Các dạng hội tụ của dãy suy rộng các đại lượng ngẫu nhiên và các tính chất của martingale nhiều chỉ số

Lời nói đầu Xác suất là một bộ phận của toán học nghiên cứu các hiện tợng ngẫu nhiên. Lý thuyết xác suất ra đời vào nửa cuối thế kỷ 17 ở nớc Pháp bởi hai nhà toán học Pháp là Blaise Pascal (1623 - 1662) và Pierre de Fermat (1601 - 1665). Các dạng hội tụ của đại lợng ngẫu nhiên và các tính chất của martingale đóng một vai trò rất quan trọng trong lý thuyết xác suất. Các lĩnh vực này đợc các nhà toán học trong và ngoài nớc quan tâm nghiên cứu. ở trong nớc có thể kể đến các tác giả nh Nguyễn Duy Tiến, Nguyễn Văn Hùng, Nguyễn Văn Giang, Vũ Việt Yên, Nguyễn Văn Quảng ở nớc ngoài có Dug Hun Hong, Andreji.Volodin, Seok Yoon Hwang, G.A.Edgar, Louis Sucheston Khi nghiên cứu về vấn đề này các đối tợng không ngừng đợc mở rộng. Trên cơ sở những kết quả đã đạt đợc, trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu các dạng hội tụ của dãy suy rộng các đại lợng ngẫu nhiên và các tính chất của martingale nhiều chỉ số. Luận văn đợc chia thành hai chơng. Chơng I : Kiến thức chuẩn bị. Chơng I trình bày một số định nghĩa và tính chất để làm công cụ nghiên cứu chơng sau. Các kiến thức ở đây chủ yếu đợc trích dẫn từ [8] và [9]. Chơng I gồm 2 tiết. Trong tiết 1 chúng tôi trình bày các khái niệm nh đại lợng ngẫu nhiên, kì vọng, kì vọng có điều kiện, martingale. Các bất đẳng thức Kolmogorov, bất đẳng thức Minkowski, bất đẳng thức Doob, bất đẳng thức Markov, bất đẳng thức Schwartz, bất đẳng thức Holdercũng đ- ợc trình bày trong tiết này. Tiết 2 trình bày về các dạng hội tụ của dãy các đại lợng ngẫu nhiên nh : hội tụ theo xác suất, hội tụ hầu chắc chắn, hội tụ trung bình bậc p và quan hệ giữa chúng. Chơng II: Các dạng hội tụ của dãy suy rộng các đại lợng ngẫu nhiên và các tính chất của martingale nhiều chỉ số. Chơng II là nội dung chính của luận văn. Chơng II gồm 3 tiết. Trong tiết 1 chúng tôi trình bày sự hội tụ của dãy suy rộng các đại lợng ngẫu nhiên. Các khái niệm nh cận trên đúng cốt yếu, cận dới đúng cốt yếu, giới hạn trên cốt yếu, giới hạn dới cốt yếu, hội tụ cốt yếu, tiệm cận, giới hạn ngẫu nhiên trên, giới hạn ngẫu nhiên dới, hội tụ ngẫu nhiên, bán hội tụ và quan hệ giữa các dạng hội tụ sẽ đợc nghiên cứu. Trong tiết 2 chúng tôi trình bày các tính chất của martingale nhiều chỉ số. Các khái niệm martingale, martingale dới, martingale trên, k martingale theo khối, martingale theo khối, k martingalesẽ đợc giới thiệu trong tiết này. mối quan hệ giữa các loại martingale cũng đợc nghiên cứu trong tiết này. ở tiết 3 chúng tôi nghiên cứu các tính chất của martingale hai chỉ số. Tiết này sẽ giới thiệu về các tính chất của martingale trong trờng hợp hai chỉ số và luật mạnh số lớn đối với martingale hai chỉ số trong