Từ những thập niên đầu của thế kỷ XX, lý thuyết xác suất đ• được phát triển mạnh mẽ. Một trong những hướng nghiên cứu mới của nó là lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên. Lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên nói chung và lý thuyết Martingale nói riêng trở thành những bộ phận không thể thiếu được của lý thuyết xác suất. Theo Doob và Never, đó là những công cụ hữu hiệu được áp dụng rộng r•i trong nhiều ngành toán học hiện đại và trong thực tế. Việc nghiên cứu sự phụ thuộc giữa các đại lượng ngẫu nhiên trong lý thuyết xác suất được thực hiện bằng nhiều phương pháp khác nhau. Chẳng hạn, trong quá trình dừng (theo nghĩa rộng) sự phụ thuộc của d•y các đại lượng ngẫu nhiên được nghiên cứu thông qua hàm tương quan. Đối với quá trình Markov, đặc trưng cơ bản của sự phụ thuộc là hàm xác suất chuyển. Đối với quá trình Martingale, sự phụ thuộc được nghiên cứu dựa trên tính chất của kỳ vọng điều kiện. Một trong những hướng nghiên cứu cơ bản của lý thuyết Martingale là các định lý giới hạn của các quá trình ngẫu nhiên. Trong luận văn này chúng ta nghiên cứu về sự hội tụ và sự khai triển Riesz của Amart và sự mở rộng trên các lớp tổng quát hơn: Dv - Amart và Amart điều kiện: Luận văn gồm bốn chương: Chương I: Những kiến thức chuẩn bị: I. Các khái niệm cơ bản II. Một số kết quả Chương II: Amart : I. Sự hội tụ của Amart II. Tính ổn định của Amart III. Khai triển Riesz của Amart Chương III: Dv - Amart: I. Xây dựng không gian Dv II. Sự hội tụ của Dv - Amart Chương IV: Amart điều kiện: I. Một số khái niệm và kết quả liên quan II. Các định lý đặc trưng cho sự hội tụ hầu chắc chắn
Mục lục Trang Lời nói đầu 2 Chơng I::Những kiến thức chuẩn bị: .4 I. Các khái niệm cơ bản 4 II. Một số kết quả: 8 Chơng II: Amart: .11 I. Sự hội tụ của Amart .11 II. Tính ổn định của Amart .15 III. Khai triển Riesz của Amart 18 Chơng III: D v Amart: 23 I. Xây dựng không gian D v 23 II. Sự hội tụ của D v - Amart 25 Chơng IV: Amart điều kiện: 44 I. Một số khái niệm và kết quả liên quan .44 II. Các định lý đặc trng cho sự hội tụ hầu chắc chắn 47 Kết luận .63 Tài liệu tham khảo .64 1 Lời nói đầu Từ những thập niên đầu của thế kỷ XX, lý thuyết xác suất đã đợc phát triển mạnh mẽ. Một trong những hớng nghiên cứu mới của nó là lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên. Lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên nói chung và lý thuyết Martingale nói riêng trở thành những bộ phận không thể thiếu đợc của lý thuyết xác suất. Theo Doob và Never, đó là những công cụ hữu hiệu đợc áp dụng rộng rãi trong nhiều ngành toán học hiện đại và trong thực tế. Việc nghiên cứu sự phụ thuộc giữa các đại lợng ngẫu nhiên trong lý thuyết xác suất đợc thực hiện bằng nhiều phơng pháp khác nhau. Chẳng hạn, trong quá trình dừng (theo nghĩa rộng) sự phụ thuộc của dãy các đại lợng ngẫu nhiên đợc nghiên cứu thông qua hàm tơng quan. Đối với quá trình Markov, đặc trng cơ bản của sự phụ thuộc là hàm xác suất chuyển. Đối với quá trình Martingale, sự phụ thuộc đợc nghiên cứu dựa trên tính chất của kỳ vọng điều kiện. Một trong những hớng nghiên cứu cơ bản của lý thuyết Martingale là các định lý giới hạn của các quá trình ngẫu nhiên. Trong luận văn này chúng ta nghiên cứu về sự hội tụ và sự khai triển Riesz của Amart và sự mở rộng trên