Luận văn thạc sĩ toán học: ĐIều kiện cần và đủ đối với định lý giới hạn trung tâm có điều kiện

Möc löc Líi c£m ìn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Möc löc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mð ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Ki¸n thùc chu©n bà 5 1.1 Khæng gian x¡c su§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1. Mët sè kh¡i ni»m cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. Vectì ng¨u nhi¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3. H m °c tr÷ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 K¼ vång i·u ki»n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Qu¡ tr¼nh Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 C¡c d¤ng hëi tö cõa d¢y bi¸n ng¨u nhi¶n . . . . . . . . . . 14 1.5 ành ngh¾a ë o ergodic, qu¡ tr¼nh døng, ë o d§u . . . 15 1.6 Mët sè k¸t qu£ cê iºn v· ành lþ giîi h¤n trung t¥m . . . 16 2 ành lþ giîi h¤n trung t¥m câ i·u ki»n v  ùng döng 18 2.1 ành lþ giîi h¤n trung t¥m câ i·u ki»n . . . . . . . . . . . 18 2.1.1. i·u ki»n c¦n v  õ cho mët d¢y døng têng qu¡t . 19 2.1.2. i·u ki»n c¦n v  õ cho d¢y c¡c tam gi¡c . . . . . 29 2.1.3. Phi¶n b£n h m cõa ành lþ giîi h¤n trung t¥m câ i·u ki»n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 Ùng döng cõa ành lþ giîi h¤n trung tr¥m câ i·u ki»n . . 43 2.2.1. Chùng minh c¡c m»nh · v  h» qu£ . . . . . . . . . 43 2.2.2. ×îc l÷ñng h¤ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Phö löc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 T i li»u tham kh£o 62

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

————————–o0o————————–

ĐỖ THỊ LANĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỐI VỚIĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM CÓ ĐIỀU KIỆN

Chuyên ngành : Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Mã số : 60.46.01.06

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hùng

HÀ NỘI - 2016

Lời cảm ơn

Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

"Điều kiện cần và đủ đối với định lý giới hạn trung tâm có điềukiện" tôi đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ và động viên của nhiều cánhân và tập thể, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới tất cảcác cá nhân và tập thể đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáokhoa Toán, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Toán ứng dụng - Trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội đã đem lại cho tôi những kiến thức bổ trợ, vô cùng

có ích trong những năm học vừa qua

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến TS Nguyễn Văn Hùng - ngườithầy đã trực tiếp hướng dẫn, tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi trong quá trìnhnghiên cứu và hoàn thành luận văn

Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, những người đãluôn bên tôi, động viên và khuyến khích tôi trong quá trình thực hiện đềtài nghiên cứu của mình

Tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô, bạn bè

và những người quan tâm để luận văn được hoàn thiện và phát triển hơn.Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Đỗ Thị Lan

Mục lục

Lời cảm ơn 1

Mục lục 2

Mở đầu 3

1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Không gian xác suất 5

1.1.1 Một số khái niệm cơ bản 5

1.1.2 Vectơ ngẫu nhiên 9

1.1.3 Hàm đặc trưng 9

1.2 Kì vọng điều kiện 12

1.3 Quá trình Wiener 14

1.4 Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên 14

1.5 Định nghĩa độ đo ergodic, quá trình dừng, độ đo dấu 15

1.6 Một số kết quả cổ điển về định lý giới hạn trung tâm 16

2 Định lý giới hạn trung tâm có điều kiện và ứng dụng 18 2.1 Định lý giới hạn trung tâm có điều kiện 18

2.1.1 Điều kiện cần và đủ cho một dãy dừng tổng quát 19 2.1.2 Điều kiện cần và đủ cho dãy các tam giác 29

