Sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi các biến ngẫu nhiên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHCAO ĐỨC MINH SỰ HỘI TỤ HẦU CHẮC CHẮN CỦA CHUỖI CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN Chuyên ngành : Lý thuyết xác suất và thống kê Toán học Mã số : 60.. 17 2.2 Sự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

CAO ĐỨC MINH

SỰ HỘI TỤ HẦU CHẮC CHẮN CỦA CHUỖI

CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN

Chuyên ngành : Lý thuyết xác suất và thống kê Toán học

Mã số : 60 46 01 06

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS LÊ VĂN THÀNH

NGHỆ AN, 2015

Mục lục

1.1 Biến ngẫu nhiên và vector ngẫu nhiên 3

1.2 Hàm phân phối 8

1.3 Các dạng hội tụ đối với dãy các biến ngẫu nhiên 11

2 Sự hội tụ hầu chắc chắn đối với chuỗi các biến ngẫu nhiên 17 2.1 Một số bổ đề 17

2.2 Sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi các biến ngẫu nhiên 20 2.3 Một số ví dụ và phản ví dụ 26

2.4 Kết luận 34

2.4.1 Kết quả luận văn 34

2.4.2 Hướng phát triển của luận văn 34

MỞ ĐẦU

Sự hội tụ của chuỗi các biến ngẫu nhiên là một hướng nghiên cứu của

Lý thuyết xác suất được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và

đã có nhiều ứng dụng trong nhiều ngành khoa học khác nhau Chính vìvậy mà các kết quả về sự hội tụ của chuỗi các biến ngẫu nhiên khôngchỉ mang ý nghĩa lý thuyết mà còn mang ý nghĩa thực tiễn to lớn

Sự hội tụ của chuỗi các biến ngẫu nhiên thu hút sự quan tâm nghiêncứu của rất nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước, chẳng hạn nhưSmythe, Gut, Stadtmuller, Rosalsky, Nguyễn Duy Tiến, Nguyễn VănQuảng,

Năm 2014, Rosalsky và Volodin nghiên cứu về sự hội tụ hầu chắcchắn của chuỗi các biến ngẫu nhiên bất kỳ Các tác giả đó đã cung cấpcác điều kiện cần và đủ để thu được những kết quả tương tự như định lý

ba chuỗi Sau khi nghiên cứu bài báo của Rosalsky và Volodin nói trên

và nhận thấy có rất nhiều kết quả thú vị, chúng tôi chọn đề tài nghiêncứu cho luận văn của mình là “Sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi cácbiến ngẫu nhiên”

Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm hiểu sự hội tụ hầu chắc chắnđối với chuỗi các biến ngẫu nhiên tùy ý Nội dung chính của luận văn làtrình bày lại chi tiết các kết quả của Rosalsky và Volodin đã đề cập ởtrên Nội dung luận văn được trình bày trong hai chương

Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ sở của lý thuyết xác suất cầnthiết cho việc nghiên cứu chương sau

Chương 2 là nội dung chính của luận văn Trong chương này, chúngtôi trình bày về các điều kiện cần và đủ để chuỗi các biến ngẫu nhiêntùy ý hội tụ hầu chắc chắn Kết quả chính của luận văn là Định lý 2.2.3

và hai hệ quả của nó Chúng tôi cũng trình bày thêm một số ví dụ, phản

ví dụ minh họa nội dung của Định lý 2.2.3 và các hệ quả nói trên.Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh,dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Lê Văn Thành Tác giả xinđược bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy về sự hướng dẫn tận tìnhđối với tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu Nhân dịp này,tác giả xin gửi lời biết ơn tới các thầy, cô GS.TS Nguyễn Văn Quảng,

TS Nguyễn Trung Hòa, TS Nguyễn Thị Thế, TS Nguyễn Thanh Diệu,

TS Võ Thị Hồng Vân, cùng các thầy cô giáo trong tổ xác suất thống

kê khoa Toán Đồng thời, tác giả xin cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồngnghiệp, đã quan tâm, góp ý, tạo điều kiện giúp tác giả hoàn thành luậnvăn này Và cuối cùng tác giả xin được cảm ơn Ban lãnh đạo trườngTHPT Nguyễn Du cùng các đồng nghiệp - nơi tác giả đang công tác đãtạo điều kiện bố trí thời gian và ủng hộ tác giả về tinh thần trong quátrình tác giả tham gia khóa đào tạo này.

