Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm cho MARTINGALE

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Văn Huyến LUẬT SỐ LỚN VÀ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM CHO MARTINGALE TÓM TẮT LUẬN VĂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 Líi nâi ƒu Câ l‡ mºt nhœng th nh tüu to lỵn nhĐt ca xĂc suĐt hiằn i l lỵ thuyt thng nhĐt vã giợi hn ca tng cĂc bin ngÔu nhiản ºc l“p (BNN L) Thüc t‚ l , thŁng k¶ toĂn hồc thữớng ữổc xem l bt nguỗn t rĐt sỵm vỵi c¡c lu“t giỵi h⁄n cıa Bernoulli v Moivre Lỵ thuyt toĂn vã lut s lợn v lut giợi hn trung tƠm cho martingale cõ th ữổc xem l sỹ m rng ca lỵ thuyt c lp v nõ cụng cõ nguỗn gc t cĂc kt quÊ giợi hn trữớng hổp c lp, nhữ lut yu s lợn cıa Khinchin, cıa Liapounov v cıa Lolmogorov, v c¡c ành lỵ giợi hn trung tƠm ca Bernstein v ca Levy °t fSn; Fn; n Ng l mºt martingale trung b…nh khỉng v b…nh ph÷ìng kh£ t‰ch v °t Xn = Sn Sn 1; n 2, v X1 = S1 bi”u di„n mar-tingale hi»u Levy ÷a kh¡i ni»m ph÷ìng sai i•u ki»n cho martingale n X Vn = E(Xi jFi 1); phữỡng sai iãu kiằn õng mt vai trặ quan trồng lỵ thuyt giợi hn martingale hi»n ⁄i C¡c k‚t qu£ ban ƒu cıa Levy ặi họi cĂc giÊ thit phÊi mnh nhữ vợi mØi n, Vn l h‹ng sŁ hƒu ch›c ch›n, v nhœng gi£ thi‚t n y cơng ÷ỉc ÷a cÊ cĂc tĂc ph'm ữỡng i, Doob  ữa h m °c tr÷ng ” chøng minh c¡c k‚t quÊ ca Levy Billlingsley, v c lp vợi Ibragimov,  thit lp nh lỵ giợi hn trung tƠm cho cĂc martingale vợi cĂc hiằu ữổc giÊ thit dng v thọa mÂn giÊ thit ergodic CĂc martingale nhữ vy cõ phữỡng sai ti»m c“n h‹ng sŁ C¡c k‚t qu£ mð rºng hỡn na  ữổc phĂt trin v chứng minh bi Ros†n, Dvoretzky, Loynes v Bergstrom v sau â l Mcleish , Ganssler at al: Scott Trong lu“n v«n n y, t¡c gi£ ¢ tr…nh b y mºt c¡ch chi ti‚t v câ h» thŁng c¡c k‚t qu£ quan trång ca lut s lợn v nh lỵ giợi hn trung tƠm martingale nhữ l mt trữớng hổp m rng ca tng cĂc bin ngÔu nhiản i Lới nõi u c l“p, v l m s¡ng tä mºt sŁ k‚t qu£ chứng minh mt s nh lỵ giợi hn martingale Vợi nhng mửc ch v ỵ tững nhữ vy, tĂc giÊ Â trnh b y ni dung ca ã t i khâa lu“n l m ba ch÷ìng Ch÷ìng l nhœng ki‚n thøc chu'n bà cıa lu“n v«n Trong phƒn ƒu cıa ch÷ìng n y, t¡c gi£ nh›c l⁄i nhœng kh¡i ni»m v k‚t qu£ cì b£n v• martingale, c¡c dng hi tử, v mt s nh lỵ hi tử quan trồng ca martingale chflng