Ta thấy vành Boolean thỏa đồng nhất thức: X =x thì nó cũng thỏa
x2y-xy2 =0, bây giờ chúng ta xét những vầnhR có tính chất x2y-xy2 là lũy linh,
Vx, y e R thì với điều kiện nào thì R giao hoán.
Định nghĩa 3.3.1:
N là tập các phần tử lũy linh, J(R) là căn Jacobson, z là tâm của R.
R là vành subBoolean nếu x2y-xy2 e N, \/x,y eR\(N'UJ'<jZ) (1). Ta thấy lóp vành subBoolean nó hoàn toàn rộng, nó chứa thật sự lóp các vành Boolean (Vì lóp vành Boolean cũng thỏa điều kiện của định nghĩa).
Ví dụ: Cho
R =
JTo 0
1 1
0 0 khi ẩóR là vành subBoolean
vầR không giao hoán. Với các phần tử trong các ma trận trên là nằm trong trường
Với ví dụ đuợc nêu ta thấy lóp vành subBoolean có chứa lóp vành giao hoán
( nó chứa lóp vành Boolean), có chứa lóp vành không giao hoán, vì vậy trong phần
sau chúng tôi mong muốn trình bày các điều kiện để tìm kiếm trong lóp vành
Bổ để.3.3.2:
Cho R là vành sao cho mỗi phần tử I e R , X hơặc nằm trong tâm hoặc có số n nguyên dương lớn hơn 1 : = JC thì giao hoán. ( bổ đề này chính là định
v- -V- -' v---V---'
Bổ để.3.3.3:
Neu R là vành subBoolean với phần tô lũy đẳng tâm thì tập N các phần tử
lũy linh được chứa trong căn Jacobson của R.
(Phần tử lũy đẳng tâm của R là phần tử lũy đẳng và nằm trong tâm, vành với phần tử lũy đẳng tâm có thể nói ngắn gọn là vành lũy đẳng tâm).
Chửng minh:
Giả sử a e N và X G R . Xét trường hợp ax e (N u J u Z) :
Neu ax e N thì ax là phần tử tựa chính quy phải, nếu ax e J thì ax là tựa chính quy phải, ax eZ thì : (ax)m = amxm với mọi số m và do a G N nên có n nào đó để an = 0 vì vậy ax e N suy ra ax là tựa chính quy phải.
Ta xét thêm trường hợp (axỷ e ( ] Vu / u Z ) : nếu (ax)2 N thì ax là tựa chính quy phải, (axỷ 6j=> -(axỷ E J thì (axỷ, - {axỷ là tựa chính quy phải
vầax cũng thế (—(ax)2là tựa chính quy phải có b để -(axý + b-(ơx)2ỉ> =0 chọn
b' = -ax+b + axj? khi đó ax + b'+ ax.b' = 0).
Cuối cùng nếu (ax)2 G z thì: (ax)2k = (axÝ...(ax)2
k =a (axỷ...(axỷ xaxk-1
= a2'- --V-- ' (ax)2...(axk-2 )2 (xaxÝ (tiếp tục chuyển a ra trước ta có)
_ k,
— ũ t
X 0 0 0 > y 0 1 0 . Do xy-xy2 = x^0. Điều mâu thuẫn
0 0 0 0 0 1
ứ X e ( N u J u Z ) hoặc (ax)2 E (N u J Z) thì ÚX là tựa chính quy phải. (*)
Bây giờ giả sử ax <£ (N u J u Z) và (ứx)2 Ể ( i Vu / u Z ) thì bởi (1) ta có ((ÚX)2)2(ÚX) - (ứx)2(úx)2 E V hay ((ax)2 - (úx))(ứx)3 E V suy ra:
{((ax)2 - (ax))(axý}k = 0 khai triển chúng ta thu đuợc:
(ax)k = (ax)k+ì g(ax) với g(y) là đa thức với các hệ số nguyên khi đó ta có:
(ax)k = (ax)k (ax).g(ax) = (ax)k+2 g2(ax) tiếp tục nhu thế ta có: (ax) =(ax) g ( a x )
Ta đặt ổ = (axỷ gk (ax) thì ế2 =e và (ứx)Ả = (ứx)Ả e với mọi a <E N.
(2)
vì phần tử lũy đẳng là nằm trong tâm nên: e = e.e = e(ax)k gk (ax) = eat =
aet
thế thì: e — aet — a et2 =.... = ametm =0 với m nào đó để am = 0 vì a e N, như vậy theo (2) thì ax <E N vì thế ax là tựa chính quy phải, như vậy ta có:
ax §Ể (N u / u Z ) và (ax)2 £ (A/- u y uZ) thì ứX là tựa chính quy phải (**) Từ (*) và (**) ta suy ra ứxlà tựa chính quy phải X E R vì vậy a e J. Vậy bổ đề đã chứng minh xong.
