Luật số lớn Các biến ngẫu nhiên X1, …, Xn, … có kỳ vọng EXi , i = 1, 2, …, và được gọi là thỏa mãn luật số lớn nếu với bất kỳ ε > 0Luật số lớn Các biến ngẫu nhiên X1, …, Xn, … có kỳ vọng EXi , i = 1, 2, …, và được gọi là thỏa mãn luật số lớn nếu với bất kỳ ε > 0
Chương CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN VÀ BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU I Các định lý giới hạn Luật số lớn Các biến ngẫu nhiên X1, …, Xn, … có kỳ vọng EXi , i = 1, 2, …, gọi thỏa mãn luật số lớn với bấtkỳ �X > X EX EX � lim P � n �� � n n n n � � � Luật số lớn Bernoulli : Xét mơ hình nhị thức với xác suất thành công p Gọi Xi số lần xuất thành công phép thử thứ i Khi X1 , X2 , … thỏa mãn luật số lớn ( > 0) : limP � fn p � � 1 � � n�� Trong đó, (1) X1 Xn fn n gọi tần suất xuất thành công n phép thử Do Xi B(1, p) nên EXi = p, i =1, 2, … EX EX n np p n n Nếu (1) thỏa mãn ta nói tần suất fn hội tụ đến p theo xác suất ký hiệu P f n �� �p Ứng dụng thực tế : Để xác định xác suất p kiện A phép thử đó, người ta lặp lại phép thử số lớn lần độc lập với Sau lấy tần suất làm xấp xỉ cho p fn �p Định lý giới hạn trung tâm (ĐLGHTT) Các biến ngẫu nhiên X1 , X2 , … với kỳ vọng phương sai hữu hạn, gọi thỏa mãn ĐLGHTT �S n ESn � lim P � �x � ( x) (2) n �� � DS n � Trong Sn = X1 +…+Xn (x) hàm phân phối luật chuẩn � tắc N(0, 1) � Sn ESn �x � Nếu đặt Fn ( x) P � � DS n � hàm phân phối Sn� (2) có dạng lim Fn ( x) ( x) n �� Sn ES n DSn Định lý giới hạn trung tâm Moivre -Laplace Xét mơ hình Nhị thức với xác suất thành cơng p, Xi số lần xuất thành công phép thử thứ i Khi X1, X2 , … thỏa mãn ĐLGHTT : �X np � lim P � �x � ( x) n �� � npq � Trong X= X1 +…+ Xn số lần xuất thành công n phép thử X ~ B(n, p), EX = np, DX = npq Như với số lớn phép thử Bernoulli độc lập chuẩn hóa biến ngẫu nhiên số lần thành cơng biến ngẫu nhiên có phân phối Nhị thức có phân phối xấp xỉ chuẩn tắc X np ~ N (0,1) npq Hay X ~ N(np, npq) Công thức xấp xỉ : Cho X~ B(n, p) với n lớn Khi X ~ N(np, npq) �b np và� từ đó�a np � P(a �X �b) � � � npq � � � � � npq � � � � � Định lý giới hạn địa phương (ĐLGHĐP) Moivre – Laplace : Xét mơ hình Nhị thức với xác suất thành công p, Xi số lần xuất thành công phép thử thứ i Khi X1, X2 , … thỏa mãn ĐLGHĐP : � ( k np ) � 2npq lim � P( X k ) e n �� npq 2 � � Với � � � � � X = X1 + …+ Xn , X ~ B(n, p) Công thức xấp xỉ : Cho X~ B(n, p) với n lớn Khi P( X k ) � e npq 2 npq ( k np ) 2npq �k np � � � � npq � � � II Véc tơ ngẫu nhiên Bảng phân phối đồng thời véc tơ rời rạc (X,Y) Y X x1 y1 yn p11 p1n p1 xm pm pmn pm Trong pij = P(X= xi ; Y= yj ) p.1 p.n Các xác suất lề : n pi �pij P ( X xi ) j 1 m p j �pij P (Y y j ) i 1 Các bảng phân phối lề : … Y y1 yn P p1 … pm P p.1 … p.n X x1 xm … Phân phối có điều kiện P( X xi / Y y j ) P(Y y j / X xi ) P ( X xi ; Y y j ) P(Y y j ) P( X xi ; Y y j ) P( X xi ) Hàm phân phối đồng thời F(x, y) = P( X x ; Y y) Tính chất 1) F(x, y) pij p j pij pi F ( x, y ) F ( x, �) FX ( x) P( X �x) 2) ylim �� lim F ( x, y ) F ( �, y ) FY ( y) P(Y �y ) x �� lim F ( x, y ) x �� y �� lim F ( x, y ) lim F ( x, y ) lim F ( x, y ) y �� x �� 3) x�� y �� 4) F(x, y) hàm không giảm F(x1, y) F(x2, y) , x1 < x2 F(x, y1) F(x, y2) , y < y2 5) P(a < X b ; c < Y d) = F(b, d) – F(a, d) – – F(b, c) + F(a, c) Hàm mật độ đồng thời Nếu hàm phân phối đồng thời véc tơ (X,Y) biểu diễn dạng F (x, y) x y ��f (u,v) dudv, x, y�� � � f(x,y) gọi hàm mật độ đồng thời (X,Y) Tính chất 1) f(x, y) 2) 3) �2 F ( x, y ) điểm liên tục f(x,y) f ( x, y ) �� x y f ( x, y ) dx dy � � R 4) P ( X , Y ) �A � �f ( x, y) dx dy A � với A tập hợp �b � P a �X �b; c �Y �d � f ( x , y ) dx �dy � � c� a � d 5) Hàm mật độ lề : f X ( x) � �f ( x, y )dy � fY ( y ) � �f ( x, y )dx � Hàm mật độ có điều kiện f ( x , y0 ) f X / Y y0 ( x) f ( x / y0 ) fY ( y0 ) f ( x0 , y ) fY / X x0 ( y ) f ( x0 / y ) f X ( x0 ) Tính độc lập ngẫu nhiên Rời rạc : Cho véc tơ ( X, Y), biến ngẫu nhiên X Y độc lập P(X = xi ; Y = yj ) = P(X = xi ) P( Y = yj ) Liên tục : Cho véc tơ (X, Y) với mật độ đồng thời f(x, y), biến ngẫu nhiên X Y độc lập f(x, y) = fX (x) fY (y) Kỳ vọng phương sai 1) Kỳ vọng Rời rạc : n n m EX �xi pi ��xi pij i 1 i 1 j 1 m n m EY �y j p j ��y j pij j 1 i 1 j 1 Liên tục : EX EY � xf � X ( x)dx �� x f ( x, y ) dx dy �� � �� � �� �y f � Y ( y )dy ��y f ( x, y ) dx dy �� 2) Phương sai Rời rạc : n n m DX �( xi EX ) pi ��( xi EX ) pij i 1 m i 1 j 1 n m DY �( y j EY ) p j ��( y j EY ) pij j 1 i 1 j 1 Liên tục: DX DY � �� � �� � �� � �� ( x EX ) f X ( x)dx � ( y EY ) fY ( y )dy � ( x EX ) f ( x, y ) dx dy �� ( y EY ) f ( x, y ) dx dy �� Hiệp phương sai Cov(X, Y) = E(X–EX)(Y–EY) = E(XY) – EX EY Rời rạc : n m Cov( X , Y ) ��( xi EX )( yi EY ) pij i 1 j 1 n m E ( XY ) ��xi y j pij i 1 j 1 Liên tục: Cov ( X , Y ) � � ( x EX )( y EY ) f ( x, y ) dx dy �� � � E ( XY ) �� xy f ( x, y ) dx dy �� �� Tính chất 1) Cov(X, Y) = Cov(Y, X) 2) Cov(X+Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z) 3) Cov(kX, Y) = Cov(X, kY) = k Cov(X, Y) 4) Cov(X, X) = DX 5) Cov(X,Y ) � DX DY ( Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) 6) [Cov(X, Y)]2 EX2 EY2 10 Hệ số tương quan XY Cov( X , Y ) DX DY Tính chất 1) - XY 2) Nếu X Y độc lập XY = 3) XY Y aX b với số a b (có thể ngoại trừ tập hợp có xác suất 0) Khi XY > 0, Y có xu hướng tăng với X Khi XY < 0, Y có xu hướng giảm với X ... y ) x �� y �� lim F ( x, y ) lim F ( x, y ) lim F ( x, y ) y �� x �� 3) x�� y �� 4) F(x, y) hàm không giảm F(x1, y) F(x2, y) , x1 < x2 F(x, y1) F(x, y2) , y < y2 5) P(a < X... f(x, y) 2) 3) �2 F ( x, y ) điểm liên tục f(x,y) f ( x, y ) �� x y f ( x, y ) dx dy � � R 4) P ( X , Y ) �A � �f ( x, y) dx dy A � với A tập hợp �b � P a �X �b; c �Y �d � f (... Y) = Cov(Y, X) 2) Cov(X+Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z) 3) Cov(kX, Y) = Cov(X, kY) = k Cov(X, Y) 4) Cov(X, X) = DX 5) Cov(X,Y ) � DX DY ( Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) 6) [Cov(X, Y)]2 EX2 EY2