Sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi các biến ngẫu nhiên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH CAO ĐỨC MINH SỰ HỘI TỤ HẦU CHẮC CHẮN CỦA CHUỖI CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN Chuyên ngành : Lý thuyết xác suất thống kê Toán học Mã số : 60 46 01 06 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS LÊ VĂN THÀNH NGHỆ AN, 2015 Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Biến ngẫu nhiên vector ngẫu nhiên 1.2 Hàm phân phối 1.3 Các dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên 3 11 Sự hội tụ hầu chắn chuỗi biến ngẫu nhiên 2.1 Một số bổ đề 2.2 Sự hội tụ hầu chắn chuỗi biến ngẫu nhiên 2.3 Một số ví dụ phản ví dụ 2.4 Kết luận 2.4.1 Kết luận văn 2.4.2 Hướng phát triển luận văn 17 17 20 26 34 34 34 MỞ ĐẦU Sự hội tụ chuỗi biến ngẫu nhiên hướng nghiên cứu Lý thuyết xác suất nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu có nhiều ứng dụng nhiều ngành khoa học khác Chính mà kết hội tụ chuỗi biến ngẫu nhiên không mang ý nghĩa lý thuyết mà mang ý nghĩa thực tiễn to lớn Sự hội tụ chuỗi biến ngẫu nhiên thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học nước, chẳng hạn Smythe, Gut, Stadtmuller, Rosalsky, Nguyễn Duy Tiến, Nguyễn Văn Quảng, Năm 2014, Rosalsky Volodin nghiên cứu hội tụ hầu chắn chuỗi biến ngẫu nhiên Các tác giả cung cấp điều kiện cần đủ để thu kết tương tự định lý ba chuỗi Sau nghiên cứu báo Rosalsky Volodin nói nhận thấy có nhiều kết thú vị, chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn “Sự hội tụ hầu chắn chuỗi biến ngẫu nhiên” Mục đích nghiên cứu luận văn tìm hiểu hội tụ hầu chắn chuỗi biến ngẫu nhiên tùy ý Nội dung luận văn trình bày lại chi tiết kết Rosalsky Volodin đề cập Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương trình bày số kiến thức sở lý thuyết xác suất cần thiết cho việc nghiên cứu chương sau Chương nội dung luận văn Trong chương này, trình bày điều kiện cần đủ để chuỗi biến ngẫu nhiên tùy ý hội tụ hầu chắn Kết luận văn Định lý 2.2.3 hai hệ Chúng trình bày thêm số ví dụ, phản ví dụ minh họa nội dung Định lý 2.2.3 hệ nói Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Vinh, hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Lê Văn Thành Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy hướng dẫn tận tình tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời biết ơn tới thầy, cô GS.TS Nguyễn Văn Quảng, TS Nguyễn Trung Hòa, TS Nguyễn Thị Thế, TS Nguyễn Thanh Diệu, TS Võ Thị Hồng Vân, thầy cô giáo tổ xác suất thống kê khoa Toán Đồng thời, tác giả xin cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, quan tâm, góp ý, tạo điều kiện giúp tác giả hoàn thành luận văn Và cuối tác giả xin cảm ơn Ban lãnh đạo trường THPT Nguyễn Du đồng nghiệp - nơi tác giả công tác tạo điều kiện bố trí thời gian ủng hộ tác giả tinh thần trình tác giả tham gia khóa đào tạo Mặc dù cố gắng song lực hạn chế nên luận văn chắn tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận lời bảo quý báu Thầy, Cô giáo góp ý bạn đọc để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng 08 năm 2015 Tác giả Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày biến ngẫu nhiên, hàm phân phối dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên Chúng trình bày số định lý hội tụ hầu chắn chuỗi biến ngẫu nhiên độc lập định lý hai chuỗi, định lý ba chuỗi, 1.1 Biến ngẫu nhiên vector ngẫu nhiên Mục trình bày giới hạn dãy biến cố, bổ đề BorelCantelli Sau trình bày biến ngẫu nhiên vector ngẫu nhiên Định nghĩa sau trình bày khái niệm lim sup lim inf dãy tập hợp Các định nghĩa có ý nghĩa thực tập hợp xét thuộc σ-đại số Định nghĩa 1.1.1 Giả sử A1 , A2 , dãy biến cố Khi ta định nghĩa ∞ ∞ lim sup An := Ak n=1 k=n = {ω ∈ Ω : ∀ n ∃ k ≥ n cho ω ∈ Ak } = {ω ∈ Ω : ω thuộc vô hạn biến cố An }, ∞ ∞ Ak lim inf An := n=1 k=n = {ω ∈ Ω : ∃ n cho ∀ k ≥ n, ω ∈ Ak } = {ω ∈ Ω : ω thuộc vào tất trừ số hữu hạn An } Ta thường chúng ký hiệu lim sup An = (An i.o.), với chữ i.o viết tắt “infinite often”, với ý nghĩa lim sup An xảy có vô hạn biến cố An xảy Tiếp theo trình bày khái niệm giới hạn dãy tập hợp Định nghĩa 1.1.2 Nếu lim sup An = lim inf An = A, ta nói An hội tụ tới A viết lim An = A hay An → A Định lý sau trình bày giới hạn dãy biến cố tăng (giảm) Phép chứng minh tương đối dễ dàng Mệnh đề 1.1.3 Nếu An , An hội tụ, ∞ lim An = An = A n=1 Nếu An , An hội tụ, ∞ lim An = An = B n=1 Định nghĩa 1.1.4 Giả sử A1 , A2 , biến cố tùy ý Ta định nghĩa σ-đại số đuôi ∞ T := σ(An , An+1 , An+2 , ) n=1 Các phần tử T gọi biến cố đuôi Định lý sau gọi luật 0-1 Kolmogorov Định lý 1.1.5 (Luật 0-1 Kolmogorov) Giả sử A1 , A2 , biến cố độc lập Khi biến cố đuôi A có xác suất Dưới trình bày bổ đề Borel-Cantelli Nó cho ta điều kiện đơn giản để biết xác suất biến cố lim sup An hay Định lý 1.1.6 (Bổ đề Borel-Cantelli) Giả sử A1 , A2 , biến cố Nếu ∞ n=1 P (An ) < ∞ P (An i.o.) = Nếu A1 , A2 , độc lập Chứng minh n P (An ) ∞ n=1 P Giả sử = ∞ P (An i.o.) = (An ) < ∞ Khi ∞ ∞ P (lim sup An ) =P (∩∞ n=1 ∪k=n Ak ) = lim P (∪n=1 An ) n→∞ ∞ ≤ lim n→∞ P (Ak ) = k=n Với ≤ x < − x ≤ e−x Giả sử ∞ n=1 P (An ) = ∞ Khi , dãy (An ) độc lập nên dãy An độc lập Do đó, với n = 1, 2, m > n, ta có m m − P (∪m k=n Ak ) = P ∪k=n Ak = P ∪k=n Ak m (1 − P (An )) ≤ e− = m k=n P (An ) k=n Suy m ≤ − P (∪∞ k=n Ak ) = lim (∪k=n Ak ) n→∞ ≤ lim e− m k=n P (An ) n→∞ = Vì P (∪∞ n=k Ak ) = với n = 1, 2, Điều kéo theo P (lim sup An ) = lim P (∪∞ n=k Ak ) = n→∞ Bổ đề Borel-Cantelli có hệ sau Hệ 1.1.7 (Luật 0-1 Borel -Cantelli) Nếu (An ; n ≥ 1) dãy biến cố độc lập, P (lim sup An ) nhận hai giá trị tùy theo chuỗi ∞ n=1 P (An ) hội tụ hay phân kỳ Định nghĩa 1.1.8 Giả sử (Ω, F, P) (Σ, G, µ) không gian đo Ánh xạ X:Ω→Σ gọi ánh xạ đo nghịch ảnh tập đo tập đo được, nghĩa X −1 (B) ∈ F với B ∈ G Ta nhắc lại nghịch ảnh X −1 (B) := {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B} Mệnh đề sau khẳng định phép hợp thành hai ánh xạ đo ánh xạ đo Mệnh đề 