(a là tựa chính quy phải, ax là tựa chính quy phải V X E R ta gọi B là idean tựa chính quy phải chứa a của R, mà J(R) là idean phải tựa chính quy Chứng minh:
Theo bổ đề 3.3.3 ta có N c J và vì R là vành subBoolean nên ta có: x2y-xy2 =0, V X, y e R / J(R), x,y <£ z (1). Vì vành R /J(R) là vành nửa nguyên thũy nên
R/J(R) là tích trực tiếp các vành nguyên thũy Ra và mỗi Ra cũng thỏa điều kiện (1) nên chúng ta có: x2y - xy2 =0, V X, y e Ra vầx,y không nằm trong tâm. Nhu
vậy ta chỉ cần chứng minh Ra là giao hoán thì R /J(R) là giao hoán .
Nếu R là vành chia và R không giao hoán. Ta gọi xa là phần tử không nằm trong tâm của Ra nên ta có: xị (xa +\)-xa (xa + l)2 = 0 suy ra xa = 0 hoặc
xa = -l suy ra xa e z, điều mâu thuẫn này đã chứng minh cho Ra là giao hoán. Neu Ra là vành nguyên thũy và Ra không là vành chia khi đó tồn tại D là vành chia và số nguyên k>l để mà Dk là ảnh đồng cấu của vành con của vành
đã chứng minh là Ra vành chia vì vậy Ra là giao hoán. (ĐPCM)
Định lý 3.3.5:
R là subBoolean với phần tử lũy đẳng tâm và JcZ thì R là vành giao
Chứng minh:
Bởi bổ đề 3.3.3 ta có N d J d z kết hợp với R là vành subBoolean ta có:
x2ỵ-xy2 e N, Vx, y e R \ z, giả sử X Ể z ta đặt y = —X khi đó ta có: 2X3 eiV
và
vì vậy 2xeNdZ, như vậy 2xeZ, Vxei? và theo Định lý 3.3.4 thì R / ./(/?) là giao hoán nên [ x , y ] 6 . / c Z , Vx, y e R.
Mặt khác [x2, y] = x[x, y]+[x, y]x = 2x[x, y] = x[2x, y] = 0 =5- X2 eZ. Bây giờ ta chứng minh mệnh đề 3.3.5: X + X2 Ể z
Giả sử 7? không giao hoán thế thì có phần tử X <£ z ■=> x + X2 <£
z (vì nếu
X + X2 E z thì do X2 e z suy ra X e z.) theo định nghĩa vành subBoolean ta có: x2(x+x2)-x(x+x2)2 eN điều này dẫn đến: X3(X+X2)GA^ VÌ vậy có đa thức
g(t)
với các hệ số nguyên để mà:
(x+x2)4 =(x+x2)3(x+x2) =x3g(xXx+x2) =x3(x+x2)g(x) nhận xét vế phải của
đẳng thức trên là tổng của những phần tử lũy linh, giao hoán được với nhau vì vậy:
x + x 2 e i V c Z điều này mâu thuẫn với X + X2 Ể z. Vì vậy R là giao hoán.
nhận xét: 1+j ỆLJKJZÌ (VÌ 1 +j là khả nghịch nên không thuộc J, nếu l+ỹeZ thì
j ez) lại có ỷ eJ nên 1+7+f <£jyjZ , (vì 1+7 + ý2 e/uZ=>l+7 E./uZ ).
Nhu vậy ta có: (1 + 7 + 7'2)2(1 + 7) - (1 + 7 + 7'2)(1 + ý)2 e N khai
triển biểu
thức ta có 72 (1 + 7 + j2 )(1 + 7) E 7V, suy ra có số m nào đó để (ý2(1 + 7 + y'2)(l + y'))7" = 0 và vì (1 + 7 + y'2), (1 + 7) là khả nghịch trongR
vì chúng
giao hoán với 7 dẫn tới j & N điều này trái giả thiết j £ N vậy J CỊ N z. Chúng ta có:
x2j-xy2 E7V, \/x,yeR\NuZ. Bây giờ ta giả sử có: X Ể Ì V, 1 + X & N , và
X Ể z vì vậy 1 + x Ể z theo trên ta có: x2(l + x)-x(l + x)2 E N khai triển ta có
x(ì+x)eN, mặt khác ta có: X e N <^J thì 1 + x khả nghịch từ đó ta suy ra x(l + x) G N, 1 + X G N J thì X khả nghịch từ đó suy ra x(l+x) G N, vì vậy: X + X2 = x(l + x) G N, Vx G R \z, vì XỂZ nên-x&z nên x-x2 eN (a).
