Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một vài hướng phát triển của các định lý giao hoán

Luân văn trình bày các kiến thức cơ bản gồm các khái niệm, các định nghĩa, các tính chất về mođun, vành, căn Jacobson, cấu trúc vành...; trình bày các định lý giao hoán bao gồm các định lý, trong đó có định lý quan trọng đó là định lý WEDDERBURN về một vành chia hữu hạn, các định lý giao hoán của JACOBSON, của HERSTEIN; các ví dụ định lý về giao hoán trên vành subboolean. Để biết rõ hơn về nội dung chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Giang Dậu Bạc MỘT VÀI HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA CÁC ĐỊNH LÝ GIAO HOÁN Chuyên ngành : Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS-TS: BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU E(M ) D Dk F (G ) J ( R) J J ( R) = (0) M G N o( G ) R  Ri Ta [ x; y ] [ x1; x2 ; ; xn ] x 1 y 1xy [ x; y ] [ x1; x2 ; ; xn ] x 1 y 1xy Z , R( Z ) : Vành tự đồng cấu nhóm cộng giao hốn M : Vành chia :Vành ma trận n  n với phần tử thuộc D : đại số nhóm G trường F : Căn Jacobson : R vành nửa đơn : Nhóm cộng nhân : Tập phần tử lũy linh : Cấp nhóm G : Vành : Tổng trực tiếp (con) vành Ri : Tự đồng cấu nhóm M : Ta (m)  ma : Giao hoán tử cộng : Giao hoán tử cộng cấp n : Giao hoán tử nhân : Giao hoán tử cộng : Giao hoán tử cộng cấp n : Giao hoán tử nhân : Tâm vành R : Trường gồm hai phần tử 0, THUẬT NGỮ TRANG A( M ) tập linh hóa M R C ( M ) vành giao hoán tử R M Giao hoán tử cộng nhân 33-52 M R - mođun trung thành M R - mođun Bất khả quy Phần tử lũy linh a R 11 Phần tử tựa quy a R 10 Phần tử lũy đẳng 14 Phần tử potent 68 R vành Artin 13 R vành đơn 16 R vành nửa nguyên thũy (đơn) 12 R vành nguyên thũy 16 R vành nguyên tố, nửa nguyên tố 19-22 R tích trực tiếp ( tích trực tiếp con) 21 R vành trực tiếp 22 R vành tuần hoàn yếu 68 Trường K mở rộng đại sô trường F 38 Trường K mở rộng tách trường F 38 LỜI MỞ ĐẦU Trong thời gian học tập nghiên cứu lớp cao học khóa 17 trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh ngành tốn chun ngành đại số lý thuyết số, học viên chúng tơi có học tập nghiên cứu số chuyên ngành có chun ngành vành giao hốn vành khơng giao hốn Trong hai chương đầu chun đề vành khơng giao hốn nói lên cấu trúc vành , radican vành, phần tử lũy đẳng, lũy linh vành vv Trên sở khái niệm, tính chất với số định lý hai chương đầu với việc thầy hướng dẫn làm luận văn tốt nghiệp PGS-TS Bùi Tường Trí hướng dẫn cho tơi tham khảo tìm hiểu vấn đề định lý giao hoán vành Trong trình học tập nghiên cứu tơi thấy tính chất giao hoán quan trọng, khảo sát vành mà khơng có tính chất giao hốn q trình làm việc gặp nhiều trở ngại, tìm hiểu chương định lý giao hốn tơi biết có vành chưa biết giao hốn với điều kiện thích hợp chúng trở thành giao hốn Mặt khác nghiên cứu chương ba tơi thấy định lý giao hoán Herstein Herstein bước phát triển điều kiện để vành giao hốn có nhiều vành giao hốn nói cách khác lớp vành