các lớp tổng quát hơn: D v - Amart và Amart điều kiện: Luận văn gồm bốn chơng: Chơng I: Những kiến thức chuẩn bị: I. Các khái niệm cơ bản 2 II. Một số kết quả Chơng II: Amart : I. Sự hội tụ của Amart II. Tính ổn định của Amart III. Khai triển Riesz của Amart Chơng III: D v - Amart: I. Xây dựng không gian D v II. Sự hội tụ của D v - Amart Chơng IV: Amart điều kiện: I. Một số khái niệm và kết quả liên quan II. Các định lý đặc trng cho sự hội tụ hầu chắc chắn Do có những khó khăn nhất định về tài liệu tham khảo và khả năng còn hạn chế nên không tránh khỏi những sai sót, tác giả mong thầy cô và bạn đọc thông cảm góp ý thêm. Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi nhận đợc sự giúp đỡ tận tình của thầy Nguyễn Hắc Hải và các thầy trong tổ Toán ứng dụng - Khoa toán tin - Trờng đại học S phạm Hà Nội để hoàn thành bản luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Hắc Hải và các thầy cô giáo ./. 3 Chơng I. Những kiến thức chuẩn bị I. Các kháI niệm cơ bản Định nghĩa I.1.1: Phần tử ngẫu nhiên. Giả sử không gian xác suất (, , P); (E, ) là không gian Mêtric đầy đủ, khả ly. Một ánh xạ đo đợc từ E đợc gọi là phần tử ngẫu nhiên, ký hiệu là X. Khi đó : X: E sao cho X -1 (B) , với mọi B . Khi E = R (E = R n ) ta có X là biến ngẫu nhiên hay vectơ ngẫu nhiên. Giả sử {X n } n N là dãy các đại lợng ngẫu nhiên tơng thích với họ { n }, nghĩa là X n đo đợc đối với n với mọi n. Khi đó ta nói rằng: {(X n , n )} n N tạo thành dãy ngẫu nhiên. Định nghĩa I.1.2: Thời điểm dừng bị chặn. ánh xạ : N () thoả mãn 2 điều kiện: (i) P[() < ] = 1 (ii) [:() = n ] = [=n] n đợc gọi là điểm dừng bị chặn. Trong đó: n là họ tăng các - đại số con của . Ký hiệu: T = tập các thời điểm dừng bị chặn. 4 Với T, ta xác định: X : E X () = X ( ) () = {B : B [=n] n } là - đại số trên là - đại số con của X là biến ngẫu nhiên X là - đo đợc. Chứng minh: + F là - đại số: Với mỗi T: = {B : B [ = n] n } a. [ = n] = [ = n] n (vì là - đại số) [ = n] = n b. A A c = \A Xét A c [ = n] = (\A) [ = n] = ( [ = n]) \ (A [ = n]) n A c c. {A i } i I mà A i , A i A j = , với mọi i j [ ] i i i i nn === ])[( n i i Vậy là - đại số trên . + X là biến ngẫu nhiên: Với a R 1 , ta phải chứng minh: [ X < a] n . Ta có: [X < a] [ = n] = [X n < a] [ = n] n 5 X n là biến ngẫu nhiên [X n < a] n là thời điểm dừng nên [ = n] n [X < a] n X là biến ngẫu nhiên. Định nghĩa I.1.3: Dãy dự báo. Dãy ngẫu nhiên (X n , n ) n N đợc gọi là dãy dự báo nếu với mỗi n N thì các biến ngẫu nhiên X n là n -1 - đo đợc, ở đó 0 = 1 . Định nghĩa I.1.4: Martingale (Sub Martingale). Dãy ngẫu nhiên (X n , n ) n N gọi là Martingale (Sub Mart) nếu với mọi n 1 các điều kiện sau thoả mãn: (i) E(|X n |) < + (ii) E(|X n+1 | n ) = X n (E(X n+1 / n ) X n ) (a.s) Định nghĩa I.1.5: Khả tích đều. Dãy ngẫu nhiên (X n ) n N tơng thích với họ { n } n N đợc gọi là khả tích đều nếu: { } 0 > c cX n dPXSup n hay: [ ] ( ) 0. > c cX n n IXSupE Định nghĩa I.1.6: T - Khả tích đều. Dãy ngẫu nhiên (X n ) n N tơng thích với họ { n } n N đợc gọi là T - khả tích đều nếu: {EX } T là khả tích đều. 6 Nghĩa là: với mọi > 0, 0 sao cho: sup E(|X |.I [ | Xn | > ] ) < với mọi > 0 . Định nghĩa I.1.7: Hội tụ theo xác suất. XX P n nếu > 0: lim P[|X n -X| ] = 1 n n Định nghĩa I.1.8: Hội tụ hầu chắc chắn. XX sa n . nếu P[ : lim X n ()=X()] = 1 