Sự hội tụ theo phân phối của dãy đại lượng ngẫu nhiên

1 Trờng đại học vinh Khoa toán ========== Sự hội tụ theo phân phối của dãy các đại lợng ngẫu nhiên Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán ------------------------------------- Chuyên ngành: Xác suất thống kê Giáo viên hớng dẫn :PGS.TS. Nguyễn Văn Quảng Sinh viên thực hiện :Lại Thị Hiền Lớp :43 E2 Toán Lời nói đầu Trong lý thuyết xác suất thống kê, các định lý giới hạn nói chung và các định lý giới hạn theo phân phối nói riêng đóng một vai trò rất quan trọng. Mục đích của khoá luận này là trình bày các định nghĩa, định lý và các tính chất sự hội tụ theo phân phối của dãy đại lợng ngẫu nhiên độc lập, cùng với các mệnh đề có liên quan. Khoá luận đợc chia làm 4 phần: Phần I. Các kiến thức cơ bản. Trong phần này chúng tôi nêu lên một số định nghĩa, các tính chất cơ bản để phục vụ cho các phần sau. Phần II: Sự hội tự theo phân phối của dãy đại lợng ngẫu nhiên. Trong phần này chúng tôi trình bày các định nghĩa, định lý và một số bài tập áp dụng đợc viết dới dạng mệnh đề của sự hội tụ theo phân phối của dãy đại lợng ngẫu nhiên. Phần III: Hàm đặc trng Phần này đợc chia làm hai mục nhỏ. Trong mục 1 chúng tôi trình bày các định nghĩa, ví dụ và các tính chất cơ bản của hàm đặc trng. Trong mục 2 chúng tôi chứng minh một số tính chất khác của hàm đặc tr- ng. Phần IV: Định lý giới hạn trung tâm Phần này chúng tôi nêu lên các định lý, hệ quả và một số bài tập đợc phát biểu dới dạng mệnh đề liên quan đến định lý giới hạn trung tâm. Khoá luận này đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Văn Quảng. Tác giả xin trân trọng tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy ngời đã giúp đỡ em trong cả quá trình học tập và nghiên cứu. Đồng thời tác giả xin cảm ơn đến các thầy, cô giáo Khoa Toán, gia đình và bạn bè đồng nghiệp đã giúp đỡ, và có những đóng góp quí báu trong quá trình học tập và trong nghiên cứu ở trờng. Khoá luận này đợc thực hiện trong thời gian khá ngắn, tài liệu còn ít nên tác giả đã hết sức cố gắng, song khoá luận không thể tránh khỏi sai sót. Tác giả rất mong nhận đợc sự góp ý của quí thầy cô cùng bạn bè. Vinh tháng 4 năm 2007 Tác giả 2 Phần i Các kiến thức cơ bản 1.1. Đại số. Giả sử là một tập hợp tuỳ ý khác . Ký hiệu P () là tập hợp gồm tất cả các tập con của . Định nghĩa. Lớp A P () đợc gọi là một đại số nếu 1, A 2, A A => = A A A 3, A,B A => BA A ; BA A Nhận xét: Vì BA = BA , BABA = nên trong (3) chỉ cần một trong hai điều kiện BA A và BA A 1.2. - đại số. Lớp F P () đợc gọi là - đại số nếu nó là đại số và ngoài ra thoả mãn: 4, Từ A n F n = 1,2. suy ra : n n A = 1 F và n n A = 1 F Nhận xét : ở đây, cũng nh (3) chỉ cần đòi hỏi một trong hai hệ thức. Chẳng hạn : Từ (A n ) F => n n A = 1 F thì có = = = 11 n n n AA F 1.3. Độ đo xác suất. Định nghĩa. Hàm tập P xác định trên - đại số F đợc gọi là độ đo xác suất nếu : 1) P(A) 0 , A F 3 2) P () =1 3) Nếu A i F , i=1,2 ; A i A j = , ( i j ) thì : P ( = 1i A i ) = = 1i P (A i ) 1.4. Các tính chất của xác suất. 