giao hốn lúc mở rộng sau điều kiện giao hoán vành tìm thấy Việc nghiên cứu tìm điều kiện cho vành giao hốn đường mở rộng Chính lẽ mà đề tài luận văn chúng tơi chọn “ Một vài hướng phát triển định lý giao hốn “ Luận văn gồm có chương: Chương I: Chúng tơi trình bày kiến thức gồm khái niệm, định nghĩa, tính chất mođun, vành, Jacobson, cấu trúc vành vv Chương II: Chúng tơi trình bày định lý giao hốn bao gồm định lý, có định lý quan trọng định lý WEDDERBURN vành chia hữu hạn, định lý giao hoán JACOBSON, HERSTEIN Mỗi định lý nhà toán học mở rộng lớp vành với điều kiện vành trở nên giao hốn Chương III: Chương cố gắng đưa vài ví dụ cụ thể trình bày thêm hướng phát triển định lý giao hốn vành subboolean Tơi xin chân thành gởi lời cám ơn đến thầy khoa Tốn, phòng Khoa Học Công Nghệ & Sau Đại Học trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh, thầy tham gia giảng dạy tơi suốt q trình học tập, xin chân thành cám ơn PGS-TS Bùi Tường Trí nhiệt tình dành nhiều thời gian quý báu để hướng dẫn giúp đở chọn đề tài luận văn hoàn thành luận văn tốt nghiệp Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Các vành xét luận văn khơng giao hốn khơng có đơn vị Chương chúng tơi trình bày định nghĩa, tính chất vành mođun, Radican với tính chất radican đặc biệt phân tích vành thành tích trực tiếp vành con, ứng dụng định lý giao hoán chương 2, chương 1.1 Các định nghĩa, tính chất vành mođun Định nghĩa 1.1.1: R vành R với phép cộng nhóm Aben, với phép nhân có tính chất kết hợp, phân phối hai phía phép cộng Các idean xét luận văn idean phải, idean hai phía viết gọn idean Các khái niệm vành con, vành thương, vành thương, đồng cấu, đẳng cấu, định lý đẳng cấu xem thông thường Định nghĩa 1.1.2: Cho M nhóm Aben với phép cộng, M cho R - mođun có ánh xạ từ M  R đến M cho cặp ( m; r )  M  R cho tương ứng mr  M thỏa điều kiện a m( a  b)  ma  mb b ( m  n) a  ma  na c m( ab)  ( ma )b Định nghĩa 1.1.3: M R - mođun tập A( M )  r  R / Mr  0 gọi tập linh hóa M R Định nghĩa 1.1.4: M gọi R - mođun trung thành Mr  (0) kéo theo r = Như M R - mođun trung thành A( M ) = {0} Mệnh đề 1.1.5: A( M ) idean hai phía R , nửa M R / A(M) – mođun trung thành Mệnh đề 1.1.6: R / A( M ) đẳng cấu với vành vành E ( M ) Đặc biệt M R -mođun trung thành A(M)={0} R xem vành vành E ( M ) Bây ta xét xem phần tử E ( M ) mà giao hoán với tất Ta Định nghĩa 1.1.7: Vành giao hoán tử R M C (M)  { E(M) / Ta  Ta , a R} * Khi C ( M ) vành vành E ( M ) , nửa vành tự đồng cấu mođun M Định nghĩa 1.1.8: M cho R -mođun bất khả quy MR  M có mođun (0) M Mệnh đề 1.1.9: (Bổ đề Schur) Nếu M R - modun bất khả quy C ( M ) vành chia Ngoài M R -mođun bất khả quy M có tính chất đặc biệt sau Mệnh đề 1.1.10: Nếu M R - mođun bất khả quy M R /  đẳng cấu với R - mođun,  idean phải tối đại R Hơn nửa có phần tử a  R x  ax  ,x R, ngược lại idean phải tối đại  R R /  R -mođun bất khả quy Và  gọi idean phải tối đại quy R 1.2 Radican vành Một điều tuyệt đẹp