Các định lý giới hạn cho martingale

MỤC LỤC Những kí hiệu dùng trong luận án 4 Mở đầu 5 Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị và khái niệm cơ bản 10 1.1 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Một số dạng hội tụ của trường các biến ngẫu nhiên . . . . . 13 1.3 Trường các hiệu martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Toán tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Chương 2. Luật số lớn cho trường các hiệu martingale 26 2.1 Luật mạnh số lớn cho trường hộp các α-hiệu martingale . . 26 2.2 Luật số lớn dạng Brunk-Prokhorov . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3 Luật yếu số lớn cho trường α-tương thích mạnh . . . . . . . 50 Chương 3. Hội tụ hoàn toàn và tốc độ hội tụ của trường các hiệu Martingale 57 3.1 Hội tụ hoàn toàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2 Hội tụ hoàn toàn trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.3 Tốc độ hội tụ của chuỗi ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . 76 Chương 4. Sự hội tụ của dãy các martingale toán tử 88 4.1 Hội tụ của dãy martingale toán tử . . . . . . . . . . . . . . 88 4.2 Sự hội tụ của tích các toán tử không bị chặn độc lập . . . . 97 Kết luận và kiến nghị 111 Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 112 Tài liệu tham khảo 113 NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN Z Tập hợp các số nguyên N Tập hợp các số nguyên dương N 0 Tập hợp các số nguyên không âm R Tập hợp các số thực E Không gian Banach thực và khả ly  ·  Chuẩn trên không gian Banach E B(E) σ-đại số Borel các tập con của E (Ω, F, P ) Không gian xác suất đầy đủ Card(A) Số phần tử của tập hợp A I A Hàm chỉ tiêu của tập hợp A 1 Phần tử (1, 1, , 1) ∈ N d n Phần tử (n 1 , n 2 , , n d ) ∈ Z d n+m Phần tử (n 1 + m 1 , n 2 + m 2 , , n d + m d ) ∈ Z d [m, n)  d i=1 [m i , n i ) n  m n 1 ≤ m 1 , n 2 ≤ m 2 , , n d ≤ m d n ≺ m n  m và n = m n  m ∨ d i=1 (n i ≤ m i ) ( tồn tại ít nhất một 1 ≤ i ≤ d sao cho n i ≤ m i ) 2 n Phần tử (2 n 1 , 2 n 2 , , 2 n d ) 2 nα Phần tử (2 n 1 α 1 , 2 n 2 α 2 , , 2 n d α d ) với α = (α 1 , , α d ) ∈ R d |n| Giá trị |n| = n 1 n 2 n d n Giá trị n = min{n 1 , n 2 , , n d } |n α | Giá trị |n α | = n α 1 1 n α 2 2 n α d d với α = (α 1 , , α d ) ∈ R d 1/α Phần tử (1/α 1 , , 1/α d ) log(x) logarit cơ số e của x log + (x) max{log(x), 0} [x] Số nguyên lớn nhất không vượt quá x. 4 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài 1.1. Lý thuyết martingale nghiên cứu những vấn đề liên quan đến lý thuyết trò chơi nhưng về sau được phát triển thành một lĩnh vực toán học chặt chẽ, trở thành một mô hình toán học quan trọng có nhiều ứng dụng trong thống kê, phương trình vi phân, toán kinh tế. Đặc biệt, gần đây đã có nhiều ứng dụng thú vị trong chứng khoán, thu hút khá nhiều nhà toán học quan tâm. Về phương diện xác suất, martingale là sự mở rộng của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập kì vọng không. 1.2. Các định lý giới hạn đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết xác suất, chúng được ví như những viên ngọc của xác suất, Kolmogorov đã từng nói "Giá trị chấp nhận được của lý thuyết xác suất là các định lí giới hạn, các kết quả chủ yếu nhất và quan trọng nhất của lý thuyết xác suất là các luật số lớn". Ngày nay, các định lý giới hạn vẫn đang là vấn đề có tính thời sự của lý thuyết xác suất. 1.3.Từ những năm 1950 trở lại đây, các định lý giới hạn đã được nghiên cứu mở rộng cho dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach. Tuy nhiên đối với trường hợp trường các hiệu martingale cũng như với các dãy martingale toán tử vẫn chưa được nghiên cứu nhiều. Với các lí do trên chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: Các định lý giới hạn cho martingale. 