Luận văn các dạng hội tụ của dãy hàm đo được

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 1 - LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 2 - LỜI NÓI ĐẦU Các dạng hội tụ của dãy hàm đo được là một phần nhỏ trong lĩnh vực Độ đo và tích phân Lebesgue. Đây là một trong các mảng giải tích được ứng dụng nhiều trong thực tế, và đặc biệt là nền tảng cho giải tích hiện đại. Do đó, việc nghiên cứu về nó là rất cần thiết. Vì thời gian để hoàn thành luận văn này tương đối ngắn nên không thể nghiên cứu sâu hơn, và chắc còn nhiều sai sót. Rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và quý bạn đọc. Em xin chân thành cám ơn Bộ môn Toán đã tạo điều kiện cho em nghiên cứu. Xin cám ơn cô Trần Thị Thanh Thúy đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp em sửa chữa kịp thời các sai sót trong luận văn này. Sinh viên thực hiện Huỳnh Việt Khánh LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 3 - NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN Cần Thơ, ngày…… tháng……năm 2008 Trần Thị Thanh Thúy LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 4 - NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN Cần Thơ, ngày… tháng… năm 2008 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 5 - MỤC LỤC MỞ ĐẦU 7 1. Lý do chọn đề tài 7 2. Giới hạn của đề tài 7 3. Mục tiêu đề tài 7 NỘI DUNG 9 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 9 1.1 ĐỘ ĐO 9 1.1.1 Đại số tập hợp 9 1.1.2. σ- Đại số 9 1.1.3. σ- Đại số Borel 10 1.1.4. Độ đo trên một đại số tập hợp 11 1.1.5 Mở rộng độ đo 13 1.1.6 Độ đo trên r 15 1.2- HÀM SỐ ĐO ĐƯỢC 17 1.2.1 Định nghĩa 17 1.2.2 Một số tính chất của hàm số đo được 18 1.2.3 Các phép toán trên các hàm số đo được 20 1.3- TÍCH PHÂN LEBESGUE 23 1.3.1. Tích phân của hàm đơn giản không âm 23 1.3.2 Tích phân của hàm đo được không âm 24 1.3.3 Tích phân của hàm đo được bất kỳ 26 1.3.4 Tính chất 26 1.3.5 Giới hạn qua dấu tích phân 27 Chương 2: SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC 30 2.1 CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC 30 2.1.1 Hội tụ hầu khắp nơi (converges almost everywhere) 30 2.1.2 Hội tụ đều (converges uniformly) 31 2.1.3 Hội tụ đều hầu khắp nơi (converges uniformly almost everywhere) 32 2.1.4 Hội tụ theo độ đo (converges in measure) 32 2.1.5 Hội tụ trung bình (converges in the mean) 34 2.1.6 Hội tụ hầu như đều (converges almost uniformly) 35 2.2 CÁC DẠNG DÃY CƠ BẢN 36 2.2.1 Dãy cơ bản hầu khắp nơi (Cauchy almost everywhere, hoặc fundamental almost everywhere) 36 2.2.2 Dãy cơ bản đều ( uniformly Cauchy) 37 2.2.3 Dãy cơ bản hầu như đều (almost uniformly Cauchy) 37 2.2.4 Dãy hàm cơ bản trung bình (Cauchy in the mean hoặc mean fundamental) 37 2.2.5 Dãy cơ bản trong độ đo (Cauchy in measure, hoặc fundamental in measure) 37 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 6 - 2.3 SỰ LIÊN HỆ GIỮA CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC 38 2.3.1 Liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ theo độ đo 38 2.3.2 Liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ hầu khắp nơi 39 2.3.3 Liên hệ giữa hội tụ theo độ đo và hội tụ hầu khắp nơi 40 2.3.4 Liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ đều 43 2.3.5 Liên hệ giữa hội tụ hầu như đều và hội tụ hầu khắp nơi 43 2.3.6 Liên hệ giữa hội tụ theo độ đo và hội tụ hầu như đều 45 2.3.8 Liên hệ giữa hội tụ hầu khắp nơi và hội tụ đều 48 2.3.9 Liên hệ giữa hội tụ trung bình và cơ bản trung bình 49 2.3.10 Liên hệ giữa cơ bản trung bình và cơ bản theo độ đo 50 2.3.11 Liên hệ giữa cơ bản trung bình và hội tụ hầu như đều 50 2.3.12 Liên hệ giữa cơ bản hầu như đều và hội tụ hầu như đều 50 2.3.13 Liên hệ giữa cơ bản theo độ đo và cơ bản hầu như đều 52 2.3.14 Liên hệ giữa cơ bản theo độ đo và hội tụ theo độ đo 53 2.3.15 Lược đồ thể hiện mối liên hệ giữa các dạng hội tụ 54 Chương 4: BÀI TẬP 56 KẾT LUẬN 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO 73 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 7 - MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Độ đo và tích phân Lebesgue là nền tảng của giải tích hiện đại. Việc nghiên cứu nó là cần thiết, giúp cho em nắm vững hơn kiến thức về phần này. Ngoài ra, em còn có điều kiện nghiên cứu sâu hơn các mảng giải tích có liên quan. Đây là lý do chính để em chọn đề tài này. 2. Giới hạn của đề tài Độ đo và tích phân Lebesgue là mảng giải tích hiện đại khá rộng. Trong khuông khổ một luận văn tốt nghiệp, đề tài không thể khai thác mọi vấn đề. Do vậy, luận văn tập trung khai thác về một số dạng hội tụ của dãy hàm đo được. Bên cạnh đó, còn xét về mối liên hệ giữa các dạng hội tụ này. 3. Mục tiêu đề tài Trong phạm vi giới hạn của đề tài, mục tiêu hướng tới của luận văn là nghiên cứu một số dạng hội tụ của dãy hàm đo được. Cụ thể hơn, bên cạnh các dạng hội tụ quen thuộc như hội tụ theo độ đo, hội tụ hầu khắp nơi, đề tài còn nghiên cứu một số dạng hội tụ khác như hội tụ hầu như đều, hội tụ đều hầu khắp nơi, hội tụ trung bình,… Tuy nhiên, để hiểu sâu hơn về các dạng hội tụ, đề tài còn tập trung nghiên cứu về mối liên hệ giữa các dạng hội tụ này. Ví dụ, như ta đã biết, trong không gian độ đo hữu hạn và độ đo được xét là độ đo đủ thì mọi dãy hàm đo được hội tụ hầu khắp nơi thì hội tụ theo độ đo. Vấn đề đặt ra là đối với các dạng hội tụ khác thì có mối liên hệ với nhau như thế nào? Và các mối liên hệ này có thay đổi hay không khi LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 8 - ta xét chúng trong không gian độ đo hữu hạn? Đề tài sẽ tập trung làm rõ các vấn đề này. Để thuận tiện trong quá trình nghiên cứu, luận văn còn đề cập đến một số khái niệm mới như dãy cơ bản theo độ đo, dãy cơ bản trung bình,…Và không ngoại lệ, luận văn cũng đề cập đến mối liên hệ giữa các khái niệm này. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 9 - NỘI DUNG Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. 1.1 ĐỘ ĐO 1.1.1 Đại số tập hợp § Định nghĩa Một đại số (hay trường) là một lớp những tập chứa X , ∅ và kín đối với mọi phép toán hữu hạn về tập hợp (phép hợp, phép giao hữu hạn các tập hợp, phép hiệu và hiệu đối xứng hai tập hợp). § Định lý 1 Một lớp tập hợp là một đại số khi và chỉ khi C thỏa mãn các điều kiện sau: a. C ≠ Ø ; b. ∈ A C ⇒ ∈ C A C ; c. ∈ BA, C ∈ ∪ ⇒ BA C . 