Một vài hướng phát triển của các định lý giao hoán

E(M) D Dk F(G) J(R) J DANH Mưc •• CÁC KÝ HIÊU Vành tự đồng cấu nhóm cộng giao hoán củaM Vành chia J(R) = (0ị M G N Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TAO Vành ma trậnTRƯỜNG nX n với phần tử thuộc D TP Hồ CHÍ ĐẬI HỌC SƯ PHẠM MINH đại số nhóm G trường F Căn Jacobson (G) R m T R vành Nhóm cộng nhân Giang Dậu Bạc nửa đơn Tập phần tử lũy linh a [x;y] [Xị;x2; ;x„ ] x~yy Cấp Vành củaMỘT VÀI HƯỚNG nhóm G PHÁT TRIỂN CỦA CÁC ĐỊNH LÝ GIAO HOÁN Tổng trực tiếp (con) vành Rị Tự đồng cấu nhóm M : Ta (m) = ma THUẢTNGỮ • TRAN G Ẩ(M) tập linh hóa M R C(M) vành giao hoán tử R M Giao hoán tử cộng nhân M R- mođun trung thành M R- mođun Bất khả quy Phần tử lũy linh a R Chuyên ngành : Đại số lý thuyết số 33-52 Mã số: 60 46 05 8 LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC 11 Phần tử tựa quy a R Phần tử lũy đẳng Phần tử potent R vànhArtin R vành đơn R vành nửa nguyên thũy (đơn) R vành nguyên thũy R vành nguyên tố, nửa nguyên tố 10 14 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA 68 HỌC: 13 TƯỜNG TRÍ PGS-TS: BÙI 16 12 Thành phổ Hồ Chí Minh - 2009 16 19-22 R tích trực tiếp (tích trực tiếp con) 21 R vành trực tiếp 22 R vành tuần hoàn yếu Trường K mở rộng đại sô trường F 68 38 Trường K mở rộng tách trường F 38 LỜI MỞ ĐÀU Trong thời gian học tập nghiên cứu lóp cao học khóa 17 trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh ngành toán chuyên ngành đại số lý thuyết số, học viên có học tập nghiên cứu số chuyên ngành có chuyên ngành vành giao hoán vành không giao hoán Trong hai chuông đầu chuyên đề vành không giao hoán nói lên cấu trúc vành , radican vành, phần tử lũy đẳng, lũy linh vành w Trên sở khái niệm, tính chất với số định lý hai chương đầu với việc thầy hướng dẫn làm luận văn tốt nghiệp PGS-TS Bùi Tường Trí hướng dẫn cho tham khảo tìm hiểu vấn đề định lý giao hoán vành Trong trình học tập nghiên cứu thấy tính chất giao hoán quan trọng, khảo sát vành mà tính chất giao hoán trình làm việc gặp nhiều trở ngại, tìm hiểu Luận văn gôm có chương: Chương I: Chúng trình bày kiến thức gồm khái niệm, định nghĩa, tính chất mođun, vành, Jacobson, cấu trúc vành w Chương II: Chúng trình bày định lý giao hoán bao gồm định lý, có định lý quan trọng định lý WEDDERBURN vành chia hữu hạn, định lý giao hoán JACOBSON, HERSTEIN Mỗi định lý nhà toán học mở rộng lóp vành với điều kiện vành trở nên giao hoán Chương III: Chương cố gắng đưa vài ví dụ cụ thể trình bày thêm hướng phát triển định lý giao hoán vành subboolean Chương CÁC KIẾN THỨC Cơ BẢN Các vành xét luận văn không giao hoán đơn vị Chương trình bày định nghĩa, tính chất vành mođun, Radican với tính chất radican đặc biệt phân tích vành thành tích trực tiếp vành con, ứng dụng định lý giao hoán chương 2, chương 1.1 Các định nghĩa, tính chất vành mođun Định nghĩa 1.1.1: R vành R với phép cộng nhóm Aben, với phép nhân có tính chất kết họp, phân phối hai phía phép cộng Các idean xét luận văn idean phải, idean hai phía viết gọn idean Các khái niệm vành