2. Mục đích nghiên cứu Luận án nghiên cứu sự hội tụ cũng như tốc độ hội tụ của của trường các hiệu martingale nhận giá trị trong không gian Banach, luật mạnh số lớn Kolmogorov, luật mạnh số lớn Marcinkiewicz - Zygmund, luật số lớn dạng Brunk-Prokhorov, luật yếu số lớn, hội tụ hoàn toàn và hội tụ hoàn 5 toàn trung bình của trường các hiệu martingale. Luận án nghiên cứu về sự hội tụ của các dãy toán tử ngẫu nhiên, dãy martingale toán tử ngẫu nhiên cũng như tích các toán tử ngẫu nhiên độc lập trong không gian Banach. 3. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án là trường các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach và dãy các toán tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Bannach. 4. Phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu các định lý giới hạn như luật mạnh số lớn, luật yếu số lớn, các định lý về hội tụ hoàn toàn, hội tụ hoàn toàn trung bình, tốc độ hội tụ của tổng các trường hiệu martingale, các định lý về hội tụ cho dãy các martingale toán tử ngẫu nhiên cũng như tích vô hạn của dãy toán tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trong không gian Banach. 5. Phương pháp nghiên cứu Luận án sử dụng các kĩ thuật của xác suất, giải tích, giải tích ngẫu nhiên, các công cụ của martingale để chứng minh các định lí hội tụ. Một số bổ đề quan trọng như: Bổ đề Borel-Cantelli, Bất đẳng thức Kolmogorov, Bất đẳng thức Doob, Bổ đề Toeplitz, lý thuyết toán tử tất định, các tính chất về thác triển toán tử, nguyên lý đồ thị đóng cũng được sử dụng để chứng minh các kết quả. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Ý nghĩa khoa học: góp phần làm phong phú thêm các kết quả và sự hiểu biết về hội tụ của chuỗi ngẫu nhiên, luật mạnh số lớn của trường các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach, cũng như các kết quả của toán tử ngẫu nhiên. Ý nghĩa thực tiễn: luận án góp phần phát triển lý thuyết về các định lí giới hạn của trường biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach trong lý thuyết xác suất. 7. Tổng quan và cấu trúc luận án 7.1. Tổng quan luận án. Các định lí giới hạn trong xác suất đóng vai 6 trò quan trọng trong phát triển lý thuyết, thực hành xác suất và thống kê. Chính vì vậy mà các định lý về giới hạn đã thu hút nhiều nhà khoa học nghiên cứu và mở rộng. Đầu tiên phải kể đến luật số lớn: Luật số lớn đầu tiên của Bernoulli được công bố năm 1713. Về sau, kết quả này được Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov mở rộng. Tuy nhiên, phải đến năm 1909 luật mạnh số lớn mới được Borel phát hiện. Kết quả này của Borel được Kolmogorov hoàn thiện vào năm 1926, ta thường gọi là luật số lớn dạng Kolmogorov. Đồng thời Kolmogorov cũng chỉ ra rằng trong trường hợp dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập cùng phân bố thì điều kiện cần và đủ của luật mạnh số lớn là các biến ngẫu nhiên đó có moment tuyệt đối cấp một hữu hạn. Kết quả này đã được Marcinkiewicz và Zygmund