hn nh lỵ hi tử Doob, h m °c tr÷ng v mŁi quan h» cıa chúng vợi h m phƠn phi Chữỡng Ơy l mºt nhœng nºi dung ch‰nh cıa ch÷ìng Trong â ni dung quan trồng nhĐt ca chữỡng xoay quanh hai vĐn ã; lut yu s lợn v lut mnh s lợn cho martingale, ữổc tĂc giÊ trnh b y mửc 2.3 v 2.4 Bản cnh õ tĂc giÊ cặn trnh b y chi tit hai nh lỵ õ l : nh lỵ bĐt flng thức h m bnh phữỡng, ¥y l b§t flng thøc r§t quan trång l m cì sð cho vi»c ¡nh gi¡ v nghi¶n cøu c¡c nh lỵ giợi hn, nhữ lut s lợn v lut giợi hn trung tƠm, v nh lỵ 2.5.2 dũng xĐp x tữỡng ữỡng gia cĂc phữỡng sai iãu kiằn v tŒng b…nh ph÷ìng, m â l mºt nhœng phn lỵ thuyt chnh nghiản cứu cĂc martingale Chữỡng Ơy l phn chnh ca ã t i n y Ơy tĂc giÊ Â trnh b y nhng kt quÊ chnh cĂc lut giợi hn trung tƠm cho martingale nh÷ sü mð rºng cıa tŒng c¡c ⁄i l÷ỉng ngÔu nhiản c lp, v kt quÊ dng Raikov Ơy l mºt ph¡t hi»n quan trång vi»c nghi¶n cøu c¡c martingale thỉng qua c¡c tŒng b…nh ph÷ìng c¡c hi»u ca chúng Qua Ơy, tĂc giÊ xin ữổc gòi lới cÊm ỡn sƠu sc n ngữới thy, ngữới hữợng dÔn khoa hồc ca mnh, GS.TSKH ng Hũng Thng, ngữới  ữa ã t i v tn tnh hữợng dÔn, ch¿ b£o suŁt qu¡ tr…nh nghi¶n cøu cıa t¡c giÊ ỗng thới tĂc giÊ cụng chƠn th nh cÊm ìn c¡c thƒy cæ khoa To¡n - Cì - Tin hồc trữớng i hồc Khoa hồc Tỹ nhiản, i hồc Quc gia H Ni,  to mồi iãu kiằn cho t¡c gi£ v• t i li»u v thı tưc h nh ch‰nh ” t¡c gi£ ho n th nh bÊn lun vôn n y TĂc giÊ cụng gòi lới cÊm ỡn rĐt nhiãu n bn b, c biằt l bn b nhõm XĂc suĐt v thng kả toĂn, lợp Cao hồc 07 - 09,  ng viản giúp ï t¡c gi£ v• t i li»u tham kh£o v kÿ thu“t bi¶n so⁄n Latex Do thíi gian v tr…nh cặn hn ch, chc chn bÊn lun vôn khổng th” tr¡nh khäi nhœng thi‚u sât, t¡c gi£ r§t mong nh“n ÷ỉc sü ch¿ b£o t“n t…nh cıa c¡c thƒy cổ v bn b ỗng nghiằp, tĂc giÊ xin chƠn th nh cÊm ỡn! H Ni, nôm 2012 Hồc viản ii Lới nõi u Trn Vôn Huyn iii BÊng kỵ hi»u CLT hcc bnn L0 L1 L p Lp L jj:jjp ! d ! P L p ! L1 ! a:s: ! X a n = n ^n iv Möc löc Ki‚n thøc chu'n bà 1.1 Martingale 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 1.2 C¡c d⁄ng hºi tö 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.3 CĂc nh lỵ vã sỹ hi tử mar 1.4 H m c trững 1.4.1 1.4.2 C¡c B§t flng Thøc V 2.1 2.2 2.3 2.4 C¡c b§t flng thøc cì b£n B§t flng thøc h m b…nh ph Lu“t y‚u sŁ lỵn Lu“t m⁄nh sŁ lỵn p 2.5 Sü hºi tö L nh Lỵ Giợi Hn Trung TƠm 3.1 nh Lỵ Giợi H⁄n Trung T¥m 3.2 K‚t Qu£ d⁄ng Raikov 3.2.1 3.2.2 v MÖC LÖC T i li»u tham kh£o vi Ch÷ìng Ki‚n thøc chu'n bà 1.1 Martingale 1.1.1 CĂc nh nghắa Sau Ơy ta luổn giÊ sò rng A1; A2; ; An l cĂc dÂy trữớng tông ca trữớng A, tức l A1 A2 An A: nh nghắa 1.1.1 GiÊ sò ( ; A; P ) l khổng gian xĂc suĐt DÂy fX n; An; n Ng, ữổc gồi l : martingale trản ( Łi vỵi An; n N), n‚u (i) (ii) (iii) ch›n fXn; An; n Ng l mºt d¢y tữỡng thch EjXnj < 1; 8n N Vợi m n; m; n N ; E(XnjAm) X m; P - hu chc martingale dữợi ( i vợi An; n N), nu cĂc iãu kiằn (i), (ii) ữổc thỹc hi»n, v (iii’) vỵi m n; m; n N ; E(XnjAm) Xm; P - hƒu ch›c ch›n martingale ( i vợi An; n N), nu cĂc iãu kiằn (i), (ii) ữổc thỹc hiằn, v (iii) vợi m n; m; n N ; E(XnjAm) = Xm; P - hu chc chn ỵ Chữỡng Kin thức chu'n b T nh nghắa ký vồng cõ iãu kiằn, ta cõ: iãu kiằn (iii) tữỡng ữỡng vợi Z Z Xn dP Xm dP; 8A Am; m A iãu kiằn (iii) tữỡng ữỡng vợi Z Z Xn dP Xm dP; A 8A Am; m n: 8A Am; m n: A iãu kiằn (iii ) tữỡng ữỡng vỵi Z Z Xn dP = Xm dP; A n: A A nh nghắa vã martingale dữợi, martingale trản, martingale tữỡng ữỡng vợi: GiÊ sò N = 0; 1; 2; : : : ; N; ( ; A; P ) l khỉng gian x¡c su§t, A0 A1 An An+1 A: Khi â fXn; An; n Ng l : martingale tr¶n, n‚u (i) Xn An; 8n N; (ii) (iii) EjXnj < vỵi n = 1; 2; : : : E(XnjAn 1) X n 1; P hƒu chc chn: martingale dữợi, nu cĂc iãu kiằn (i), (ii) thọa mÂn, v (iii) vợi n = 1; E(XnjAn martingale, nu cĂc iãu kiằn (i), (ii) thọa mÂn, v (iii ) n = 1; 2; : : : E(XnjAn Nhœng nhn xt trản chứng minh ữổc d d ng dỹa v o c¡c t ‰nh ch§t cıa ký vång câ iãu kiằn Chữỡng Kin thức chu'n b 1.1.2 Mºt sŁ v‰ dư v• martingale V‰ dư 1.1.2 Gi£ sò ( n; n N) l dÂy cĂc bin ngÔu nhiản c lp vợi E n = 0; n N: Khi õ dÂy cĂc tng riảng Sn = l +1+ +n dÂy martingale i vợi An = ( 0; ; n): Th“t v“y, Sn An v t‰nh ºc l“p cıa n Łi vỵi An 1; ta câ E(SnjAn 1) = E(Sn + njAn 1) = Sn + E n = S n 1: V‰ dư 1.1.3 Gi£ sß ( n; n N) l E n = 1; n N: Khi õ dÂy cĂc tch riảng Xn = dÂy martingale Łi vỵi An = ( 0; ; n): Th“t v“y, Xn l t‰nh ºc l“p cıa v E(XnjAn 1) = E(Xn n An Łi vỵi An 1; njAn 1) 1 E n = X n 1: = Xn V‰ dư 1.1.4 Gi£ sß X l bi‚n ngÔu nhiản n o õ cõ EjXj < v fAn; n Ng l d¢y khỉng gi£m cıa A Khi â d¢y Xn = E(XjAn) l d¢y martingale Łi vỵi An; n N: Th“t v“y, v… An Xn An ta