2.1.3 Phiên bản hàm của định lý giới hạn trung tâm có điều kiện 37

2.2 Ứng dụng của định lý giới hạn trung trâm có điều kiện 43

2.2.1 Chứng minh các mệnh đề và hệ quả 43

2.2.2 Ước lượng hạch 50

Phụ lục 60

Mở đầu

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Nghiên cứu mở rộng các định lý giới hạn trung tâm luôn rất cần thiếtđối với lý thuyết xác suất và thống kê toán học Đề tài của luận văn tậptrung vào tìm một số điều kiện cần và đủ cho định lý giới hạn trung tâm

có điều kiện Theo hướng tiếp cận của Lindeberg, chúng ta thu được mộtđiều kiện mới cho một dãy dừng các biến ngẫu nhiên thực bình phươngkhả tích thỏa mãn định lý giới hạn trung tâm (CLT) Trong trường hợpthích nghi, điều kiện này yếu hơn mọi tiêu chuẩn hình chiếu bắt nguồn từđịnh lý của Gordin [Dokl Akad Nauk SSSR 188 (1969) 739–741] về xấp

xỉ các martingale Hơn nữa, tiêu chuẩn của chúng ta tương đương với định

lý giới hạn trung tâm có điều kiện (conditional central limit theorem), từ

đó suy ra hội tụ ổn định (theo nghĩa của Renyi) tới một phân phối trộncủa các phân phối chuẩn Chúng ta cũng xây dựng các phiên bản hàm vàhình tam giác của định lý này Từ các kết quả tổng quát này, chúng tađưa ra các điều kiện đủ dễ dàng được kiểm tra và có thể so sánh với cáckết quả khác đã biết Cuối cùng, chúng ta giới thiệu một ứng dụng cho cácước lượng mật độ hạch (kernel density) đối với một số lớp các quá trìnhvới thời gian rời rạc

II MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU

• Tìm một số điều kiện cần và đủ cho định lý giới hạn trung tâm cóđiều kiện;

• Các ứng dụng của định lý giới hạn trung tâm có điều kiện

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

• Định lý giới hạn trung tâm cổ điển,

• Khái niệm hội tụ ổn định của các biến ngẫu nhiên của Rényi;

• Các biến ngẫu nhiên Rademacher ;

• Martingale, quá trình Wiener,các dãy trộn, .

• Phương sai có điều kiện;

• Quá trình dừng mạnh

IV NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

• Hội tụ ổn định của các biến ngẫu nhiên có tính dừng;

• Tìm các điều kiện đủ mạnh để đảm bảo các tổng riêng tiệm cận giốngnhư một martingale: sử dụng mixingale;

• Hội tụ trộn của quá trình tổng riêng tới một chuyển động Brown vàhội tụ này trùng với hội tụ ổn định,

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

• Xấp xỉ các martingale;

• Hội tụ theo phân phối, hội tụ ổn định;

• Sử dụng các tính chất dừng

VI CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Nội dung của luận văn bao gồm hai chương:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị để thực hiện nội dungcủa chương sau: không gian xác suất, kì vọng điều kiện, các dạng hội tụcủa dãy biến ngẫu nhiên và một số kết quả về định lí giới hạn trung tâm.Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, đầu tiên nghiên cứu tìmđiều kiện cần và đủ đối với định lý giới hạn trung tâm có điều kiện Tiếptheo là nêu một số ứng dụng của các định lý đó

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian xác suất

Định nghĩa 1.1.2 Giả sử F là σ-đại số các tập con của Ω Ta gọi P :

F → [0, 1] là một độ đo xác suất nếu:

là một độ đo xác suất trên F

Giả sử A, B ∈ F là hai biến cố, với P(B) > 0, xác suất để biến cố Axảy ra biết rằng biến cố B đã xảy ra là

P(A|B) := P(A ∩ B)

P(B) Định nghĩa 1.1.4 Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu

P(A ∩ B) = P(A)P(B)

Định nghĩa 1.1.5 Cho Fi ⊆ F là một dãy các σ-đại số, với i = 1, 2,

Ta nói các σ-đại số {Fi}∞i=1 là độc lập nếu với mọi 1 ≤ k1 < < km vàcác biến cố Aki ∈ Fk i ta có:

P(Ak 1 ∩ ∩ Ak m) = P(Ak 1) P(Ak m)

Định nghĩa 1.1.6 Cho (Ω, F , P) là một không gian xác suất Một ánhxạ:

X : Ω → R

được gọi là một biến ngẫu nhiên nếu mỗi B ∈ B (với B là tập các tập conBorel của R), ta có

X−1(B) ∈ F Khi đó ta nói X là F -đo được

Định nghĩa 1.1.7 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X đượcxác định theo công thức:

FX(x) = P{X ≤ x}, x ∈ R

Nếu hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X có đạo hàm f (x) =

F0(x) với mọi x ∈ R thì ta gọi f (x) là hàm mật độ của X

Với mỗi tập A ∈ F , ta định nghĩa hàm chỉ tiêu của tập A như sau

nếu ít nhất một trong các tích phân ở bên phải hữu hạn, trong đó

Định nghĩa 1.1.9 Nếu E[X2] < ∞ thì ta gọi

D(X) :=

Z

Ω

|X − E(X)|2dP

là phương sai của X Trường hợp biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ là

f (x) thì kì vọng và phương sai được tính bằng công thức:

P(X1 ∈ B1, , Xk ∈ Bk) = P(X1 ∈ B1) P(Xk ∈ Bk)

Định lí 1.1.11 Các biến ngẫu nhiên X1, , Xm : Ω → R là độc lập khi

và chỉ khi:

FX1, ,Xm(x1, xm) = FX1(x1) FXm(xm),

với mọi xi ∈ R, i = 1, , m, trong đó

FX 1 , ,X m(x1, , xm) := P[X1 ≤ x1, , Xm ≤ xm]

là hàm phân phối đồng thời của X1, , Xm

Định nghĩa 1.1.12 X = (X1, X2, , Xn) là một vectơ ngẫu nhiên nchiều khi mỗi thành phần Xk (k = 1, , n) là một biến ngẫu nhiên xácđịnh trên (Ω, F , P)

Định nghĩa 1.1.13 Xét biến ngẫu nhiên X bất kì Ta định nghĩa hàmđặc trưng ϕX(t) của X như sau:

ϕX(t) := EeitX = E cos tX + iE sin tX, t ∈ R

Nhận xét 1.1.14 Nếu FX(x) là hàm phân phối của X thì

itxdx = 1

2ait e

ita− e−ita

= 12ait [cos at + i sin at − cos(−at) − i sin(−at)]

= 12ait.2i sin at =

− u2

2 du = e−t22.Đẳng thức cuối xảy ra khi ta áp dụng phép đổi biến u = x − it.Một số tính chất cơ bản của hàm đặc trưng

Giả sử X có hàm phân phối F và ϕX(t) là hàm đặc trưng của X Khi

k + (it)

n

n! αn(t)trong đó

|αn(t)| ≤ 2E|Xn|, αn(t) −−→ 0.t→0

7 FX(x) = FY(x) ∀x ∈ D ⇐⇒ ϕX(t) = ϕY(t) ∀t ∈ R,

với D là một tập đếm được trù mật trong R

Hơn nữa, Xn −→ X ⇐⇒ lim

σ-E(ξ | G) = σ-E(ξ+ | G) − E(ξ− | G)

trong đó, trên tập có xác suất 0 mà E(ξ+ | G) = E(ξ− | G) = ∞, ta có thểgán cho hiệu

E(ξ+ | G) − E(ξ− | G) một giá trị bất kì,

ví dụ bằng 0 chẳng hạn

Tính chất cơ bản của kì vọng điều kiện

Giả sử ξ, η là các biến ngẫu nhiên khả tích xác định trên không gianxác suất (Ω, F , P) Giả sử G là một σ− đại số con của F

1 (Bảo toàn hằng số) Nếu c là hằng số thì E(c|G) = c h.c.c

2 (Bảo toàn thứ tự) Nếu ξ ≥ η h.c.c thì E(ξ|G) ≥ E(η|G) h.c.c

3 (Tuyến tính) Nếu a, b là các hằng số thì

E(aξ + bη|G) = aE(ξ|G) + bE(η|G)