mở rộng (gọi là luật số lớn dạng Marcinkiewicz-Zygmund). Brunk (1948) và Prokhorov (1950) đã khái quát điều kiện đủ dạng Kol- mogorov với moment bậc cao hơn và thu được luật mạnh số lớn dạng Brunk-Prokhorov. Luật số lớn tiếp tục được mở rộng bởi nhiều tác giả như Tien, Quang, Hung, Thanh, Huan, Dung, Stadtmulle, Rosalsky, Volodin (xem [47],[48],[49],[16],[14],[67],[50],[30]) bằng cách làm nhẹ điều kiện độc lập của dãy biến ngẫu nhiên (như nghiên cứu trong trường hợp dãy các hiệu martingale, cho các hộp độc lập, và hộp martingale), nghiên cứu cho trường hợp chỉ số nhiều chiều, hoặc xem xét trên các không gian khác Trong luận án này chúng tôi tiếp tục nghiên cứu các định lý luật số lớn cho trường các hiệu martingale, trường hộp các α-hiệu martingale nhận giá trị trong không gian Banach p-khả trơn, trường các biến ngẫu nhiên α-tương thích mạnh nhận giá trị trong không gian Bannach p-khả trơn. Định lý giới hạn còn được nghiên cứu dưới dạng chuỗi ngẫu nhiên, đầu tiên được biết đến với các định lý hai chuỗi, ba chuỗi sau đó là các nghiên cứu về tốc độ hội tụ của chuỗi độc lập, chuỗi hiệu martingale, (xem [51],[52],[64]). Các khái niệm khác như hội tụ hoàn toàn, hội tụ hoàn toàn trung bình cũng được nhiều tác giả quan tâm, nghiên cứu (như [31], [34], [7],[53],[10]). Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu về hội tụ hoàn toàn, hội tụ hoàn toàn trung bình, và đánh giá tốc độ hội tụ của chuỗi các trường 7 hiệu martingale nhận giá trị trong không gian p-khả trơn. Khái niệm toán tử ngẫu nhiên như là một mở rộng của ma trận ngẫu nhiên được giới thiệu trong các công trình của Skorokhod [56] và được khá nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu như Thắng, Thịnh, [73], [69], [74]. Trong luận văn này chúng tôi tiếp tục nghiên cứu về sự hội tụ của dãy các toán tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach. Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại Seminar bộ môn và tại các hội nghị: Hội nghị khoa học chúc mừng sinh nhật G.S. Nguyễn Duy Tiến (Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường ĐH Khoa học Tự nhiên-ĐHQG Hà Nội, 2012), hội nghị toán học toàn quốc lần thứ 10 (Nha trang, 2013), đại hội toán học thế giới (ICM) tại Seoul, Hàn Quốc (2014), hội nghị toán ứng dụng trong công nhiệp (Math-for-industry) tại Kyushu University, Nhật Bản (2014), đã được đăng và nhận đăng ở các tạp chí: Statistics and Probability Letters, Applications of Mathematics, Journal of Inequalities and Applications, Journal of the Korean Mathematical Society, Journal of Probability and Statistical Science, đang được gửi đăng tại các tạp chí: An International Journal of Probability and Stochastic Processes, Journal of bulletin of the Korean Mathematical Society. 7.2 Cấu trúc luận án. Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các bài báo của nghiên cứu sinh liên quan đến luận án và tài liệu tham khảo, luận án được trình bày trong bốn chương. Chương 1 trình bày các khái niệm về kỳ vọng, kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach, khái niệm về trường các hiệu martingale, toán tử ngẫu nhiên, dãy toán tử ngẫu nhiên độc lập, dãy martingale toán tử ngẫu nhiên, một số dạng hội tụ của trường các biến ngẫu nhiên và dãy các toán tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach. Chương 2 gồm ba mục, mục 2.1 đưa ra khái niệm