Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm cho MARTINGALE

Lời nói đầuCó lẽ một trong những thành tựu to lớn nhất của xác suất hiện đại là lý thuyết thống nhất về giới hạn của tổng các biến ngẫu nhiên độc lậpBNNĐL.. Lý thuyết toán về luật số lớn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

Trần Văn Huyến

LUẬT SỐ LỚN VÀ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM CHO MARTINGALE

TÓM TẮT LUẬN VĂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2012

Lời nói đầu

Có lẽ một trong những thành tựu to lớn nhất của xác suất hiện đại

là lý thuyết thống nhất về giới hạn của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập(BNNĐL) Thực tế là, thống kê toán học thường được xem là bắt nguồn

từ rất sớm với các luật giới hạn của Bernoulli và Moivre Lý thuyết toán

về luật số lớn và luật giới hạn trung tâm cho martingale có thể được xem

là sự mở rộng của lý thuyết độc lập và nó cũng có nguồn gốc từ các kếtquả giới hạn trong trường hợp độc lập, như luật yếu số lớn của Khinchin,của Liapounov và của Lolmogorov, và các định lý giới hạn trung tâm củaBernstein và của Levy

Đặt {Sn, Fn, n ≥ N } là một martingale trung bình không và bìnhphương khả tích và đặt Xn = Sn− Sn−1, n ≥ 2, và X1 = S1 biểu diễn mar-tingale hiệu Levy đưa ra khái niệm phương sai điều kiện cho martingale

Doob đã đưa ra hàm đặc trưng để chứng minh các kết quả của Levy.Billlingsley, và độc lập với Ibragimov, đã thiết lập định lý giới hạn trungtâm cho các martingale với các hiệu được giả thiết dừng và thỏa mãn giảthiết ergodic Các martingale như vậy có phương sai tiệm cận hằng số.Các kết quả mở rộng hơn nữa đã được phát triển và chứng minh bởiRosén, Dvoretzky, Loynes và Bergstr¨om và sau đó là Mcleish , G¨anssler

at al Scott

Trong luận văn này, tác giả đã trình bày một cách chi tiết và có hệthống các kết quả quan trọng của luật số lớn và định lý giới hạn trung tâmmartingale như là một trường hợp mở rộng của tổng các biến ngẫu nhiên

Lời nói đầu

độc lập, và làm sáng tỏ một số kết quả trong chứng minh một số định lýgiới hạn martingale Với những mục đích và ý tưởng như vậy, tác giả đãtrình bày nội dung của đề tài khóa luận làm ba chương

Chương 1 là những kiến thức chuẩn bị của luận văn Trong phần đầucủa chương này, tác giả nhắc lại những khái niệm và kết quả cơ bản vềmartingale, các dạng hội tụ, và một số định lý hội tụ quan trọng của mar-tingale chẳng hạn định lý hội tụ Doob, hàm đặc trưng và mối quan hệ củachúng với hàm phân phối

Chương 2 đây là một trong những nội dung chính của chương Trong

đó nội dung quan trọng nhất của chương xoay quanh hai vấn đề; luật yếu

số lớn và luật mạnh số lớn cho martingale, được tác giả trình bày trongmục 2.3 và 2.4 Bên cạnh đó tác giả còn trình bày chi tiết hai định lý đólà: Định lý bất đẳng thức hàm bình phương, đây là bất đẳng thức rất quantrọng làm cơ sở cho việc đánh giá và nghiên cứu các định lý giới hạn, nhưluật số lớn và luật giới hạn trung tâm, và định lý 2.5.2 dùng để xấp xỉtương đương giữa các phương sai điều kiện và tổng bình phương, mà đó làmột trong những phần lý thuyết chính để nghiên cứu các martingale.Chương 3 đây là phần chính của đề tài này Ở đây tác giả đã trìnhbày những kết quả chính các luật giới hạn trung tâm cho martingale như

sự mở rộng của tổng các đại lượng ngẫu nhiên độc lập, và kết quả dạngRaikov đây là một phát hiện quan trọng trong việc nghiên cứu các mar-tingale thông qua các tổng bình phương các hiệu của chúng

Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, ngườihướng dẫn khoa học của mình, GS.TSKH Đặng Hùng Thắng, người đãđưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn, chỉ bảo trong suốt quá trình nghiêncứu của tác giả Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy côtrong khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đạihọc Quốc gia Hà Nội, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủtục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn này Tác giả cũng gửilời cảm ơn rất nhiều đến bạn bè, đặc biệt là bạn bè trong nhóm Xác suất

và thống kê toán, lớp Cao học 07 - 09, đã động viên giúp đỡ tác giả về tàiliệu tham khảo và kỹ thuật biên soạn Latex

Do thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luận văn khôngthể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo tậntình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành cảmơn!

Hà Nội, năm 2012Học viên

Lời nói đầu

Trần Văn Huyến

Bảng ký hiệu

CLT Định lý giới hạn trung tâm

L0 Không gian các hàm thực đo được

L1 ≡ L1 Không gian các bnn có moment cấp 1

Lp ≡ Lp Không gian các bnn có moment cấp p

Mục lục

1.1 Martingale 1

1.1.1 Các định nghĩa 1

1.1.2 Một số ví dụ về martingale 3

1.1.3 Thời điểm Markov và thời điểm dừng 4

1.1.4 Hiệu martingale 5

1.1.5 Martingale bình phương khả tích 5

1.2 Các dạng hội tụ 5

1.2.1 Hội tụ hầu chắc chắn 5

1.2.2 Hội tụ theo xác suất 6

1.2.3 Hội tụ theo trung bình 6

1.2.4 Hội tụ theo phân phối 7

1.3 Các định lý về sự hội tụ martingale 8

1.4 Hàm đặc trưng 9

1.4.1 Định nghĩa và tính chất 9

1.4.2 Mối quan hệ giữa hàm đặc trưng và hàm phân phối 9 2 Các Bất Đẳng Thức Và Luật Số Lớn 11 2.1 Các bất đẳng thức cơ bản 11

2.2 Bất đẳng thức hàm bình phương 13

2.3 Luật yếu số lớn 20

2.4 Luật mạnh số lớn 23

2.5 Sự hội tụ trong Lp 33

3 Định Lý Giới Hạn Trung Tâm 43 3.1 Định Lý Giới Hạn Trung Tâm 43

3.2 Kết Quả dạng Raikov 56

3.2.1 Phát hiện kết quả trong trường hợp độc lập 56

3.2.2 Kết quả Raikov trong martingale 56

MỤC LỤC

• martingale trên (đối với An, n ∈ N ), nếu

(i) {Xn, An, n ∈ N } là một dãy tương thích

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

1 Từ định nghĩa kỳ vọng có điều kiện, ta có:

Điều kiện (iii) tương đương với

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Ví dụ 1.1.2 Giả sử (ξn, n ∈ N ) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với

Eξn = 0, n ∈ N Khi đó dãy các tổng riêng

Sn = ξ0 + ξ1 + · · · + ξn

là dãy martingale đối với An = σ(ξ0, · · · , ξn) Thật vậy, do Sn−1 ∈ An−1 vàtính độc lập của ξn đối với An−1, ta có

E(Sn|An−1) = E(Sn−1 + ξn|An−1) = Sn−1 + Eξn = Sn−1

Ví dụ 1.1.3 Giả sử (ξn, n ∈ N ) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với

Eξn = 1, n ∈ N Khi đó dãy các tích riêng

là dãy martingale đối với An = σ(ξ0, · · · , ξn) Thật vậy, do Xn−1 ∈ An−1

và tính độc lập của ξn đối với An−1, ta có

E(Xn|An−1) = E(Xn−1× ξn|An−1) = Xn−1× Eξn = Xn−1

Ví dụ 1.1.4 Giả sử X là biến ngẫu nhiên nào đó có E|X| < ∞ và{An, n ∈ N } là dãy σ− không giảm của A Khi đó dãy