1.1.9 Giả sử (Ω, F, P), (Σ, G, µ) (Θ, H, ν) không gian đo, X : Ω → Σ, Y : Σ → Θ ánh xạ đo Khi đó, tích hai ánh xạ Y (X) : Ω → Θ ánh xạ đo Chứng minh Mệnh đề suy từ (Y (X))−1 (B) = X −1 (Y −1 (B)) với B ∈ H Biến ngẫu nhiên vector ngẫu nhiên trường hợp đặc biệt ánh xạ đo Định nghĩa 1.1.10 Trong Định nghĩa 1.1.8, (Ω, F, P) không gian xác suất, Σ = R, G = B(R) µ độ đo Lebesgue R, X gọi biến ngẫu nhiên, với d ≥ 2, Σ = Rd , G = B(Rd ) µ độ đo Lebesgue Rd , X gọi vector ngẫu nhiên Định lý 1.1.11 Giả sử (Ω, F, P) (Σ, G, µ) không gian đo, X : Ω → Σ ánh xạ Khi σ(X) := {X −1 (B) : B ∈ G} σ-đại số σ-đại số σ(X) nói Định lý 1.1.11 gọi σ-đại số sinh X Định lý 1.1.11 dẫn đến hệ sau Hệ 1.1.12 Giả sử (Ω, F, P) (Σ, G, µ) không gian đo, X : Ω → Σ ánh xạ Khi X đo σ(X) ⊆ F Đối với ánh xạ tổng quát X : (Ω, F, P) → (Σ, G, µ), để kiểm tra tính đo nó, ta cần kiểm tra ngược ảnh tập thuộc tập sinh σ-đại số G Định lý 1.1.13 Cho (Ω, F, P) (Σ, G, µ) không gian đo ánh xạ X : Ω → Σ Giả sử G = σ(A) Nếu X −1 (B) ∈ F với B ∈ A, (1.1) X ánh xạ đo được, nghĩa X −1 (B) ∈ F với B ∈ G, (1.2) Chứng minh Xét E := {B ∈ σ(A) : X −1 (B) ∈ F} Chúng ta cần chứng minh E = σ(A) Ta có A ⊆ E ⊆ σ(A) Vì σ(A) σ-đại số bé chứa A nên chứng minh E σ-đại số, E = σ(A) Để làm điều này, cần kiểm tra điều kiện σ-đại số Việc dễ dàng cách ý X −1 (B) = X −1 (B) với B ∈ E ∞ X −1 Bn n X −1 (Bn ) với B1 , B2 , ∈ E = n=1 Hệ sau đề cập trước Định lý 1.1.13 Nó cách thuận lợi để kiểm tra hàm số có phải biến ngẫu nhiên hay không Hệ 1.1.14 Cho ánh xạ X : (Ω, F, P) → R Khi X biến ngẫu nhiên điều kiện sau thỏa mãn • {ω : X(ω) ≤ a} ∈ F với a ∈ R • {ω : X(ω) < a} ∈ F với a ∈ R Chứng minh Vì σ{(−∞, a], a ∈ R} = σ{(−∞, a), a ∈ R} = B(R) nên áp dụng Định lý 1.1.13 ta kết thúc chứng minh Hệ Trong lý thuyết xác suất, ta sử dụng ký hiệu X −1 (A) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ A} := {X ∈ A} (1.3) Giả sử X biến ngẫu nhiên Khi với tập Borel B ⊆ R, ta định nghĩa PX (B) of B PX (B) := P (X ∈ B) = P (X −1 (B)) (1.4) Khi PX độ đo xác suất (R, B(R) Độ đo xác suất gọi phân phối xác suất X Đến lúc này, ta dần quên Ω, F P , mà ta chủ yếu tập trung vào phân phối PX Đây điều khác biệt lý thuyết độ đo lý thuyết xác suất Đối với lý thuyết độ đo, tập trung nghiên cứu không gian đo (Ω, F, µ) Đối với lý thuyết xác suất, ta cố gắng quên không gian tập trung nghiên cứu phân phối xác suất 1.2 Hàm phân phối Nếu quên không gian xác suất (Ω, F, µ), ta xác định biến ngẫu nhiên Chúng ta bắt đầu việc cách giới thiệu khái niệm hàm phân phối ∞ Xn < ∞ > 0; (ii) P n=1 ∞ E (min{Xn , 1}) < ∞ (iii) n=1 ∞ Xn < ∞ Ví dụ sau minh họa cho kết Nó P n=1 nhận giá trị thuộc khoảng (0, 1) Ví dụ 2.2.2 Cho ≤ p ≤ A biến cố với P (A) = − p Cho Xn = I (A) , n ≥ Khi ∞ Xn < ∞ P = P A¯ = p n=1 Sau đây, trình bày định lý Chương Ta ý điều kiện (2.7), (2.8) (2.9) phụ thuộc vào phân phối biên biến ngẫu nhiên Xn Đồng thời, ta không yêu cầu cấu trúc phụ thuộc dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} Định