trường hộp các α-hiệu martingale và trường hộp các M-hiệu martingale; thiết lập luật mạnh số lớn dạng Kolmogorov và Marcinkiewicz - Zygmund cho trường hộp các α-hiệu martingale nhận giá trị trên không gian Banach. Mục 2.2 thiết lập 8 luật số lớn dạng Brunk-Prokhorov cho trường các hiệu martingale. Mục 2.3 đưa ra khái niệm trường α-tương thích mạnh và thiết lập luật yếu số lớn cho trường các đại lượng ngẫu nhiên α-tương thích mạnh. Chương 3 gồm ba mục, mục 3.1 đưa ra các điều kiện cho hội tụ hoàn toàn của tổng trung bình trượt của trường các hiệu martingale, từ đó đi đến các luật mạnh số lớn cho tổng trung bình trượt cũng như đánh giá tốc độ hội tụ của luật mạnh số lớn. Mục 3.2 trình bày các kết quả về hội tụ hoàn toàn trung bình, các điều kiện của hội tụ hoàn toàn trung bình cũng như mối quan hệ giữa hội tụ hoàn toàn trung bình với hội tụ h.c.c. và hội tụ trung bình; sau đó áp dụng cho các nghiên cứu về luật số lớn, hội tụ trung bình và tốc độ hội tụ của trường các hiệu martingale E-giá trị. Mục 3.3 trình bày về tốc độ hội tụ của chuỗi các trường hiệu martingale. Chương 4 thiết lập các điều kiện hội tụ của dãy các toán tử ngẫu nhiên, toán tử ngẫu nhiên mở rộng, dãy hiệu martingale toán tử ngẫu nhiên bị chặn trong không gian Banach và nghiên cứu các điều kiện hội tụ của tích vô hạn các toán tử ngẫu nhiên độc lập. 9 CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong chương này chúng tôi trình bày ngắn gọn các khái niệm về kỳ vọng, kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach, khái niệm trường hiệu martingale, trường hiệu martingale mạnh, toán tử ngẫu nhiên, toán tử ngẫu nhiên độc lập và martingale toán tử. Ngoài ra, một số dạng hội tụ của trường các biến ngẫu nhiên, toán tử ngẫu nhiên cũng được trình bày. Trong toàn bộ luận án, các hằng số dương C xuất hiện trong các công thức toán không nhất thiết phải giống nhau trong mỗi lần xuất hiện. 1.1 Kiến thức chuẩn bị Kỳ vọng có điều kiện Cho (Ω, F, P ) là không gian xác suất đầy đủ, E là không gian Banach khả ly thực, X : Ω → E là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach E (gọi tắt là biến ngẫu nhiên E-giá trị). Khi đó, tích phân Bochner của X (nếu tồn tại) được gọi là Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X và được kí hiệu là EX. Định nghĩa 1.1.1 (xem [17], trang 179). Cho X : Ω → E là biến ngẫu nhiên E-giá trị khả tích Bochner và G là một σ-đại số con của F. Kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên X đối với σ-đại số G là biến ngẫu nhiên E-giá trị, ký hiệu là E(X|G) và thỏa mãn 2 điều kiện: (i) E(X|G) là G-đo được, (ii) E(E(X|G)I(A)) = E(XI(A)) với mọi A ∈ G. 10 Mệnh đề sau chỉ ra sự tồn tại của kỳ vọng có điều kiện của một biến ngẫu nhiên E-giá trị. Mệnh đề 1.1.2 (xem [17], trang 179). Cho X : Ω → E là biến ngẫu nhiên E-giá trị khả tích Bochner và G là một σ-đại số con của F. Khi đó kỳ vọng có điều kiện E(X|G) tồn tại. Các tính chất về kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên E-giá trị có thể xem trong các tài liệu [17] và [54]. Không gian Banach p-khả trơn Khái niệm p-khả trơn là khái niệm khá quan trọng trong nghiên cứu luật số lớn của xác suất được Day [13] đưa ra năm 1944. Định nghĩa 1.1.3 (xem [78], trang 216). Một không gian Banach thực khả ly E được gọi là p-khả trơn (1 ≤ p ≤ 2) nếu (có thể sau khi đổi sang chuẩn tương đương) với