Nhu chúng ta biết mọi vành R đều là đẳng cấu với tích trực tiếp con các vành bất khả quy Ra . Ta đặt ơ: R -> Ra là đồng cấu tự nhiên từR vào Ra và đặt. cr(x) = xa
Ta cần chứng minh rằng tập Na các phần tử lũy linh của Rơ là đuợc chứa
Trọng tâm kế tiếp của chúng ta là chứng minh mọi phần tử trong Ra
hoặc là
lũy linh hoặc là khả nghịch hoặc là trọng tâm. Để chứng minh ta xét xa e Ra \
Za
và giả sử cr(x) = xa, X e R, thế thì X Ể z và vì vậy X — X2 e N từ đó suy ra
xk = x^+1ơ(x), g(x) là đa thức với các hệ số nguyên và cũng nhu trước đây ta
có:
e = xkgk(x) là phần tử lũy đẳng và vì vậy e2 = e, xk = xk e và e = e.xk gk (x) ea2 = ea’ xa = xầ ea™ ea =ea-xầ gk (xa) =W“W«)
Theo giả thiết các phần tử lũy đẳng của R nằm trong tâm nẽn e = ơ{e) cũng là phần tử lũy đẳng tâm trong vành bất khả quy trực tiếp con Ra nên ea = 0
hoặc ea =1. Nếu ea = 0 thì xa lũy linh, nếu ea =1 thì xa khả nghịch.
Như vậy mọi phần tử trong Ra hoặc là lũy linh hoặc là khả nghịch hoặc là
trong tâm. (b)
Bây giờ, chúng ta cần chứng minh mọi phần tử khả nghịch u e R nằm trong tâm hoặc ua = 1 + aa, với aa e Na. Để chứng minh điều này, ta giả sử phần tử khả nghịch ua e Ra không nằm trong tâm, và giả sử ơ(d) = ua, d 6 R, thì d eR\Z, vì vậy theo (a): d — d2 eN suy ra ua - uư2 e ơ(N) vì vậy
Hệ quả 3.3.7:
NeuR là vành subBoolean với ^={0}, R có đơn vị thìR giao hoán. Chứng minh:
Gọi i9js J và giả sử 0 thế thì vìR là vành subBoolean nên: (l + 02(l+i)-(l+0(l+ý)2 eN = {0}vì vậy (l+0{(l+jXl+ý)-(l+iXl+ý)}(l+ý)=0 đẳng thức này dẫn đến ỉ = j (bởi ỉ +1, j +1 là khả nghịch trong R ) suy ra mâu thuẫn với [i, j]^ 0 , mâu thuẫn này chứng tỏ J là giao hoán và theo Định lý 3.3.6
thì R là giao hoán.
Định lý 3.3.8:
R là vành subBoolean có đơn vị, lũy đẳng tâm và lũy linh tâm thì R giao
hoán.
Chứng minh:
Đầu tiên ta chứng minh tập các phần tử khả nghịch u của R là giao hoán.
Giả sử u không giao hoán, thì có u,v & u, [u,v] * 0 (u, V khả
nghịch
nẽn nó không thuộc N,J) vì vậy u,v không thuộc N J z thế thì theo định nghĩa: U 2 V — uv2 e N , do N d z ( lũy linh tâm) nên N là idean củai? và vì
Định nghĩa 3.3.9:
> r r k
* Phân tà X được gọi là potent nêu có sô k>l, k nguyên : X = X
* Vànhiỉ được gọi là vành tuần hoàn yếu nếu Vxei?\(JuZ), X có thể viết dưới dạng tổng của phần tử lũy linh và phần tử potent củaiỉ đó là x = a + b,
với am = 0,bn=b )
Định lý 3.3.10:
Cho R là vành subBoolean, lũy đẳng tâm, J là giao hoán, hơn nửaiỉ có tính
chất tuần hoàn yếu thì R là giao hoán. Chứng minh:
Neu 0 là phần tử duy nhất potent thì theo định nghĩa của vành tuần hoàn yếu
thì R = N'<JJ'UZ = J'<JZ (vì Nc J bởi bổ đề 3.3.3) vì vậyR là giao hoán, vì
J, z là giao hoán.