4 Nếu G = {∅, Ω} thì E(ξ|G) = E(ξ) h.c.c

5 E(ξ|F) = ξ h.c.c

6 E(E(ξ|G)) = E(ξ)

7 (Tính chất tháp) Nếu G1 ⊂ G2 là hai σ− đại số con của F thì

E(E(ξ|G1)|G2) = E(E(ξ|G2)|G1) = E(ξ|G1) h.c.c

8 Nếu ξ độc lập với G thì E(ξ|G) = E(ξ) h.c.c

9 Nếu H là một σ đại số con của F và độc lập với cả G và ξ thì

E(ξ|σ(G, H)) = E(ξ|G) h.c.c

1.3 Quá trình Wiener

Định nghĩa 1.3.1 Quá trình ngẫu nhiên {Wt}t∈[0,∞) xác định trên khônggian xác suất (Ω, F , P) với lọc (Ft) được gọi là quá trình Wiener hay làmột chuyển động Brown nếu

1.4 Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên

Giả sử (ξn) là dãy biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất(Ω, F , P) Dãy (ξn) được gọi là

• Hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên ξ nếu P[ lim

• Hội tụ yếu hay còn gọi là hội tụ theo phân phối đến biến ngẫu nhiên

ξ nếu với mọi hàm f : R → R liên tục và bị chặn, ta có

Định nghĩa 1.5.1 (Độ đo ergodic)

Cho (X, β, µ) là một không gian xác suất và T : X → X là một phépbiến đổi bảo toàn độ đo Ta nói rằng T là một phép biến đổi ergodic (hoặc

µ là một độ đo ergodic) nếu với B ∈ β, T−1(B) = B thì µ(B) = 0 hoặcµ(B) = 1

Định nghĩa 1.5.2 (Quá trình dừng)

Cho quá trình X = {Xt, t ∈ T } với T là một khoảng thời gian trênđường thẳng thực R Giả sử I = (t1, t2, , tn) là tập con hữu hạn của T Với mọi số thực h, ta đặt

Định nghĩa 1.5.3 (Độ đo có dấu)

Hàm tập µ xác định trên σ-đại số X và nhận giá trị trong tập số thực

mở rộng, µ được gọi là độ đo có dấu nếu:

• µ chỉ nhận một trong hai giá trị +∞ hoặc −∞

1.6 Một số kết quả cổ điển về định lý giới hạn trung

tâm

Vào năm 1730, De Moivre đã tìm ra sự liên hệ giữa xác suất nhị thức

và hàm mật độ chuẩn Nội dung được thể hiện dưới dạng định lý sau đây:Định lí 1.6.1 Nếu xác suất P(A) = p để biến cố A xuất hiện trong mỗiphép thử của dãy n phép thử Bernoulli thỏa mãn 0 < p < 1 thì với n đủlớn xác suất

Pn(k) = Cnkpk(1 − p)n−k xấp xỉ bằng 1

√npqϕ(x).

trong đó ϕ(x) = 1

√2πe

−x2

2 , x = k − np√

npq .Mãi đến năm 1783 Laplace P.S mới mở rộng kết quả của Moivre vàmang tên định lý giới hạn tích phân của Moivre-Laplace

Định lí 1.6.2 (Định lý Moivre-Laplace) Gọi k là số lần xuất hiện biến

cố A trong dãy n phép thử Bernoulli, p là xác suất để biến cố A xuất hiệntrong mỗi phép thử và 0 < p < 1, k1, k2(k1 < k2) là hai số nguyên đã cho

Khi đó lim

n→∞P

 k − np

√npq < x = F (x) và với n đủ lớn ta có công thức xấpxỉ:

P[k1 ≤ k < k2] ≈ F  k2− np

√npq



− F  k√1− np

npq

,

Định lí 1.6.3 Nếu dãy biến ngẫu nhiên X1, X2, , Xn, độc lập có kỳvọng EXi và phương sai DXi, i = 1, n và thỏa mãn điều kiện Linderbergthì