1) P() = 0 2) P ( A ) =1- P (A) ; A F 3) A,B F A B => P (A) P (B) 4) P (A) 1 5) A, B F => P (A B) = P (A) + P (B) P (AB) (AB = A B ) 6) P = k n A 1 = = = n k n k k P 1 1 1 .)1( (A i1 .A ik ) 1 i 1 i 2 i k n 7) P = n n A 1 = 1 )( n n AP (A n ) F 8) Tính liên tục: i) Nếu (A n ) là dãy đơn điệu tăng : A 1 A 2 .A n thì tồn tại : n lim P (A n ) = P ( n n A 1 ) ii) Nếu (A n ) là dãy đơn điệu giảm: A 1 A 2 . A n . thì tồn tại: n lim P (A n ) = P ( n n A 1 ) 1.5. Xác suất trên (R, B(R) ). Giả sử P là độ đo xác suất xác định trên B (R) khi đó hàm số: F(x) = P(-, x) xR Có các tính chất sau: 1) F không giảm: x < y => F(x) F(y) 4 2) F liên tục trái tại mọi điểm 3) F(-) = n lim F(x) = 0 F(+) = + n lim F(x) = 1 Hàm F có 3 tính chất đó gọi là hàm phân phối trên R 1.6. Định lý. Giả sử F(x) là một hàm số tuỳ ý xác định trên R thoả mãn 3 điều kiện 1, 2, 3 ở trên. Khi đó tồn tại duy nhất một độ đo xác suất P xác định trên B(R) sao cho: P([a,b)) = F(b) - F (a) (a<b) 1.7. Định nghĩa. Giả sử (, F , P) là không gian xác suất. B(R) là - đại số Borel trên R, khi đó ánh xạ X: R gọi là đại lợng ngẫu nhiên nếu X -1 (B) F (B B(R) ). (X -1 (B) = { : X()B}). 1.8. Kỳ vọng. a) Định nghĩa. Giả sử ( , F , P) là không gian xác suất: X : R là đại lợng ngẫu nhiên . Kỳ vọng của đại lợng ngẫu nhiên X là một số, ký hiệu là EX, đợc xác định bởi công thức: EX = Xdp + Chú ý: Kỳ vọng của đại lợng ngẫu nhiên X có thể tồn tại hoặc không tồn tại. Kỳ vọng của đại lợng ngẫu nhiên X tồn tại nếu tích phân vế phải công thức trên tồn tại. b) Các tính chất. Giả sử ( , F , P) là không gian xác suất, X là đại lợng ngẫu nhiên khả tích thì ta có các tính chất sau: 1. Nếu X = C = Const thì EC = C 2. Với C là hằng số ta có: 5 ECX = CEX 3. Cho X, Y lµ ®¹i lîng ngÉu nhiªn ta cã E (X ± Y) = E X ± EY 4. NÕu X, Y ®éc lËp th× E(X.Y) = EX.EY Tæng qu¸t : NÕu X 1 .X 2 … X n lµ c¸c ®¹i lîng ngÉu nhiªn ®éc lËp th× : E (X 1 . X 2 ……X n ) = EX 1 . EX 2 … EX n 5. NÕu ®¹i lîng ngÉu nhiªn Y= f (X) lµ hµm ®o ®îc cña ®¹i lîng ngÉu nhiªn X th×. EY = Ef(X) = i n i i pxf ∑ = 1 )( nÕu x rêi r¹c vµ P(X = x i ) = p i Vµ EY = Ef(X) = dxxpxf )(.)( ∫ +∞ ∞− NÕu X liªn tôc vµ cã hµm mËt ®é lµ p(x). 6 Phần II Sự hội tụ theo phân phối của dãy đại lợng ngẫu nhiên 2.1. Định nghĩa. Giả sử X n có hàm phân phối là F n (x), X có hàm phân phối F(x). C(F) = xR :F(x) liên tục tại x Nếu + n lim F n (x) = F(x) x C(F) thì ta nói dãy ( X n ) hội tụ theo phân phối (hội tụ yếu) đến X Ký hiệu : X n X D (X n X W ) 2.2. Định lý. Nếu dãy đại lợng ngẫu nhiên (X n ) hội tụ theo xác suất về đại lợng ngẫu nhiên X thì (X n ) cũng hội tụ theo phân phối về X. Chứng minh. Giả sử x C(F) : x <x vì X n X P khi n Nên : + n lim (X< x, X n x ) + n lim P (X n - X> x-x) = 0 Mặt khác ta có: F(x) = P(X<x) P (X n < x) + P (X<x, X n x F(x) n lim F n (x) x< x (1) +Tơng tự ta có: x C(F) : x <x Vì X n X P khi n nên: n lim p(X < x , X n > x) n lim P (X n - X> x -x) = 0 Mặt khác : F ( x ) = P( X< x ) P (X n < x) + P (X< x , X n x) F ( x ) n lim F n (x) x < x (2) Từ (1) và (2) suy ra F(x) n lim F n (x) < F ( x ) Khí x x, x x thì F(x ) , F( x ) hội tụ về F(x) (Vì x C(F) ) 7 Do đó F(x) = n lim F n (x) x C(F) Nhận xét: Từ định lý trên ta nhận thấy hội tụ theo phân phối yếu hơn hội tụ theo xác suất. Tuy nhiên trong đại lợng ngẫu nhiên giới hạn là hằng số ta có định lý sau. 2.3. Định lý. Giả sử X là hằng số, P(X= C) = 1 và X n D X thì X n P X Chứng minh. Ta có F(x) = 0 nếu x C 1 nếu x > C Suy ra C(F) = R\ {C} Giả sử : X n C D suy ra F n (x) F(x) x C Khi đó n lim p(X n < x) = p (X< x) x C Với >0 ta có : P (|X n -X| > ) = P (| X n - C| > ) = = 1- P (| X n - C| ) =1- P (C- X n C + ) 1- [ F Xn (C+ )- F Xn (C-)] 1- [ F Xn (C+ )- F Xn (C-)] =1 (1-0) = 0 khi n Do đó n lim P (| X n - X| > ) = 0 x >0 Vậy : X n P X ( ) 2.4. Các mệnh đề. 2.4.1. Mệnh đề. Giả sử các P, P 1 , P 2 . là dãy phân phối xác suất tập trung trên tập số nguyên. (P(Z) = P n (Z) =1 với n =1,2) Khi đó : P n D P P n (k) P (k) với mọi hệ số k nguyên Chứng minh. +) Giả sử P n D P với mỗi kZ Đặt : g k (x) = 1-2 kx với kx 1/2 8 0 với kx >1/2 Do: g k liên tục và bị chặn : P n D P Nên : P n (k) = + )()( kk pdxg + xdp = P(k) với mỗi k Z, +) Ngợc lại : Giả sử P n (k) P(k) với mọi k * Chọn m đủ lớn sao cho : > mk kP )( ( > 0 đã cho) * Chọn n đủ lớn n > n 0 sao cho : mk n kP )( = 1- mk n kP )( 1- mk kP )(( + mk kP )( - mk n kP )( = 1-- mk kP )( + ))()(( kPkP n mk Do : = k n kPkP )()( + mk n kPkP )()( 3 n Suy ra 0)()( = k n kPkP khi n Mặt khác mọi hàm số f bị chặn bởi C ta có : = k n kPkf )().( - = k kPkf )().( C. = k n kPkP )()( 0 khi n Suy ra P n (k) D P (k) Do đó P n D P ( ) 2.4.2. Mệnh đề. Giả sử với mọi dãy con NN ' tồn tại dãy con ''' NN sao cho P n D P khi đó P n D P n ''N Chứng minh. Giả sử P, P 1 ,P 2 là dãy độ đo xác suất P n D P khi n và sao cho với mỗi dãy con NN ' có một dãy con ''' NN sao cho 9 P n D P n 'N Từ giả thiết ta có: (P n ) là trù mật nhng nếu P n P thì tồn tại độ đo xác suất PP ' và dãy NN ' sao cho P n D P n 'N Tồn tại dãy ''' NN sao cho : P n D P n ''N Suy ra P = P suy ra mâu thuẫn với giả thiết cho P P Vậy điều chứng minh ngợc lại là hiển nhiên. 2.4.3. Mệnh đề. Nếu X n D X, Y n p 0 thì: X n + Y n D X thì: Chứng minh. Chú ý rằng nếu : P (A n ) P(A) P(B n ) 1 Thì P(A n B n ) P(A) Thật vậy ta có: P ( ) nn BA 0 nên P(A n B n ) = P (A n ) - P ( ) nn BA P(A) Lấy xC(F) tuỳ ý ta có: > 0, khi đó > 0 sao cho < và x C(F Ta có: P(X n +Y n < x) = P (X n +Y n < x, n Y < + P (X n +Y n < x, n Y ) P ( n Y ) + F Xn ( x+) Vậy : n lim P(X n +Y n < x) F X (x+0) = F X (x) (1) Mặt khác ta lại có: P(X n +Y n < x) P (X n < x - , n Y < ) F x (x- ) Do đó: lim P(X n +Y n < x) F x (x - ) Từ đó ta có: lim P(X n +Y n < x) F x (x) (2) Từ (1) và (2) suy ra : 10 . p(x). 6 Phần II Sự hội tụ theo phân phối của dãy đại lợng ngẫu nhiên 2.1. Định nghĩa. Giả sử X n có hàm phân phối là F n (x), X có hàm phân phối F(x). C(F). ) 2.2. Định lý. Nếu dãy đại lợng ngẫu nhiên (X n ) hội tụ theo xác suất về đại lợng ngẫu nhiên X thì (X n ) cũng hội tụ theo phân phối về X. Chứng minh.