lý 2.2.3 Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên t0 ∈ (0, ∞) Khi ba khẳng định sau tương đương ∞ E n=1 |Xn | t0 + |Xn | < ∞, (2.7) t0 ∞ P (|Xn | > t) dt < ∞, (2.8) E (min{|Xn | , t0 }) < ∞ (2.9) n=1 ∞ n=1 Hơn nữa, ba khẳng định (2.7) (2.8) (2.9) đúng, ∞ Xn hội tụ tuyệt đối hầu chắn Ngược lại, {Xn , n ≥ chuỗi n=1 1} độc lập ∞ P Xn hội tụ tuyệt đối n=1 21 >0 (2.10) ∞ Xn hội tụ tuyệt đối h.c.c chuỗi (2.11) n=1 ba khẳng định (2.7), (2.8) (2.9) Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.2, 2.1.3 2.1.5, khẳng định (2.7), (2.8), (2.9) tương đương với cặp điều kiện (2.1), (2.2) Do ba điều kiện (2.7),(2.8), (2.9) tương đương Tiếp theo, có ba điều kiện (2.7), (2.8), (2.9), ta có ∞ ∞ |Xn | I (|Xn | ≤ t0 ) E E (|Xn | I (|Xn | ≤ t0 )) < ∞ theo (2.2) = n=1 n=1 Do ∞ |Xn | I (|Xn | ≤ t0 ) < ∞ h.c.c (2.12) n=1 Hơn nữa, ba điều kiện (2.7), (2.8) (2.9) kéo theo dãy {|Xn | , n ≥ 1} {|Xn | I (|Xn | ≤ 1) , n ≥ 1} tương đương theo nghĩa Khintchin, ∞ ∞ P (|Xn | = |Xn |I (|Xn | ≤ t0 )) = n=1 P (|Xn | > t0 ) < ∞ theo (2.1) n=1 Từ đó, áp dụng bổ đề Borel-Cantelli, ta có P lim inf [|Xn | = |Xn |I (|Xn | ≤ t0 )] = n→∞ (2.13) ∞ |Xn | < ∞ h.c.c theo (2.12) (2.13) Vì n=1 Ngược lại, giả sử dãy {Xn , n ≥ 1} độc lập (2.10) Khi đó, theo luật 0-1 Kolmogorov (2.11) Từ đó, áp dụng định lý ba chuỗi, (2.1) (2.2) Theo lập luận trên, cặp điều kiện (2.1) (2.2) tương đương với ba điều kiện (2.7), (2.8), (2.9) Nhận xét 2.2.4 Nếu {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên thỏa mãn ∞ P (|Xn | > tn ) < ∞ n=1 22 (2.14) {tn , n ≥ 1} ⊂ (0, ∞) với ∞ tn < ∞, (2.15) n=1 điều kiện (2.7), (2.8), (2.9) Định lý 2.2.3 thỏa mãn với ∞ tn ∈ (0, ∞) (và, đó, theo Định lý 2.2.3, chuỗi Xn hội tụ tuyệt n=1 đối hầu chắn) Chứng minh Từ giả thiết (2.15) đảm bảo tn → 0, ta giả sử mà không tính tổng quát tn < t0 với n ≥ Khi theo (2.14), ta có ∞ ∞ P (|Xn | > t0 ) < ∞ ≤ n=1 P (|Xn | > tn ) < ∞ n=1 Điều chứng tỏ (2.1) Do theo (2.14) (2.15), ta có ∞ E (|Xn |I (|Xn | ≤ t0 )) n=1 ∞ ∞ E (|Xn |I (|Xn | ≤ tn )) + = n=1 ∞ ≤ (|Xn |I (tn < |Xn | ≤ t0 )) n=1 ∞ P (|Xn | > tn ) tn + t0 n=1 E n=1 < ∞ Điều chứng tỏ (2.2) Vì vậy, theo Bổ đề 2.1.2 Định lý 2.2.3, điều kiện (2.7), (2.8), (2.9) thỏa mãn Hệ 2.2.5 Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập t0 ∈ (0, ∞) Khi năm khẳng định sau tương đương: ∞ E n=1 |Xn | t0 + |Xn | < ∞, (2.16) t0 ∞ P (|Xn | > t) dt < ∞, n=1 23 (2.17) ∞ E (min{|Xn | , t0 }) < ∞, (2.18) n=1 ∞ P Xn hội tụ tuyệt đối > 0, (2.19) n=1 ∞ Xn hội tụ tuyệt đối h.c.c chuỗi (2.20) n=1 Chứng minh Theo Định lý 2.2.3, khẳng định (2.16), (2.17), (2.18) tương đương với số suy (2.20), (2.20) suy (2.19) Ta cần chứng minh (2.19) kéo theo (2.16), (2.17) (2.18) Bây giả sử (2.19) đúng, tức ta có ∞ P Xn hội tụ tuyệt đối >0 n=1 trường hợp đặc biệt {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập Theo Định lý 2.2.3 (2.16), (2.17), (2.18) Đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập đối