Chương 2

Định lý giới hạn trung tâm có điều kiện và ứng dụng

2.1 Định lý giới hạn trung tâm có điều kiện

Năm 1963 Renyi giới thiệu các khái niệm về hội tụ ổn định của các biếnngẫu nhiên Khái niệm này chính xác hơn khái niệm hội tụ theo phân phối

và có thể hữu ích trong một số trường hợp, đặc biệt là đối với các biếnngẫu nhiên chuẩn Aldous và Eagleson (1978) đã làm rõ sự tương đươnggiữa hội tụ ổn định và hội tụ yếu- L1 của một số hàm của các biến, và họđưa ra một số công cụ mạnh mẽ để xây dựng sự ổn định của định lý giớihạn Hơn nữa, một kết quả khác của McLeish (1974), họ đưa ra các điềukiện đủ cho một dãy martingale hội tụ ổn định đến một phân phối trộncủa các phân phối chuẩn Kết quả của họ và nhiều kết quả khác đã đượcHall và Heyde sử dụng và phát triển [(1980), Chương 3] để cung cấp mộtđóng góp nhỏ và khá hoàn chỉnh cho định lý giới hạn trung tâm

Một số các kết quả đã được mở rộng thành một dãy tổng quát bằng

cách cung cấp các điều kiện đủ mạnh để đảm bảo các tổng riêng tiệm cậngiống như một martingale Trong bối cảnh này, McLeish (1975b, 1977) sửdụng các khái niệm về mixingale, trong khi Peligrad (1981) lại theo cáchtiếp cận của Gordin Điểm chung của những công trình nghiên cứu này

là ứng dụng của định lý 19.4 trong Billinglsey (1968) Họ có được hội tụtrộn của quá trình tổng riêng tới một chuyển động Brown, mà hội tụ nàytrùng với hội tụ ổn định với điều kiện phương sai có điều kiện của tổngriêng theo σ - đại số là tiệm cận hằng

Luận văn tập trung vào những vấn đề về giới hạn trung tâm cho dãydừng ngặt hệ số hóa bởi Z Định lý 2.1.1 đề xuất một tiêu chuẩn đơn giản,tiêu chuẩn này bao hàm hội tụ ổn định của các tổng riêng tới một phânphối trộn của các phân phối chuẩn Chính xác hơn, tiêu chuẩn này là cầnthiết và đủ để có được một kết quả mạnh hơn hội tụ ổn định

Trước khi nêu định lý 2.1.1, chúng ta cần một số ký hiệu sơ bộ

Ký hiệu 1 Cho (Ω, A, P) là một không gian xác suất, và T : Ω → Ω làsong ánh bảo toàn xác suất P Một thành phần A được gọi là bất biến nếu

T (A) = A Ký hiệu σ - đại số ` là tập hợp tất cả các bất biến Xác suất P

là ergodic nếu mỗi phần tử của ` có độ đo 0 hoặc 1 Cuối cùng, cho H làkhông gian của các hàm liên tục thực bị chặn ϕ: x → |(1 + x2)−1ϕ(x)|

Định lí 2.1.1 Cho M0 là một σ - đại số của A thỏa mãn M0 ⊆ T−1(M0)

và lọc không giảm (Mi)i∈Z cho bởi Mi = T−1(M0) Cho X0 là một biếnngẫu nhiên M0-đo được, bình phương khả tích và quy tâm Định nghĩa dãy

(Xi)i∈Z bởi Xi = X0◦ T, và Sn = X1 + + Xn Khi đó các khẳng địnhsau đây là tương đương:

s1 Tồn tại một độ đo không âm M0 của biến ngẫu nhiên η sao cho,đối với mọi ϕ thuộc H và bất kỳ số nguyên dương k, ta có:

lim

n→∞ k E(ϕ(n−1/2Sn) −R ϕ(x√η)g(x)dx|Mk) k1= 0

trong đó g có phân phối chuẩn

s2.(a) Dãy (n−1Sn2)n>0 là khả tích đều;

(b) Dãy k E(n−1/2Sn|M0) k1 tiến tới 0 khi n tiến tới vô cùng;