không gian thực. Luận văn đợc thực hiện tại trờng Đại Học Vinh dới sự hớng dẫn trực tiếp của thầy giáo PGS. TS. Nguyễn Văn Quảng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy vì sự nhiệt tình và tận tâm đã dành cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới PGS. TS. Phan Đức Thành, TS. Nguyễn Trung Hoà, TS. Trần Xuân Sinh, các thầy cô trong khoa Toán, khoa đào tạo sau đại học và các bạn trong lớp Cao học 10 Toán đã thờng xuyên quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận văn. Nhân dịp này tác giả cũng xin chân thành cảm ơn tới Th.S. Lê Văn Thành, Th.S. Thái Anh Tuấn, Th.S. Lê Hồng Sơn, SV Lê Văn Quý, gia đình và bạn bè đã động viên, cung cấp cho tác giả nhiều tài liệu quý báu và đánh luận văn dới dạng Word. Vinh tháng 12 năm 2004 Tác giả. Chơng 1: Kiến thức chuẩn bị Đ1. Kỳ vọng có điều kiện và martingale. 1.1.Đại lợng ngẫu nhiên 1.1.1.Định nghĩa. Giả sử ),( F là không gian đo i) Đại lợng ngẫu nhiên là ánh xạ ),(: += RX sao cho : RxxXxX <=< F,})({)( Hoặc tơng đơng (R)B)}( {)( 1 BF, = BXBX ii) Đại lợng ngẫu nhiên suy rộng là ánh xạ ],[: += RX sao cho ).R(B BF, = })({)( 1 BXBX 1.1.2.Định lí. Giả sử .: RX Khi đó các mệnh đề sau là tơng đ- ơng i) X là đại lợng ngẫu nhiên ii) Rx})(:{ < F,xX 3i) Rx})(:{ F,xX 4i) F, < })(:{ bXa với a< b bất kì. 1.1.3.Hàm Borel. Hàm )(R),())(R,(: n BB RR n đợc gọi là hàm Borel, nếu nó là )(R n B - đo đợc, tức là : (R)B ),(R n BB )( 1 B 1.1.4.Tính chất i) Giả sử X,Y là các đại lợng ngẫu nhiên. Khi đó YXYXYXYX , ,. , ++ +=== XXXXXXX ,0)( ,0 cũng là đại lợng ngẫu nhiên. Nếu Y 0 thì Y X là đại lợng ngẫu nhiên ii) Giả sử )1,( nX n là dãy đại lợng ngẫu nhiên và n n n n XX inf ,sup hữu hạn trên .Khi đó n n n n XX inf ,sup , n n n n XX inflim,suplim là các đại lợng ngẫu nhiên. Đặc biệt nếu ,lim XX n = X hữu hạn thì X cũng là đại lợng ngẫu nhiên. 3i) Nếu RX : là đại lợng ngẫu nhiên, RRf : là hàm đo đợc, tức là BB (R),B (R), )( 1 Bf thì (X)F là đại lợng ngẫu nhiên. 4i) Nếu X là đại lợng ngẫu nhiên, 0X thì tồn tại dãy n X ,0 XX n nhận hữu hạn giá trị và = + = n nn k nXk X k n n n k X 2 1 ][ ] 22 1 [ 2 1 1.2. Kỳ vọng 1.2.1.Định nghĩa. Giả sử ),(),( (R)P, BF RX là đại lợng ngẫu nhiên Số = XdpLEX )( (nếu tồn tại) đợc gọi là kì vọng của X. 1.2.2.Tính chất i) Nếu 0 X thì .0 EX ii) Nếu X= c - hằng số thì EX= c. 3i) E(aX+bY)=aEX+bEY; ., Rba 4i) Nếu YX thì EYEX 5i) F = A ),()( APE A 6i) .XEEX 7i) Nếu X,Y độc lập thì E(XY)=EXEY. 1.3. Kỳ vọng có điều kiện 1.31.