Luật số lớn định lý giới hạn trung tâm cho Martingale Trần Văn Huyến Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Luận văn Thạc sĩ ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 15 Người hướng dẫn: GS.TSKH Đặng Hùng Thắng Năm bảo vệ: 2011 Abstract: Hệ thống hóa lý thuyết Martingale (những khái niệm kết bản); dạng hội tụ số định lý hội tụ quan trọng Martingale, chẳng hạn định lý hội tụ Doob, hàm đặc trưng mối quan hệ chúng với hàm phân phối Trình bày luật yếu số lớn luật mạnh số lớn cho Martingale Giới thiệu chi tiết hai định lý là: Định lý “bất đẳng thức hàm bình phương” Đây bất đẳng thức làm sở cho việc đánh giá nghiên cứu định lý giới hạn luật số lớn luật giới hạn trung tâm Định lý thứ hai định lý dùng để xấp xỉ tương đương phương sai điều kiện tổng bình phương, mà phần lý thuyết để nghiên cứu Martingale Trình bày kết luật giới hạn trung tâm cho Martingale mở rộng tổng đại lượng ngẫu nhiên độc lập kết dạng Raikov Đây phát quan trọng việc nghiên cứu Martingale thông qua tổng bình phương hiệu chúng Keywords: Tốn học; Lý thuyết xác suất thống kê; Luật số lớn; Bất đẳng thức hàm bình phương Content I Chương I: Những kiến thức chuẩn bị Định nghĩa Martingale 1.1 Martingale 1.2 Martingale dưới, 1.3 Martingle Các ví dụ Martingale Thời điểm Markov thời điểm dừng Hiệu Martingale 4.1 Định nghĩa hiệu Martingale 4.2 Cách xây dựng dãy hiệu Martingale từ dãy Martingale ban đầu ngược lại cách xây dựng dãy Martingale từ dãy hiệu Martingale cho Martingale bình phương khả tích Các dạng hội tụ 6.1 Hội tụ hầu chắn 6.2 Hội tụ theo xác suất 6.3 Mối quan hệ hội tụ theo xác suất hội tụ hầu chắn 6.4 Hội tụ theo trung bình - Tính khả tích - Hội tụ theo trung bình cấp p - Điều kiện cần đủ để dãy biến ngẫu nhiên hội tụ trung bình cấp - Mối quan hệ hội tụ trung bình hội tụ theo xác suất 6.5 Hội tụ theo phân phối: Định nghĩa mối quan hệ hội tụ theo phân phối hội tụ theo xác suất Các định lý hội tụ Martingale Định lý hội tụ Doob Định lý hội tụ Lp Định lý hội tụ L1 Hàm đặc trưng Định nghĩa tính chất Mối quan hệ hàm đặc trưng hàm phân phối: Định lý mối quan hệ tương đương tính hàm đặc trưng hàm phân phối II Chương II: Các bất đẳng thức luật số lớn Các bất đẳng thức bản: Định lý 2.1.1 bất đẳng thức Doob 10 Bất đẳng thức hàm bình phương: Quan trọng bất đẳng thức Burkholder 11 Luật yếu số lớn 11.1 Luật yếu số lớn Khinchin Liapounov trường hợp độc lập 11.2 Luật yếu số lớn trường hợp Martingale n Định lý 2.3.1 Đặt Sn X i , Fn , n 1 Martingale bn dãy i 1 số dương với bn n Ta ký hiệu X ni X i I X i bn , i n, ta có Sn P n , bn n i P X i i 1 n E X ii i 1 ni Fi 1 bn EX n iii bn 0, i 1 ni P E X ni Fi 1 n b P 12 Luật mạnh số lớn 12.1 Luật mạnh số lớn Lolmogorov trường hợp độc lập 12.2 Luật mạnh số lớn trường hợp Martingale Định lý 2.4.9 Đặt X n , n 1 dãy biến ngẫu nhiên Fn , n 1 dãy tang trường với X n đo với Fn với n Đặt X biến ngẫu nhiên c số cho E X P X n x cP X c , với x n n X i 1 i E X i Fi 1 P n Khi n Nếu E X log X , X n độc lập, X n , n 1 E X n Fn1 , n dãy dừng hội tụ theo xác suất thay hội tụ hầu chắn 13 Sự hội tụ LP : Mối quan hệ điều kiện để xấp xỉ tương đương dãy phương n n i 1 i 1 sai bình phương phương sai điều kiện U n2 X i2 Vn2 E X i2 Fi 1 , với n III Chương III Định lý giới hạn trung tâm 14 Định lý giới hạn trung tâm trường hợp độc lập: Trường hợp độc lập phân phối độc lập không phân phối 15 Định lý giới hạn trung tâm Martingale Định lý 3.1.3 Đặt Sni2 , Fni , i kn , n 1 dãy Martingale bình phương khả tích, trung bình không với hiệu X ni , đặt biến ngẫu nhiên hữu hạn hầu chắn Giả sử P i max X ni 0, ii X i ni P X ni , i iii P E max X ni2 bị chặn theo n i d Và dãy trường bao đóng Fn ,i Fn 1,i , với i kn , n Thì Snkn X ni Z (ổn i 2t 2 định), biến ngẫu nhiên Z có hàm đặc trưng Ee Định lý 3.1.5 Nếu điều kiện định lý 3.1.3 P 1, Snkn U nkn d N 0,1 (hỗn tạp) 16 Kết dạng Raikov, phát quan trọng việc đánh giá Martingale thông qua tổng bình phương chúng 16.1 Kết dạng Raikov trường hợp độc lập Raikov Burkholder 16.2 Kết dạng Raikov trường hợp martingale Định lý 2.3.2 Giả sử rằng: E Vnk2 n rằng: P max E X ni2 Fn ,i 1 i Thì điều kiện sau tương đương: E U nk2 n 0, 0, E X I X ni i ni 0, 2t 2 f n (t ) e Đặt p , giả sử điều kiện (2) E Vnk2 n p Nếu số hầu chắn giả thiết dãy trường bao đóng lồng Fn ,i Fn 1,i , với i kn , n Thì điều kiện sau tương đương: - E U nk2 n - E X - f n (t ) e 2p ni p 0, 0, 2t 2 E Snkn 2p p ... Chương III Định lý giới hạn trung tâm 14 Định lý giới hạn trung tâm trường hợp độc lập: Trường hợp độc lập phân phối độc lập không phân phối 15 Định lý giới hạn trung tâm Martingale Định lý 3.1.3... Burkholder 11 Luật yếu số lớn 11.1 Luật yếu số lớn Khinchin Liapounov trường hợp độc lập 11.2 Luật yếu số lớn trường hợp Martingale n Định lý 2.3.1 Đặt Sn X i , Fn , n 1 Martingale. .. E X ni Fi 1 n b P 12 Luật mạnh số lớn 12.1 Luật mạnh số lớn Lolmogorov trường hợp độc lập 12.2 Luật mạnh số lớn trường hợp Martingale Định lý 2.4.9 Đặt X n , n 1 dãy biến