xứng, có hệ sau Các ví dụ trình bày Mục 2.3 chứng tỏ (2.21), (2.22) suy thiếu giả thiết đối xứng biến ngẫu nhiên Hệ 2.2.6 Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập đối xứng Khi ∞ chuỗi Xn hội tụ h.c.c (2.21) Xn2 hội tụ h.c.c (2.22) n=1 ∞ chuỗi n=1 Nếu có ∞ P Xn hội tụ n=1 24 >0 (2.23) ∞ Xn2 hội tụ P > 0, (2.24) n=1 (2.21), (2.22), ba khẳng định sau đúng: ∞ Xn2 t0 + Xn2 E n=1 t0 ∞ < ∞ ∀t0 ∈ (0, ∞) , P Xn2 > t dt < ∞ ∀t0 ∈ (0, ∞) , (2.25) (2.26) n=1 ∞ E min{Xn2 , t0 } < ∞ ∀t0 ∈ (0, ∞) (2.27) n=1 Chứng minh Giả sử (2.21) Theo định lý ba chuỗi Kolmogorov với giả thiết đối xứng, ta có ∞ P (|Xn |) > 1) < ∞ n=1 ∞ Xn2 I (|Xn | ≤ 1) E n=1 ∞ E Xn2 I (|Xn | ≤ 1) = n=1 ∞ D (Xn I (|Xn | ≤ 1)) = n=1 < ∞ Lập luận phần chứng minh Định lý 2.2.3, ta (2.22) Ngược lại, giả sử (2.22) Thế với giả thiết đối xứng theo định lý ba chuỗi Kolmogorov, ∞ ∞ E (Xn I (|Xn | ≤ 1)) = n=1 = 0, n=1 25 ∞ ∞ P |Xn2 | > < ∞, P (|Xn | > 1) = n=1 n=1 ∞ ∞ E Xn2 I |Xn2 | ≤ D (Xn I (|Xn | ≤ 1)) = n=1 < ∞ n=1 Lại áp dụng Định lý ba chuỗi Kolmogorov, có (2.21) Theo luật 0-1 Kolmogorov, (2.23) kéo theo (2.21) (2.24) kéo theo (2.22) Vì (2.21) (2.22) tương đương nên ta suy điều kiện (2.23) (2.24) kéo theo (2.21) (2.22) Theo Định lý 2.2.3, điều kiện (2.23) (2.24) dẫn đến (2.25), (2.26), (2.27) 2.3 Một số ví dụ phản ví dụ Ví dụ minh họa cho Định lý 2.2.3 Ví dụ 2.3.1 Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên cho với n ≥ 1, hàm phân phối |Xn |  0, t n2 t Chúng ta ý với n ≥ 1, ∞ E|Xn | = ∞ (1 − Fn (t)) dt ≥ n2 26 dt = ∞ t Bây giờ, ta có ∞ ∞ P (|Xn | > t) dt = n=1 P (|Xn | > t) dt n=1 ∞ n −2 − n − t dt + = n=1 ∞ = n=1 n−2 dt n2 − 2n2 2n4 t) : n ≥ 1} > ∀t ∈ (0, ∞) Đặt Xn = Yn I (An ) , n ≥ Ta có P (lim sup An ) = P lim inf [Xn = 0] = n→∞ Điều kéo theo ∞ n=1 |Xn | < ∞ h.c.c Với t0 ∈ (0, ∞) n ≥ 1, ta có P (|Xn | > t0 ) = P [Yn > t0 ] [I (An ) = 1] = P (|Yn | > t0 ) P (An ) α (t0 ) ≥ n ∞ P (|Xn | > t0 ) = ∞ n=1 Vậy, theo Bổ đề 2.1.2 Định lý 2.2.3, điều kiện (2.7), (2.8), (2.9) không thỏa mãn với t0 ∈ (0, ∞) 27 Chú ý 2.3.3 Giả sử {An , n ≥ 1}, {Yn , n ≥ 1}, {Xn , n ≥ 1} cho Ví dụ 2.3.2 giả sử thêm với n ≥ |Yn | > t0 h.c.c với t0 ∈ (0, ∞) Khi đó, với n ≥ 1, ta có E (|Xn | I (|Xn | ≤ t0 )) = E (|Yn | I (An ) I (|Xn | ≤ t0 )) = E (|Yn | I (|Yn | ≤ t0 ) I (An )) = E (0) = Vì vậy, E (|Xn | I (|Xn | ≤ t0 )) < ∞ (2.2) Theo Bổ đề 2.1.2, 2.1.3, 2.1.5, điều kiện (2.7), (2.8) (2.9) không (2.1) không thỏa mãn Trong ví dụ thứ ba, thấy ∞ P (|Xn | > tn ) < ∞ n=1 với dãy < tn → kết luận ∞ n=1 |Xn | < ∞ h.c.c không Điều dẫn đến điều kiện (2.7), (2.8), (2.9) Định lý 2.2.3 không Vì Nhận xét 2.2.4 không điều kiện ∞ n=1 tn < ∞ số dãy {tn , n ≥ 1} khoảng (0, ∞) bị làm yếu thành < tn → Ví dụ 2.3.4 Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên với P Đặt tn = Xn = n =P Xn = − , n ≥ Khi < tn → 0, n ∞ n = , n ≥ ∞ n=1 tn = ∞, ∞ P (|Xn | > tn ) = n=1 0=0 n=1 Tuy nhiên, ta có ∞ ∞ |Xn | = n=1 n=1 28 = ∞ h.c.c n Trong ví dụ thứ tư, điều