Định nghĩa. Cho )P,,( F là không gian xác suất, g F là - đại số con nào đó của F. Biến ngẫu nhiên Y đợc gọi là kỳ vọng của X đối với g và ký hiệu )( g XEY = nếu Y là g - đo đợc và = AA Ydp Xdp , g A 1.3.2.Tính chất. Giả sử )P,,( F là không gian xác suất, các đại lợng ngẫu nhiên đều có kì vọng, g F là - đại số con nào đó của F. i) Nếu c là hằng số thì h.c.c ) ( ccE = g ii) Nếu h.c.c ) E(Y) E(X thih.c.c gg YX 3i) h.c.c ) () ( gg XEXE 4i) h.c.c ) () () ( ggg YbEXaEbYaXE +=+ 5i) h.c.c }),{ ( EXXE = 6i) E(X F ) = X h.c.c 7i) E(E(X g)) = EX h.c.c 8i) Nếu 21 gg thì h.c.c ) ) (() () ) (( 2 111 2 ggggg XEEXEXEE == 9i) Nếu X độc lập với g thì h.c.c ) ( EXXE = g 10i) Nếu Y - g đo đợc và << XYE ;YE thì h.c.c ) () ( gg XYEXYE = 1.4. Martingale 1.4.1.Định nghĩa. Giả sử )P,,( F là không gian xác suất. Dãy },,{ NnXX nn = F đợc gọi là: a. martingale trên nếu: i) },,{ NnX nn F là dãy tơng thích; ii) N;n , < n XE iii) với Nnm, , nm thì ,)( mmn XXE F h.c.c b. martingale dới nếu các điều kiện (i), (ii) đợc thực hiện, và (iii) với Nnmnm , , thì ,) ( mmn XXE F h.c.c. c. martingale nếu các điều kiện (i), (ii) đợc thực hiện, và (iii) với Nnmnm , , thì ,) ( mmn XXE = F h.c.c. 1.4.2. Nhận xét. a.Từ định nghĩa kỳ vọng có điều kiện, ta có: Điều kiện (iii) tơng đơng với A A mn dPXdPX nm ,A , m F . Điều kiện (iii) tơng đơng với A A mn dPXdPX nm ,A , m F . Điều kiện (iii) tơng đơng với = A A mn dPXdPX nm ,A , m F . b. Định nghĩa trên về martingale dới, martingale trên , martingale tơng đơng với: Giả sử )P,,( F là không gian xác suất, FFFFF 1nn10 + . Khi đó, },,{ NnX nn F là martingale trên, nếu: (i) ;, NnX nn F (ii) ;, NnXE n < (iii) với n=1,2, thì ,) ( 11 nnn XXE F h.c.c martingele dới, nếu có các điều kiện (i), (ii), và (iii) với n=1,2, thì ,) ( 11 nnn XXE F h.c.c martingele, nếu có các điều kiện (i), (ii), và (iii) với n=1,2, thì ,) ( 11 = nnn XXE F h.c.c Thật vậy, xét trờng hợp martingale chẳng hạn. Với ,0 nm ., . + n1mm FFF nên theo tính chất của kỳ vọng có điều kiện ta có ) () ) (() ( 2121 mmmmmmmm XEXEEXEX FFFF ++++ === và tiếp tục nh thế, ta thu đợc n.m0 ), ( = mnm XEX F 1.4.3. Các bất đẳng thức a.Bất đẳng thức Minkowski Giả sử 1.và p , ., 21 Rxxx n Khi đó = = p n j j p p n j j xnx 1 1 1 Bất đẳng thức Schwartz dới đây là một trờng hợp của bất đẳng thức Minkowski khi p=2. b.Bất đẳng thức Schwartz Giả sử ., ., 21 Rxxx n Khi đó == n j j n j j xnx 1 2 2 1 c. Bất đẳng thức Holder Giả sử 1, > qp Sao cho 1 11 =+ qp và giả sử p LYX , Khi đó pp YXXYE . d. Bất đẳng thức Kolmogorov Nếu }, .1,0,,{ NnX nn = F là martingale với , < p n XE <= p1 ,, .1,0 Nn thì ,0 > ta có p Nn Nn p XEXP > )max(. 0 e. Bất đẳng thức Markov Giả sử X là biến ngẫu nhiên. Khi đó 0 > và 0 > p ta có p p XEXP 1 )( > . f. Bất đẳng thức Doob Nếu }0,1, .Nn ,,{ = nn X F là martingale dới không âm với < p XE , <<= p1 ,, .1,0 Nn thì p N p n Nn p N XqXX 0 max Trong đó 1 1 p 1 ,)( 1 =+= q XEX p P p Khi p =1 thì : }ln.1{ 1 max 1 1 0 1 nNn Nn N XX e e XX + + g. Bổ đề Fatou Giả sử Y,X 1 ,X 2 , là dãy các đại lợng ngẫu nhiên. i) Nếu > -EYvà 1n ,YX n thì .limlim nn EXXE ii) Nếu < EYvà 1n ,YX n thì .limlim nn XEEX 3i) Nếu EYvà 1n , < YX n thì .limlimlimlim nnnn XEEXEXXE h. Bất đẳng thức Trêbshev Giả sử X )P,,( F ))(,( RR B là đại lợng ngẫu nhiên và X 2 L . Khi đó: 0 > thì 2 )( DX EXXP 1.5.Tính khả tích đều. Tập các đại lợng ngẫu nhiên khả tích trên ),,( PF ký hiệu là 1 L . 