Bây giờ ta có thể giả định là R có phần tử potent khác không. Gọi a là phần
tử potent thế thì có số k >1 để a — a, khi đó e = ak~x là phần tử lũy đẳng khác không, theo giả thiết e nằm trong tâm, vì vậy eR là vành có đơn vị, hơn nửa eR là
vành subBoolean có J{eR) = eJ(R) và các phần tử lũy đẳng của eR cũng nằm trong tâm và eJ(R) là giao hoán vì vậy theo Định lý 3.3.6 thì eR là vành giao
[x,y] = [a + b,a'+b'] = [a,ứ'] = Odo</ giao hoán; b, b' nằm trong tâm
Tương tự ta có [x, y] = 0 nếu X e J u z hoặc 6 J u z . Vì vậy chứng minh đã được hoàn thành.
Định lý 3.3.11:
Cho R là vành subBoolean có đơn vị, lũy đẳng tâm thì idean giao hoán tử là
nil.
Chửng minh:
Trước hết ta cần chứng minh J CỊ N z. Giả sử J Ợ: N z thế thì có phần tử j eJ, j &N, j ỂZ khi đó 1+j 1+j &N, 1+j ỂZ.
Ta xet hai trường họp sau:
Trường hơp 1: j2 Ể z thì 1 + ỹ2 Ể J,l + ý <£ N, \ + j2 <£ z vì vậy theo định
nghĩa vành subBoolean ta có: (l + j)2(l + ỹ2)-(l + ỹ)(l + i2)2 tN vì thế /(1- j4)e N, do l-/là phần tử khả nghịch giao hoán với / vì vậy ị e N điều này mâu thuẫn.
Trường hop 2: j2 E z trong trường họp này với lý luận tương tự như trên ta có
ì+j+j2 0 (ZuiVuJ), \+j Ể (ZuiVu J) theo định nghĩa ta có:
* Bây giờ giả sử a E N, b E N thế thì a E J, b E J và vì vậy
a — b E J N z từ đây suy ra a-b E N hoặc a — b E z, nếu nhu a — b & z thì a — b & N thật vậy ta có:
(.a - bỴ = (a(a -b)- b(a - b))(a - bỴ-2 = (a(a -b)-(a- b)b)(a - bỴ-2 . = (a2 — 2ab + b2){a -bỴ~2 = (a2(a-b) -2a(a -b)b + b2(a-b))(a -bỴ~3
= (a3 - 3a2b + 3ab2 + b3 )(a - bỴ-3 =...=...
= C^an~kbk = 0 khi chọn n = i + j với a‘ = 0, bJ = 0. Ẳ=o
* a e N,x e R suy ra aeJ<^N'<JZ, do J là idean nên ax e J Nz.
điều này dẫn tới ax E N hoặc ax e z, nếu ax E z thì (ax)* = akxk, V k > 1 vì vậy ứX 6 iV do ứ 6 N. Như vậy là idean của R.
Ta có N c/ciVuZ từ đây suy ra ÌVu/uZ = ÀfuZvì vậy theo định nghĩa của vành subboolean ta có:
x2y-xy2 EN, \/x,yER\(NuJ^jZ) = R\(N^jZ) vìN là idean của/? . nên ta có:
x2y -xy2 = 0, với mọi X,y không nằm trong tâm và Vx,y E R / N (N là idean
củai?). Ta gia sử rằng X E R / N, X không nằm trong tâm, khi đó \ + X E R /
N
không nằm trong tâm, vì vậy x2(l + x) - x(l + x)2 = 0 suy ra x(l + x) = 0 dẫn tới x(l + x)(l - x) = 0 từ đó suy ra X3 = X với X không nằm trong tâm. Nhu vậy mọi
KẾT LUẬN
Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày được một số kết quả như sau: • Định lý giao hoán của Wedderbum trên vành chia hữu hạn.
• Định lý giao hoán của Jacobson, Jacobson đã mở rộng định lý của Wedderbum (trên vành chia hữu hạn ) trên vành bất kỳ với điều kiện giao hoán là V X e R, thỏa: x = X.
• Herstein đã phát triển định lý của Jacobson cho vành với điều kiện giao hoán là Vx, y 6 R: (xy - yx)n(<x,y) = xy - yx, với điều kiện này thì lóp vành
ứng dụng sẽ rộng hơn nhiều, hơn thế nửa Herstein đã phát triển thêm nhiều
điều kiện giao hoán các vành, tạo ra các bước phát triển sau này với những
điều kiện ngày càng tổng quát hơn.
• Một số ví dụ tương ứng với định lý Jacobson.
• Phát triển định lý giao hoán của Herstein trên giao hoán tử cấp 2 đến giao
hoán tử cấp n.
• Phát triển định lý giao hoán trên vành subBoolean.
• Việc nghiên cứu về điều kiện giao hoán của một vành còn nhiều vấn đề có