kiện (2.14) (2.15) đồng thời thỏa mãn Ví dụ 2.3.5 Giả sử < α < cho {Yn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên có phân phối Y1 có hàm mật độ xác suất sau α , y≥1 y α+1 0, f (y) = (2.28) y < Giả sử Xn = Yn np , n ≥ 1, với p > (α + 1) α Ta ý EXn = ∞, n ≥ Đặt tn = n1+ε , n ≥ với < ε < p − (α + 1) α Khi ∞ ∞ P |Yn | > np−1−ε P (|Xn | > tn ) = n=1 n=1 ∞ ∞ α = n=1 ∞ = n=1 np−1−ε y α+1 dy npα−α−εα np ) P (|Xn | > t0 ) = n=1 n=1 ∞ ∞ = n=1 ∞ = n=1 np α dy y pα npα < ∞ Điều chứng tỏ (2.1) Ta lại có ∞ E (|Xn | I (|Xn | ≤ t0 )) n=1 ∞ = n=1 ∞ = n=1 ∞ = n=1 E (Y1 I (Y1 ≤ np )) np α np dy y y α+1 nα 1 − npα np α 1−α < ∞ Điều chứng tỏ (2.2) Giả sử có dãy dương {tn , n ≥ 1} thỏa mãn (2.14) (2.15) Khi ∞ ∞ p P (Xn > tn ) < ∞ P (Y1 > n tn ) = n=1 n=1 np tn → ∞ Vì số nguyên dương n0 đó, ta có ∞ ∞ ∞ n=1 np tn p ∞> P (Y1 > n tn ) ≥ n=1 Đặt A = {n ≥ : tn ≤ ∞ α dy = pα tα y pα n n n=n 1 } B = {n ≥ : tn > } n n 30 (2.29) Khi theo (2.15), ta có ∞ ≤ tn ≤ n n∈B n∈B tn < ∞ n=1 Mặt khác, 1 + = n n n∈A n∈B nên ta có ∞ n=1 = ∞, n = ∞ n n∈A (2.30) Theo (2.29) α (p − 1) ≤ 1, ∞ ∞> npα tαn ≥ pα n tαn n∈A n=1 ≥ npα (1 n)α n∈A = n∈A ≥ nα(p−1) n n∈A Điều mâu thuẫn với (2.30) Vì không tồn dãy số dương {tn , n ≥ 1} thỏa mãn (2.14) (2.15) Trong ví dụ thứ sáu, chứng tỏ (2.21) không suy (2.22) dãy {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập không đối xứng Ví dụ 2.3.7 Giả sử dãy {Un , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối với P (U1 = 1) = P (U1 = −1) = , n ≥ 31 Đặt (−1)n Un Xn = √ + , n ≥ n n Khi đó, áp dụng định lý hội tụ Kolmogorov-Khintchin, ta có ∞ Un hội tụ h.c.c n n=1 Mặt khác, từ ∞ n=1 ta có (−1)n √ hội tụ, n ∞ Xn hội tụ h.c.c chuỗi n=1 Vì {Xn2 , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập bị chặn từ ∞ ∞ 1 + n n EX = n=1 n=1 = ∞, áp dụng Hệ 5.1.1 Chow Teicher [2, tr 116] ta có chuỗi ∞ n=1 Xn không hội tụ h.c.c Trong ví dụ cuối cùng, (2.22) không suy (2.21) dãy biến ngẫu nhiên độc lập {Xn , n ≥ 1} không đối xứng Ví dụ 2.3.8 Giả sử dãy {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập với 1 P Xn = = − P Xn = − = p, n ≥ n n với < p < Khi ∞ ∞ Xn2 n=1 = n=1 < ∞ h.c.c n2 Bây {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập bị chặn từ ∞ ∞ EXn = n=1 n=1 32 2p − = ∞, n áp dụng Hệ 5.1.1 Chow Teicher [2, tr 116] ta suy chuỗi ∞ ∞ n=1 Xn không hội tụ h.c.c Vì chuỗi n=1 Xn không hội tụ tuyệt đối hầu chắn Do đó, theo Định lý 2.2.3, kết luận (2.7), (2.8), (2.9) sai với t0 ∈ (0, ∞) 33 2.4 2.4.1 Kết luận Kết luận văn Luận văn trình bày có hệ thống số kiến thức lý thuyết xác suất biến ngẫu nhiên, hàm phân phối dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên Chúng trình bày lại chi tiết theo cách hiểu kết báo Rosalsky Volodin [5] Định lý (Định lý 2.2.3) đưa điều kiện cần đủ để chuỗi biến ngẫu nhiên tùy ý hội tụ hầu chắn Luận văn trình bày lại số hệ quả, ví dụ phản ví dụ thú vị minh họa cho Định lý 2.2.3 2.4.2 Hướng phát triển luận văn Nội dung luận văn kết thú vị