1.1.2. σ- Đại số § Định nghĩa Một σ- đại số (hay σ- trường) là một lớp tập hợp chứa ,A Ø và kín đối với mọi phép toán đếm được hay hữu hạn về tập hợp. § Định lý 2 Một lớp tập hợp F là một σ -đại số khi và chỉ khi F thỏa mãn các điều kiện sau: LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 10 - a. F ≠ ∅ ; b. ∈ A F ⇒ ∈ C A F ; c. ∈ n A F 1 n n A ∞ = ⇒∈ U F . § Nhận xét Một σ- đại số hiển nhiên là một đại số. § Định lý 3 Cho M là một họ không rỗng các tập con của X . a. Luôn tồn tại duy nhất một đại số ( ) CM bao hàm M và chứa trong tất cả các đại số khác bao hàm M Đại số ( ) CM gọi là đại số sinh bởi M . b. Luôn tồn tại duy nhất một σ- đại số ( ) FM bao hàm M và chứa trong tất cả các σ- đại số khác bao hàm M σ- đại số ( ) FM được gọi là σ- đại số sinh bởi M . 1.1.3. σ- Đại số Borel § Định nghĩa Cho không gian tôpô ,(X τ) . σ- đại số sinh bởi họ tất cả các tập mở trong X được gọi là σ- đại số borel. Ký hiệu: ( ) X B . § Nhận xét Ÿ Các tập mở, tập đóng là các tập Borel. Ÿ Nếu ,1,2, n An= là các tập Borel thì 1 n n A ∞ = U và 1 n n A ∞ = I , theo thứ tự là [...]... - LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Chương 2: SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC 2.1 CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC 2.1.1 Hội tụ hầu khắp nơi (converges almost everywhere) § Định nghĩa Cho dãy { f n }n và hàm f đo được trên A Dãy { f n }n được gọi là hội tụ hầu khắp nơi về hàm f trên A nếu: ∃B ⊂ A : µ ( B ) = 0 và lim f n ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ A\B n →∞ h k n a e Ký hiệu: f n  f hay f n  f → → Ví dụ: Xét các. .. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Như vậy, nếu đồng nhất các hàm số tương đương thì giới hạn h.k.n của một dãy những hàm số đo được là duy nhất § Định lý hội tụ bị chặn của Lebesgue a e Nếu f n ≤ g , ∀n, hàm g khả tích, và f n  f (hoặc trong độ đo) trên A thì: → lim ∫ f n = ∫ f n →∞ A A 2.1.2 Hội tụ đều (converges uniformly) § Định nghĩa Cho dãy { f n }n và hàm f đo được trên A Dãy { f n }n được gọi là hội tụ. .. fd µ A Tích phân của hàm đơn giản không âm f được xác định bởi (*) là duy nhất với mọi cách biểu diễn của hàm f 1.3.2 Tích phân của hàm đo được không âm Trước khi trình bày định nghĩa tích phân hàm đo được không âm, luận văn đề cập lại định lý về cấu trúc của hàm đo được: ⊕ Định lý Mỗi một hàm số đo được trên A đều là giới hạn của một dãy { f n }n những hàm đơn giản trên A : lim f n = f , ∀x ∈ A n... g đo được trên ¡ ( iii ) Nếu f và g đo được và hữu hạn trên A thì f − g cũng đo được trên A Thật vậy, vì g đo được nên − g đo được Do đó, f − g = f + ( − g ) đo được trên A ( iv ) Nếu f và g đo được, hữu hạn trên A thì f g đo được trên A Huỳnh Việt Khánh SP Toán 01-K.30 - 21 - LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP 1 2 2 Thật vậy, f g = ( f + g ) − ( f − g )  nên f g đo được trên A 4  ∗ Tuy nhiên, mệnh đề đảo của. .. 