Mặc dù đã cố gắng song do năng lực còn hạn chế nên luận văn chắcchắn không thể tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận đượcnhững lời chỉ bảo quý báu của các Thầy, Cô giáo và góp ý của bạn đọc

để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 08 năm 2015

Tác giả

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày về biến ngẫu nhiên, hàm phânphối và các dạng hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên Chúng tôi cũngtrình bày một số định lý về sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi các biếnngẫu nhiên độc lập như định lý hai chuỗi, định lý ba chuỗi,

1.1 Biến ngẫu nhiên và vector ngẫu nhiên

Mục này sẽ trình bày giới hạn của dãy các biến cố, và bổ đề Cantelli Sau đó chúng tôi trình bày biến ngẫu nhiên và vector ngẫunhiên

Borel-Định nghĩa sau đây trình bày về khái niệm lim sup và lim inf của mộtdãy các tập hợp Các định nghĩa này chỉ có ý nghĩa thực sự khi các tậphợp đang xét thuộc một σ-đại số nào đó

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử A1, A2, là dãy các biến cố Khi đó ta địnhnghĩa

= {ω ∈ Ω : ω thuộc vào tất cả trừ ra một số hữu hạn An}.

Ta cũng thường chúng ký hiệu lim sup An = (An i.o.), với chữ i.o là viếttắt của “infinite often”, với ý nghĩa lim sup An xảy ra khi và chỉ khi có

vô hạn các biến cố An xảy ra

Tiếp theo chúng ta trình bày khái niệm giới hạn của một dãy các tậphợp

Định nghĩa 1.1.2 Nếu lim sup An = lim inf An = A, thì ta nói An hội

Các phần tử của T được gọi là biến cố đuôi

Định lý sau đây được gọi là luật 0-1 Kolmogorov

Định lý 1.1.5 (Luật 0-1 Kolmogorov) Giả sử A1, A2, là các biến cốđộc lập Khi đó mọi biến cố đuôi A đều có xác suất bằng 0 hoặc bằng 1.Dưới đây chúng ta sẽ trình bày bổ đề Borel-Cantelli Nó cho ta mộtđiều kiện đơn giản để biết khi nào xác suất của biến cố lim sup An bằng

n=1P (An) = ∞ Khi đó , vì dãy (An) độc lập nên dãy

Vì thế P (∪∞n=kAk) = 1 với mọi n = 1, 2, Điều này kéo theo

P (lim sup An) = lim

n→∞P (∪∞n=kAk) = 1

Bổ đề Borel-Cantelli có hệ quả sau đây

Hệ quả 1.1.7 (Luật 0-1 Borel -Cantelli) Nếu (An; n ≥ 1) là dãy biến cốđộc lập, thì P (lim sup An) chỉ có thể nhận một trong hai giá trị 0 hoặc

1 tùy theo chuỗi P∞

n=1P (An) hội tụ hay phân kỳ

Định nghĩa 1.1.8 Giả sử (Ω, F ,P) và (Σ, G, µ) là các không gian đo.Ánh xạ

X : Ω → Σđược gọi là ánh xạ đo được nếu nghịch ảnh của tập đo được là tập đođược, nghĩa là

X : Ω → Σ, Y : Σ → Θ

là các ánh xạ đo được Khi đó, tích hai ánh xạ

Y (X) : Ω → Θcũng là ánh xạ đo được

Chứng minh Mệnh đề được suy ra từ

là độ đo Lebesgue trên Rd, thì X được gọi là vector ngẫu nhiên

Định lý 1.1.11 Giả sử (Ω, F ,P) và (Σ, G, µ) là các không gian đo,

Hệ quả 1.1.12 Giả sử (Ω, F ,P) và (Σ, G, µ) là các không gian đo,

X : Ω → Σ là một ánh xạ Khi đó X đo được khi và chỉ khi σ(X) ⊆ F Đối với một ánh xạ tổng quát X : (Ω, F ,P) → (Σ, G, µ), để kiểm tratính đo được của nó, ta chỉ cần kiểm tra ngược ảnh của các tập thuộctập sinh của σ-đại số G

Định lý 1.1.13 Cho (Ω, F ,P) và (Σ, G, µ) là các không gian đo và ánh

xạ X : Ω → Σ Giả sử G = σ(A) Nếu

Hệ quả sau đây đã được chúng ta đề cập trước Định lý 1.1.13 Nó

là một cách rất thuận lợi để kiểm tra một hàm số có phải là biến ngẫunhiên hay không