quan trọng đưa điều kiện cần đủ để chuỗi biến ngẫu nhiên tùy ý hội tụ hầu chắn Trong luận văn này, đưa kết biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian thực Một hướng phát triển mở rộng kết cho trường hợp biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach, 34 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Quảng, Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2008 [2] Y S Chow and H Teicher, Probability theory Independence, interchangeability, martingales Third edition Springer Texts in Statistics Springer-Verlag, New York, 1997 [3] A Gut, Probability: A graduate course Springer Verlag, 2013 [4] J C Smit, and W Vervaat, (1983), On divergence and convergence of sums of non-negative random variables Statist Neerlandica, 37, 143-147 [5] A Rosalsky and A Volodin, (2014), On Almost Sure Convergence of Series of Random Variables Irrespective of Their Joint Distributions Stochastic Analysis and Applications, 32, 575–590 35 [...]... I (|Xn | ≤ t) hội tụ hầu chắc chắn Từ sự hội tụ của chuỗi (1.1) và luật 0 − 1 Borell - Cantelli ta được, với xác suất bằng 1 thì Xn = Xn I (|Xn | ≤ t) khi n khá lớn Do đó chuỗi ∞ n=1 Xn cũng hội tụ hầu chắc chắn 16 Chương 2 Sự hội tụ hầu chắc chắn đối với chuỗi các biến ngẫu nhiên Năm 1983, Smit and Vervaat [4] đã đưa ra một số kết quả về sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi các biến ngẫu nhiên không âm... biến ngẫu nhiên độc lập Khi đó nếu ∞ DXn < ∞ n=1 thì chuỗi ∞ (Xn − EXn ) n=1 hội tụ hầu chắc chắn Định lý 1.3.10 (Định lý hai chuỗi) Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập Khi đó 1 Nếu chuỗi ∞ n=1 DXn và hội tụ hầu chắc chắn ∞ n=1 EXn hội tụ thì chuỗi ∞ n=1 Xn cũng 2 Nếu {Xn , n ≥ 1} bị chặn đều, (tức là tồn tại t > 0 sao cho P (|Xn | < t) = 1, ∀n ≥ 1) thì sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi. .. liên tục phải nên cho n → ∞, ta có F (a) ≥ ω ∗ Điều này có nghĩa là ω : X(ω) ≤ a ⊂ [0, F (a)] (1.7) ω : X(ω) ≤ a = [0, F (a)] (1.8) Từ (1.6) và (1.7) ta có Đẳng thức (1.5) được suy ra từ (1.8) 1.3 Các dạng hội tụ đối với dãy các biến ngẫu nhiên Trong mục này, chúng tôi giới thiệu các dạng hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên, đó là sự hội tụ theo xác suất, sự hội tụ theo trung bình, sự hội tụ hầu chắc chắn, ... cơ bản của lý thuyết xác suất như biến ngẫu nhiên, hàm phân phối và các dạng hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên Chúng tôi trình bày lại chi tiết theo cách hiểu của mình các kết quả chính trong bài báo của Rosalsky và Volodin [5] Định lý chính (Định lý 2.2.3) đưa ra các điều kiện cần và đủ để một chuỗi các biến ngẫu nhiên tùy ý hội tụ hầu chắc chắn Luận văn cũng trình bày lại một số hệ quả, các ví dụ... Nếu chuỗi ∞ n=1 Xn hội tụ hầu chắc chắn thì Xn → 0 h.c.c Vì vậy với mọi t ∈ (0, ∞), chuỗi thứ nhất hội tụ Từ đó áp dụng Luật 0 − 1 Borell - Cantelli ta được xác suất 1 thì Xn = ∞ Xn I (|Xn | ≤ t) khi n khá lớn Do đó, chuỗi n=1 Xn I (|Xn | ≤ t) cũng hội tụ hầu chắc chắn Điều này kéo theo hai chuỗi sau hội tụ (theo Định lý hai chuỗi) 2 Từ sự hội tụ của hai chuỗi sau là (1.2) và (1.3), ta suy ra chuỗi. .. của dãy Xn , ta suy ra được Xn → X h.c.c Phần cuối của chương này, chúng tôi trình bày các định lý về sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi các biến ngẫu nhiên độc lập, đó là định lý hội tụ Kolmogorov-Khintchin, định lý hai chuỗi và định lý ba chuỗi Các kiến thức này chủ yếu được trích dẫn từ tài liệu tham khảo [1] 14 Định lý 1.3.9 (Định lý hội tụ Kolmogorov-Khintchin) Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy biến ngẫu. .. đó là sự hội tụ trong Lp (p > 0), hay hội tụ theo trung bình cấp p Định nghĩa 1.3.2 (Hội tụ theo trung bình p) Giả sử p > 0 Một dãy các biến ngẫu nhiên X1 , X2 , được gọi là hội tụ trong Lp hay hội tụ theo trung bình cấp p đến một biến ngẫu nhiên X nếu E|Xn − X|p → 0 khi n → ∞ Lp Khi đó ta viết Xn → X Mệnh đề sau đây giải thích tại sao sự hội tụ theo trung bình cấp p lại mạnh hơn sự hội tụ theo xác... | ≤ t0 )) + t0 P (|Xn | > t0 ) Do đó, bổ đề được chứng minh 2.2 Sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi các biến ngẫu nhiên Mệnh đề sau đây trình bày về sự hội tụ h.c.c của chuỗi các biến ngẫu nhiên không âm Đây là kết quả chính của Smit và Vervaat [4] Mệnh đề 2.2.1 (Smit and Vervaat)[4] Giả sử dãy {Xn , n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên, độc lập không âm Ba khẳng định sau đây là tương đương: ∞ Xn < ∞ h.c.c.;... phát triển của luận văn Nội dung chính của luận văn là kết quả thú vị và quan trọng đưa ra các điều kiện cần và đủ để một chuỗi các biến ngẫu nhiên tùy ý hội tụ hầu chắc chắn Trong luận văn này, chúng tôi mới chỉ đưa ra được các kết quả đối với biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian thực Một hướng phát triển tiếp theo là chúng ta có thể mở rộng kết quả này cho trường hợp biến ngẫu nhiên nhận... (Hội tụ theo xác suất) Một dãy các biến ngẫu nhiên X1 , X2 , được gọi là hội tụ theo xác suất đến một biến ngẫu nhiên X nếu với mọi ε > 0 P (|Xn − X| > ε) → 0 khi n → ∞ P Khi đó ta viết Xn → X Sự hội tụ theo xác suất khẳng định rằng với ε bé tùy ý, xác suất để Xn lệch khỏi X một khoảng quá ε là không đáng kể, xác suất đó hội tụ về 0 Sau đây ta sẽ giới thiệu một khái niệm hội tụ mạnh hơn, đó là sự ... bày biến ngẫu nhiên, hàm phân phối dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên Chúng trình bày số định lý hội tụ hầu chắn chuỗi biến ngẫu nhiên độc lập định lý hai chuỗi, định lý ba chuỗi, 1.1 Biến ngẫu nhiên. .. chuẩn bị 1.1 Biến ngẫu nhiên vector ngẫu nhiên 1.2 Hàm phân phối 1.3 Các dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên 3 11 Sự hội tụ hầu chắn chuỗi biến ngẫu nhiên 2.1... biến ngẫu nhiên Trong mục này, giới thiệu dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên, hội tụ theo xác suất, hội tụ theo trung bình, hội tụ hầu chắn, 11 Định nghĩa 1.3.1 (Hội tụ theo xác suất) Một dãy biến