2.1.3 Hội tụ đều hầu khắp nơi (converges uniformly almost gfhfdheverywhere) Cho dãy { f n }n và hàm f đo được trên A Dãy { f n }n được gọi là hội tụ đều hầu khắp nơi về hàm f trên A nếu: ∃B ⊂ A : µ ( B ) = 0 và f n I f trên A\B Ký hiệu: f n I f hầu khắp nơi (hoặc f n I f a.e) 2.1.4 Hội tụ theo độ đo (converges in measure) § Định nghĩa Cho dãy { f n }n và hàm f đo được trên A Dãy { f n }n được gọi là hội. .. gian đo được Một hàm số f : A → ¡ được gọi là đo được trên tập A đối với σ − đại số F nếu: ∀a ∈ ¡, { x ∈ A : f ( x ) < a} ∈ F Hay viết gọn là: ∀a ∈ R, { f < a}A ∈ F Nếu trên F có độ đo µ thì f được gọi là đo được đối với độ đo µ hay µ − đo được Nếu F = Lk , và X = ¡ k thì ta nói f đo được theo nghĩa Lebesgue hay ( L ) - đo được k Nếu F = Bk , và X = ¡ thì ta nói f đo được theo nghĩa Borel hay f là hàm. .. dụng định lý hội tụ bị chặn n →∞ của Lebesgue, ta suy ra: lim ∫ f n − f = 0 n →∞ A Vậy, f n hội tụ trung bình về f 2.1.6 Hội tụ hầu như đều (converges almost uniformly) § Định nghĩa Dãy hàm đo được { f n }n được gọi là hội tụ hầu như đều về hàm đo được f trên A nếu: ∀ε > 0, ∃B ⊂ A : µ ( B ) < ε và f n I f trên A\B a u Ký hiệu: f n  f → Huỳnh Việt Khánh SP Toán 01-K.30 - 35 - LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP... 01-K.30 - 22 - LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ⇒  1 < a  ∈ F  2  g A Như vậy, Do 1 đo được trên A g2 f 1 f = f g 2 nên suy ra đo được trên A g g g ( vii ) Nếu dãy { f n ( x )}n∈N là một dãy những hàm số đo được và hữu hạn trên A thì các hàm số sup { f n ( x )}n∈N , inf { f n ( x )}n∈N , lim { f n ( x )}n∈N , n n lim { f n ( x )}n∈N là những hàm đo được, và nêu tồn tại lim f n = f , thì f x →∞ cũng đo được trên... dãy hàm đơn giản, không âm, đơn điệu tăng, và lim f n = f x →∞ Tích phân của hàm f trên A đối với độ đo µ được định nghĩa là: ∫ fd µ = lim ∫ f d µ n →∞ n A 1.3.3 Tích phân của hàm đo được bất kỳ Nếu f là hàm đo được bất kỳ, ta phân tích: f = f + − f − Nếu ∫f + d µ hoặc A ∫f − d µ hữu hạn thì hiệu số A ∫f + dµ − A ∫f − d µ có nghĩa và nó A được gọi là tích phân của hàm f trên A đối với độ đo µ Hàm. .. và µ đủ nên { f < a}A ∈ F Vậy, f đo được trên A 1.2.3 Các phép toán trên các hàm số đo được Cho ( X , F ) là không gian đo được, A∈ F ( i ) Nếu f đo được trên A thì với α > 0 , hàm f α đo được trên A Thật vậy, với α > 0 , ta có: { { ⇒ f α Vậy, f } − a A∩ f . một số dạng hội tụ của dãy hàm đo được. Cụ thể hơn, bên cạnh các dạng hội tụ quen thuộc như hội tụ theo độ đo, hội tụ hầu khắp nơi, đề tài còn nghiên cứu một số dạng hội tụ khác như hội tụ hầu. HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC 30 2.1 CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC 30 2.1.1 Hội tụ hầu khắp nơi (converges almost everywhere) 30 2.1.2 Hội tụ đều (converges uniformly) 31 2.1.3 Hội tụ đều. biết, trong không gian độ đo hữu hạn và độ đo được xét là độ đo đủ thì mọi dãy hàm đo được hội tụ hầu khắp nơi thì hội tụ theo độ đo. Vấn đề đặt ra là đối với các dạng hội tụ khác thì có mối liên