Hệ quả 1.1.14 Cho ánh xạ X : (Ω, F ,P) →R Khi đó X là biến ngẫunhiên nếu và chỉ nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

• {ω : X(ω) ≤ a} ∈ F với mọi a ∈ R

• {ω : X(ω) < a} ∈ F với mọi a ∈ R

Chứng minh Vì

σ{(−∞, a], a ∈ R} = σ{(−∞, a), a ∈R} = B(R)nên áp dụng Định lý 1.1.13 ta kết thúc chứng minh Hệ quả

Trong lý thuyết xác suất, ta sử dụng ký hiệu

1.2 Hàm phân phối

Nếu chúng ta quên không gian xác suất (Ω, F , µ), thì ta xác định biếnngẫu nhiên như thế nào Chúng ta bắt đầu việc này bằng cách giới thiệukhái niệm hàm phân phối

Ta đề cập lại phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X Trong (1.4),chúng ta không nói gì đến không gian mẫu Ω, chúng ta làm việc vớikhông gian xác suất mới (R, B(R), PX) Nói một cách khác, phân phốixác suất của biến ngẫu nhiên X ở (1.4) cho chúng ta biết xác suất củatất cả các tập Borel mà X nhận giá trị trong đó:

phân phối của X = P (X ∈ B), B là tập Borel trong R

Định nghĩa 1.2.1 Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là cùng phânphối, ký hiệu là X = Y , nếu phân phối xác suất của chúng bằng nhau,d.nghĩa là PX ≡ PY

Chúng ta có thể nhận xét ngay rằng nếu X h.c.c.= Y , thì X = Y , tuyd.nhiên điều ngược lại không đúng

Phân phối xác suất đề cập đến tất cả PX(B), trong đó B là một tậpBorel bất kỳ của R Tuy nhiên, điều này quá lớn Theo định lý xác địnhduy nhất của lý thuyết độ đo, ta thấy rằng phân phối xác suất được xácđịnh duy nhất bởi PX(B) với những B thuộc tập sinh của B(R) Chẳnghạn, nếu chúng ta biết P (X ∈ (−∞, a]), chúng ta sẽ biết mọi điều về

PX Điều này dẫn đến khái niệm hàm phân phối sau đây

Định nghĩa 1.2.2 Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X là hàm

F : R → [0, 1] xác định bởi

F (x) := P (X ≤ x), x ∈ R.Như ta lập luận ở trên, hàm phân phối xác định duy nhất phân phốixác suất của X Những tính chất của hàm phân phối thể hiện qua định

lý sau đây, phép chứng minh có thể xem trong [3]

Định lý 1.2.3 (Tính chất của hàm phân phối) Giả sử F (x) là hàmphân phối của biến ngẫu nhiên X Khi đó ta có các tính chất sau đây

4 F có giới hạn trái tại mọi điểm Hơn nữa,

F (x−) := lim

y→x−F (y) = P (X < x)

Đặc biệt,

P (X = x) = F (x) − F (x−)

5 F liên tục tại x khi và chỉ khi P (X = x) = 0

6 F có nhiều nhất là vô hạn đếm được điểm gián đoạn

Từ định nghĩa hàm phân phối ta cũng có

P (X ∈ (a, b]) = F (b) − F (a)

Do đó, từ hàm phân phối ta có thể tính được xác suất đối với bất kỳ cáckhoảng Vì mỗi tập Borel là tổ hợp của các tập dạng này nên điều nàygợi cho chúng ta việc tính xác suất của bất kỳ tập Borel nào Tính quantrọng của hàm phân phối thể hiện ở đặc điểm là nó cho phép chúng tathực hiện điều này

Phép chứng minh của định lý sau đây cho phép xây dựng một biếnngẫu nhiên từ một hàm phân phối cho trước

Định lý 1.2.4 Nếu một hàm F thỏa mãn các tính chất 1, 2 và 3 trongĐịnh lý 1.2.3 thì F là hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên X nàođó

Chứng minh Xét không gian xác suất (Ω, F , P ), trong đó Ω = [0, 1], F

là tập tất cả các tập Borel của [0, 1], và P là độ đo Lebesgue trên [0, 1]