(c) Tồn tại một độ đo không âm M0 của biến ngẫu nhiên η sao cho

k E(n−1Sn2− η|M0) k1 tiến tới 0 khi n tiến tới vô cùng

Hơn nữa các biến ngẫu nhiên η thỏa mãn η = η ◦ T hầu chắc chắn

Một dãy dừng của các biến ngẫu nhiên được gọi là thỏa mãn định lýgiới hạn trung tâm có điều kiện (viết tắt CCLT) nếu nó thỏa mãn s1.Bây giờ chúng tôi đưa ra điều kiện để CCLT đúng Lưu ý đầu tiên

là tiêu chuẩn s2 thỏa mãn dãy dừng của các martingale: thực sự, trongtrường hợp đó, s2(a) suy ra từ bất đẳng thức Doob cực đại, s2(b) là đơngiản và s2(c) là một hệ quả của định lý L1-ergodic Bây giờ, khi nhậnthấy đầu tiên của Gordin (1969), nó có thể xấp xỉ tổng riêng của một quátrình dừng bởi một martingale liên quan một cách tự nhiên với quá trìnhdừng Một xấp xỉ như vậy cung cấp một phương pháp để có thể có đượcđiều kiện đủ cho CCLT, cụ thể được thể hiện bởi mệnh đề 2.1.2:

Mệnh đề 2.1.2 Cho (Mi)i∈Z và (Xi)i∈Z như trong định lý 2.1.1 Cho Hi

là không gian Hilbert của các hàm Mi - đo được, quy tâm và bình phương

khả tích Đối với mọi số nguyên j nhỏ hơi i, ký hiệu Hi Hj là trực giaocủa Hj vào Hi Gọi Q là tập hợp của tất cả các hàm từ Hi Hj , trong

Chứng minh Theo định lý 1 trong Volny (1993), (2.1) tương đương vớitồn tại biến ngẫu nhiên m thuộc H0 H−1 sao cho

n−1E(Wn2|M0) hội tụ đến η = E(m2|`) trong L1 Bây giờ, sử dụng (2.2)

để chứng minh dãy (Xi)i∈Z cũng thỏa mãn s2

n



1 ∧ |Sn|

M√n



|



= 0

Do |x2(1 ∧ |y|) − z2(1 ∧ |t|) ≤ |x2 − z2| + z2|(1 ∧ |y|) − (1 ∧ |t|) nên từ(2.3) và (2.4) suy ra

lim

n→∞ k |S

2 n

n



1 ∧ |Sn|

M√n



− W

2 n

n



1 ∧ |Wn|

M√n

n



1 ∧ |Sn|

M√n



= 0

điều này có nghĩa là n−1Sn2 khả tích đều

Tiếp theo từ mệnh đề 2.1.2 ta thấy rằng bất kỳ tiêu chuẩn nào bắtnguồn từ (2.1) đều dẫn đến CCLT Ví dụ, Điều kiện (1) và (2) của Định

lý 1 trong Heyde (1974) trình bày (2.1), và Điều kiện (3.15) trong Durr vàGoldstein (1986) Từ Định lý 2 trong Heyde (1974), suy ra (2.1) là thỏamãn khi

số dương (Lk)k>0 sao cho

Tiếp theo, chúng ta chuyển sang phiên bản hàm của định lý 2.1.1 Với

tỷ lệ đúng đối với s2(b), Eberlein (1986a) đã thu được nguyên lý bất biếnmạnh với thứ tự của xấp xỉ O(t1/2− κ) cho một số dương κ.