Xn = E(X|An)

là dãy martingale đối với An, n ∈ N Thật vậy, vì An−1 ⊂ An ta có

Xn−1 = E(X|An−1) = E(E(X|An)|An−1) = E(Xn|An−1)

Ví dụ 1.1.5 Giả sử Y0, Y1, · · · là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùngphân phối sao cho E(Yn) = 0 và EYn2 < ∞ Thì dãy

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

−1

E

"

 qp

2

.p + q

#

= Zn−1, vì p + q = 1

Định nghĩa 1.1.7 Giả sử τ : Ω → N ∪ {∞} là biến ngẫu nhiên (có thểlấy giá trị ∞) Ta nói rằng τ là thời điểm Markov đối với {An, n ∈ N },nếu

{ω : τ (ω) = n} ∈ An, ∀n ∈ N

Nếu giả thiết thêm rằng P (τ < ∞) = 1, thì τ được gọi là thời điểm dừng

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chẳng hạn, mỗi dãy {Xn, n ∈ N } các biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng

0 là hiệu martingale đối với σ− trường σ≤nX Trong đó;

σ≤nX = σ≤n = σ({Xm, m ≤ n}), m, n ∈ N, gọi là σ− trường tự nhiên, làσ− trường sinh ra từ X = {Xn, n ∈ N }

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Sự hội tụ hầu chắc chắn (nếu tồn tại) là duy nhất theo nghĩa: nếu

Zn −→ Z và Zhcc n −→ Zhcc 0 thì P (Z = Z0) = 1

Định nghĩa 1.2.2 Ta nói rằng, dãy các đại lượng ngẫu nhiên {Zn} hội

tụ theo xác suất đến đại lượng ngẫu nhiên Z (và viết Zn −→ Z) nếu:P

Ta đưa ra một định lý sau đây thể hiện mối quan hệ giữa hội tụ theoxác suất và hội tụ hầu chắc chắn

Định lý 1.2.3 a) Nếu Zn −→ Z, thì Zhcc n −→ Z.P

b) Nếu Zn −→ Z, thì tồn tại dãy con {ZP nk} sao cho Znk −→ Z.hcc

Định nghĩa 1.2.4 (Tính khả tích đều) Giả sử {Zi, i ∈ I} là họ cácđại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng hữu hạn, tức là {Zi, i ∈ I} ⊂ L1 Ta nóirằng họ này là khả tích đều nếu

Định nghĩa 1.2.5 (Hội tụ trung bình) Giả sử rằng {Zn} ∈ Lp, Z ∈ Lp

và p ∈ (0, +∞) Ta nói rằng, dãy {Zn} hội tụ trung bình cấp p đến Z vàviết Zn −→ Z, nếuLp

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.2.10 Ta nói rằng dãy các đại lượng ngẫu nhiên Zn hội tụtheo phân phối đến dãy các đại lượng ngẫu nhiên Z ∈ L0 , nếu Fn(x) −→

F (x) với mọi điểm liên tục của hàm F , ký hiệu Zn

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

thì {Xn} hội tụ hcc tới biến ngẫu nhiên X∞ nào đó, với E|X∞| < ∞

Hệ quả 1.3.2 Giả sử {Xn} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, và đặt{Sn} là dãy các tổng riêng của nó, tức là:

S0 = X0, Sn = X0 + X1 + · · · + Xn

Khi đó các điều kiện sau là tương đương

(i) {Sn} hội tụ hcc

(ii) {Sn} hội tụ theo xác suất;

(iii) {Sn} hội tụ theo phân phối

Định lý 1.3.3 (Sự hội tụ trong Lp) Giả sử 1 < p < ∞ Nếu {Xn, An, n ∈

Định lý 1.3.4 (Hội tụ trong L1) Nếu {Xn, An, n ∈ N } là martingale

và dãy {Xn} khả tích đều thì dãy {Xn} hội tụ trong L1, đồng thời hội tụhcc tới biến ngẫu nhiên X∞ với E|X∞| < ∞

