Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm cho MARTINGALE

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Văn Huyến LUẬT SỐ LỚN VÀ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM CHO MARTINGALE TÓM TẮT LUẬN VĂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 Lời nói đầu Có lẽ thành tựu to lớn xác suất đại lý thuyết thống giới hạn tổng biến ngẫu nhiên độc lập (BNNĐL) Thực tế là, thống kê toán học thường xem bắt nguồn từ sớm với luật giới hạn Bernoulli Moivre Lý thuyết toán luật số lớn luật giới hạn trung tâm cho martingale xem mở rộng lý thuyết độc lập có nguồn gốc từ kết giới hạn trường hợp độc lập, luật yếu số lớn Khinchin, Liapounov Lolmogorov, định lý giới hạn trung tâm Bernstein Levy Đặt {Sn , Fn , n ≥ N } martingale trung bình khơng bình phương khả tích đặt Xn = Sn − Sn−1 , n ≥ 2, X1 = S1 biểu diễn martingale hiệu Levy đưa khái niệm phương sai điều kiện cho martingale n Vn2 E(Xi2 |Fi−1 ), = phương sai điều kiện đóng vai trò quan trọng lý thuyết giới hạn martingale đại Các kết ban đầu Levy đòi hỏi giả thiết phải mạnh với n, Vn2 số hầu chắn, giả thiết đưa tác phẩm đương đại, Doob đưa hàm đặc trưng để chứng minh kết Levy Billlingsley, độc lập với Ibragimov, thiết lập định lý giới hạn trung tâm cho martingale với hiệu giả thiết dừng thỏa mãn giả thiết ergodic Các martingale có phương sai tiệm cận số Các kết mở rộng phát triển chứng minh Rosén, Dvoretzky, Loynes v Bergstrăm v sau ú l Mcleish , Gănssler o a at al Scott Trong luận văn này, tác giả trình bày cách chi tiết có hệ thống kết quan trọng luật số lớn định lý giới hạn trung tâm martingale trường hợp mở rộng tổng biến ngẫu nhiên i Lời nói đầu độc lập, làm sáng tỏ số kết chứng minh số định lý giới hạn martingale Với mục đích ý tưởng vậy, tác giả trình bày nội dung đề tài khóa luận làm ba chương Chương kiến thức chuẩn bị luận văn Trong phần đầu chương này, tác giả nhắc lại khái niệm kết martingale, dạng hội tụ, số định lý hội tụ quan trọng martingale chẳng hạn định lý hội tụ Doob, hàm đặc trưng mối quan hệ chúng với hàm phân phối Chương nội dung chương Trong nội dung quan trọng chương xoay quanh hai vấn đề; luật yếu số lớn luật mạnh số lớn cho martingale, tác giả trình bày mục 2.3 2.4 Bên cạnh tác giả cịn trình bày chi tiết hai định lý là: Định lý bất đẳng thức hàm bình phương, bất đẳng thức quan trọng làm sở cho việc đánh giá nghiên cứu định lý giới hạn, luật số lớn luật giới hạn trung tâm, định lý 2.5.2 dùng để xấp xỉ tương đương phương sai điều kiện tổng bình phương, mà phần lý thuyết để nghiên cứu martingale Chương phần đề tài Ở tác giả trình bày kết luật giới hạn trung tâm cho martingale mở rộng tổng đại lượng ngẫu nhiên độc lập, kết dạng Raikov phát quan trọng việc nghiên cứu martingale thơng