Như vậy, tồn tại một lớp các dãy dừng thỏa mãn s2∗ được trình bàybởi mệnh đề 2.1.3 và 2.1.4

Mệnh đề 2.1.3 Cho (Mi)i∈Z và (Xi)i∈Z như trong định lý 2.1.1 Khi đóđiều kiện (2.6) suy ra s2∗

Chìa khóa của mệnh đề 2.1.3 là thiết lập một bất đẳng thức cực đại màcùng với (2.6) suy ra s2(a∗) Điều này có thể được thực hiện bằng cáchlàm theo phương pháp tiếp cận của McLeish cho mixingales bất tĩnh [cf.McLeish (1975b), Bổ đề (6.3)] Trong trường hợp cụ thể của các dãy dừng

và thích nghi, mệnh đề 2.1.3 cải thiện kết quả của Mcleish trong ba cách:Thứ nhất, điều kiện (2.6) thỏa mãn nếu một trong hai Điều kiện (2.5)trong McLeish (1977) đúng hoặc (Xn, Mn) là một mixingale kích thước1/2 [cf McLeish (1975b), Định nghĩa (2.1) và (2.4)] Thứ hai, điều kiện

phụ trong Định lý (2.6) sau này có thể được loại bỏ Thứ ba, chúng ta cóđược một kết quả mạnh hơn trong giới hạn của hội tụ, hàm CCLT suy rahội tụ mixing khi η là hằng số, mà chúng tôi không yêu cầu ở đây Để cóđược một ý tưởng về phạm vi rộng các ứng dụng của mixingales, chúngtôi tham khảo McLeish (1975a, b, 1977) và Hall và Heyde [(1980), Phần2.3] và xem thêm Eberlein (1986b) cho một cuộc khảo sát của các kết quảliên quan đến mixingales và khái quát khác của martingales.

Chứng minh Cho Pi là toán tử chiếu vào Hi Hi−1: với mọi hàm f trong

L2(P), Pi(f ) = E(f |Mi) − E(f |Mi−1)

Mệnh đề 2.1.4 Cho (Mi)i∈Z và (Xi)i∈Z như trong định lý 2.1.1 Địnhnghĩa σ đại số M−∞ = ∩i∈ZMi và xét điều kiện

(2.7) E(X0|M−∞) = 0 và P

i>0

k P0(Xi) k2< ∞

Điều kiện (2.7) suy ra (2.5)

Bây giờ, ta chứng minh từ (2.6) suy ra (2.7) và từ đó suy ra (2.5) Xétphân tích trực giao

Sn∗ = max {0, S1, , Sn} Với mọi số nguyên dương i, xét (Yi,j)j≥1 là mộtmartingale với Yi,j =

Chứng minh Từ phân tích (2.8) với E(Xk|M−∞) = 0, ta có Sj = P

Lấy kỳ vọng và áp dụng mệnh đề 1(a) trong Dedecker và Rio (2000) vớimartingale (Yi,n)n≥1, ta có được mệnh đề 2.1.5.

Mệnh đề 2.1.6 Tồn tại một dãy (Xi)i∈Z thỏa mãn giả thiết của định lý2.1.1, sao cho

n−1E(Sn2) hội tụ đến σ2 và P

k>0

k E(Xk|M0) k22< ∞,nhưng biến ngẫu nhiên n−1/2Sn không hội tụ theo xác suất

Điều kiện (2.10) dưới đây có một cấu trúc khác và không thu đượcthông qua các phép xấp xỉ martingale, mặc dù nhiều kết quả trong lĩnhvực đó có thể được bắt nguồn từ nó

Mệnh đề 2.1.7 Cho (Mi)i∈Z , (Xi)i∈Z và Sn được cho như trong định lý2.1.1 Xét điều kiện

Chứng minh • Chứng minh s2(a∗)

Đặt Sn = max {|S1|, , |Sn|} Theo mệnh đề 1 trong Dedecker và Rio(2000) suy ra (n−1(Sn)2)n>0 là khả tích đều khi (2.10) đúng

• Chứng minh s2(c)

E(n−1Sn2|M0) hội tụ đến η trong L1đã được chứng minh trong Dedecker

và Rio (2000)

• Chứng minh s2(b)