lý thuyết cấu trúc vành vành mà có radican 0, vành có cấu trúc tích trực tiếp vành nguyên thũy mà có ảnh hưởng lớn q trình chứng minh tính giao hốn luận văn này, nửa giao hốn vành tích trực tiếp trường Định nghĩa 1.2.1: Radican R , ký hiệu J ( R) , tập tất phần tử R mà linh hóa R -modun bất khả quy Nếu R khơng có modun bất khả quy ta đặt J ( R)  R Có thể có nhiều radican, radican xét Jacobson Theo định nghĩa J ( R)   A( M ) , M chạy khắp R -modun bất khả quy, biết A (M) idean hai phía nên J ( R) idean hai phía Định nghĩa 1.2.2: Cho  idean phải R ta có: ( : R)   x  R / Rx   Khi  idean phải tối đại quy R ( : R)  A(M) Mệnh đề 1.2.3: J ( R)  (  : R) với  chạy khắp idean phải tối đại quy R Ngồi kết có kết đẹp Mệnh đề 1.2.4: J ( R)   với  chạy khắp idean phải tối đại quy R Chúng ta thấy với định nghĩa mệnh đề radican có đặc tính đẹp, phần tử nằm rađican Chúng ta quan sát phần tử nằm rađican qua định nghĩa mệnh đề sau: Định nghĩa 1.2.5: * a  R gọi tựa quy phải tồn phần tử a '  R cho a  a' aa '  a ’ gọi tựa khả nghịch phải a (tương tự định nghĩa tựa khả nghịch trái) * Hơn nửa R có đơn vị a tựa quy phải 1+ a tựa khả nghịch phải (vì a  a ' a.a '  a 1  a ' a.a '  kéo theo ( a +1)( a ’+1)=1 ) * Từ mệnh đề 1.2.4 phần chứng minh ta thêm nhân tố khác radican: J ( R) tựa quy phải,  idean phải tựa quy phải  chứa J ( R) Mệnh đề 1.2.6: J ( R) idean phải tựa quy phải R chứa tất idean phải tựa quy phải R nửa idean phải tựa quy phải lớn R Định nghĩa 1.2.7: Phần tử a  R gọi lũy linh a m = 0, với m số tự nhiên  idean nil phải (trái, hai phía) phần  lũy linh  idean lũy linh phải (trái, hai phía) có số m cho a1a2 .am  , với a1 , a2 , ., am   Cho I, J idean phải (trái, hai phía) R I J nhóm phép cộng R sinh tất tích ab, a  I , b  J I J idean phải (trái, hai phía) R Định nghĩa theo quy nạp có I n Từ  idean lũy linh phải (trái, hai phía)  n  , với n Giả sử ta có a n  , ta có b  a  a  a3   (1)n 1 a n1 , ta có a  b  ab  , phần tử lũy linh R có tính chất tựa quy phải Vì lẻ ta có idean nil phải R tựa quy phải Mệnh đề 1.2.8: Mọi idean nil phải trái R chứa J ( R) Bây xem xét Rađican A xem vành Rađican A xem đại số có khác khơng, điều khẳng định ca  (ax  xa)a  a( xa)  ( xa)a  a(ai x)  (ai x)a  (ax  xa)  c nên ta suy cac 1  a i  a  ca  ac Mặt khác ta có a  [ x1 , x2 , xn ] c  [a, x]  [ x1 , x2 , xn , x] = [[ x1 , x2 ], x3, , xn , x] giao hoán tử cấp n R nên có cấp hữu hạn * nhóm nhân R R Với điều kiện nhóm sinh a c R* có cấp hữu hạn nên theo bổ đề (2.1.3) nhóm Abel, mâu thuẫn với tính chất ca  ac Bổ đề chứng minh Bổ đề 3.2.4: Nếu R vành tùy ý thỏa: [ x1 , x2 , xn ] m  [ x1 , x2 , xn ] (1) ta có: [ x1 , x2 , xn ]  (2) với x1 , x2 , xn  R Chứng minh: Nếu R vành chia theo bổ đề ta có R thỏa điều kiện (2) Nếu R vành nguyên thũy thỏa điều kiện (1) R vành chia tồn số k>1 để D k ảnh đồng cấu vành đo R , điều kiện (1) thỏa qua phép đồng cấu hoậc ảnh , điều kiện (1) không thỏa với phần tử: 0  1  1  0 0    x1  , x2  x3   xn    .  .     0  0 0 Khi đó: [ x1 , x2 , xn ]  x1  [ x1 , x2 , xn ]2  nên không thỏa điều kiện (1), R vành chia [ x1 , x2 , xn ]  Nếu R vành nửa nguyên thũy R đẳng cấu với tích trực tiếp vành nguyên thũy R , theo lý luận R thỏa điều kiện (2), mặt khác điều kiện (2) bảo toàn qua phép lấy tổng, phép lấy vành ảnh đồng cấu, R thỏa điều kiện (2) Bây R vành tùy ý R / J ( R ) vành nửa nguyên thũy, R / J ( R ) thỏa điều kiện (2) hay ta có [ x1 , x2 , xn ]  Trong R / J ( R) điều ta dẫn đến [ x1 , x2 , xn ]  J ( R ) , mặt khác ta có: [ x1 , x2 , xn ] m  [ x1 , x2 , xn ] , với n vậy: [ x1 , x2 , xn ]  R vành tùy ý thỏa điều kiện (1) ta có: [ x1 , x2 , xn ]  với x1 , x2 , xn  R Bây ta chứng minh mệnh đề dựa vào bổ đề R không chứa idean nil khác khơng nên R tích trực tiếp vành nguyên tố R ta chứng minh R giao hốn R giao hốn Bây ta xem R vành nguyên tố, ta cần chứng minh R thỏa điều kiện (1) R giao hốn Do R thỏa điều kiện (1) nên bổ đề 3.2.4 R thỏa điều kiện (2): [ x1 , x2 , xn ]  theo mệnh đề 3.2.1 dẫn đến R giao hốn Sau có ngã rẽ, với lớp vành có chứa lớp vành Boolean, chứa lớp vành thỏa điều kiện x  x , nói cách khác chứa lớp vành giao hốn n 3.3 Các định lý giao hoán lớp vành subBoolean Ta thấy vành Boolean thỏa đồng thức: x  x thỏa x2 y  xy2  0, xét vành R có tính chất x2 y  xy2 lũy linh, x, y  R với điều kiện R giao hốn Định nghĩa 3.3.1: N tập phần tử lũy linh, J ( R) Jacobson, Z tâm R R vành subBoolean x2 y  xy2  N , x, y  R \ (N  J Z) (1) Ta thấy lớp vành subBoolean hồn tồn rộng, chứa thật lớp vành Boolean (Vì lớp vành Boolean thỏa điều kiện định nghĩa) Ví dụ: Cho R   0  , 1  , 0  , 1   , R vành subBoolean          0  0  0  0   R khơng giao hốn Với phần tử ma trận nằm trường   có hai phần tử 0, Với ví dụ nêu ta thấy lớp vành subBoolean có chứa lớp vành giao hốn ( chứa lớp vành Boolean), có chứa lớp vành khơng giao hốn, phần sau chúng tơi mong muốn trình bày điều kiện để tìm kiếm lớp vành subboolean lớp vành giao hoán Để xây dựng vành subBoolean với điều kiện giao hốn ta cần bổ đề sau: Bổ để.3.3.2: Cho R vành cho phần tử x  R , x hơặc nằm tâm có số n nguyên dương lớn : x n  x R giao hốn ( bổ đề định lý giao hốn Jacobson) Bổ để.3.3.3: Nếu R vành subBoolean với phần tử lũy đẳng tâm tập N phần tử lũy linh chứa Jacobson R (Phần tử lũy đẳng tâm R phần tử lũy đẳng nằm tâm, vành với phần tử lũy đẳng tâm nói ngắn gọn vành lũy đẳng tâm) Chứng minh: Giả sử a  N x  R Xét trường hợp ax  ( N  J  Z ) : Nếu ax  N ax phần tử tựa quy phải, ax  J ax tựa quy phải, ax  Z : ( ax )  a x với số m a  N nên có n m m m n để a =0 ax  N suy ax tựa quy phải Ta xét thêm trường hợp (ax)  ( N  J  Z ) : ( ax )  N ax tựa quy phải, ( ax )  J  ( ax)  J ( ax ) ,  ( ax) tựa quy phải ax ( (ax ) tựa quy phải có b để (ax)2  b  (ax)2 b =0 chọn b '  ax  b  axb ax  b ' ax.b ' = 0) Cuối ( ax)  Z thì: ( ax) k  ( ax) ( ax)  k 2 = a ( ax ) ( ax ) xax  k 1 2 = a ( ax ) ( ax ) ( xax ) (tiếp tục chuyển a trước