1.5.1.Định nghĩa. Giả sử K 1 L 1 L = ),,( PF .Họ K đợc gọi là khả tích đều nếu [ ] > c i kh 0sup cX X dpX K 1.5.2.Mệnh đề. Giả sử K 1 L . Họ K khả tích đều khi và chỉ khi hai điều kiện sau đợc thoả mãn: i) K bị chặn trong 1 L , tức là < XE X K sup ii) K liên tục tuyệt đối đều , tức là 0,0 >> sao cho F A , )(AP thì A X dpX K sup < Đ2. Các dạng hội tụ của dãy các đại lợng ngẫu nhiên Sự hội tụ của dãy đại lợng ngẫu nhiên theo một số nghĩa khác nhau đóng vai trò rất quan trọng trong lý thuyết xác suất. Trong mục này, các dạng hội tụ: theo xác suất, hầu chắc chắn, trung bình bậc p, sẽ đợc nghiên cứu. Giả sử , ., 21 XX là dãy các đại lợng ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian xác suất cố định ),,( PF . Để cho gọn ta dùng kí hiệu )( n X để chỉ dãy đại lợng ngẫu nhiên. 2.1. Hội tụ theo xác xuất. Dãy đại lợng ngẫu nhiên )( n X đợc gọi là hội tụ theo xác suất tới đại lợng ngẫu nhiên X nếu với 0 > bất kỳ thì : .0][lim > XXP n n Sự hội tụ theo xác suất đợc kí hiệu là .XX P n Trong lý thuyết hàm biến thực, thuật ngữ hội tụ theo xác suất chính là hội tụ theo theo độ đo. 2.2. Hội tụ hầu chắc chắn. Dãy đại lợng ngẫu nhiên )( n X đợc gọi là hội tụ h.c.c đến đại lợng ngẫu nhiên X nếu tồn tại tập A có xác suất không sao cho: A. với )()( XX n Sự hội tụ h.c.c đợc kí hiệu là . XX cch n 2.3. Hội tụ trung bình. Dãy đại lợng ngẫu nhiên )( n X đợc gọi là hội tụ theo trung bình bậc )0( , << pp đến đại lợng ngẫu nhiên X ký hiệu là XX P L n nếu ).(n ,0 P n XXE 2.4. Nhận xét. Từ bất đẳng thức Markov: { } <<> p XE XP P P 0 , suy ra rằng hội tụ theo trung bình bậc p kéo theo hội tụ theo xác suất. Dới đây, ta sẽ thấy sự hội tụ h.c.c suy ra hội tụ theo xác suất. Điều ngợc lại nói chung không đúng. Tuy vậy, nếu dãy )( n X là dãy tăng hoặc giảm hội tụ theo xác xuất đến đại lợng ngẫu nhiên X thì . XX cch n Thật vậy, giả sử )( n X là dãy giảm, .XX P n Bằng cách xét XX n ta có thể coi )( n X giảm, X= 0 và .0 P n X Nếu )( n X không hội tụ h.c.c tới 0 thì tồn tại 0 > và biến cố A với 0)( >> AP sao cho > )(sup k nk X với A và n tuỳ ý. Nhng = )( n X )(sup k nk X nên > n XA với mọi n và do đó .1,)(][ >> nAPXP n . chơng 2: các dạng hội tụ của dãy suy rộng các đại lợng ngẫu nhiên và các tính chất của martingale nhiều chỉ số Đ1. các dạng hội tụ của dãy suy rộng các đại. Chơng II: Các dạng hội tụ của dãy suy rộng các đại lợng ngẫu nhiên và các tính chất của martingale nhiều chỉ số. Chơng II là nội dung chính của luận văn.