con, vành thương, vành thương, đồng cấu, đẳng cấu, định lý đẳng cấu xem thông thường Định nghĩa 1.1.3: M làR - mođun tập A(M) = [r E R / Mr = 0] gọi tập linh hóa M R Định nghĩa 1.1.4: M gọi àR- mođun trung thành Mr = (0) kéo theo r = Như vậyM1 ầR- mođun trung thành khiẢ(M) = {0} Mệnh đề 1.1.5: Ả(M)là idean hai phía củaR, nửa M làR/ẠM) - mođun trung thành Mệnh đề 1.1.6: R / A(M) đẳng cấu với vành vànhis(M) Đặc biệt Mlàiỉ-mođun trung thành thì/4(M)={0} R xem vành vành is(M) Bây ta xét xem phần tử E(M) mà giao hoán với tất Ta Định nghĩa 1.1.7: Vành giao hoán tử củai^ M C(Af) = ịụ/ eE(M)/ y/Ta =Tay/,\/a eRị Mệnh đề 1.1.9: (Bổ đề Schur) Neu M R - modun bất khả quy C(M) vành chia Ngoài M R -mođun bất khả quy M có tính chất đặc biệt sau Mệnh đề 1.1.10: Neu M R- mođun bất khả quy M vàR/ p đẳng cấu với nhu R - mođun, p idean phải tối đại củaiỉ Hơn nửa có phần 1.2 Radỉcan vành Một điều tuyệt đẹp lý thuyết cấu trúc vành vành mà có radican 0, vành có cấu trúc tích trực tiếp vành nguyên thũy mà có ảnh hưởng lớn trình chứng minh tính giao hoán luận văn này, nửa giao hoán vành tích trực tiếp trường Định nghĩa 1.2.1: Radican củaiỉ , ký hiệu J(R), tập tất phần tử củaiỉ mà linh hóa R -modun bất khả quy Neu^ modun bất khả quy ta đặt Định nghĩa 1.2.2: Chop idean phải củaiỉ ta cổ:(p:R)=ịxeR/Rxczp } Khi p idean phải tối đại quy củaiỉ (p:R)=Ẩ(M) Mệnh đề 1.2.3: J(R) = n(p : R) với p chạy khắp idean phải tối đại quy R Ngoài kết có kết đẹp Mệnh đề 1.2.4: J(R) = np với p chạy khắp idean phải tối đại quy R Chúng ta thấy với định nghĩa mệnh đề radican có đặc tính đẹp, phần tử nằm rađican Chúng ta quan sát phần tử nằm rađican qua định nghĩa mệnh đề sau: Định nghĩa 1.2.5: * a e R đuợc gọi tựa quy phải tồn phần tử a' e R cho a+a'+a.a'=0 ứ’ gọi tựa khả nghịch phải a (tương tự định nghĩa tựa khả nghịch trái) * Hơn nửa R có đơn vị a tựa quy phải Mệnh đề 1.2.6: J(R) idean phải tựa quy phải củaiỉ chứa tất idean phải tựa quy phải R hem nửa idean phải tựa quy phải lớn R Định nghĩa 1.2.7: Phần tử a e R gọi lũy linh am = 0, với m số tự nhiên a idean nil phải (trái, hai phía) phần a lũy linh a idean lũy linh phải (trái, hai phía) có số m cho 01 «2 nm =0, với ax,a2, .,am Ga Cho 7, J idean phải (trái, hai phía) R IJ nhóm phép cộng củaiỉ sinh tất tích ab, a el,b eJ IJ idean phải (trái, hai phía) cixdiR Định nghĩa theo quy nạp có In Từ a idean lũy linh phải (trái, hai phía) a "= 0, với n Giả sử ta có an= 0, ta có b = -a + a2 -a3 + + (-1 )n~lan~x, ta có a + b + ab = 0, phần tử lũy linh R có tính chất tựa quy phải Vì lẻ ta có idean nil phải R tựa quy Chứng minh: Đặt p idean phải tối đại quy Ả, A xem vành Khi p tự nhiên không gian vectơ A F, không Fp y 01 00 Do xy-xy2 = x^0 Điều mâu thuẫn Chứng minh: ứ X e ( N u J u Z ) (ax)2 E (N u J Z) ÚX tựa quy phải (*) Theo bổ đề 3.3.3 ta có N c J R vành subBoolean nên ta có: x2y-xy2 =0, V X, y Bây e R / J(R), x,yax[...]