t > 0, ρ(t) = sup  x + ty + x − ty 2 − 1 : x = y = 1  = O(t p ), t → 0. Dễ thấy rằng, mọi không gian Banach thực khả ly đều là không gian 1-khả trơn, không gian Hilbert là các không gian 2-khả trơn. Nếu E là không gian Banach p-khả trơn (1 < p ≤ 2) thì E là không gian q-khả trơn với mọi q ∈ [1; p). Borovskykh và Korolyuk [3] đã chỉ ra rằng các không gian Banach L p và l p là các không gian p ∧ 2-khả trơn. Với {S k , F k ; k = 1, 2, , n} là dãy martingale nhận giá trị trong không gian Banach E , kí hiệu X k = S k − S k−1 và giả sử S 0 = 0 (h.c.c.). Assouad [2] chỉ ra rằng E là không gian p-khả trơn nếu và chỉ nếu với bất kỳ q ≥ 1 tồn tại hằng số C > 0 sao cho với mọi dãy martingale {S k , F k ; k = 1, 2, , n} ta có ES n  q ≤ CE  n  k=1 X k  p  q/p . (1.1) 11 Bổ đề 1.1.4 ([24], Định lí 2.2). Cho 1 ≤ p ≤ 2, khi đó các phát biểu sau là tương đương (i) E là một không gian Banach p-khả trơn. (ii) Tồn tại hằng số dương C sao cho E(  n j=1 X j  p ) ≤ C  n j=1 E(X j  p ) với mọi hiệu martingale X 1 , X 2 , , X n có moment bậc p hữu hạn nhận giá trị trong E. (iii) Với mọi hiệu martingale X 1 , X 2 , , X n nhận giá trị trong E, điều kiện ∞  j=1 EX j  p j p < ∞ kéo theo 1 n n  j=1 X j h.c.c. −→ 0 khi n → ∞. Không gian Banach có tính chất Radon-Nikodym Định nghĩa 1.1.5. Lấy µ : F → E là một hàm tập E-giá trị σ-cộng tính. • µ được gọi là có biến phân bị chặn nếu biến phân toàn phần V µ = sup{ n  k=1 µ(A k ) : A k ∈ F, Ω = ∪ n n=1 A k , {A k } n k=1 là rời nhau} là hữu hạn. • µ được gọi là liên tục tuyệt đối với P nếu với mỗi A ∈ F, µ(A) = 0 mỗi khi P (A) = 0. Định nghĩa 1.1.6. ( [6]) Một không gian Banach E được gọi là có tính chất Radom-Nikodym (R-N) nếu với mọi hàm tập µ nhận giá trị trong E, σ-cộng tính, có biến phân bị chặn và liên tục tuyệt đối với P thì tồn tại ξ ∈ L E 1 (Ω) sao cho µ(A) =  A ξ(ω)dP (ω) với mọi A ∈ F. Định lý 1.1.7. ([6]) Cho {ξ n , F n , n ≥ 1} là một dãy martingale E-giá trị. Giả sử rằng E có tính chất R-N. Ta có 12 [...]... được các vấn đề sau: - Trình bày các khái niệm cần thiết, các bổ đề quan trọng để phục vụ các chương sau - Đưa ra các định nghĩa về trường các hiệu martingale, trường các hiệu martingale mạnh, các ví dụ và so sánh quan trọng - Đưa ra các định nghĩa về dãy martingale toán tử ngẫu nhiên, dãy toán tử ngẫu nhiên độc lập, các loại hội tụ của dãy toán tử ngẫu nhiên 25 CHƯƠNG 2 LUẬT SỐ LỚN CHO TRƯỜNG CÁC HIỆU... Trường các α-hiệu martingale (M-hiệu martingale) {Xk , Fk ; n k m} được gọi là các α-hiệu martingale mạnh (M-hiệu martingale mạnh) ∗ ∗ nếu E(Xk IA |Fk−α(k) ) (E(Xk IA |Fk−M )) là Fk -đo được với mọi n k m và A ∈ σ(Xk ) 27 3) Trường tương thích {Xn , Fn ; n ∈ Nd } gọi là hộp các α-hiệu martingale (hộp các M-hiệu martingale, hộp các hiệu martingale, hộp các α-hiệu martingale mạnh, hộp các M-hiệu martingale. .. |ip(α−1)+1 | Với lý luận tương tự như Ví dụ 5.1 trong [49] và theo Định lý 2.1.10, ta được 1 |n|→∞ |nα | 1 lim Zi = 0 h.c.c i n Tuy nhiên, không thể áp dụng Định lý 3.2 trong [16] hay Định lý 3.1 trong [29] để suy ra điều này, vì trường {Zn , Gn ; n 1} không phải là mảng các hiệu martingale hay mảng hộp các hiệu martingale 33 Định lý tiếp theo là luật số lớn dạng Kolmogorov cho trường hộp các αhiệu martingale. .. không có gì đặc biệt, khi cho một trường các biến ngẫu nhiên E- giá trị {Xn , n 1} ta luôn ký hiệu Sn = k n