Sử dụng tính dừng của dãy (Xi)i∈Z và phép phân tích trực giao (2.8),

n

P

i=1

k P0(Xi) k2 Theo (2.10) hạng tử đầu tiên của vế phải tiến đến 0 khi n tiến đến vôcùng Mặt khác, từ (2.11) và bất đẳng thức Cauchy - Schwarz’s suy ra

n−1/2Pn

i=1 k P0(Xi) k2 tiến đến 0 khi n tiến đến vô cùng, vì vậy vế tráicủa (2.12) tiến đến 0 khi n tiến đến vô cùng Từ đó, có thể chứng minhđược rằng: với mọi số nguyên dương k,

n k I0<E(|X 0 ||`)<mE(Sn|M0) k1

Từ (2.15) suy ra hạng tử thứ nhất của vế phải tiến đến 0 khi n tiếnđến vô cùng Khi m tiến đến không, hạng tử thứ hai của vế phải là rấtnhỏ Do đó

(2.18) k IBE(Sn|M0) k1≤ E(IBE(E(Sn|M0)|`) = E(|Sn||`))

≤ E(|Sn||IB) ≤ 0Kết hợp (2.17) và (2.18) suy ra n−1/2E(Sn|M0) k1 tiến đến 0 khi n tiếnđến vô cùng

Trong trường hợp thích nghi, điều kiện (2.10) yếu hơn so với tiêu chuẩn

2.1.2 Điều kiện cần và đủ cho dãy các tam giác

Định lí 2.1.8 Đối với mỗi số nguyên dương n, cho M0,n là một σ đại sốcủa A thỏa mãn M0,n ⊆ T−1(M0,n) Xác định lọc không giảm (Mi,n)i∈Zbởi Mi,n = T−i(M0,n) và Mi,inf = σ(



1 ∧ |S2

n(t)|

√n

là định mức của nó Một họ Π của các độ đo đã cho trên (S, B(S)) là chặtchẽ nếu với mọi  dương tồn tại một tập compact K sao cho |µ|(Kc) < 

với mọi µ thuộc Π Ký hiệu %(S) là tập hợp các hàm liên tục và bị chặn

từ S đến R Dãy các độ đo (µn)n>0 được gọi là hội tụ yếu đến độ đo µ nếuvới mọi ϕ thuộc %(S), µn(ϕ) tiến đến µn(ϕ) khi n tiến đến vô cùng

Bổ đề 2.1.10 Cho (µn)n>0 là một dãy các độ đo cho trước trên(Rd, B(Rd)), và đặt µ(n) = µ(n)(exp(i < t, >)) Giả sử rằng dãy (µn)n>0

là chặt chẽ và sup

n>0

k µn k< ∞ Các khẳng định sau đây là tương đương:

1 Dãy (µn)n>0 hội tụ yếu đến độ đo 0

2 Đối với bất kỳ t thuộc Rd, µn(t) tiến tới 0 khi n tiến đến vô cùng.Chứng minh Bổ đề 2.1.10 được trình bày trong phần Phụ lục

Định nghĩa 2.1.11 Định nghĩa tập R(Mk,n) của biến ngẫu nhiênRademacher độ đo R(Mk,n) = {2IA − 1 : A ∈ Mk,n} Nhắc lại g là phânphối chuẩn N (0, 1) và W là độ đo Wiener trên C([0, 1]) Đối với các biếnngẫu nhiên η giới thiệu trong định lý 2.1.8 và biến ngẫu nhiên Z bị chặnbất kỳ, cho:

1 vn[Z] là độ đo hình ảnh của Z.P bởi biến n−1/2Sn(t)

2 v∗n[Z] là độ đo hình ảnh của Z.P bởi quá trình n−1/2Un

3 v[Z] là độ đo hình ảnh của g.λ ⊗ Z.P bởi biến φ từ R ⊗ Ω đến R xácđịnh bởi φ(x, ω) = xptη(ω)

4 v∗[Z] là độ đo hình ảnh của W ⊗ Z.P bởi biến φ từ C([0, 1]) ⊗ Ω đếnC([0, 1]) xác định bởi φ(x, ω) = xpη(ω)

Bổ đề 2.1.12 Cho µn[Zn] = vn[Zn] − v[Zn] và µ∗n[Zn] = vn∗[Zn] − v∗[Zn].Đối với mọi ϕ thuộc H[tương ứng (H∗)], khẳng định S1(ϕ)[tương ứngS1∗(ϕ)] tương đương với: