Các dạng hội tụ của dãy phần tử ngẫu nhiên đa trị

Trang 1

MỤC LỤC Trang IN, OCOD 016 © 022022002 0 0 00g n n n n n b kk va 1 MỞ ĐẦU 000220212 ng ng ng nh kh vn kg 2 Chương 1 kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 4

1.2 Khơng gian các tập con của khơng gian Banach 5

1.3 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị đĩng 10

Chương 2 Định nghĩa và một số định lý về sự hội tụ của dãy phần tử ngẫu nhiên đa trị 13

2.1 Các dạng hội tụ trong khơng gian các tập đĩng 13

2.2 Các dạng hội tụ của biến ngẫu nhiên đa trị 23

Trang 2

LỜI NĨI ĐẦU

Lý thuyết xác suất thống kê là một trong những hướng nghiên cứu quan

trọng của Tốn học, nĩ cĩ nhiều ứng dụng trong thực tế Trong thời gian

gần đây, xác suất đa trị đã cĩ bước phát triển mạnh mẽ, thu được nhiều ứng

dụng trên nhiều lĩnh vực khác nhau như: tối ưu hĩa và điều khiển, hình học

ngẫu nhiên, tốn kinh tế, thống kê, Vì lẽ đĩ, xác suất đa trị đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà tốn học Chúng ta cĩ thể kể tên một số

nhà tốn học tiêu biểu nghiên cứu về lĩnh vực này như: Gerald Beer, Charles

Castaing, Fumio Hiai, Robert Lee Taylor, Các kết quả về xác suất đa trị là một sự mở rộng thực sự các kết quả về xác suất đơn trị

Căn cứ vào những lý do đĩ, chúng tơi quyết định nghiên cứu đề tài “Các dạng hội tụ của dãu phần tử ngẫu nhiên đa trị”

Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của

PGS.TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc của

mình đến Thầy Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm

Khoa Sau đại học và các thầy, cơ giáo trong Khoa Tốn đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ trong suốt thời gian học tập

Cuối cùng tác giả xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè trong lớp Cao học 17 - Xác suất thống kê đã cộng tác và giúp đỡ trong suốt quá trình học

Trang 3

Mặc dù đã cĩ nhiều cố gắng nhưng khơng tránh khỏi những hạn chế, thiếu sĩt Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đĩng gĩp của các thầy, cơ giáo

và bạn bè để luận văn được tốt hơn

Trang 4

CHƯƠNG 1

KIEN THỨC CHUAN BI

1.1 MOT SO KIEN THUC CHUAN BI

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử % là khơng gian mêtric, dãy {z„} C % Khi

đĩ,

i) day {an} C % được gọi là hội fụ uề z € % nếu d(z„, z) — 0 khi n — œ ii) dãy {z„} được gọi là đấy cơs¿ nếu với mọi e > 0 tồn tại nọ € Ä sao cho

đ(#ạ, tạ) < £ Vn,1m > nụ

Khơng gian mêtric % được gọi là khơng gian đầy đủ nếu mọi dãy cơsi đều

hội tụ

Khơng gian định chuẩn (7#, |.||) được gọi là khơng gian Banach nếu (P, |.||) là đầy đủ với đ là mêtric sinh bởi chuẩn ||.||, tức là

d(x,y) = ||« — w|| Y z, € F

Định nghĩa 1.1.2 Giả sử X là tập bất kỳ # là khơng gian định chuẩn và ƒ: X— E Ánh xạ ƒ được gọi là b¿ chặn trên tập con A của X nếu tồn

tại hằng số c sao cho

|ƒ(z)l<c Vaœe A

Brg(X) =‡{ƒ: X— | ƒ là hàm bị chặn }

Khi do, || || = sup || f(x)|

z„cX với ƒ € Ưp(X) là một chuẩn trên ưz(X)

Định nghĩa 1.1.3 Gid sit {fn} C Bp(X), X la tap bất kỳ Khi đĩ day

Trang 5

¡) hội tụ tới hàm ƒ trên X nếu với mọi e > 0 và z € X tồn tại ng = ng(<, +)

sao cho véi moi n > no thi

Il fn(2) — f(x)|| < s:

Ký hiệu fn > f khin > 00 hay lim fp(x) = ƒ(z) - noo

ii) hội tụ theo chuẩn sup trong Bg(X) tới ƒ nếu ƒ € Bpg(X) va sup |[ƒfa(z) — ƒ(z)|| — 0 khi z — ©

rex

Định nghĩa 1.1.4 Giả sử {z„} là dãy trong khơng dinh chuan E Day {z„} được gọi là hội tụ yếu tới z nếu dãy {z„} hội tụ đến z € X theo topo yếu (2, !*), tức là với mọi ƒ € E* thì

ƒ(z„) > f(a) khi n —> œ

Khi đĩ chúng ta ký hiệu z„ , x

Dinh ly 1.1.5 i) Gia sé X là khơng gian mêtric, thà tập A C 3 là tập

đĩng khi uà chỉ khi uới mọi dãy {an,m > 1} CA mà zạ > x thine A ii) Méi tap A trong khơng gian mmêtric % là tập compact néu moi day

{an.n > 1} CA đều chứa một tập cơn fan, : k > 1} hoi tu téi mot diém thuộc A 1.2 KHONG GIAN CAC TAP CON CUA KHONG GIAN BANACH Gia stt (X, ||.||x) 1& khong gian Banach 1.2.1 Ký hiệu

1) 7u(z) là họ các tập con khác rỗng của %

1) Kg« là họ các tập con compact, lồi khác rỗng của %

1i) Kp(%) là họ các tập con đĩng, bị chặn, lồi khác rỗng của #% 1v) Kp.(%) là họ các tập con bị chặn, lồi khác rỗng của X

Trang 6

v) K(X) la ho cdc tap con đĩng khác rỗng của # vi) Trén Po(X) định nghĩa hai phép tốn như sau: Với mọi A, B € P(X) va ER A+B={a+b:aEA,be B} AA = {Aa:a€ A},AER ký hiệu A@P=cla+b:a€A,bc DỊ cl: là bao đĩng cua A+ B trong X Định lý 1.2.2 Nếu A,B € Kg.(%) th A+ B € Kp.(%)

Chứng múnh 'Ta cần chứng mình nêu 44, Ð compact thi A+ B compact

Để chứng minh A + compact ta chứng mỉnh mọi dãy {z„} C A+ B đều

cĩ một dãy con hội tụ

i) Giả sử {z„} C A+ P khi đĩ tồn tại {z„} C 4,{0n} C Ð sao cho

2p = In + Yn-

Vi Acompact nén t6n tai

k—>œ

{tn,} C {an}: an, > ced

Trang 7

y=agth:a€ A: WEB Vi A 16i nén véi moi A € [0, 1] Àøi+(1—À)sa€ A Abi +(1— A)ba € A Khi đĩ Aa + (1 — A)y = A(ay + b1) + (1 — A)(a2 + b2) EC A+B Suy ra A+ P lồi L] Định nghĩa 1.2.3 Nếu A, B € 7ụ(%),z € % thì khoảng cách giữa z và A được định nghĩa

d(x, A) = inf A(x y) véi d(x, y) = ||r — 9||x: Định nghĩa 1.2.4 Khoảng cách trén Po(X) được định nghĩa

H(A, B) = max { sup d(a, B).sup a Ay} aga € Đặc biệt ký hiệu lLAllx = H(4.0) = sup{llz|lx : z € 4} Chú ý 1.2.5 Nếu A, ? là các tập khơng bị chặn thì /7(A, B) cé thể võ hạn

Định lý 1.2.6 a) Khơng giưn (Kp(%)), II) là khơng gian mmêtric b) Khơng gian (Kp(%) H) là khơng gian métric day di

Trang 8

Vi A, B bi chan nén tồn tại m > 0 sao cho |Allx < m \l|x < mm Lấy a € A suy ra d(a, B) = inf (a, y) < inf d(a, 0) + inf d(0, y) < 2m Lay b € B suy ra d(b, A) = inf (b, y) < inf d(b, 0) + inf d(0, y) < 2m yeA Do dé H(A, B) = max { sup d(a, B), sup d(b, ay} < oO acs €

Vi A dong suy ra A= A= {2 € X : d(x, A) =O} Nếu AC B thi d(x, B) < d(x, A) véi moi x € &

Ta cé

H(A, B) = 0 khi va chi khi max { sup d(a, b), sup d(b, 4)} =0

acA bcB

sup da, B) = 0 2 {i B)=0 VaeA

Trang 9

Thật vậy, lấy a € A,b€ B,e€ Œ ta cĩ

la — 0||x < lla — ellx + lle — Olle

Lấy inf với b€ B ta cé

đ(a, B) < ||a— c||x + d(c, B) Lấy inf với e € Œ ta cĩ

d(a, Ð) < d(a,c) + inf d(c, B)

ccC

Inf(c, Ð) < sup d(c, Ð)

ccC ccŒ

va lay sup vdi a € A ta cĩ

sup d(a, B) < sup d(a,C)+ < supd(c, B) < H(A,C) + H(C, Ð)

acA acA ccŒ

Tương tự

sup d(b, A) < sup d(b,C)+ < supd(c, B) < H(B,C) + H(C, A)

bcB ccŒ

Suy ra H(A, B) < H(A,C) + H(C B) L] Định lý 1.2.7 Nếu % khả ly thi khong gian (K(%, H) khả lụ

Chúng m¿nh Lây một tập con D đếm được trù mật trong % Gọi 7Ð là tập các tập con hữu hạn của 2 Khi đĩ 7 là đếm được Ta cần chứng minh ? là

tri: mat trong khong gian K(X)

Với mỗi EF € K(X) vie > 0, ton tai {x; € EF: 1,1} sao cho EC U B(z¡,£)

=

và

EZn B(;,e) # Ú với ¡ = 11

trong đĩ P(z;,=) là hình cầu mở tâm z; bán kính e

Vì 7 là trù mật trong ® nên tồn tại L; = fy, yo, , yi} C D sao cho

|l+; — ¿|| < e với k = 1,1

Trang 10

R6 rang E; € 7) 'Ta chứng mình H(;, F) < 2e "Thật vậy, với z € # thì lu: — z|Ìx < llu — +zl|x + |l+; — zllx: Lấy inf với z € "2 ta cĩ du, J2) < ||; — #;|[x + d(y, 72) Nếu z„ € Ƒ thì đ(+;, E) = 0

Nếu z„ £ ⁄ do B(zs,z)n E z Ú thì tồn tại z € D(+;,) 1 sao cho

d(sy, E) = inf line — < lizx — all <<

suy ra đ(y, #2) < 2e hay sup d(; F) < 2z

Mặt khác, với mỗi ¿ € /¿ và z¡ € Đ với ¡ = 1,Í ta cĩ llứ — yl] < [le — #¡|| + lz: — 9Ì: Lay inf với € 2z suy ra

d(x, Ez) < ||x — aj|| + d(a;, Ee)

Lấy inf với z¡ € Đ; suy ra d(x, Fz) < d(a,Nz) +e Vi « € E nén ton tai ip sao cho x € P(zio.e) Do đĩ ||+z — +o|| < ¢, suy ra O đ(œ, F;) < e Vì thế sup đ(œ, #;) < 2c Do vậy H(¿, FE) < 2z rex

1.3 PHAN TU NGAU NHIEN NHAN GIA TRI DONG Giả sử (O,.4) là khơng gian đo được, % là khơng gian métric

Dinh nghia 1.3.1 Mot anh xa F : Q + Po(X) dude goi la ánh xạ đa trị

Trang 11

¡) Tập hợp G(F') = {(,z) EQ x ¥: 2 € F(w)} duoc goi la do thi cia F

1) Với mỗi A C X, tap

F(A) ={weEQ: F(w)nAFG}

được gọi là nghich anh cia tap A qua anh xa F’

Định nghĩa 1.3.2 ¡) Ánh xạ đa trị F : Q — K(®) được gọi là đo được

mạnh nếu mỗi tập con đĩng CC &, ta đều cĩ F(C) € A

ii) Anh xa da tri F : Q > K(X) được gọi là đo được yếu nếu mỗi tập con mé O C &, F~(O) € A Mot anh xa da tri do dude yếu được gọi là biến ngẫu

nhién da trị

Dinh ly 1.3.3 Anh xa da tri do dugc manh la bién ngdu nhiên đa trị

Dinh ly 1.3.4 Gia st (Q,.A) la khéng gian do duoc, X la khong gian khả ly Gia si F : Q— K(X) la anh xạ đa trị ta xét các điều kiện

1) Với mỗi tập Borel B C X, F~(B) € A; u) Voi méi tap ding C C ¥, F-(C) € A; iii) Với mỗi tập mở O C %, F~(O) € A;

20) œ c> d(œ, F()) là hàm đo được uới mỗi z € %;