ta có)  k 2 ……………………………………………… k =a t Do a  N suy (ax)  N nên ax  N Như ta có: ax  (N  J  Z) ( ax )  ( N  J  Z ) ax tựa quy phải (*) Bây giả sử ax  ( N  J  Z ) (ax)2  ( N  J  Z ) (1) ta có (( ax ) ) ( ax )  ( ax ) ( ax )  N hay ((ax)  ( ax))(ax)3  N suy ra: {(( ax)  ( ax ))( ax )3 }k  khai triển thu được: (ax)k  (ax)k 1 g (ax) với g ( y ) đa thức với hệ số nguyên ta có: ( ax ) k  ( ax ) k ( ax ) g ( ax )  ( ax ) k  g ( ax ) tiếp k ( ax ) =( ax ) 2k tục ta có: k g ( ax ) Ta đặt e  (ax) g (ax) k k e2 e (ax)k  (ax) k e với a  N (2) phần tử lũy đẳng nằm tâm nên: e  e.e  e( ax ) g ( ax)  eat  aet k k thì: e  aet  a et   a et  với m để a  a  N , 2 m m m theo (2) ax  N ax tựa quy phải, ta có: ax  ( N  J  Z ) (ax)2  ( N  J  Z ) ax tựa quy phải (**) Từ (*) (**) ta suy ax tựa quy phải x  R a  J Vậy bổ đề chứng minh xong ( a tựa quy phải, ax tựa quy phải  x  R ta gọi B idean tựa quy phải chứa a R , mà J ( R ) idean phải tựa quy phải lớn nên B  J ( R ) ) Định lý 3.3.4: Nếu R subBoolean với phần tử lũy đẳng tâm R / J ( R ) giao hoán Chứng minh: Theo bổ đề 3.3.3 ta có N  J R vành subBoolean nên ta có: x2 y  xy2  0,  x, y  R / J ( R ) , x, y  Z (1) Vì vành R / J ( R ) vành nửa nguyên thũy nên R / J ( R ) tích trực tiếp vành nguyên thũy R R thỏa điều kiện (1) nên có: x y  xy = 0,  x, y  R x, y không nằm tâm Như ta cần chứng minh R giao hốn R / J ( R ) giao hốn Nếu R vành chia R khơng giao hốn Ta gọi x phần tử khơng nằm tâm R nên ta có: x2 ( x  1)  x ( x  1)  suy x = x = –1 suy x  Z , điều mâu thuẫn chứng minh cho R giao hoán Nếu R vành nguyên thũy R không vành chia tồn D vành chia số nguyên k>1 Dk ảnh đồng cấu vành vành R , x y  xy = 0, x, y  R x, y không nằm tâm, vành R qua phép đồng cấu Dk điều không với: 0 0 0 0 , x  .   0 0 1  0 0 2  Do x y  xy  x  Điều mâu thuẫn y  .   0  chứng minh R vành chia R giao hốn (ĐPCM) Định lý 3.3.5: R subBoolean với phần tử lũy đẳng tâm J  Z R vành giao hốn Chứng minh: Bởi bổ đề 3.3.3 ta có N  J  Z kết hợp với R vành subBoolean ta có: x2 y  xy2  N , x, y  R \ Z , giả sử x  Z ta đặt y   x ta có: 2x3 N 2xN  Z, 2xZ, xR theo Định lý 3.3.4 R / J ( R) giao hoán nên [ x, y ]  J  Z , x, y  R Mặt khác [x2 , y]  x[ x, y]  [ x, y]x  2x[ x, y]  x[2x, y]   x  Z Bây ta chứng minh mệnh đề 3.3.5: x  x  Z Giả sử R khơng giao hốn có phần tử x  Z  x  x  Z (vì x  x  Z x  Z suy x  Z ) theo định nghĩa vành subBoolean ta có: x2 (x  x2 )  x(x  x2 )2  N điều dẫn đến: x3 (x  x2 )  N có đa thức g (t ) với hệ số nguyên để mà: (x  x2)4  (x  x2)3(x  x2)  x3g(x)(x  x2)  x3(x  x2)g(x) nhận xét vế phải đẳng thức tổng phần tử lũy linh, giao hốn với vậy: x  x  N  Z điều mâu thuẫn với x  x  Z Vì R giao hốn Định lý 3.3.6: R vành subBoolean có đơn vị lũy đẳng tâm đồng thời J giao hốn R giao hốn Chứng minh: Bởi bổ đề 3.3.3 ta có N  J , cần chứng minh J  N  Z Giả sử J  N  Z có j  J j  N , j  Z N  J từ định nghĩa ta có: x2 y  xy2  N , x, y  R \ J  Z nhận xét: 1 j  J  Z , (vì 1 j khả nghịch