n n Định nghĩa I.1.9: Hội tụ theo luật. XX D n nếu P Xn P X n Định nghĩa I.1.10: Hội tụ căn bản theo luật. XX ED n nếu với mọi tập X - liên tục A ta có: n P(lim sup [X n A]) = P(lim inf [X n A]) = P(X A) n n (tập A đợc gọi là X - liên tục nếu P[X A] = 0. A là biên của tập A, A ) Mêtric Levy Prokhorop xác định trên tập P E gồm tất cả các độ đo xác suất trên (E, ) nh sau: L(P X , P Y ) = inf { : P X (A) < P Y (A ) + ; P Y (A) < P X (A) + , A } Trong đó: P X là phân phối xác suất của phần tử ngẫu nhiên X P X (B) = P[X B], B A = {x E; (x,A) < } Ngời ta có thể viết: L(X,Y) = L(P X , P Y ) 7 Định nghĩa I.1.11: Hội tụ ngẫu nhiên theo luật. XX D nếu > 0, 0 T, T, > 0 : L(X , X) < (a.s) Định nghĩa I.1.12: Hội tụ vô hớng. Dãy { } = 1n n X đợc gọi là hội tụ vô hớng (a.s) đến X nếu mọi toán tử tuyến tính liên tục f, f E * thì : f(X n ) f(X). Trong đó : E * là không gian Banach đối ngẫu của E. II. Một số kết quả Bổ đề I.2.1. Nếu dãy các phần tử ngẫu nhiên {X n } n N hội tụ theo xác suất tới phần tử ngẫu nhiên X thì tồn tại một dãy con (n k ) sao cho dãy { } = 1k n k X hội tụ a.s tới X khi k Bổ đề I.2.2. Dãy các phần tử ngẫu nhiên { } = 1n n X hội tụ a.s tới phần tử ngẫu nhiên X nếu với mọi dãy { n } T, n (a.s) ta có: {X n } = 1n hội tụ a.s tới X khi n Bổ đề I.2.3. Giả sử {X n } n N là một Amart L 1 - bị chặn Khi đó: (i) < Xsup (ii) XX n Nn > supsup. 8 (iii) < n Nn Xsup (a.s) Bổ đề I.2.4. Giả sử {X n } = 1n là dãy các phần tử ngẫu nhiên, X là phần tử ngẫu nhiên. Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng: (i) nXX ED n , (ii) TXX D , (ii) nXX sa n ,' . Trong đó: X là phần tử ngẫu nhiên nào đó, sao cho P X = P X Bổ đề I.2.5. Giả sử {X n } = 1n là dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach E. Khi đó: XXnXX vohuong n sa n , . (a.s), n Và tập {X n ()} là compact tơng đối (a.s) Bổ đề I.2.6. Giả sử {X n } n N là dãy các phần tử ngẫu nhiên và X là phần tử ngẫu nhiên. Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng: (i) 1]),(sup[lim =< > XXP m nm n (ii) Với mọi dãy ( n ), n T, n n, n N, ta có: 1]),(sup[ =< XXP n n Bổ đề I.2.7. Giả sử {X n , n } n N và {Y n , n } n N là Amart L 1 - bị chặn. 9 Khi đó: {X n Y n , n } n N và {X n Y n , n } n N cũng là Amart L 1 - bị chặn. Chơng II. Amart Martingale tiệm cận (Amart) đợc mở rộng trực tiếp từ khái niệm martingale: Dãy ngẫu nhiên {X n , n } n N gọi là Amart nếu lới (EX ) T hội tụ. I. Sự hội tụ của Amart: Bổ đề II.1.1. Giả sử Y là biến ngẫu nhiên - đo đợc sao cho với mọi : Y() là điểm dính của dãy {X n ()} n N . Khi đó tồn tại dãy thời điểm dừng ( n ) n N , n T N , với n+1 n và n n sao cho: nYX sa n , . Chứng minh: Lấy n 0 và > 0, tồn tại n n 0 và biến ngẫu nhiên Y sao cho Y là n - đođợc và: 3 1 3 ' > YYP Vì Y() là điểm dính của dãy {X n ()} n N nên: ( ) ( ) ( ) ( ) ', 3 2': 3 ': nnYXYY n và tồn tại n n sao cho ( ) 3 21 > AP Trong đó: ( ) ( ) = ''', 3 2': nnnYXA n Ta xác định thời điểm dừng : 10 . II. Sự hội tụ của D v - Amart Chơng IV: Amart điều kiện: I. Một số khái niệm và kết quả liên quan II. Các định lý đặc trng cho sự hội tụ hầu chắc chắn. khái niệm và kết quả liên quan .................44 II. Các định lý đặc trng cho sự hội tụ hầu chắc chắn 47 Kết luận ...................................................................................................63