9) G(F) la A x Bx do được Trong đĩ Bx là g-đại số Borel của %

Khi đĩ ta cĩ các kết quả sơu:

1) () > (4) > (wi) => (wv) => (0)

2) Nếu % dầy đủ uà A đầu đủ vdi dé do a-hitu han thi (i) & (it) & (ii) © (iv) & (v)

Trang 12

CHƯƠNG 2

ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ HỘI

TU CUA DAY PHAN TU NGAU NHIEN DA TRI

2.1 CAC DANG HOI TU TRONG KHONG GIAN CAC TAP DONG

Dinh nghia 2.1.1 Cho {A,, A} C K(%)

1 (An) được gọi là hội f đến A theo métric Hausdorff Ky hiéu 1a: (H) A„—>A hoặc (H) lim An = A néu lim H(4„, A) = 0

No noo

2 (Aa) được gọi là hội tụ yếu đến A Ký hiệu: (W')Aa->A hoặc (W) lim A, =A

N00

néu véi moi «* € X* thi

lim S(a*, An) = S(a*, A) NOC véi S(a*, A) = sup(a*,a) acA 3 Aa được gọi là hộ tụ đến A theo nghĩa Wijsman Ký hiệu (Wijs) lim A, = A no nếu với mọi z € % thì lim d(x, An) = d(x, A) NFO Dinh ly 2.1.2 Cho A, B € K(X) vdi H(A, B) < 00 Khi do H(A, B) = sup |d(x, A) — d(x, B)| rex Hơn nữa, với {Ana, A} C K(%).H(Aa)—A khá ồ chỉ khá {d(œ, An):m€ N}

hot tu déu vé d(x, A) vdi moi x € X Nghia la

lim sup |d(x, An) — d(a, A)| = 0

NOC rex

Trang 14

H(A, B) = max {sup d(x, B), sup d(x, ay} zecA „cB = max {sup d(a, B), sup d(x, A) — d(x, »)} œc# zc® = sup |d(œ, 4) — d(z, Ð)| LEX

Suy ra điều phải chứng minh

( Cha ¥: sup |f(x)| = max {s plrte)).sup(—F(e))} ) EX wEX Chú ý 2.1.3 Từ định lý trên ta cĩ định nghĩa tương đương về khoảng cách Hausdorf H(A,B) = max{inf{A: BC U(A;A)};inf{A: AC U(B;À)}} với U(A;A) = {x : d(a, A) < X} Chitng minh That vay, hién nhién A C U(B : supd(a, B)) thì ta cĩ acA inf{\: AC U(B: X)} < supd(a, B) (1) acA

Giả sử rằng A4 C U(B : A) khi dé véi moi ¢ > 0 thi tén tai ap € A sao cho

Trang 15

Chứng minh tương tự ta cĩ

in{A: B CU(A;A)} = supd(b, A)

beB

Suy ra điều phải chứng minh L]

Định nghĩa 2.1.4 Giả sử {A„, A} C K(3) Khi đĩ, A„ được gọi là hội

tụ đến A theo nghĩa Mosco nếu

w-limsup A, = A =s- liminf Ap, n—>oo noc trong dé w-limsup A, = {# = w-limam : Gm € Am,m € M véi M CN} n+ oC va

s- liminf An = {x =s-limzy : tp € An, n € N} Ky hiệu là (KAf)Aa->A hoặc (KM) im An = A

Chúng ta thấy rằng s-liminfz„ = z cĩ nghĩa là ||#„ — z|Ìx = 0 và

w- lim z„„ = + cĩ nghĩa là z„ hội tụ yếu đến x

Điều này cĩ nghĩa

i) « € w-limsup A, néu tén tai day con {Ap, } C {Aa} và zạ, € Á„, sao Ww cho ap, —> đt: ti) x €s-liminf A, néu ton tai day {ap}; an € An sao cho #„ Al, x Định lí 2.1.5 1 Rõ rang s-liminf A, C w-limsup Ap n-00 noc

Vì vậy khi chỉ ra sự hội tụ Mosco ta chỉ cần chứng minh

w- lim sup 4; C 4C s- lim inŸ Aạ,

Trang 16

2 Khái niệm s- lim inf Á„ và w- lim sup 4„ là khác với khái niệm lim Inf và NK mo lim sup là của dãy tập {Aa, ø € Đ} Mà ta ký hiệu là 121; và LsA„ với œ œ LiAn = (J (| An va LsAn = (] LJ - k=ln>k k=ln>k Mối liên hệ giữa s- lim inf A„, w- lim sup 4„ và 24, DsA„ là như sau N00 n—-00 Lid, C s-liminf Ay = § LiU (40:7) = [] U f1 U (4n:¢) œ %

LsAn C we lim An = f1 w-cl ( U An} 3 Cho {An} C Ke(X) a) Khi dé œ w- limsup An = U (~- lim sup(Ay Mn) Tì>OG NO p=l b) Nếu #®* là khả ly hoặc % là khơng gian phan xa thi Co «x x w- lim sup Ay = mạn = #3 ( Ù (5ƒ) p=1n=l -cl m=n A 0) |

Trang 17

Cho po € N sao cho po > a, cho k > 1,24 € Ap, Apo thi x € w-limsup(An N pol)

No

Vay ta cĩ điều phải chứng minh

b) Để chứng minh (b) ta chỉ cần chứng minh với p > 1 thì w- lim sup(Aa f1”) = đ w-cl LJ (Am Men)

n—-0o n=1 mm=n

Thật vậy, từ %7 là khả ly, đặc biệt nếu % là khơng gian phản xạ thì pỮ là com-

pact va metric hĩa được đối với tơpơ yêu Từ định nghĩa của w- lim sup(1„ NO pU) ta cĩ x € w-limsup(Ay ()e0) ?:—}>O%C với mọi + > 1 Từ đĩ ta cĩ € w-cl ( UJ (Am a) oO †n=n

Định lý 2.1.6 Cho {A„,A}C Kwy(®)

1) Néu (H)An—> A thi (W)Anp—> A

2) Néu S(a*, An) —> A(a*, A) vad K* C X* thi (H)An— A

B6 dé 2.1.7.1 1 € A & (X*, x) < S(x, A); Va* € X*

2 Cho {A, An,n € N} C K,(%) ồ Aa hội tu tới A theo métric Hausdorff Khi đĩ lim S(a*, An) = S(a*, A), Va* © %7 noo Uới S(+z”,A) =sup( ”,u) Va* € X* acA

Dinh ly 2.1.8 1 Néu {An, A} C K(X) va (H)An—A thi (KM) Ap, A 2 Néu dim ¥ < 00, {An, A} C Ky(¥) va

(KM)A„—>A thì (H) Ay—>A

Trang 18

Chitng minh 1 Cho « € A suy ra tồn tại z„ € A„ với n € Đ sao cho

|lz — z:||x < đ(œ Aa) + —

Từ Định lý 2.1.2 ta cĩ /T( A„, 4) —> 0 suy ra d(z, Aa)—>d(, 4) = 0

Với mọi z € A dẫn đến |lz„ — z||x—>0 khi n—>œ

Vay « € s-liminf A, suy ra A C s-liminf Ap

NOX no

Lay « € w-limsup A, suy ra ton tai day ny < ng < VA Xn, € An, $ao

NFO

cho (W }ze„,—z

Từ Bổ đề 2.1.7 ta cĩ (3, #n,) < S(+*, Aø,) với mọi 2* € X* Mặt khác, từ giả thuyết (I)A„—>A và Bổ đề 2.1.7 ta cĩ

lim S(z”, Aa,) = S(a*, A) với mọi +” € %”

no

Vì vậy ta c6 (a*, an) < S(a*, An)

Do đĩ với mọi z € A và theo Bổ đề 2.1.7 Suy ra (NAM) Aa = A O Dinh ly 2.1.9 Cho {An, A} C Kie(x) va dim < 00 thà các mệnh đề

Trang 20

Ta cĩ với mọi n € N va 21, 22 € X* thi

1, An) — OLV9, An)| S ||Z1 — 22||3:- K-

|S(aq, An) — S(xg, Aa)| < |l+ï — +šllx:-lL |

Suy ra lim sup|S(sÿ, Ang — S(zj, 4)| > 0 (trái với giả thiết)

¡—œ

Vay (W)Ay 3 A H

Dinh ly 2.1.10 Gid st {Ay} va {By} la hai day thuéc K;(X)

1) nếu A € K,(%) va lim sup s(a*, An) < s(a*, A) vdi mot x* € X* thi

Tì>Ằ%

w-lim sup Ay C A

noo

2) Giả sử % là khơng gian phan xa hoặc khơng gian khả lụ Khi đĩ

ø) nếu sup, ||4n|[c < œ thà w-lim sup 4a là một tập compact yếu khác

?†>%

rong va lim sup s(a*, An) < s(a*,w-lim sup Ay) vdi v* © X*

n—>o© n—-0o

b) néu SUPn | Anllac < oo thi

w-limsup cl(An + Bn) C w-limsup A, + w-limsup By NO NO NFO c) néu w-limsup Ay vd w-limsup B, la các tập khác rỗng thà NOOK NO H(w-limsup Ay, w- limsup By) < lim sup H(Ap, By) NO NO NOOO Chiing minh 1) Néu x € w-limsup A, thi ton tai day {x, € An, } sao cho NOC w- lim x, = x Do dé ke (@*,#) = lim (2*,a,) < limsup s(a*, Ap) < s(a*, A) k—>œ NOC với mọi 2* € X* Kết hợp với Bổ đề 2.1.7 suy ra z € A

2 a) Lay r = sup, ||An|lx < œ Vì {z € %: ||zllx < z} là compact và

metric hĩa được theo tơpơ yếu, nên

œ oO

w- lim sup A, = () weel( UJ An) x0

n—00 m=1 n=mM

Trang 21

Với zø € %* thì ta cĩ thể chọn được một dãy {x, : x, € 4„,} sao cho

(x*, cy) 2 limsup s(a*, Ay) va w- lim a, = x véi © € & noo k-00 Do đĩ z € w- limsup A, va NCO lim sup s(2*, An) = (2*, x) < s(2*, w-limsup Ap) ?>oC© no 2b) Néu z € limsupw-cl(A, + By) thi tồn tại dãy {z„ € Aa,} và y, € Bn, noo sao cho w- lim (ay + yp) = 2 k—>oc Chúng ta giả thiết rằng lim 2, =a va w- lim y, = y = z— # Do đĩ k-00 ->%œ z=a«a+y€w-limsup A, + w- lim sup Đạ Tì~›O© noo 2c) Gia sit limsup H(An, Bn) < 00 Lay x € w-limsup A, thi tén tai day NIX Tì>% {xz € An, } sao cho w- lim #y = 2 k-00 Với mỗi k > 1 ching ta chon yz € By, sao cho 1 l1 — Yellx < H(An,, Bn,) + k Do day {y,} bị chặn yếu nên w- lim ¿¿ = y thudc vao w- lim By, va k—œ NOC d(z, w- lìm sup Pạ) < ||# — 9ÌÌx NIX

< lim sup ||#y — yg|lx ko

Trang 22

Vì vậy

Giả sử

4i C U(4;e)U (Ù 3)

n=1

Vì Ai là compact và A„ là dãy giảm suy ra tén tai n € N sao cho A; C

UA(A; <2) U AS Tit day suy ra

Ay NU(A;2)°N An = 0 Vi An C 4i theo giả thiết nên

U(4:£)“ f1 ÁAa = Ú suy ra Ap C U(Aa:£)

Vay ta cĩ điều phải chứng minh O

2.2 CAC DANG HOI TU CUA BIEN NGAU NHIEN DA TRI Gia sti (0, F,P) la khong gian xdc suat day đủ E 1A khong gian Banach khả li, G 1a o-dai sé con cha F, B(E) 1a o-dai sé Borel

Dinh nghia 2.2.1 Ta noi Anh xa X : Q—> E là phần tử ngẫu nhiên G-do dude, nhan gia tri trong F nếu X là đ/B(E) đo được (nghĩa là với mọi

B € B(E) thi X~!(Đ) e đ) Phần tử ngẫu nhiên 7-do được được gọi là phần

tử ngẫu nhiên

Định nghĩa 2.2.2 1 Dãy phần tử ngẫu nhiên (Xạ) gọi là hộ #u đến ánh xạ X:Q— E nếu X;(¿)—> X(0) (theo chuẩn) với mọi œ € © Và ký hiệu

Xn— X

2 Day phần tử ngẫu nhiên (X„) gọi là hội tu hau chac chan (h.c.c) dén ánh xạ X : Q—> E nếu tơn tại tập N € F sao cho P(N) = 0, Xp(w)—>X(w) (theo chuẩn) với mọi œ € \N Va ky hiéu X;, meg x,

Trang 23

Định nghĩa 2.2.3 Giả sử (X„) là dãy phần tử ngẫu nhiên cùng xác định trên khơng gian (O,.Ƒ, P) nhận giá trị trong (E, Ø(E)) Ta nĩi (X„) hội tụ đến

X:

hầu chắc chắn nếu P( Jim |X» - X||= 0) =1

theo xác xuất nêu với mọi e > 0 thì im P(lX; — X|[> £) = 0 yéu (theo phan phéi) néu Px, WY, Py trong đĩ

Px :B(E)—+R

B— P(X”1(8))

Vi du 2.2.4 Cho X, @“S x, y, 8 Y Khido X, +¥_ BSS X+Y

Chiing minh Dat

Q; = {w : lim ||Xp(w) — X(w)]] = 0} No

noc

Q% = {w : lim |[Yp(w) —Y(w)|] = 0}

Theo gia thict X„ hee X và Yn hee ' nên

P(ĨI) =P(9;) =1 =P(O¡n9;) = 1

Khi đĩ nếu œ = On» thì

lim ||Xn(w) — X(w)|| = 0 4 Xu) V4 x(w)

im, |¥n(w) — Y(w)|| = 0 Yn (w) dll Y(w)

Trang 25

qt ¬8 C8 Đ BO 7 oN Si —z | _ ~ ll ¬ 3 i ra 3 Il ¬ † tg 8 Ệ rd a “~~ a | 8 1C8 Ti & — —

lim P(D,(e)) = 0 vì Dạ(e) là giảm Vậy ta cé diéu phai chitng minh O

Nhận xét 2.2.6 Từ định nghĩa sự hội tụ trong khơng gian A(X) ta suy

ra rằng nếu {„} là dãy các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên các tập đĩng, thì ta cĩ 1 F„ hội tụ h.c.c tới biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập đĩng F theo metric Hausdorff néu NO (Fh, F) —> 00 hee Nghĩa là tồn tại tập N CQ ma P(N) = 1 sao cho véi moi w € N thi NO — H(ta(), P(0) 0

2 F„ hội tụ theo xác suất tới biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập đĩng F theo

nghĩa metric Hausdorff nếu H(F„, F) >0 nghĩa là Ve > 0 thì

no

P(H (Fy, F) > ¢) "= 0

Chú ý rằng ta cũng cĩ định nghĩa tương tự cho sự hội tụ đầy đủ, hội tụ phân

phối, hội tụ yếu theo metric Hausdorff

3 Dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập đĩng hội tụ h.c.c theo nghĩa Kurastowski-Mosco tới biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập đĩng Ƒ nếu

(XM)F,—>F` h.cc,

nghia 1a tén tai tap N C 2 ma p(N) = 1 sao cho vdi moi w € N ta cĩ (KM)F,(w)>F(w)

Trang 26

Tw Dinh lý 2.1.8 ta suy ra

Fy “AF hee thi Fy, AM Fhe

Trang 27

KẾT LUẬN

Luận văn đã thu được kết quả sau

1 Trình bày các khái niệm và tính chất về phần tử ngẫu nhiên nhận giá

trị đĩng

2 Trình bày cĩ hệ thống các khái niệm và định nghĩa, tính chất về sự hội

tụ của dãy phần tử ngẫu nhiên trong khơng gian các tập đĩng

3 Chứng minh chỉ tiết một số định lý về sự hội tụ theo métric Hausdorff,

Mosco và Wijsman Từ đĩ chỉ ra sự tương đương của các dạng hội tụ này

trong khơng gian các tập đĩng

4 Từ sự hội tụ trong khơng gian K(X) dan đến kết luận về sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị đĩng theo nghĩa metric Hausdorff, xác suất,

Mosco

5 Hướng nghiên cứu tiếp theo:

Nghiên cứu về luật số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên đa trị với các

đạng hội tụ khác nhau

Trang 28

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Dau Thé Cấp (2000), Giai tích hàm, Nxb Giáo dục, Hà Nội

[2l Nguyễn Xuân Liêm (1996), 7ơpơ đạ¿ cương, Nxb Giáo dục, Hà Nội [ư| Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, Nxb Đại học Quốc gia

Hà Nội

[4] Ilya Molchanov (2005), Theory of Random sets, Springer, London

[5] S Li, Y Ogura, V Kreinovich (2002), Limit theorems and applications of set-valued and fuzzy set-valued random variables, kluwer Academic Pub- lishers Group, Dordrecht