Ta thấy rằng Ω = [0, 1] là miền giá trị của F Giả sử F liên tục vàtăng ngặt Khi đó F là song ánh từ R vào khoảng (0, 1) nên ta có thểđịnh nghĩa X(ω) = F−1(ω) với mọi 0 < ω < 1, X(0) = X(1) = 0 Theocách đặt

P {ω : X(ω) ≤ a} = P {ω : F−1(ω) ≤ a} = P {ω : ω ≤ F (a)} = F (a)

Điều này chứng tỏ F là hàm phân phối của X Đối với trường hợp tổngquát, ta có thể đặt

X(ω) = sup{y : F (y) < ω}, 0 ≤ ω < 1

Để chứng minh X là biến ngẫu nhiên nhận F làm hàm phân phối, tacần chỉ ra rằng

Pnω : X(ω) ≤ ao = F (a) với mọi a ∈R (1.5)Giả sử 0 ≤ ω∗ ≤ F (a) Vì F là hàm tăng nên

sup{y : F (y) < ω∗} ≤ sup{y : F (y) < F (a)} ≤ sup{y : y < a} = a

Do đó

ω∗ ∈ nω : sup{y : F (y) < ω} ≤ ao = nω : X(ω) ≤ ao

Điều này có nghĩa là

[0, F (a)] ⊂ nω : X(ω) ≤ ao (1.6)Giả sử X(ω∗) ≤ a, nghĩa là sup{y : F (y) < ω∗} ≤ a Khi đó

Định nghĩa 1.3.1 (Hội tụ theo xác suất) Một dãy các biến ngẫu nhiên

X1, X2, được gọi là hội tụ theo xác suất đến một biến ngẫu nhiên Xnếu với mọi ε > 0

P (|Xn− X| > ε) → 0 khi n → ∞

Khi đó ta viết Xn → X.P

Sự hội tụ theo xác suất khẳng định rằng với ε bé tùy ý, xác suất để

Xn lệch khỏi X một khoảng quá ε là không đáng kể, xác suất đó hội tụ

về 0

Sau đây ta sẽ giới thiệu một khái niệm hội tụ mạnh hơn, đó là sự hội

tụ trong Lp (p > 0), hay hội tụ theo trung bình cấp p

Định nghĩa 1.3.2 (Hội tụ theo trung bình p) Giả sử p > 0 Một dãycác biến ngẫu nhiên X1, X2, được gọi là hội tụ trong Lp hay hội tụtheo trung bình cấp p đến một biến ngẫu nhiên X nếu

C = {ω : Xn(ω) hội tụ}

là một tập đo được Thật vậy, dãy {Xn(ω), n ≥ 1} hội tụ khi và chỉ khi

nó là dãy Cauchy trong R Do đó,

Định nghĩa 1.3.4 Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} được gọi là

hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X khi n → ∞ nếu

Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là khi nào thì Xn không hội tụ hầu chắc

chắn? Ta nhắc lại rằng một dãy các số thực xn 6→ x nếu và chỉ nếu

∃ε > 0 : |xn− x| > ε đối với vô hạn n Điều này có nghĩa là tồn tại một

dãy con cách xa x một khoảng lớn hơn ε Do đó, ta có mệnh đề sau đây

Mệnh đề 1.3.5 Xn → X h.c.c nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0, P (|Xn−

X| > ε i.o.) = 0

Định lý sau đây so sánh sự hội tụ h.c.c và sự hội tụ theo xác suất

Định lý 1.3.6 (Sự hội tụ h.c.c và sự hội tụ theo xác suất) Giả sử

{X, Xn, n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên

1 Nếu Xn → X h.c.c thì Xn → X theo xác suất

2 Nếu Xn → X theo xác suất thì tồn tại dãy con {Xnk} của {Xn} sao

cho Xnk → X h.c.c

Chứng minh 1 Giả sử Xn → X h.c.c và ε > 0 Do đó 0 = P (|Xn −

X| > ε i.o.) = P (lim sup{|Xn − X| > ε}) Theo tính chất liên tục

của độ đo xác suất, ta có P (lim sup{|Xn−X| > ε}) = limn→∞P (S∞

k=n(|Xk − X| > ε)) ≥lim sup P (|Xn− X| > ε) Do đó P (|Xn− X| > ε) → 0 Điều này có

nghĩa Xn → X theo xác suất

2 Giả sử Xn → X theo xác suất Cố định dãy εk → 0, ta chọn dãycon (nk) sao cho

Hệ quả 1.3.7 Giả sử {X, Xn, n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên Khi

