nhân 7x ✁ 3, y , 5z ✁ số hạng cấp số cộng Tìm x, y, z 39 Lời giải Theo giả thiết tốn ta có ✏ xz 7x ✁   5z ✁ y2 ✏ y2 Suy ✏ 7x   25z ✁ 2xz ✏ 7x   5z ✁ x♣2z ✁ 7q ✏ 5z ✁ 5z ✁ x✏ ♣2z ✁ 7q 10z ✁ 18 2x ✏ ♣2z ✁ 7q 17 2x ✏   ♣2z ✁ 7q xz ñ ñ ñ ñ ñ Vì 17 số nguyên tố nên 2x số nguyên ♣2z ✁ 7q ước 17 Do ♣2z ✁ 7q nhận giá trị: ✟1; ✟17 Lần lượt xét trường hợp 1) ♣2z ✁ 7q ✏ ñ z ✁ ✏ 11; y ✏ ❄11.4 ✏ ❄44 ✏ 4; x ✏ ♣5.4 2.4 ✁ 7q 2) ♣2z ✁ 7q ✏ ✁1 ñ z ✏ 3; x ✏ ✁6; xz ✏ ✁18 ➔ 3) ♣2z ✁ 7q ✏ 17 ñ z ✏ 12; x ✏ 3; y ✏ y ✏ ✁6 (vô nghiệm) (vô nghiệm) (vơ nghiệm) 4) ♣2z ✁ 7q ✏ ✁17 đ z ✏ ✁5; x ✏ 2; xz ✏ ✁1 ➔ (vô nghiệm) Vậy ♣x; y; z q ✏ t♣3; 6; 12q, ♣3; ✁6; 12q✉ Ví dụ 3.19 ([2]) Có cặp thứ tự ♣x, y q số ngun khơng âm để trung bình cộng x y lớn trung bình nhân x y đơn vị Lời giải ❄ x y ✏   xy ❄ x   y ✏   xy ñ ñ ♣x   y ✁ 4q2 ✏ 4xy ñ x2 ✁ 2xy   y2 ✏ 8♣x   y ✁ 2q ñ ♣x ✁ yq♣x ✁ yq ✏ 2.2.2.♣x   y ✁ 2q 40 Vì x; y số ngun khơng âm nên ta chia trường hợp sau 1) 2) 3) 4) ✩ ✫x ✩ ✫x ✏ ✁y ✏8 ñ✪ ✪x ✁ y ✏ x   y ✁ y✏1 ✩ ✫x ✩ ✫x ✩ ✫x ✩ ✬ x ✬ ✬ ✫ ✏ 49 y ✏ 41 ✁y ✏4 ✏4 ñ ✪x ✁ y ✏ 2.♣x   y ✁ 2q ✪y ✏ ✁y ✏2 ñ✬ ✪x ✁ y ✏ 4.♣x   y ✁ 2q ✬ ✬ ✪ ✩ ✬ x ✬ ✬ ✫ ✩ ✫x ✁y ✏1 ñ✬ ✪x ✁ y ✏ 8.♣x   y ✁ 2q ✬ ✬ ✪ 25 ✏ 16 ✏ 169 y Trường hợp nghiệm khơng số ngun nên loại Vậy ta có cặp nghiệm ♣x; yq ✏ t♣9; 1q, ♣4; 0q✉ Ví dụ 3.20 ([2]) Tính giới hạn sau xn 1 ✁ xÑ x n ✁ lim Lời giải Giới hạn khơng thể tính trực tiếp x ✏ mẫu số Ta sử dụng cơng thức tính tổng cấp số nhân cho tử mẫu n 1 ✏ x x ✁✁1 xn ✁ 1   x   x2     xn✁1 ✏ x✁1   x   x2     xn Khi ta tính giới hạn sau xn 1 ✁ lim xÑ x n ✁ Vậy ♣   x   x2     xn q♣x ✁ 1q ✏ lim ♣1   x   x2     xn✁1q♣x ✁ 1q ✏ ♣n  n.11q.1 ✏ ♣n  n 1q , ❅n € N xn 1 ✁ xÑ x n ✁ lim ✏ n  n 41 Ví dụ 3.21 ([2], Rivkin) Cho a € R số tự nhiên n, k thoả mãn   a   a2     an ✏ ♣1   aq♣1   a2q♣1   a4q ♣1   a2 q k Tìm mối liên hệ n k Lời giải   a   a2     an ✏ ♣1   aq♣1   a2q♣1   a4q ♣1   a2 q n 1 ñ a a ✁✁1 ✏ ♣1   aq♣1   a2q♣1   a4q ♣1   a2 q ñ an 1 ✁ ✏ ♣a ✁ 1q♣1   aq♣1   a2q♣1   a4q ♣1   a2 q ñ an 1 ✁ ✏ a2   ✁ k k k k Vì a ✘ 0; ✟1 nên n   ✏ 2k 1 Vậy n ✏ 2k 1 ✁ Ví dụ 3.22 ([2]) Có tồn hay khơng cấp số cộng gồm số ngun dương mà khơng có số hạng từ dãy biểu diễn dạng tổng hiệu số nguyên tố? Nếu có, cấp số cộng Lời giải Ta xét vài dãy với số hạng tổng quát sau 1) 6; 10; 14; 18; ; 4n   2; 2) 11; 19; 27; 35; ; 8n   3; 3) 47; 89; 131; 173; ; 42n   5; Dãy số thứ bao gồm số chẵn, nhiều hạng tử tổng hiệu số nguyên tố Ví dụ 10 ✏   14 ✏ 17 ✁ Bất kì số chẵn tổng hiệu số chẵn số lẻ, mà đa phần số nguyên tố số lẻ (trừ số 2), tồn nhiều số chẵn viết dạng tổng hiệu số nguyên tố Vì ta dãy gồm số lẻ Dãy số thứ gồm số hạng lẻ, ta dễ dàng 19 ✏   17 27 ✏ 19 ✁ Vậy để tồn dãy u cầu tón tất hạng tử dãy phải số lẻ Và số hạng dãy viết tổng hiệu số nguyên tố 42 hai số nguyên tố phải số nguyên