nên không thuộc J , 1 j Z j Z ) lại có j2 J nên 1 j  j2 J Z , (vì 1 j  j2 J Z 1 j J Z ) Như ta có: (1  j  j ) (1  j )  (1  j  j )(1  j )  N khai triển biểu thức ta có j (1  j  j )(1  j )  N , suy có m số để ( j (1  j  j )(1  j )) m  (1  j  j ), (1  j ) khả nghịch R chúng giao hốn với j dẫn tới j  N điều trái giả thiết j  N J  N  Z Chúng ta có: x2 y  xy2  N , x, y  R \ N  Z Bây ta giả sử có: x  N, 1 x  N , x  Z  x  Z theo ta có: x2 (1  x)  x(1  x)2  N khai triển ta có x(1 x)  N , mặt khác ta có: x  N  J  x khả nghịch từ ta suy x(1  x)  N ,  x  N  J x khả nghịch từ suy x(1 x)  N , vậy: x  x  x(1  x )  N , x  R \ Z , xZ nên – xZ nên x x2 N (a) Như biết vành R đẳng cấu với tích trực tiếp vành bất khả quy R Ta đặt  : R  R đồng cấu tự nhiên từ R vào R đặt  ( x )  x Ta cần chứng minh tập N phần tử lũy linh R chứa  ( N )  Z Z tâm R Ta đặt d  N , d  Z đặt  ( d )  d  , d  R d  Z (vì d  Z  d   Z  ) theo (a) ta có: d  d  N , d  N nên (d )m  ta lại có: i d  d m 1  (d  d )(1  d   d m 1 )  N (do d  d d giao hoán với suy (d  d )d i  N )  (d  d m 1 )   ( N ) d  (d )m 1   ( N ) d   ( N ) Vậy N chứa  ( N )  Z Trọng tâm chứng minh phần tử R lũy linh khả nghịch trọng tâm Để chứng minh ta xét x  R \ Z giả sử  ( x)  x , x  R, x  Z x  x  N từ suy x k  x k 1g ( x), g ( x) đa thức với hệ số nguyên trước ta có: k k k k e  xk g k ( x) phần tử lũy đẳng e  e, x  x e e  e.x g ( x)  e  e , x k  x k e e  e x k gk (x )  x x k 1gk (x ) Theo giả thiết phần tử lũy đẳng R nằm tâm nên e   (e) phần tử lũy đẳng tâm vành bất khả quy trực tiếp R nên e = e =1 Nếu e = x lũy linh, e =1 x khả nghịch Như phần tử R lũy linh khả nghịch tâm (b) Bây giờ, cần chứng minh phần tử khả nghịch u  R nằm tâm u   a , với a  N Để chứng minh điều này, ta giả sử phần tử khả nghịch u  R không nằm tâm, giả sử  (d )  u , d  R , d  R \ Z , theo (a): d  d  N suy u  u   ( N ) u  u lũy linh (u  u2 )m  0, u khả nghịch nên (u 1)m  a = u – 1, a lũy linh hay u = 1+ a , a  N ( u  R , u khả nghịch, u nằm tâm u =1+ a ) Từ suy R  N  Z (c) Vì N chứa  ( N )  Z , N  J J giao hoán nên N giao hốn N gồm phần tử lũy linh R giao hoán, nửa (b) (c) nên R sinh phần tử lũy linh phần tâm R giao hốn, từ R giao hốn ĐPCM Hệ 3.3.7: Nếu R vành subBoolean với N ={0}, R có đơn vị R giao hoán Chứng minh: Gọi i, j  J giả sử [i, j ]  R vành subBoolean nên: (1  i)2 (1  j)  (1  i)(1  j)2  N  {0} (1 i){(1 i)(1 j)  (1 i)(1 j)}(1 j)  đẳng thức dẫn đến i  j (bởi i  , j  khả nghịch R ) suy mâu thuẫn với [i, j ]  , mâu thuẫn chứng tỏ J giao hoán theo Định lý 3.3.6 R giao hốn Định lý 3.3.8: R vành subBoolean có đơn vị, lũy đẳng tâm lũy linh tâm R giao hốn Chứng minh: Đầu tiên ta chứng minh tập phần tử khả nghịch U R giao hốn Giả sử U khơng giao hốn, có u , v  U , [u , v ]  ( u , v khả nghịch nên khơng thuộc N , J ) u , v không thuộc N  J  Z theo định nghĩa: u v  uv  N , N  Z ( lũy linh tâm) nên N idean R u 1 (u v  uv )v 1  N từ suy u  v  N  Z , ta lại có [u , v]  uv  vu  