Nhận xét: Chúng ta có định lý về giao hoán của Herstein -1 với các giao hoán tử cấp 2 cùng với ví dụ 3.1.1 Cho phép ta xem xét việc có thể mở rộng
định lý
về giao hoán của Herstein -1 với các giao hoán tử cấp n trên lóp vành R không có
idean nil khác không ?. Sau đây chúng ta xem xét tính chất của giao hoán tử cấp n
như thế nào.
Mệnh đề 3.2.1:
Cho R là vành không có idean nil khác không, có mọi giao hoán tử
Chứng minh:
Do R là vành không có idean nil khác không nên R là tích trực tiếp con của
các vành Ra nguyên tố, R thỏa tính chất mọi giao hoán tử cấp n thuộc tâm thì
mọi giao hoán tử cấp n-1 cũng thuộc tâm, cho nênjRơ lả ảnh đồng cấu củaiỉ cũng
có tính chất nhu thế. Cho nên chúng ta chỉ cần chứng minh trên Ra là vành nguyên
tố. Hơn nửa bất kỳ vành con củaRa và ảnh đồng cấu của nó cũng thừa hưởng tính
chất nhu thế. Vì vậy để cho tiện chúng ta có thể xem R là vành nguyên tố.
\/xl,xĩ,...jcll+Ị eR, [x, , x2,... .Xn+Ị ] =0 với n > 1, ta cần chứng minh:
[x,,x2,..,x J = 0, với n> 1.
Giả sử với mọi \/xì,x2,....xn+ỉ e R, ta luôn có [xỉ,x2,....xn+ỉ]= 0,
[xì,x2,....xn+ỉ] = [[xỉ,x2,....xn],xn+l]=0 vì vậy ta có [x1?x2,....xj e z,
như vậy
mọi giao hoán tử cấp n trong R đều nằm trong tâm củai? và nếu có Vx1,x2,....x/J e R, sao cho a = [Xj,x2,....xJ ^ 0 và ta đặt b = [x1,x2,....x/í_1] khi
Hơn nửaV X ,,x 2 eR, khi đó ta bổ sung x3,x4,....xw+1 6 R thì ta có giao hoán tử [xl5x2....x„+1] theo giả thiết [xl5x2....x„+1] = 0 thì theo chứng minh trẽn
luôn dẫn đến [Xj , X25 ....Xn ] = 0 và tiếp tục như thế ta có [Xj, x2 ] = 0 nói
cách khác
R là giao hoán.
Nói cách khác choi^ là vành không có idean nil khác không thì mọi giao hoán tử cấp n thuộc tâm z của R thì mọi hoán tử cấp n -1 cũng thuộc tâm z của R. Hơn nửa R là giao hoán.
Với định lý về giao hoán của Herstein -1 với các giao hoán tử cấp 2, sau đây
Mệnh đề 3.2.2:
'NeuRlầ một vành không chứa nil ideal khác không sao cho:
Vx1,x2,....x/J e R, thì tồn tại một số nguyên m > \ (m phụ thuộc x1,x2,....xn) thỏa: [Xị, x2,... .xn ] m— [Xj, x2,... .xn ] (1), khi đó R là một vành giao hoán.
Bây giờ ta cần có hai bổ đề sau:
Bổ đề 3.2.3:
Nếu R là một vành chia thỏa: [Xị ,x2,....xjm=[xl,x2,....xj (1) thi ta CÓ: [x1,x2,....x/í] = 0 ( 2 ) v ớ i m ọ i x1,x2,....x„ eR.
1 0 0 ,
*2= x3 = 0 0 0
0 0 0 0 0 0
Chứng minh:
Giả sử tồn tại xỉ,x2,....xn 6 R, sao cho a = [xl,x2,....xn]^ 0 khi đó theo
giả thiết, tồn tại m > 1 để a m = a . Gọi z là tâm của R thì V/t e z ta có
Ảa = Ă [ X Ị , x2,... .xn ] = [ Ă X ị , x2,... .xn ] cũng là một giao hoán tử cấp n
trong R nên
3 k >1 để cho (Ẳa)k = Ầa Nếu đặt q = (m- \){k -1) +1 thì ta suy ra aq = a và
(ÃaỴ = Ã a . Từ đó ta được : Ằa = (Ảa)q = Ầqaq = Ăqa => (Ằq - Ẳ)a = 0
Vì R là
một vành chia và a ^ 0 nên ta đuợc Ảq — Ả =0 với mọi Ả e R.
Vậy, với 2 e z thì 3q> 1 để 2q = 2 nên truờng z (hoặc vành chia R) có đặc số p ^ 0. Gọi p là trường nguyên tố của z.
Ta có thể chọn 6 R sao cho a = [x1?x2,... jcn ] Ể z vì nếu
không thì mọi giao hoán tử cấp 72 trong R đều thuộc z, khi đó xét
a = [xỉ,x2,....xn]^ 0 và nếu đặt b = [Xị,x2,] thì:
- (bxn)b = b(bxn - xn b) = Với [ồ, Z>xJ =
[Xj,x2,....xn_ị,] và [b,xn] = a đều là hoán tử cấp n trongR đều thuộc z. Do
đỏ[b,bx] = b a e Z và a ^ 0 nên ta được b e z (vì R là vành chia). Từ đó suy ra [ b, xn ] = a =0, mâu thuẫn với giả thiết a ^ 0
ca - (ax - xa)a - a(xa) - (xa)a = a(ầx) - (cix)a - ci (ax - xa) - ác nên
ta suy ra
cac~x = al ^ a^> ca =£ ac.
Mặt khác ta còn có a =[xỉ,x2,....xn] và c = [a,x\ = [xỉ9x29...JCn,x] = [[Xị, x2 ], x2 X ,x] đều là giao hoán tử cấp n trong R nên có cấp hữu hạn
trong * ,
nhóm nhâni? củai? .Với các điêu kiện trên thì nhóm con sinh bởi a và c trong * ' ’ '
R cũng có câp hữu hạn nẽn theo bô đê (2.1.3) là nhóm Abel, mâu thuân với tính chất ca ^ ac. Bổ đề đã được chứng minh.
Bổ đề 3.2.4:
Nếu R là vành tùy ý thỏa: [xỉ,x2,...xn]m=[xỊ,x2,...xn] (1) thì ta có: [Xj,x2,....xj = 0 (2) với mọi Xị,x2,...JCn eR.
Chửng minh:
Khi đó: [xỊ,x2,....xn] = Xị *0 và [xl,x2,....xnf =0 nên không thỏa điều
điều kiện (2) cũng được bảo toàn qua phép lấy tổng, phép lấy vành con và ảnh đồng
cấu, vì vậy R cũng thỏa điều kiện (2).
Bây giờ nếu R là vành tùy ý thì R/J(R) là vành nửa nguyên thũy, và vìR / J(R) cũng thỏa điều kiện (2) hay ta có [x1, x2, ....xn ] = 0.
Trong R / J(R) điều này ta dẫn đến [x1, x2, ....xn ] e J(R), mặt khác ta có:
[xlix2i...JCn]m=[xỉix2i...JCn]f với n nào đó vì vậy: [xl5x2,....xj = 0. vậy
R là
vành tùy ý thỏa điều kiện (1) thì ta có: [xỉ,x2,....xn] = 0 với mọi xl,x2,....xn 6 R.
Bây giờ ta chứng minh mệnh đề dựa vào các bổ đề trên và do R không chứa
idean nil khác không nên R là tích trực tiếp con các vành nguyên tố R do đó nếu ta chứng minh được Ra là giao hoán thì lập tức R giao hoán.