qua tổng bình phương hiệu chúng Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoa học mình, GS.TSKH Đặng Hùng Thắng, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn, bảo suốt trình nghiên cứu tác giả Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn thầy khoa Tốn - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, tạo điều kiện cho tác giả tài liệu thủ tục hành để tác giả hồn thành luận văn Tác giả gửi lời cảm ơn nhiều đến bạn bè, đặc biệt bạn bè nhóm Xác suất thống kê toán, lớp Cao học 07 - 09, động viên giúp đỡ tác giả tài liệu tham khảo kỹ thuật biên soạn Latex Do thời gian trình độ cịn hạn chế, chắn luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo tận tình thầy bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, năm 2012 Học viên ii Lời nói đầu Trần Văn Huyến iii Bảng ký hiệu CLT Định lý giới hạn trung tâm hcc Hầu chắn bnn Biến ngẫu nhiên L0 Không gian hàm thực đo L1 ≡ L1 Khơng gian bnn có moment cấp Lp ≡ Lp Khơng gian bnn có moment cấp p ||.||p Chuẩn Lp d −→ P −→ p Hội tụ theo phân phối Hội tụ theo Xác suất −→ L Hội tụ Lp L1 Hội tụ L1 −→ a.s −→ Hội tụ hầu chắn X σ≤n = σ≤n σ− trường sinh biến ngẫu nhiên {Xm , m ≤ n} τa ∧ n = min{τa , n} iv Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Martingale 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Một số ví dụ martingale 1.1.3 Thời điểm Markov thời điểm dừng 1.1.4 Hiệu martingale 1.1.5 Martingale bình phương khả tích 1.2 Các dạng hội tụ 1.2.1 Hội tụ hầu chắn 1.2.2 Hội tụ theo xác suất 1.2.3 Hội tụ theo trung bình 1.2.4 Hội tụ theo phân phối 1.3 Các định lý hội tụ martingale 1.4 Hàm đặc trưng 1.4.1 Định nghĩa tính chất 1.4.2 Mối quan hệ hàm đặc trưng hàm Các 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Bất Đẳng Thức Và Luật Số Lớn Các bất đẳng thức Bất đẳng thức hàm bình phương Luật yếu số lớn Luật mạnh số lớn Sự hội tụ Lp Định Lý Giới Hạn Trung Tâm 3.1 Định Lý Giới Hạn Trung Tâm 3.2 Kết Quả dạng Raikov 3.2.1 Phát kết trường hợp 3.2.2 Kết Raikov martingale v phân độc lập phối 1 5 5 6 9 11 11 13 20 23 33 43 43 56 56 56 MỤC LỤC Tài liệu tham khảo 64 vi Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Martingale 1.1.1 Các định nghĩa Sau ta giả sử A1 , A2 , · · · , An dãy σ− trường tăng σ− trường A, tức A1 ⊂ A2 · · · ⊂ An ⊂ A Định nghĩa 1.1.1 Giả sử (Ω, A, P ) không gian xác suất Dãy {Xn , An , n ∈ N }, gọi là: • martingale (đối với An , n ∈ N ), (i) {Xn , An , n ∈ N } dãy tương thích (ii) E|Xn | < ∞, ∀n ∈ N (iii) Với m ≤ n, m, n ∈ N , E(Xn |Am ) ≤ Xm , chắn P - hầu • martingale (đối với An , n ∈ N ), điều kiện (i), (ii) thực hiện, (iii’) với m ≤ n, m, n ∈ N , E(Xn |Am ) ≥ Xm , P - hầu chắn • martingale (đối với An , n ∈ N ), điều kiện (i), (ii) thực hiện, (iii’) với m ≤ n, m, n ∈ N , E(Xn |Am ) = Xm , P - hầu chắn ý Chương Kiến thức chuẩn bị Từ định nghĩa kỳ vọng có điều kiện, ta có: Điều kiện (iii) tương đương với Xn dP ≤ A Xm dP, ∀A ∈ Am , m ≤ n A Điều kiện (iii’) tương đương với Xn dP ≥ A Xm dP, ∀A ∈ Am , m ≤ n A Điều kiện (iii”) tương đương với Xn dP = A Xm dP, ∀A ∈ Am , m ≤ n A Định nghĩa martingale dưới, martingale trên, martingale tương đương với: Giả sử N = 0, 1, 2, , N, (Ω, A, P ) không gian xác suất, A0 ⊂ A1 ⊂ · · · ⊂ An ⊂ An+1 ⊂ A Khi {Xn , An , n ∈ N } là: • martingale trên, (i) Xn ∈ An , ∀n ∈ N ; (ii) E|Xn | < ∞ (iii) với n = 1, 2, E(Xn |An−1 ) ≤ Xn−1 , P − hầu chắn • martingale dưới, điều kiện (i), (ii) thỏa mãn, (iii’) với n = 1, 2, E(Xn |An−1 ) ≥ Xn−1 , P − hầu chắn • martingale, điều kiện (i), (ii) thỏa mãn, (iii”) n = 1, 2, E(Xn |An−1 ) = Xn−1 , với P − hầu chắn Những nhận xét chứng minh dễ dàng dựa vào tính chất kỳ vọng có điều kiện Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1.2 Một số ví dụ martingale Ví dụ 1.1.2 Giả sử (ξn , n ∈ N ) dãy biến ngẫu nhiên độc lập với Eξn = 0, n ∈ N Khi dãy tổng riêng Sn = ξ0 + ξ1 + · · · + ξn dãy martingale An = σ(ξ0 , · · · , ξn ) Thật vậy, Sn−1 ∈ An−1 tính độc lập ξn An−1 , ta có E(Sn |An−1 ) = E(Sn−1 + ξn |An−1 ) = Sn−1 + Eξn = Sn−1 Ví dụ 1.1.3 Giả sử (ξn , n ∈ N ) dãy biến ngẫu nhiên độc lập với Eξn = 1, n ∈ N Khi dãy tích riêng n ξn Xn = k=0 dãy martingale An = σ(ξ0 , · · · , ξn ) Thật vậy, Xn−1 ∈ An−1 tính độc lập ξn An−1 , ta có E(Xn |An−1 ) = E(Xn−1 × ξn |An−1 ) = Xn−1 × Eξn = Xn−1 Ví dụ 1.1.4 Giả sử X biến ngẫu nhiên có E|X| < ∞ {An , n ∈ N } dãy σ− không giảm A Khi dãy Xn = E(X|An ) dãy martingale An , n ∈ N Thật vậy, An−1 ⊂ An ta có Xn−1 = E(X|An−1 ) = E(E(X|An )|An−1 ) = E(Xn |An−1 ) Ví dụ 1.1.5 Giả sử Y0 , Y1 , · · · dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối cho E(Yn ) = EYn2 < ∞ Thì dãy n Zn = Yj − σ2n j=1 martingale, σ−trường An = σ(Y0 , Y1 , · · · , Yn ) Thật vậy, tính đo Yj An−1 , với ≤ j ≤ n − tính độc Chương Định Lý Giới Hạn Trung Tâm Jn =   min{i ≤ kn |U > 2C} U > 2C ni nkn  kn ngược lại Sử đụng bất đẳng thức + x ≤ ex ; ∀x ≥ 0, ta được: Jn −1 j=1 2 + t2 Xnj ≤ E et E|Tn |2 = E Xnj + t2 XnJn j 2 ≤ e2Ct + t2 EXnJn , 2 XnJn ≤ XnJn {Tn } bị chặn theo n, điều kiện (3.20) Như {Tn } khả tích Giả sử m ≥ cố định đặt E ∈ Fmkm ; từ (3.21), E ∈ Fnkn với n ≥ m Với n vậy, ta có: kn E[Tn I(E)] = E I(E) (1 + itXnj ) j=1  km  kn = E I(E) E(1 + itXnj |Fn,j−1 ) (1 + itXnj ) j=1 j=km +1 km = E I(E) (1 + itXnj ) = P (E) + Rn , j=1 phần đuôi Rn gồm nhiều 2km − số hạng có dạng E I(E)(it)r Xnj1 Xnj2 · · · Xnjr , ≤ r ≤ km ≤ j1 ≤ j2 ≤ · · · ≤ jr ≤ km Vì r−1 Jn −1 Xnj1 · · · Xnjr 2 Xnj ≤ max Xni i j=1 ≤ (2C)r−1 max Xni , i Do E I(E)(it)r Xnj1 Xnj2 · · · Xnjr ≤ E I(E)(it)r Xnj1 Xnj2 · · · Xnjr 50 Chương Định Lý Giới Hạn Trung Tâm I(E) ≤ |(it)r | ≤ ≤ E Xnj1 · · · Xnjr ≤ (2C)km /2 E max|Xni | i r − < km suy |Rn | ≤ (2km − 1)(2C) km E max|Xni | i Áp dụng bất đẳng thức Holder, sau kết hợp điều kiện (3.18) (3.20), ta được: E max|Xni | ≤ + E max|Xni |I(|Xni | > ) i i = +E max|Xni | I max|Xni | > ≤ + E maxXni i −→ i i P max|Xni | > i n → ∞ Và E(max|Xni |) −→ 0, kéo theo Rn → Do i E[Tn I(E)] −→ P (E) (3.24) Giả sử F∞ = ∞ Fnkn σ− trường sinh ∞ Fn Với E ∈ 1 F∞ > tồn m E ∈ Fmkm cho P (E E ) < ( hiệu đối xứng) Vì {Tn } khả tích |E[Tn I(E )] − E[Tn I(E)]| ≤ E[|Tn |I(E E )], supn |E[Tn I(E )] − E[Tn I(E)]| ≤ E[|Tn |I(E E )] làm nhỏ tùy ý cách chọn đủ nhỏ Từ (3.24) suy với E ∈ F∞ , E[Tn I(E )] → P (E ) Điều có nghía với bnn F∞ − đo X, E[Tn X] −→ E(X) Cuối E ∈ F, E[Tn I(E)] = E[Tn E(I(E)|F∞ )] −→ E[E(I(E)|F∞ )] = P (E) Đến thiết lập (3.14) hoàn thành chứng minh trường hợp đặc biệt (3.22) Phần lại bỏ điều kiện bị chặn (3.22) Nếu η khơng bị chặn hcc cho trước > 0, chọn điểm liên tục C η cho P (η > C) > Đặt ηC = η I(η ≤ C) + CI(η > C), 51 Chương Định Lý Giới Hạn Trung Tâm i−1 i Xnj Xni = Xni I ≤C Sni = j=1 Xnj j=1 Thì {Sni , Fni } dãy martingale điều kiện (3.18), (3.20), (3.21) thỏa mãn Bây ta có Xni I i Xni ≤ C Xni > C + CI i i Xni I ≤ Xni ≤ C i Xni ≤ i + C + max Xni I Xni > C i i i Vì C điểm liên tục hàm phân phối η , Xni ≤ C I P −→ I(η ≤ C), i ta có P Xni2 −→ ηC i d Khi ηC bị chặn hcc phần đầu định lý Sn −→ ZC (ổn định), 2 bnn ZC có hàm đặc trưng Ee− ηC t Nếu E ∈ F, 2 E I(E)eitSnkn − E(I(E)e− η t ) 2 ≤ E eitSnkn − eitSnkn + E I(E)eitSnkn − E I(E)e− ηC t 2 2 + E e− ηC t − e− η t Vì Snkn −→ ZC (ổn định), số hạng thứ hai vế phải hội tụ tới không n → ∞ Số hạng đầu số hạng thứ ba nhỏ theo giới hạn, P (Snkn = Snkn ) ≤ P (Xni = Xni ) (với i đó) ≤ P (Unkn > C) −→ P (η > C) < Do với > 0, 2 lim sup|E[I(E)eitSnkn ] − E[I(E)e− η t ]| ≤ n→∞ 52 Chương Định Lý Giới Hạn Trung Tâm Từ dẫn đến giới hạn không, từ định lý 3.1.1 ta hoàn thiện chứng minh Hệ định lý 3.1.3 suy trực tiếp từ nhận xét (iii), điều kiện (3.6) (3.7) nói rằng: P 2 |Unkn − Vnkn | −→ Ví dụ Ta đưa ví dụ, martingale thỏa mãn điều kiện định lý 3.1.3, η không số hcc Đặt {Yn , n ≥ 1} bnn độc lập với phân bố đối xứng điểm ±1 Ta đặt X1 = Y1 , n−1 Xn = Yn i=1 Yi i n≥2 , đặt kn = n, Xni = n−1/2 Xi , Fni σ− trường sinh Y1 , Y2 , , Yi Thì {Sni , Fni } dãy martingale Vì n i=1 Yi hcc −→ Y = i ∞ i=1 Yi i (hữu hạn hcc theo định lý hội tụ martingale), từ dẫn đến Xni = Unn = i−1 Yj j=1 j n i=1 n n i=1 hcc −→ Y , (3.19) với η = Y Hơn i−1 Yj j=1 j max i max|Xni | = √ i n hcc −→ hcc 2 max Xni ≤ Unn −→ Y , i E(Unn ) = i−1 Yj j=1 j n i=1 E ∞ −→ j=1 n = E(Y ) j 53 = n i=1 i−1 j=1 j n Chương Định Lý Giới Hạn Trung Tâm Theo bổ đề 2.5.5, miền hội tụ định