đó Xn → X theo xác suất nếu với mọi dãy con của Xn đều chứa mộtdãy con khác hội tụ h.c.c đến X

Chứng minh • (⇒) Với một dãy con bất kỳ, theo định lý trên, nó sẽchứa một dãy con khác hội tụ h.c.c

• (⇐) Giả sử ngược lại rằng Xn 6→ X theo xác suất Khi đó tồn tại

ε > 0 và dãy con (nk) sao cho P (|Xnk − X| > ε) > ε Do đó, dãycon Xnk không chứa một dãy con nào hội tụ đến X theo xác suất.Điều mâu thuẫn này kết thúc chứng minh định lý

Một câu hỏi đặt ra là khi nào sự hội tụ h.c.c tương đương với sự hội

tụ theo xác suất Định lý sau đây trả lời câu hỏi đó

Hệ quả 1.3.8 Nếu Xn là dãy đơn điệu thì Xn → X h.c.c khi và chỉkhi Xn → X theo xác suất

Chứng minh Nếu Xn → X theo xác suất, thì tồn tại dãy con Xnk → Xh.c.c Kết hợp với tính đơn điệu của dãy Xn, ta suy ra được Xn → Xh.c.c

Phần cuối của chương này, chúng tôi trình bày các định lý về sự hội

tụ hầu chắc chắn của chuỗi các biến ngẫu nhiên độc lập, đó là định lýhội tụ Kolmogorov-Khintchin, định lý hai chuỗi và định lý ba chuỗi Cáckiến thức này chủ yếu được trích dẫn từ tài liệu tham khảo [1]

Định lý 1.3.9 (Định lý hội tụ Kolmogorov-Khintchin) Giả sử {Xn, n ≥1} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập Khi đó nếu

2 Nếu {Xn, n ≥ 1} bị chặn đều, (tức là tồn tại t > 0 sao cho

P (|Xn| < t) = 1, ∀n ≥ 1) thì sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi

Chứng minh 1 Nếu chuỗi P∞

n=1Xn hội tụ hầu chắc chắn thì Xn → 0h.c.c Vì vậy với mọi t ∈ (0, ∞), chuỗi thứ nhất hội tụ Từ đó ápdụng Luật 0 − 1 Borell - Cantelli ta được xác suất 1 thì Xn =

XnI (|Xn| ≤ t) khi n khá lớn Do đó, chuỗi P∞

n=1XnI (|Xn| ≤ t)cũng hội tụ hầu chắc chắn Điều này kéo theo hai chuỗi sau hội tụ(theo Định lý hai chuỗi)

2 Từ sự hội tụ của hai chuỗi sau là (1.2) và (1.3), ta suy ra chuỗi

Chương 2

Sự hội tụ hầu chắc chắn đối với

chuỗi các biến ngẫu nhiên

Năm 1983, Smit and Vervaat [4] đã đưa ra một số kết quả về sự hội tụhầu chắc chắn của chuỗi các biến ngẫu nhiên không âm Dựa trên nhữngkết quả đó, năm 2014, Rosalsky và Volodin [5] đã mở rộng thêm đượcmột số kết quả nghiên cứu mới và được giới thiệu trong bài báo “OnAlmost Sure Convergence of Series of Random Variables Irrespective ofTheir Joint Distributions” Trong chương này chúng tôi trình bày lại nộidung bài báo của Rosalsky và Volodin [5] Nội dung chính là xây dựngĐịnh lý 2.2.3, từ đó dẫn đến số hệ quả và đưa ra một số ví dụ, phản ví

dụ minh họa các kết quả đạt được

2.1 Một số bổ đề

Trong mục này, chúng ta sẽ trình bày một số bổ đề cần thiết để chứngminh cho kết quả chính Bổ đề thứ nhất cho một đánh giá đơn giản củađại lượng

Thật vậy, ta thấy (2.6) suy ra (2.5) Để thấy (2.5) suy ra (2.6), ta chọn

t0 thỏa mãn (2.5) Dễ dàng thấy (2.6) đúng với mọi T0 ∈ (0, t0] Với

có thể nhận bất kỳ một giá trị nào thuộc khoảng (0, 1).

Ví dụ 2.2.2 Cho 0 ≤ p ≤ 1 và A là biến cố với P (A) = 1 − p Cho

t0 ∈ (0, ∞) Khi đó ba khẳng định sau đây là tương đương