... d là giao hoán tử nên dl = d, với /> 1 và dcd 1 = c 1 vì thế tồn tại nhóm con nhân G hữu hạn sinh bởi c,d suy ra G là 2.2: Mở rộng các Định lý vê giao hoán của Jacolson, Herstein Bây giờ chúng ta sẽ mở rộng các kết quả của các định lý về giao hoán ở mục 2.1 trong một hướng khác, trong đó có định lý về giao hoán của Herstein dưới đây được xét trên lớp vành không có idean nil khác không, (định lý này... có Ac\B = (0) vì X e A n B thì Chương 2 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIAO HOÁN Sau khi đã có các cơ sở về căn Jacobson, các định nghĩa và tính chất về vành nửa nguyên thũy, nguyên thũy, nửa nguyên tố, nguyên tố .w cùng với sự phân tích cấu trúc của một vành Chúng ta chuyển sang chương 2 với các định lý về giao hoán, các bước chứng minh của các định lý này trên cơ sở cấu trúc của vành đi từ vành chia đến vành nguyên... phương pháp này 2.1: Định lý Wedderburn trên vành chia hữu hạn và các định lý về giao hoán Định lý Wedderburn đã mô tả được tính giao hoán của lóp vành chia hữu hạn, định lý ngoài vẽ đẹp của nó mà nó còn đóng vai trò quan trọng trong nhiều phần khởi đầu của đại số trong lý thuyết vành cũng như lý thuyết cấu trúc Bổ đề 2.1.1: Cho D là vành chia có đặc số p ^ 0 và z là tâm Giả sử có một phần tử a e D,... sự tổng quát hóa của định lý về giao hoán của Jacobson Sau đây là một vài định nghĩa và các tính chất bổ sung trong lý thuyết mở rộng trường Định nghĩa 2.2.1: Cho K, F là các trường, trong đó K là trường mở rộng đại số của trường F, phần tử a e K gọi là tách được trên F, nếu có một đa thức tối tiểu của nó trên trường F không có nghiệm bội Trong lý thuyết trường chúng ta có mệnh đề: “ Một đa thức p(x)... là một vành chia hữu hạn vì vậy theo định lý trẽn ta có A là giao hoán (trường), bởi G u = 0] Trong ví dụ trên cho chúng ta một vành R các giao hoán tử xy — yx với điều kiện (xy-yxý =xy—yx thì R giao hoán, ứng với n=3 Vậy trong trường hợp tổng quát thì điều đó có còn đúng hay không, trong trường hợp này thì định lý Herstein -1 giải quyết với n(x,y), n linh hoạt hơn ứng với giao hoán tử xy — yx, Vx, y 6 R thỏa điều kiện (xy - yxỴ = (xy - yx) Định lý 2.1.6: (Herstein -1) R là vành bất... >1 để mà (xy - yx)n{x,y) =(xy- yx) thì R là giao hoán = 0 0 0 > y 0 0 0 Chứng hơn nửaminh: các vành con của Ra và ảnh đồng cấu của nó cũng có các điều kiện trên, Giả sửD không giao hoán vì vậy có a,b e D để c = ab - ba ^ 0 theo giả nên để chứng minh định lý ta chỉ cần chứng minh Ra và nhu vậy ta có thể xem thuyết ta có cm = c , với m> 1, nếu 0 eZ, Zlà tâm của ) thì Ắc = = (Ảa)b - b(Ảa) vì vậy theo... ... điều kiện giao hoán vành với giao hoán tử nhân, giao hoán tử cộng Một vành với điều 3.2 Định lý Herstein với giao hoán tử cấp n Nhận xét: Chúng ta có định lý giao hoán Herstein -1 với giao hoán tử... Chương II: Chúng trình bày định lý giao hoán bao gồm định lý, có định lý quan trọng định lý WEDDERBURN vành chia hữu hạn, định lý giao hoán JACOBSON, HERSTEIN Mỗi định lý nhà toán học mở rộng lóp... 2.2: Mở rộng Định lý vê giao hoán Jacolson, Herstein Bây mở rộng kết định lý giao hoán mục 2.1 hướng khác, có định lý giao hoán Herstein xét lớp vành idean nil khác không, (định lý vành nửa nguyên