lý xác định là, E max Xni −→ 0, i từ dẫn đến (3.18) (3.20) Điều kiện (3.21) ta có d n−1/2 n Xi −→ Z (ổn định), Z có hàm đặc trưng i=1 E e− Y 2 t (vi) Định lý giới hạn trung tâm với chuẩn ngẫu nhiên Giả sử {Sni , Fni } martingale giả sử bnn η đo σ− trường Fni η > hcc Nếu ≤ i ≤ kn , Sni |Fn,i−1 η E = E(Sni |Fn,i−1 ) Sn,i−1 = η η Do {η −1 Sni , Fni , ≤ i ≤ kn , n ≥ 2} dãy martingale Nếu điều kiện (3.18)-(3.20) cho martingale gốc, cho martingale mới, miễn ta đặt điều kiện cho η Ví dụ, kn i=2 kn i=1 Xni η2 Xn1 P − −→ η E Xni = η2 max Xni |η (3.25) đại lượng E Xni max 2≤i≤kn η η = 2≤i≤kn η2 bị chặn hcc Vì giới hạn (3.25) số, áp dụng định lý 3.1.3 cho martingale mới, ta chứng minh rằng: kn i=2 Xni d −→ N (0, 1) η P d Nhưng η −1 Xn1 −→ vậy, điều kiện η, η −1 Sn −→ N (0, 1) Giới hạn khơng phụ thuộc vào η kết tuyệt đối Hơn nữa, P −1 Unkn η −→ 1, từ ta có: Snkn = Unkn η Unkn Snkn η 54 d −→ N (0, 1) (3.26) Chương Định Lý Giới Hạn Trung Tâm Chuẩn cho bnn Unkn cho phép ta thu CLT Giới hạn (3.26) hỗn tạp (xem 3.1(iv)) Bây ta chuyển qua trường hợp đặc biệt hội tụ ổn định hội tụ hỗn tạp trình bày mục trước Định lý 3.1.5 Giả sử điều kiện định lý 3.1.3 P (η > 0) = Thì Snkn d −→ N (0, 1) Unkn hỗn tạp Hệ 3.1.6 Giả sử điều kiện hệ 3.1.4 thỏa mãn thêm P (η > 0) = Thì Snkn d −→ N (0, 1) Vnkn hỗn tạp Chứng minh định lý 3.1.5 Vì Snkn dừng, với t 2 eitSnkn −→ e− η t (yếu L1 ) Do đó, với bnn X bị chặn đo σ− trường F, 2 E[eitSnkn X] −→ E[e− η t X] Đặt X = eiuη+ivI(E) , u v số thực cố định E ∈ F Từ dẫn đến hàm đặc trưng chung (Snkn , η, I(E)) hội tụ tới (ηN, η, I(E)), N bnn chuẩn độc lập với (η, I(E)) Từ ta có Snkn , I(E) η −→ (N, I(E)), Snkn , I(E) Unkn −→ (N, I(E)), d d ta có điều phải chứng minh Hệ 3.1.6 chứng minh theo cách tương tự sử dụng hệ 3.1.4 Nhận xét 3.1.7 Trong trường hợp biến ngẫu nhiên Xni độc lập P EXni = 0, hai điều kiện max|Xni | −→ k P (|Xni | ≥ ) −→ ∀ > i tương đương, điều kiện (3.20) ln thoả mãn Do ta thu hệ trường hợp biến ngẫu nhiên Xni độc lập 55 Chương Định Lý Giới Hạn Trung Tâm Hệ 3.1.8 Giả sử định lý 3.1.3 với giả thiết biến ngẫu nhiên Xni độc lập, điều kiện (3.18) (3.19) đúng, ta có kết luận định lý (3.1.5) 3.2 3.2.1 Kết Quả dạng Raikov Phát kết trường hợp độc lập Bất đẳng thức hàm bình phương Burkholder đóng vai trò quan trọng Chúng ẩn chứa gần gũi mối quan hệ bất ngờ cách xử lý martingale tổng bình phương hiệu chúng Tuy nhiên, tính chất đối ngẫu phương thức xử lý tổng tổng bình phương bnn độc lập ý xem xét sớm Raikov (1938) Ta nhắc lại kết trường hợp độc lập mà không chứng minh Định lý 3.2.1 (Định lý Raikov) Với n ≥ đặt Xni , ≤ i ≤ kn , bnn độc lập với trung bình 0, tổng phương sai tiến tới 1, thỏa mãn điều kiện tiệm cận 0, tức là: ∀ > 0, max P (|Xni | > ) −→ i (3.27) Khi đó, d