Xk Các định lý sau đây là mở rộng luật số lớn dạng Kolmogorov cho trường hộp các α-hiệu martingale E-giá trị Định lý 2.1.6 Cho 1 ≤ p ≤ 2 và E là một không gian Banach khả ly Khi đó hai khẳng định sau tương đương: (i) E là p-khả trơn (ii) Với mọi trường hộp các α-hiệu martingale E-giá trị {Xn... , Fn ; n 1} là một trường các hiệu martingale mạnh, nhưng không phải là trường các biến ngẫu nhiên độc lập Nhận xét 1.3.5 1) Khái niệm trường các hiệu martingale đã được định nghĩa bởi Quang, Huan [44] cho trường hợp d = 2 và gọi là mảng hiệu martingale 2) Khái niệm trường hiệu martingale được định nghĩa khác đã cho trong [8], [30] như sau (ta tạm gọi đó là trường các hiệu martingale theo nghĩa thông... 2.1 Luật mạnh số lớn cho trường hộp các α-hiệu martingale Năm 1987, Móricz [37] đã giới thiệu khái niệm m-hộp phụ thuộc của dãy các biến ngẫu nhiên thực và mở rộng luật số lớn dạng Kolmogorov cho trường hợp này, tiếp sau đó rất nhiều tác giả đã nghiên cứu khái niệm hộp phụ thuộc và đưa ra các kết quả về luật số lớn cho các hộp phụ thuộc trong những trường hợp khác, chẳng hạn cho các biến ngẫu nhiên... cũng như hội tụ trung bình cấp p về 0 1.3 Trường các hiệu martingale Trong phần này chúng tôi trình bày khái niệm về trường tương thích, trường các hiệu martingale và trường các hiệu martingale mạnh Các định nghĩa dưới đây có hiệu lực khi thay thế tập chỉ số hữu hạn {n ∈ Zd ; m n M} bằng các tập chỉ số dạng {n ∈ Zd ; n m},Nd hoặc Zd Định nghĩa 1.3.1 Cho {Xn ; m nhiên E- giá trị và {Fn ; m n không giảm... ngẫu nhiên 25 CHƯƠNG 2 LUẬT SỐ LỚN CHO TRƯỜNG CÁC HIỆU MARTINGALE Trong chương này chúng tôi trình bày các kết quả về luật mạnh số lớn cho trường hộp các α-hiệu martingale, luật số lớn dạng Brunk-Prokhorov cho trường các hiệu martingale và luật yếu số lớn cho trường các biến ngẫu nhiên α-tương thích mạnh, nhận giá trị trong không gian Banach E Các kết quả này đã được công bố trong Stat Probab Lett... ứng với các hộp |n|p np n 1 n1 =1 i=1 1 p ψn (x) = x , λn = 1, µn = p, Cn = 1, Dn = 1, n 1 và an = |n| với mọi n 1 Sử dụng (ii) và lý luận tương tự Định lý 2.1.6, ta được (i) d Để thiết lập luật số lớn dạng Marcinkiewiz-Zygmund cho trường hộp các α-hiệu martingale mạnh E-giá trị, ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề 2.1.13 Cho 1 < p ≤ 2, α1 , , αd là các hằng số dương, q là số 1 các số nguyên s sao cho αs... 1}j(log j)q < ∞ ≤C j=1 Định lý 2.1.14 Cho {Xn , Fn ; n 1} là trường hộp các α-hiệu martingale mạnh tương ứng với các hộp {∆k ; k 1} nhận giá trị trong không gian p-khả trơn E (1 < p ≤ 2) Cho α1 , , αd là các hằng số dương thỏa mãn min{α1 , αd } = 1, gọi q là số các số nguyên s sao cho αs = 1 = min{α1 , αd } Giả sử {Xn ; n ∈ Nd } bị chặn ngẫu nhiên bởi một biến ngẫu nhiên X sao cho E( X logq X ) . nhận được của lý thuyết xác suất là các định lí giới hạn, các kết quả chủ yếu nhất và quan trọng nhất của lý thuyết xác suất là các luật số lớn". Ngày nay, các định lý giới hạn vẫn đang là. lớn, luật yếu số lớn, các định lý về hội tụ hoàn toàn, hội tụ hoàn toàn trung bình, tốc độ hội tụ của tổng các trường hiệu martingale, các định lý về hội tụ cho dãy các martingale toán tử ngẫu. trường các hiệu martingale cũng như với các dãy martingale toán tử vẫn chưa được nghiên cứu nhiều. Với các lí do trên chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: Các định lý