tố chẵn Xét dãy thứ 3, giả sử hạng tử dãy viết dạng tổng số nguyên tố p1 , p2 : ñ ñ ñ 42n   ✏ p1   p2 42n   ✏   p2 42n   ✏ p2 p2 ✏ 3♣14n   1q Suy p2 số nguyên tố (mâu thuẫn với điều ta giả sử) Tương tự ta xét hạng tử dãy viết dạng hiệu số nguyên tố p1 , p2 : ñ ñ ñ 42n   ✏ p1 ✁ p2 42n   ✏ p1 ✁ 42n   ✏ p1 p1 ✏ 7♣6n   1q Do p1 khơng phải số ngun tố Vậy khơng có hạng tử dãy cấp số cộng an tổng hiệu số nguyên tố ✏ 42n   phân tích thành Ví dụ 3.23 ([2]) Tìm tất tam giác vng mà độ dài cạnh lập thành cấp số cộng Lời giải Giả sử tồn tam giác thỏa yêu cầu, gọi độ dài cạnh a; a   d; a   2d, với d € N Theo định lí Pythagoras ta có: đ đ đ đ a2   ♣a   dq2 ✏ ♣a   2dq2 a2 ✁ 3ad ✁ d2 ✏ ♣a ✁ dq2 ✏ ♣2dq2 ✓ a ✁ d ✏ 2d a ✁ d ✏ ✁2d ✓ a✏d a ✏ ✁d Vì a độ dài cạnh d → nên ta nhận nghiệm a ✏ d Suy b ✏ 4d; c ✏ 5d, d € N Do có vơ số các giác vng thỏa u cầu tốn Ví dụ tam giác có có độ dài cạnh là: ♣3; 4; 5q, ♣6; 8; 10q, ♣9; 12; 15q 43 Ví dụ 3.24 ([2]) Cho dãy số với u1 ✏ 2, u2 ✏ 8, u3 ✏ 30, , un ✏ 4u♣n ✁ 1q ✁ u♣n ✁ 2q, Chứng minh n ✏ 3, 4, 5, u2n ✁ u♣ n   1q.u♣ n ✁ 1q ✏ Lời giải Theo tính chất giao hốn với phép tốn nhân ta có: ✏ un✁1.4un đ un♣un   un✁2q ✏ un✁1♣un 1   un✁1q ñ u2n   unun✁2 ✏ un✁1un 1   u2n✁1 ñ u2n ✁ un✁1un 1 ✏ u2n✁1 ✁ unun✁2 ✏ u2n✁2 ✁ unun✁3 ✏ ✏ u22 ✁ u3u1 ✏ 82 ✁ 30.2 ✏ un 4un✁1 Kết luận Luận văn đưa điều kiện hội tụ dãy số, dãy hàm áp dụng việc chứng minh hội tụ dãy số, dãy hàm Trong luận văn này, tác giả đạt số kết sau: • Đọc, hiểu, tổng hợp trình bày lại cách có hệ thống điều kiện hội tụ dãy số, dãy hàm áp dụng việc chứng minh hội tụ dãy số, dãy hàm • Chứng minh chi tiết số ví dụ, tốn áp dụng cấp số cộng, cấp số nhân trình bày vắn tắt tài liệu tham khảo tiếng Anh • Chỉ số ứng dụng thực tế cấp số cộng, cấp số nhân vào sống • Sưu tầm đưa lời giải chi tiết cho số tốn kì thi học sinh giỏi, olympic toán học, 44 Tài liệu tham khảo [1] Thái Thuần Quang (chủ biên), Nguyễn Dư Vi Nhân, Mai Thành Tấn, Nguyễn Ngọc Quốc Thương, Giải tích - Phép tính vi phân tích phân hàm biến, NXB ĐHQG Hà Nội (2020) [2] E Grigorieva, Methods of Solving Sequence and Series Problems, Birkhăauser (2016) [3] J S Petrovic, Advanced Calculus: Theory and Practice, Taylor & Francis (2014) [4] J Stewart, Calculus, Cengage Learning (2016) 45 ... 1 Đại cương dãy số dãy hàm 1.1 Dãy số 1.2 Dãy hàm Các định lý hội tụ dãy số dãy hàm 2.1 Các định lý hội tụ dãy số ... quan trọng dãy số dãy hàm Chương trình bày cách chi tiết có hệ thống định lý liên quan đến hội tụ dãy số hội tụ điểm, hội tụ dãy hàm Cuối chương giới thiệu số ứng dụng dãy cấp số cộng, dãy cấp số... kiện hội tụ dãy số, dãy hàm áp dụng việc chứng minh hội tụ dãy số, dãy hàm Trong luận văn này, tác giả đạt số kết sau: • Đọc, hiểu, tổng hợp trình bày lại cách có hệ thống điều kiện hội tụ dãy số,