Xni −→ N (0, 1) i P Xni −→ i Trước kết Raikov Burkholder, ta hi vọng chúng có tương tự cho martingale Và thực vậy, số tác giả tương tự gần gũi mong đợi 3.2.2 Kết Raikov martingale Giả sử {Sni , Fni , ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} martingale trung bình khơng, bình phương khả tích, {Xni } biểu diễn dãy martingale hiệu Tiếp theo 56 Chương Định Lý Giới Hạn Trung Tâm ta giả sử E(Snkn ) = với n Brown định nghĩa hàm đặc trưng điều kiện fn (t) E[eitXnj |Fn,j−1 ], fn (t) = n ≥ j Trong trường hợp độc lập fn không ngẫu nhiên hàm đặc trưng t2 Snkn , Vnkn = a.s Hơn Xni độc lập fn (t) −→ e− với số thực t, hiển nhiên CLT Đặt η giá trị bnn hữu hạn đặt ν2p biểu diễn moment tuyệt đối cấp 2 p biến ngẫu nhiên với hàm đặc trưng Ee− η t Định lý 3.2.2 Giả sử E|Vnkn − η | −→ (3.28) P max E(Xni |Fn,i−1 ) −→ i (3.29) Thì điều kiện sau tương đương: E|Unkn − η | −→ 0, E[Xni I(|Xni | > )] −→ 0, ∀ > 0, (3.30) (3.31) i fn (t) −→ e− η t2 (3.32) Đặt p > giả sử (3.29) E|Vnkn − η |p −→ (3.33) Nếu η không số a.s giả thiết Fn+1,i ⊇ Fn,i với ≤ i ≤ kn n ≥ Thì điều kiện sau tương đương: E|Unkn − η |p −→ 0, (3.34) E|Xni |2p −→ 0, (3.35) i P fn (t) −→ e− η t2 57 E|Snkn |2p −→ ν2p (3.36) Chương Định Lý Giới Hạn Trung Tâm Hệ 3.2.3 Giả sử (3.33) (3.35) đúng, giả thiết (3.21) Nếu η khơng số a.s Thì d Snkn −→ Z E|Snkn |2p −→ ν2p (3.37) Trong trường hợp độc lập η = a.s (3.33) thỏa mãn tầm thường Khi (3.29) (3.37) kéo theo (3.35) Chứng minh định lý 3.2.2 Giả sử (3.28) (3.29) Ta xác định hàm A B biến x 1 eix = + ix − x2 + x2 A(x) 2 x B(x) = min( , 2) Ta sử dụng bổ đề sau đây: Bổ đề 3.2.4 Với n = 1, 2, · · · , t > 0, ta có it tn (it)n−1 e − − − ··· − ≤ 1! (n − 1)! n! it Áp dụng bổ đề ta suy ra, |A(x)| ≤ B(|x|) (3.38) 1 2 E[eitXnj |Fn,j−1 ] = − t2 E(Xnj |Fn,j−1 ) + t2 E Xnj A(tXnj )|Fn,j−1 2 Bất đẳng thức (3.38) hiểu 2 t E(Xnj |Fn,j−1 ) + t2 E Xnj A(tXnj ) Fn,j−1 2 ≤ t2 E(Xnj |Fn,j−1 ) vậy, |log(1 + z) − z| ≤ |z|2 /(1 − |z|) với |z| ≤ log E[ei tXnj |Fn,j−1 ] log fn (t) = j 1 = − t2 Vnkn + t2 2 E Xnj A(tXnj )|Fn,j−1 + Rn , j 58 Chương Định Lý Giới Hạn Trung Tâm |Rn | ≤ 2 t E(Xnj |Fn,j−1 ) j − t2 maxE(Xnk |Fn,k−1 ) k 9t ≤ 2 Vnkn maxE(Xnj |Fn,j−1 ) j P −→ điều kiện (3.28) (3.29) Do 1 log fn (t) + t2 Vnkn − t2 2 P E Xnj A(tXnj )|Fn,j−1 −→ (3.39) j Sử dụng (3.38) ta có với > 0, E Xnj A(tXnj )|Fn,j−1 E E Xnj B(|tXnj |) ≤ j j E Xnj B(|tXnj |) I(|tXnj | ≤ ) + I(|tXnj | > ) = j ≤ = E(Xnj ) + 3 j E Xnj I(|tXnj | > ) j E Xnj I |Xnj | > +2 j |t| −→ (3.31) đúng, từ (3.39) ta thấy (3.31) suy (3.32) Bây giả sử (3.28), (3.29) (3.32) Bằng cách lấy phần thực (3.39), ta suy với số thực t = 0, P E Xnj A(tXnj )|Fn,j−1 −→ Re (3.40) j Phần thực A(x) thỏa mãn x2 x4 x6 ≤ Re A(x) = − − − ··· 4! 6! 8! =1− 2(1 − cos x) < 1, x2 vế trái (3.40) làm trội Vnkn , hội tụ tới η L1 Miền hội tụ định lý (các bổ đề 2.2.7 bổ đề 2.5.5) cho 59 Chương Định Lý Giới Hạn Trung Tâm phép ta làm mạnh thành hội tụ theo xác suất (3.40) thành hội tụ L1 Với |x| > 4, với t = 0, ta có phần thực A(x) thỏa mãn: 4sin2 x 2(1 − cos x) =1− ≥1− = Re A(x) = − x2 x2 16 Do đó: E[Xnj I(|tXnj | > 4)] ≤ Re E[Xnj A(tXnj )] −→ 0, j j cách cho t → ∞, từ dẫn đến (3.31) Như ta chứng minh điều kiện (3.28) (3.29) (3.30) (3.32) tương đương Giả sử (3.28), (3.29) (3.30) Hệ 2.1.2 cho martingale 2 {Unj − Vnj }, ≤ j ≤ kn , ta suy với > 0, P max|Unj j − Vnj | ≤ > 2 E|Unj − Vnj | −→ 0, điều hiểu P 2 2 max|Xnj − E(Xnj |Fn,j−1 )| ≤ max|Unj − Vnj | −→ j j Kết hợp với (3.29) điều P max Xnj −→ 0, j điều tương đương với điều kiện P Xnj I(|Xn j| > ) −→ ∀ > 0, (3.41) j Vế trái (3.41) làm trội Unkn , hội tụ tới η L1 Định lý hội tụ bội cho phép làm mạnh hội tụ (3.41) thành hội tụ L1 Điều trực tiếp dẫn đến (3.31) Nếu (3.28) (3.31) đúng, (3.30) suy từ định lý 2.5.2 Điều hoàn thiện chứng minh phần đầu định lý 2p Bây đặt p > giả thiết (3.29) (3.33) Thì {Vnkn , n ≥ 1} khả tích Nếu (3.34) đúng, (3.30) đúng, (3.31) Từ định lý 2.5.2 ta suy (3.35) Ngược lại (3.35) đúng, (3.31) 60 Chương Định Lý Giới Hạn Trung Tâm đúng, từ định lý 2.5.2 đẫn đến (3.38) Phần lại ta cần chứng minh (3.34) (3.36) tương đương Định nghĩa bnn Yni , Zni , Ani Bni định lý 2.5.2, xác định sau Yni = Xni I(|Xni | ≤ 1) − E[Xni I(|Xni | ≤ 1)|Fn,i−1 ], Zni = Xni − Yni Ani = Yni I(Vni ≤ λ), Bni = Yni − Ani Tất đại lượng martingale hiệu Với r > có từ định lý 2.2.1 định lý 2.2.2 tồn số K1 K2 cho r A2 ni E 2r ≤ K1 E Ani i i ≤ K2 E(A2 |Fn,i−1 ) ni E r + E max |Ani |2r i i ≤ K2 (λ2r + 22r ) < ∞ (Vì |Ani | ≤ |Yni | ≤ Xni I(|Xni ≤ 1|) + E[Xni I(|Xni | ≤ 1)|Fn,i−1 ] ≤ 2) Như ∀ p,   p 2p   (3.42) Ani , n ≥ Ani , n ≥   i i khả tích Ta dễ dàng chứng minh được: 2 E Bni |Fn,i−1 = E Yni I(Vni > λ)|Fn,i−1 ≤ E Xni |Fn,i−1 I(Vni > λ) Do ta có: p Bni E i 2p ≤ K1 E Bni i 61 Chương Định Lý Giới Hạn Trung Tâm p ≤ K2 E(Bni |Fn,i−1 ) E + E max|Bni |2p i i p ≤ K2 2 E(Xni |Fn,i−1 )I(Vni > λ) E + E max 22p I(Vni > λ) i i 2p 2 ≤ K2 {E[Vnkn I(Vnkn > λ)] + 22p P (Vnkn > λ)} Ta suy từ (3.33) Bni sup E n p −→ sup E Bni n i 2p −→ λ → ∞ i (3.43) Ta có Zni E Zni ≤ =E E[Xni I(|Xni | > 1)] −→ i i (3.44) i Dưới điều kiện (3.34) (3.36), điều kiện dẫn đến (3.31) Nếu (3.34) đúng, (3.32) theo cách này, phần 2p đầu (3.36) Điều kiện (3.36) đẫn đến {Unkn } khả tích đều, p Zni p 2p ≤ 24p−2 Un + A2 ni i i p i Zni ) } tính khả tích {( (3.44) ngụ ý p Bni + , i suy từ (3.42) (3.43) Điều kiện p Zni E −→ 0, (3.45) −→ (3.46) i từ định lý 2.2.1, 2p E Zni i Chọn λ điểm liên tục η Bây ta có, E(A2 |Fn,i−1 ) − ni E i 2 (Xni |Fn,i−1 )I(Vni ≤ λ) i 2 E[Yni − Xni |Fn,i−1 ]I(Vni ≤ λ) =E i 62 Chương Định Lý Giới Hạn Trung Tâm E[Xni I(|Xni | > 1)] −→ 0, =2 i P 2 E(Xni |Fn,i−1 )I(Vni ≤ λ) −→ ηλ , i ηλ = η I(η ≤ λ) + λI(η > λ), từ suy P E(A2 |Fn,i−1 ) −→ ηλ ni i d Từ hệ 3.1.4 ta suy i Ani −→ Zλ , Zλ có hàm đặc 2 trưng Ee− ηλ t Vì {| i Ani|2p } khả tích đều, 2p −→ E|Zλ |2 p Ani E (3.47) i Nhưng 2p 2p E|Snkn | − E Ani 2p 2p ≤ 2p−1 E 2p Bni i +E Zni i 2p i từ (3.43), (3.46) (3.47), 1 lim lim sup|(E|Snkn |2p ) 2p − (E|Zλ |2p ) 2p | = 0, λ→∞ n→∞ điều thiết lập (3.36) Cuối cùng, với giả thiết (3.36) Điều kiện (3.30) theo sau từ phần đầu định lý Dãy {|Snkn |2p } khả tích đều, 2p Zni 2p ≤ 24p−2 |Snkn |2p + Ani i 2p + i Bni , i tính khả tích {| i Zni |2p } suy từ (3.42) (3.43) Điều kiện (3.44) hiểu (3.46), từ suy (3.41) Nhưng 2p Unkn ≤ 22p−1 A2 ni p Bni + i i p Zni + p , i từ điều kiện (3.42), (3.43), (3.45) kéo theo tính khả tích 2p {Unkn } Cùng với (3.30) dẫn tới (3.34) 63 2p , Tài liệu tham khảo Đào Hữu Hồ (1998), Xác suất thống kê, In lần thứ 3, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, 224 Tr Đặng Hùng Thắng (1998), Mở đầu lý thuyết Xác suất ứng dụng, In lần thứ hai, Nhà xuất Giaos dục Hà Nội, 218 Tr Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (1983), Cơ sở lý thuyết Xác suất, Nhà xuất Đại học trung học chuyên nghiệp Hà Nội, 462 Tr Nguyễn Duy Tiến, Đặng Hùng Thắng (2000), Các mơ hình Xác suất ứng dụng, Phần II trình dừng ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc Gia, Hà Nội Nguyễn Duy Tiến, Đặng Hùng Thắng (2000), Các mô hình Xác suất ứng dụng, Phần III giải tích ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại học Quốc Gia, Hà Nội Adler, R J (1978) A martingale central limit theorem without negligibility conditions Bull Austral Math Soc 18, 13-19 [52] Adler, R J, and Scott, D J (1975) Martingale central limit theorem without negligibility conditions: Corrigendum Bull Austral Math Soc 18, 311-319 [52] Aldous, D J (1977b) Limit theorems for subsequencens of arbitrarilydependent sequences of random variables Z Wahrsch Verw Gebiete 40, 59-82 [207, 208] William Feller (1971) An Introduction to Propability Theory and Its Applications 64 ... số lớn luật giới hạn trung tâm cho martingale xem mở rộng lý thuyết độc lập có nguồn gốc từ kết giới hạn trường hợp độc lập, luật yếu số lớn Khinchin, Liapounov Lolmogorov, định lý giới hạn trung. .. kết quan trọng luật số lớn định lý giới hạn trung tâm martingale trường hợp mở rộng tổng biến ngẫu nhiên i Lời nói đầu độc lập, làm sáng tỏ số kết chứng minh số định lý giới hạn martingale Với... trọng làm sở cho việc đánh giá nghiên cứu định lý giới hạn, luật số lớn luật giới hạn trung tâm, định lý 2.5.2 dùng để xấp xỉ tương đương phương sai điều kiện tổng bình phương, mà phần lý thuyết