uv  v  v  vu  (u  v)v  v(u  v)  điều mâu thuẫn nói lên tập phần tử khả nghịch U R giao hoán Bây đặt i, j  J  i ,  j khả nghịch nên ta có: [1  i,1  j]   [i, j]  J giao hoán, nửa phần tử lũy linh tâm phần tử lũy đẳng tâm ( chứng minh trên), theo Định lý 3.3.6 R giao hốn Định nghĩa 3.3.9: k * Phần tử x gọi potent có số k>1, k nguyên : x  x * Vành R gọi vành tuần hoàn yếu x  R \ ( J  Z ) , x viết dạng tổng phần tử lũy linh phần tử potent R x  a  b , với a m  0, b n  b ) Định lý 3.3.10: Cho R vành subBoolean, lũy đẳng tâm, J giao hoán, nửa R có tính chất tuần hồn yếu R giao hoán Chứng minh: Nếu phần tử potent theo định nghĩa vành tuần hồn yếu R  N  J  Z  J  Z (vì N  J bổ đề 3.3.3) R giao hốn, J , Z giao hốn Bây ta giả định R có phần tử potent khác khơng Gọi a phần tử potent có số k >1 để a  a , e  a k k 1 phần tử lũy đẳng khác không, theo giả thiết e nằm tâm, eR vành có đơn vị, nửa eR vành subBoolean có J (eR )  eJ ( R ) phần tử lũy đẳng eR nằm tâm eJ ( R ) giao hốn theo Định lý 3.3.6 eR vành giao hoán Ta lấy phần tử y  R e[a, y]  [ea, ey]  0, e  ak 1  Z , ak  a ta có:  e [a, y]  ak 1[a, y]  ak y  ak 1 ya  ak y  yak 1a  ak y  yak  ay  ya y  R, a phần tử potent Như phần potent R nằm tâm Bây chứng minh định lý, cho x, y  R \ ( J  Z ) x  a  b, y  a ' b ', a, a '  N  J ; b, b ' potent Khi ta có: [ x, y ]  [a  b, a ' b ']  [a, a ']  J giao hoán; b, b ' nằm tâm Tương tự ta có [ x, y ]  x  J  Z y  J  Z Vì chứng minh hoàn thành Định lý 3.3.11: Cho R vành subBoolean có đơn vị, lũy đẳng tâm idean giao hốn tử nil Chứng minh: Trước hết ta cần chứng minh J  N  Z Giả sử J  N  Z có phần tử j  J , j  N, j  Z 1 j  J , 1 j  N, 1 j  Z Ta xet hai trường hợp sau: Trường hợp 1: nghĩa vành 2 j  Z  j  J ,1  j  N ,  j  Z theo định subBoolean ta có: (1  j )2 (1  j )  (1  j )(1  j )2  N j (1  j )  N ,  j phần tử khả nghịch giao hoán với j j  N điều mâu thuẫn Trường hợp 2: j  Z trường hợp với lý luận tương tự ta có  j  j  (Z  N  J ),  j  (Z  N  J ) theo định nghĩa ta có: (1  j ) (1  j  j )  (1  j )(1  j  j )  N với điều ta có j (1  j  j )(1  j )  N (1  j  j ), (1  j ) phần tử khả nghịch R giao hốn với j cho phép j  N j  N điều mâu thuẫn Trong hai trường hợp điều mâu thuẫn J  N Z Kế tiếp, cần chứng minh N idean R Theo bổ đề 3.3.3 N  J với J  N  Z N  J  N  Z * Bây giả sử a  N , b  N a  J , b  J a  b  J  N  Z từ suy a  b  N a  b  Z , a  b  Z a  b  N ta có: (a  b) n  (a(a  b)  b(a  b))(a  b)n2  (a(a  b)  (a  b)b)(a  b)n2  (a2  2ab  b2 )(a  b)n2  (a2 (a  b)  2a(a  b)b  b2 (a  b))(a  b)n3  ( a  3a 2b  3ab  b3 )(a  b) n3 =…………………=…… n   Cnk a nk b k  chọn n  i  j với a i  0, b j  k 0 * a  N , x  R suy a  J  N  Z , J idean nên ax  J  N  Z điều dẫn tới ax  N ax  Z , ax  Z ( ax)  a x ,  k  k k k ax  N a  N Như N idean R Ta có N  J  N  Z từ suy N  J  Z  N  Z theo định nghĩa vành subboolean ta có: x2 y  xy2  N, x, y  R \ (N  J  Z)  R \ (N  Z) N idean R nên ta có: x y  xy  , với x, y không nằm tâm x, y  R / N ( N idean R ) Ta gia sử x  R / N , x không nằm tâm,  x  R / N khơng nằm tâm, x (1  x )  x (1  x )  suy x(1  x)  dẫn tới x (1  x)(1  x )  từ suy x  x với x khơng nằm tâm Như phần tử nằm R / N nằm tâm potent Như theo bổ đề 3.3.1 ta có R / N giao hốn, xy  yx  N , nói cách khác idean giao hốn tử nil ĐPCM KẾT LUẬN Trong luận văn này, trình bày số kết sau:  Định lý giao hoán Wedderburn vành chia hữu hạn  Định lý giao hoán Jacobson, Jacobson mở rộng định lý Wedderburn (trên vành chia hữu hạn ) vành với điều kiện giao n hoán  x  R, thỏa: x = x  Herstein phát triển định lý Jacobson cho vành với điều kiện giao hoán x, y  R : ( xy  yx)n ( x , y )  xy  yx , với điều kiện lớp vành ứng dụng rộng nhiều, nửa Herstein phát triển thêm nhiều điều kiện giao hoán vành, tạo bước phát triển sau với điều kiện ngày tổng quát  Một số ví dụ tương ứng với định lý Jacobson  Phát triển định lý giao hoán Herstein giao hoán tử cấp đến giao hoán tử cấp n  Phát triển định lý giao hoán vành subBoolean  Việc nghiên cứu điều kiện giao hốn vành nhiều vấn đề mở rộng, nghiên cứu vành có chứa phần tử potent, vành xét giao hốn tử cộng (nhân), có lũy đẳng tâm Trong luận văn có tham khảo sách Commutative Algebra Macdonald ( University of Oxford ), Noncommutative Herstein (University of Chicago ), tài liệu thầy Bùi Tường Trí cung cấp, luận văn thạc sĩ Đinh Quốc Huy, báo International Journal of Algebra vol 1-2007 AdilYaqub Tuy nhiên luận văn nhiều hạn chế thời gian kiến thức có hạn Kính mong q thầy có bạn đồng nghiệp hướng dẫn, đóng góp TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Đinh Quốc Huy (2001), Một hướng tiếp tục mở rộng định lý Jacobson, Luận văn thạc sĩ toán học, Tr Đại Học Sư Phạm, Tp Hồ Chí Minh Mỵ Vinh Quang (1998), Đại số đại cương, NXB giáo dục Mỵ Vinh Quang (1998), Bài tập đại số đại cương, NXB giáo dục Hoàng Xuân Sính (2000), Đại số đại cương, NXB giáo dục Tiếng Anh Adil Yaqup (2007), A Generalization of Booleans Rings, International Journal of Algebra, vol 1.2007, no 8, 353-362 I.N.Herstein (1968), Noncommutative Rings, The Math Association of America L.G Macdonald (1969), Intrduction to Commutative Algebra, University of Oxford T.Y.Lam (11-1996), A first course in Noncommutative Rings, Berkeley California Robin Chapman (22-6-1999), Proving commutativity in rings from x n =x , Newgroups: sci.math ... điều kiện giao hoán vành tìm thấy Việc nghiên cứu tìm điều kiện cho vành giao hoán đường mở rộng Chính lẽ mà đề tài luận văn chọn “ Một vài hướng phát triển định lý giao hoán “ Luận văn gồm có... vành điều kiện để có lớp vành giao hoán 2.1: Định lý Wedderburn vành chia hữu hạn định lý giao hoán Định lý Wedderburn mơ tả tính giao hốn lớp vành chia hữu hạn, định lý vẽ đẹp mà đóng vai trò quan... rộng định lý giao hoán vành chia hữu hạn Wedderburn tới lớp vành rộng với điều kiện khác Ở chương xét điều kiện vành giao hoán, với Định lý Wedderburn vành chia hữu hạn, Định lý Jacobson, Định lý