Luận văn các dạng hội tụ của dãy hàm đo được

LỜI NÓI ĐẦU Các dạng hội tụ của dãy hàm đo được là một phần nhỏ trong lĩnh vực Độ đo và tích phân Lebesgue.. Lý do chọn đề tài Độ đo và tích phân Lebesgue là nền tảng của giải tích hiện

LỜI NÓI ĐẦU

Các dạng hội tụ của dãy hàm đo được là một phần nhỏ trong lĩnh vực Độ đo và tích phân Lebesgue Đây là

một trong các mảng giải tích được ứng dụng nhiều trong

thực tế, và đặc biệt là nền tảng cho giải tích hiện đại Do

đó, việc nghiên cứu về nó là rất cần thiết

Vì thời gian để hoàn thành luận văn này tương đối ngắn nên không thể nghiên cứu sâu hơn, và chắc còn

nhiều sai sót Rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy

cô và quý bạn đọc

Em xin chân thành cám ơn Bộ môn Toán đã tạo điều kiện cho em nghiên cứu Xin cám ơn cô Trần Thị

Thanh Thúy đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp em sửa chữa

kịp thời các sai sót trong luận văn này

Sinh viên thực hiện

Huỳnh Việt Khánh

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

Cần Thơ, ngày…… tháng……năm 2008

Trần Thị Thanh Thúy

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN

Cần Thơ, ngày… tháng… năm 2008

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 7

1 Lý do chọn đề tài 7

2 Giới hạn của đề tài 7

3 Mục tiêu đề tài 7

NỘI DUNG 9

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 9

1.1 ĐỘ ĐO 9

1.1.1 Đại số tập hợp 9

1.1.2 σ- Đại số 9

1.1.3 σ- Đại số Borel 10

1.1.4 Độ đo trên một đại số tập hợp 11

1.1.5 Mở rộng độ đo 13

1.1.6 Độ đo trên r 15

1.2- HÀM SỐ ĐO ĐƯỢC 17

1.2.1 Định nghĩa 17

1.2.2 Một số tính chất của hàm số đo được 18

1.2.3 Các phép toán trên các hàm số đo được 20

1.3- TÍCH PHÂN LEBESGUE 23

1.3.1 Tích phân của hàm đơn giản không âm 23

1.3.2 Tích phân của hàm đo được không âm 24

1.3.3 Tích phân của hàm đo được bất kỳ 26

1.3.4 Tính chất 26

1.3.5 Giới hạn qua dấu tích phân 27

Chương 2: SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC 30

2.1 CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC 30

2.1.1 Hội tụ hầu khắp nơi (converges almost everywhere) 30

2.1.2 Hội tụ đều (converges uniformly) 31

2.1.3 Hội tụ đều hầu khắp nơi (converges uniformly almost everywhere) 32

2.1.4 Hội tụ theo độ đo (converges in measure) 32

2.1.5 Hội tụ trung bình (converges in the mean) 34

2.1.6 Hội tụ hầu như đều (converges almost uniformly) 35

2.2 CÁC DẠNG DÃY CƠ BẢN 36

2.2.1 Dãy cơ bản hầu khắp nơi (Cauchy almost everywhere, hoặc fundamental almost everywhere) 36

2.2.2 Dãy cơ bản đều ( uniformly Cauchy) 37

2.2.3 Dãy cơ bản hầu như đều (almost uniformly Cauchy) 37

2.2.4 Dãy hàm cơ bản trung bình (Cauchy in the mean hoặc mean fundamental) 37

2.2.5 Dãy cơ bản trong độ đo (Cauchy in measure, hoặc fundamental in measure) 37

2.3 SỰ LIÊN HỆ GIỮA CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC 38

2.3.1 Liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ theo độ đo 38

2.3.2 Liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ hầu khắp nơi 39

2.3.3 Liên hệ giữa hội tụ theo độ đo và hội tụ hầu khắp nơi 40

2.3.4 Liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ đều 43

2.3.5 Liên hệ giữa hội tụ hầu như đều và hội tụ hầu khắp nơi 43

2.3.6 Liên hệ giữa hội tụ theo độ đo và hội tụ hầu như đều 45

2.3.8 Liên hệ giữa hội tụ hầu khắp nơi và hội tụ đều 48

2.3.9 Liên hệ giữa hội tụ trung bình và cơ bản trung bình 49

2.3.10 Liên hệ giữa cơ bản trung bình và cơ bản theo độ đo 50

2.3.11 Liên hệ giữa cơ bản trung bình và hội tụ hầu như đều 50

2.3.12 Liên hệ giữa cơ bản hầu như đều và hội tụ hầu như đều 50

2.3.13 Liên hệ giữa cơ bản theo độ đo và cơ bản hầu như đều 52

2.3.14 Liên hệ giữa cơ bản theo độ đo và hội tụ theo độ đo 53

2.3.15 Lược đồ thể hiện mối liên hệ giữa các dạng hội tụ 54

Chương 4: BÀI TẬP 56

KẾT LUẬN 72

TÀI LIỆU THAM KHẢO 73

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Độ đo và tích phân Lebesgue là nền tảng của giải tích hiện đại Việc nghiên

cứu nó là cần thiết, giúp cho em nắm vững hơn kiến thức về phần này Ngoài ra, em còn có điều kiện nghiên cứu sâu hơn các mảng giải tích có liên quan Đây là lý do chính để em chọn đề tài này

2 Giới hạn của đề tài

Độ đo và tích phân Lebesgue là mảng giải tích hiện đại khá rộng Trong

khuông khổ một luận văn tốt nghiệp, đề tài không thể khai thác mọi vấn đề Do vậy, luận văn tập trung khai thác về một số dạng hội tụ của dãy hàm đo được Bên cạnh

đó, còn xét về mối liên hệ giữa các dạng hội tụ này

Tuy nhiên, để hiểu sâu hơn về các dạng hội tụ, đề tài còn tập trung nghiên cứu về mối liên hệ giữa các dạng hội tụ này Ví dụ, như ta đã biết, trong không gian

độ đo hữu hạn và độ đo được xét là độ đo đủ thì mọi dãy hàm đo được hội tụ hầu khắp nơi thì hội tụ theo độ đo Vấn đề đặt ra là đối với các dạng hội tụ khác thì có

mối liên hệ với nhau như thế nào? Và các mối liên hệ này có thay đổi hay không khi

ta xét chúng trong không gian độ đo hữu hạn? Đề tài sẽ tập trung làm rõ các vấn đề này

Để thuận tiện trong quá trình nghiên cứu, luận văn còn đề cập đến một số

khái niệm mới như dãy cơ bản theo độ đo, dãy cơ bản trung bình,…Và không ngoại

lệ, luận văn cũng đề cập đến mối liên hệ giữa các khái niệm này

ChoM là một họ không rỗng các tập con của X

a Luôn tồn tại duy nhất một đại số C M( ) bao hàm M và chứa trong tất cả

các đại số khác bao hàmM Đại số C M( )gọi là đại số sinh bởi M

b Luôn tồn tại duy nhất một σ- đại số F M( ) bao hàm M và chứa trong tất

cả các σ- đại số khác bao hàm M σ- đại số F M( ) được gọi là σ- đại số sinh bởi M

1.1.3 σ- Đại số Borel

§ Định nghĩa

Cho không gian tôpô ( X, τ) σ- đại số sinh bởi họ tất cả các tập mở trong X

được gọi là σ- đại số borel

A

∞

=

I , theo thứ tự là

Cho C là một đại số trên X

Hàm tập hơp µ: C→ Rlà một độ đo trên C nếu:

A µ

∞

=

∑ , với A n∩A m = ∅(m≠n), A n∈ ∀C, n

Độ đo µ được gọi là hữu hạn nếu µ( )X <+∞

Độ đo µ được gọi là σ- hữu hạn nếu tồn tại { }A i i∈N,A i∈C, thỏa: =U∞=

1

i i

Ÿ µ( )A =0 nếu A= ∅, và µ( )A = +∞ nếu A≠ ∅ là độ đo

Các độ đo ngày được gọi là độ đo tầm thường

⊕ Hàm µ:P( )X →R được xác định bởi:

µ( )A =n khi A có n phần tử, và µ( )A = +∞ khi A có vô hạn phần

tử là một độ đo và được gọi là độ đo đếm

A ⇒ ( ) ∑∞ ( )

=

≤1

i i

Độ đo này được gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài µ*

Tập A thỏa ( )1 được gọi là µ*-đo được

⊕ Định lý 9

Cho m là một độ đo trên một đại số C những tập con của X

Nếu với mỗi A⊂ X đặt:

a Họ các tập có độ đo µ bằng 0 trùng với họ tập có độ đo ngoài µ* bằng 0

L sai khác F C( ) một bộ phận các tập có độ đo không, tức là σ- đại số Lcác tập

đo được có thể thu được từF C( )bằng cách thêm hay bớt một bộ phận của một tập

m P

=

=∑r Khi đó, m là độ đo trên C và mlà độ đo σ- hữu hạn

Độ đo mở rộng µ trên σ- đại số Lđược gọi là độ đo Lebesgue

Các tập A∈Lđược gọi là những tập đo được theo nghĩa Lebesgue (hayA đo

Ÿ Mọi tập Borel trên ¡ đều đo được Lebesgue

Ÿ Tập đo được Lebesgue chính là tập Borel thêm hay bớt một tập có

độ đo không

1.2- HÀM SỐ ĐO ĐƯỢC

1.2.1 Định nghĩa

Cho tậpX, F là một σ −đại số những tập con của X , và A∈F

Không gian (X,F) dược gọi là không gian đo được

Một hàm số f A: →¡ được gọi là đo được trên tập A đối với σ −đại số Fnếu:

Vậy f đo được

1.2.2 Một số tính chất của hàm số đo được

( )i Giả sử f đo được trên A Nếu B⊂ A, B∈F thì f cũng đo được trênB Thật vậy, vì B⊂ A, và B∈Fnên:∀ ∈a ¡,

f <a = ∩B f <a ∈F

Vậy, f đo được trên B

( )ii Nêu f đo được trên A thì ∀ ∈a ¡,{f =a}A∈F

Vậy, f đo được trên A

( )iv Nếu hàm f đo được trên A thì với k∈¡, hàm kf cũng đo được trên A Thật vậy, ∀ ∈a ¡, ta có:

Do đó, theo ( )iii , ta có kf đo được trên A

Như vậy, hàm kf đo được trên A

( )v Nếu f đo được trên { }A n n (hữu hạn hoặc đếm được) thì f đo được trên

Vậy, f đo được trên A

1.2.3 Các phép toán trên các hàm số đo được

Cho (X,F) là không gian đo được, A∈F

( )i Nếu f đo được trên A thì với α >0, hàm f α đo được trên A

Vậy, f α đo được trên A

∗ Tuy nhiên, mệnh đề đảo của mệnh đề trên nói chung không đúng Nghĩa

là, có thể xãy ra trường hợp f αnhưng f không đo được

Trong đó,A⊂¡, A là một tập không đo được Lebesgue

Do đó, f không đo được trên ¡

Nhưng, f x( ) = ∀ ∈1, x R nên f đo được trên ¡

( )ii Nếu f và g đo được, hữu hạn trên A thì f +g đo được trên A

Gọi { }r n n là dãy các số hữu tỷ

⇒ +f g đo được trên A

∗ Tuy nhiên, mệnh đề đảo của mệnh đề trên nói chung không đúng Nghĩa

là, nếu ta có f +g đo được thì chưa suy ra được f và g đo được

A x x

f

,0

,1

1

nên f , glà những hàm số không đo được trên ¡

Nhưng, (f +g)( )x = ∀ ∈0, x R nên f +g đo được trên ¡

( )iii Nếu f và g đo được và hữu hạn trên A thì f −g cũng đo được trên A

Thật vậy, vì g đo được nên −g đo được Do đó, f − = + −g f ( )g đo được trên A

( )iv Nếu f và g đo được, hữu hạn trên A thì f g đo được trên A

Thật vậy, 1 ( ) (2 )2

.4

f g=  f +g − f −g 

  nên f g. đo được trên A.

∗ Tuy nhiên, mệnh đề đảo của mệnh đề ( )iv không đúng

Với A⊂¡,A là tập không đo được Lebesgue

Rõ ràng, f g, không đo được trên ¡ Nhưng, ( )( )f g x = ∀ ∈0, x ¡ nên f glà hàm đo được trên ¡

f g =  f +g − −f g là những hàm đo được trên A

Do đó min{ }f g, , max{ }f g, đo được trên A

( )vi Nếu f và g đo được và hữu hạn trên A, g x( )≠0, ∀ ∈x A, thì f

g đo được trên A

đo được trên A.

( )vii Nếu dãy {f n( )x }n

∈ Nlà một dãy những hàm số đo được và hữu hạn trên

A thì các hàm số sup{ n( ) }

n n

Hàm số f xác định trên A được gọi là hàm đơn giản nếu f đo được và nhận một số hữu hạn những giá trị hữu hạn

Như vậy, nếu f là hàm đơn giản không âm xác định trên tập A∈F Khi đó, f

A A

1.3.2 Tích phân của hàm đo được không âm

Trước khi trình bày định nghĩa tích phân hàm đo được không âm, luận văn đề cập lại định lý về cấu trúc của hàm đo được:

• Ta chứng minh cho trường hợp f ≥0 trên A

Với mỗi số tự nhiên n, ta đặt:

( ) {x A f x n}

n

n n

22

21

Giả sử f là đo được không âm, xác định trên tập A Khi đó, tồn tại f n dãy hàm đơn giản, không âm, đơn điệu tăng, và lim n

f d µ

→∞∫

1.3.3 Tích phân của hàm đo được bất kỳ

Nếu f là hàm đo được bất kỳ, ta phân tích: f = f+− f−

Hàm f được gọi là khả tích trên A nếu ∫

A

fd µ =

∫ ( )iii Nếu f đo được, giới nội trên A và µ( )A < ∞ thì f khả tích trên A

1.3.5 Giới hạn qua dấu tích phân

Định lý hội tụ đơn điệu

Cho dãy hàm đo được { }f n

Nếu 0≤ f n ↑ f trên A thì lim n

12

11 h h h f

h ≤ ≤ ≤ ≤ n ↑

2 2 23

n n A

g lim limlim

Vậy, lim n lim n

A

f d µ≤ f d µ

Chú ý:

( )i Nếu f n ≥g,g khả tích trên A thì bổ đề Fatou vẫn còn đúng

Thật vậy, do f n ≥g nên f n−g≥0trên A

Từ kết quả trên ta được:

∫ ( − )≤ ∫ ( − )

A n A

f limlim

Vì ∫

A

g hữu hạn nên :

∫ ( − )+∫ ≤ ∫ ( − )+∫

A A

f limlim

⇒∫− ( )≤− ∫

A n A

f limlim

Vậy, ∫ ≥ ∫

A n A

f limlim

Chương 2: SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC

2.1 CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC

2.1.1 Hội tụ hầu khắp nơi (converges almost everywhere)

§ Định nghĩa

Cho dãy { }f n n và hàm f đo được trên A

Dãy { }f n n được gọi là hội tụ hầu khắp nơi về hàm f trênA nếu:

f → f

Ví dụ: Xét các hàm số:

1 2 ,

Như vậy, nếu đồng nhất các hàm số tương đương thì giới hạn h.k.n của một dãy những hàm số đo được là duy nhất

§ Định lý hội tụ bị chặn của Lebesgue

Cho dãy { }f n n và hàm f đo được trên A

Dãy { }f n n được gọi là hội tụ đều về hàm f trên A nếu:

Sau đây là điều kiện cần và đủ để một dãy hàm đo được hội tụ đều

Cho dãy { }f n n và hàm f đo được trên A

Dãy { }f n n được gọi là hội tụ đều hầu khắp nơi về hàm f trênA nếu:

( )

B A µ B

∃ ⊂ = và f nIf trên A\B

Ký hiệu: f nIf hầu khắp nơi (hoặc f nIf a.e)

2.1.4 Hội tụ theo độ đo (converges in measure)

§ Định nghĩa

Cho dãy { }f n n và hàm f đo được trên A

Dãy { }f n n được gọi là hội tụ theo độ đo µ về hàm f trênA nếu:

Khi đó f n µ→f trêm [ ]0.1 , với µ là độ đo Lebesgue trên ¡.

§ Tính chất của dãy hàm hội tụ theo độ đo

§ Định lý hội tụ trung bình (Mean convergence theorem)

Giả sử { }f n n, f là những hàm đo được trên A thỏa mãn:

n A

f f

→∞∫ − =

Vậy, f n hội tụ trung bình về f

2.1.6 Hội tụ hầu như đều (converges almost uniformly)

§ Định lý

Cho dãy { }f n n và hàm f đo được trên A Khi đó:

( ) ( ) 0

2.2.1 Dãy cơ bản hầu khắp nơi (Cauchy almost everywhere, hoặc

fundamental almost everywhere)

Dãy { }f n n được gọi là cơ bản hầu khắp nơi trên A nếu:

∃ ⊂B A:µ( )B =0, ∀ ∈x A B\ ,∀ > ∃ =ε 0, n0 n0( )x,ε : f n( )x − f m( )x < ∀ε, n m, ≥n0

2.2.2 Dãy cơ bản đều ( uniformly Cauchy)

Dãy hàm đo được { }f n n trên A được gọi là cơ bản đều trên A nếu:

2.2.3 Dãy cơ bản hầu như đều (almost uniformly Cauchy)

Dãy hàm đo được { }f n n trên A được gọi là cơ bản hầu như đều trên A nếu:

( )

0, E δ : E δ

∀ > ∃ < và { }f n n cơ bản đều trên A\E δ

2.2.4 Dãy hàm cơ bản trung bình (Cauchy in the mean hoặc mean

Cho không gian độ đo (X, ,F µ), A∈F

Cho dãy { }f n n đo được trên A với µ là độ đo

Dãy { }f n n được gọi là cơ bản theo độ đo µ trênA nếu:

∀ > − ≥ → khi m n, → ∞

2.3 SỰ LIÊN HỆ GIỮA CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM

Do đó, f n →µ f.

1 1

n n

f − f d µ = nd µ= ∀ ∈x

nên f n không hội tụ trung bình về hàm f

2.3.2 Liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ hầu khắp nơi

f − →f

Vậy, f n hội tụ trung bình về hàm f

∗ Ví dụ sau cho thấy { }f n n hội tụ hầu khắp nơi về hàm f , nhưng { }f n n

dfghdfkhông hội f tụ trung bình về hàm f

Ta có: ∀x∈[ ]0,1 ,

( ) 2 2

2

1 lim lim lim 0

1 1

f → trên đoạn [ ]0,1

Do f n hội tụ trung bình về hàm f nên f n µ→f

Suy ra tồn tại dãy con { }f n k ⊂{ }f n sao cho .

k

a e n

f → f

2.3.3 Liên hệ giữa hội tụ theo độ đo và hội tụ hầu khắp nơi

§ Định lý

Cho dãy hàm { }f n n đo được trên A , hội tụ hầu khắp nơi về f trên A và µ

là độ đo đủ thì f đo được trên A

Như vậy, f đo được trên A= ∪B (A\B)

⊕ Giả sử ta có µ( )A < ∞, ta cần chứng minh f n µ→ f trên A

Vớiε >0 cho trước, ta có:

E µ

Cho dãy hàm { }f n n, và hàm f đo được trên A Khi đó, nếu f nµ→f trên

A thì tồn tại dãy con { } .

f → f

2.3.4 Liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ đều

f − ≤f εµ A ∀ >ε

∫

n A

⇒∫ − → → ∞

Vậy, f n hội tụ trung bình về hàm f

2.3.5 Liên hệ giữa hội tụ hầu như đều và hội tụ hầu khắp nơi

µ < và

n

f If trên E k c

Đặt

1

c k k

f →f trên A, suy ra, µ(A\E)=0

Do vậy, với ε >0 cho trước, ( k)

k k

2.3.6 Liên hệ giữa hội tụ theo độ đo và hội tụ hầu như đều

Cho dãy hàm { }f n n, f là những hàm đo được trên A

Nếu f n µ→f , thì tồn tại dãy con { }f n k k ⊂ { }f n nsao cho .

k

a u n

k j k

2

1

1 + +

≤ −

Điều này chứng tỏ f nIf trên E.

2.3.9 Liên hệ giữa hội tụ trung bình và cơ bản trung bình

2.3.10 Liên hệ giữa cơ bản trung bình và cơ bản theo độ đo

Nếu dãy { }f n n các hàm khả tích là cơ bản trung bình thì { }f n n là cơ bản trong độ đo

Như vậy, { }f n n là cơ bản trong độ đo

2.3.11 Liên hệ giữa cơ bản trung bình và hội tụ hầu như đều

Vì dãy { }f n n là cơ bản trung bình trên nên { }f n n là cơ bản trong độ đo

Theo định lý Riesz, tồn tại dãy con { }n k