Như chúng ta đã thấy ở ví dụ (1.1.4) Đặt p ≥ 1, X ∈ Lp , thì Xn =E[X|Fn] là một martingale

Định lý 1.3.5 Giả sử rằng p > 1, {Xn} là một dãy martingale bị chặntrong Lp tức là supn||Xn||p < ∞, thì có tồn tại một biến ngẫu nhiên X ∈ Lpsao cho Xn = E[X|Fn], n ≥ 1 và ||Xn − X||p −→ 0 khi n −→ ∞

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

eitxdF = E [cos(tX) + isin(tX)]

Ta sẽ liệt kê một số tính chất của hàm đặc trưng sau đây mà khôngchứng minh

1 ϕ tồn tại với bất kỳ hàm phân phối của X

2 ϕ(0) = 1

3 |ϕ(t)| ≤ 1, ∀t ∈ R

4 ϕ là liên tục đều: nghĩa là, ∀ > 0, tồn tại σ > 0 sao cho, |ϕ(t)−ϕ(s)| ≤

, với bất cứ |t − s| ≤ σ

5 Hàm đặc trưng của a + bX là eiatϕ(bt)

6 Hàm đặc trưng của −X là hàm phức liên hợp ϕ(t)

7 Hàm đặc trưng ϕ nhận giá trị thực nếu và chỉ nếu biến ngẫu nhiêntương ứng X có phân phối đối xứng tại điểm 0, nghĩa là nếu và chỉ nếu

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Định lý 1.4.2 (Công thức ngược) Nếu X có hàm đặc trưng ϕX(t), thìvới mọi khoảng (a, b), ta có,

P [a < x < b] + P [X = a] + P [X = b]

12π

i≤n Si > λ



.Chứng minh Ta xác định

E =

max

max

i≤n |Si|p



= p

Z ∞ 0

xp−1P

max

i≤n |Si| > x

dx

≤ p

Z ∞ 0

xp−2E



|Sn|I

max

i≤n |Si|p−1



≤ q (E|Sn|p)1p

E

max

i≤n |Si|p

1q,

từ đó ta suy ra điều cần chứng minh

Chương 2 Các Bất Đẳng Thức Và Luật Số Lớn

2.2 Bất đẳng thức hàm bình phương

Bất đẳng thức hàm bình phương đóng vai trò quan trọng trong nghiêncứu các martingale, chúng nói nên mối quan hệ giữa việc xử lý một mar-tingale và các bình phương của hiệu

Đặt X1 = S1 và Xi = Si − Si−1, 2 ≤ i ≤ n, biểu diễn hiệu của dãy{Si, 1 ≤ i ≤ n}

Định lý 2.2.1 (Bất đẳng thức Burkholder ) Nếu {Si, Fi, 1 ≤ i ≤ n} làmột martingale và 1 < p < ∞, thì tồn tại các hằng số C1 và C2 chỉ phụthuộc vào p sao cho

C1E

p 2

≤ E|Sn|p ≤ C2E

... data-page="28">

Chương Các Bất Đẳng Thức Và Luật Số Lớn< /p>

Bây ta xét luật yếu số lớn cho trường hợp tổng Sn martingale

Định lý 2.3.1 Giả sử {Sn = Pn... data-page="30">

Chương Các Bất Đẳng Thức Và Luật Số Lớn< /p>

2.4 Luật mạnh số lớn< /h3>

Trước tiên cần nhắc lại kết cổ điển luật mạnh

số lớn Giả sử X1, X2,... p−1 + q−1 = 1Định lý 2.2.2 Nếu {Si, Fi, ≤ i ≤ n} martingale p > tồntại số C phụ thuộc vào p cho

Để phục vụ chứng minh ba định lý trên, xin đưa bổ đề