câ = E(XjAn 1) = E(E(XjAn)jAn 1) = E(XnjAn 1): V‰ dư 1.1.5 Gi£ sß Y0; Y1; l dÂy cĂc bin ngÔu nhiản c lp ph¥n phŁi cho E(Yn) = v EYn < Th… d¢y Zn = l mºt martingale, Łi vợi tnh o ữổc ca cĂc Yj trữớng An = (Y0; Y1; Łi vỵi An 1; vỵi måi j ; Yn): Th“t v“y, n v t‰nh c Chữỡng nh Lỵ Giợi Hn Trung TƠm ta gi£ sß r‹ng E(Snk n ) = vợi mồi n Brown  nh nghắa h m c trững iãu kiằn fn(t) bi fn(t) = Y j Trong tr÷íng hỉp ºc l“p fn l Snkn , ð â Vnk n = a.s Hìn nœa Xni ºc l“p v sŁ thüc t, th… hi”n nhi¶n CLT óng °t l gi¡ trà bnn hœu h⁄n v p ca bin ngÔu nhiản vợi h m c trững l nh lỵ 3.2.2 GiÊ sò rng v rng maxi Th cĂc iãu kiằn sau Ơy l >0; v t p > v gi£ sß r‹ng (3.29) óng v N‚u khæng l h‹ng sŁ a.s v v n Th… i•u ki»n sau l v fn(t)! P e 57 Chữỡng nh Lỵ Giợi Hn Trung TƠm H» qu£ 3.2.3 Gi£ sß r‹ng (3.33) v (3.35) óng, v giÊ thit (3.21) cụng vÔn cặn úng Nu khæng l h‹ng sŁ a.s Th… d 2p Snkn ! Z v EjSnkn j ! 2p: Trong tr÷íng hỉp ºc l“p = a.s v (3.33) thäa m¢n tƒm th÷íng Khi â (3.29) v (3.37) k†o theo (3.35) Chøng minh nh lỵ 3.2.2 GiÊ sò rng (3.28) v (3.29) óng Ta x¡c ành c¡c h m A v B bi‚n x bði ix e = + ix v x B(x) = min( 3; 2): Ta sß dưng b ã sau Ơy: B ã 3.2.4 Vợi n = 1; 2; p dửng b ã trản ta suy v itX E[e nj jFn;j 1] = B§t flng thøc (3.38) ÷ỉc hi”u l 2 2t E(Xnj jFn;j 1) + công v“y, v… log fn(t) = = 2t Vnk n + 2t X h X i log E[e tXnjjFn;j E Xnj A(tXnj)jFn;j i + R n; j 58 Ch÷ìng ð nh Lỵ Giợi Hn Trung TƠm õ jRnj 9t4 h i V maxE(X2 jFn;j 1) P ! nk n j nj dữợi cĂc iãu kiằn (3.28) v log fn(t) + 2t2Vnk2 Sò dửng (3.38) ta cõ vợi måi > 0, E j X n‚u (3.31) l óng, v tł (3.39) ta th§y r‹ng n‚u (3.31) óng th… suy (3.32) l úng BƠy giớ giÊ sò rng (3.28), (3.29) v (3.32) óng B‹ng c¡ch l§y phƒn thüc (3.39), ta suy r‹ng vỵi måi sŁ thüc t 6= 0, Re Phƒn thüc A(x) thäa m¢n Re A(x) = 2 â v‚ tr¡i cıa (3.40) ÷ỉc l m trºi bði V nk n , v hi tử tợi L Miãn hi tử ca nh lỵ (cĂc b ã 2:2:7 v b ã 2:5:5) bƠy giớ cho v 59 Chữỡng nh Lỵ Giợi Hn Trung TƠm php ta l m m⁄nh th nh hºi tư theo x¡c su§t (3.40) th nh hºi tư L Vỵi jxj > 4, v vỵi måi t 6= 0, ta câ phƒn thüc A(x) thäa m¢n: Re A(x) = Do â: b‹ng c¡ch cho t ! 1, tł õ dÔn n (3.31) Nhữ vy ta  chứng minh ữổc rng dữợi cĂc iãu kiằn (3.28) v (3.29) th (3.30) v (3.32) l tữỡng ữỡng GiÊ sò rng (3.28), (3.29) v (3.30) óng H» qu£ 2:1:2 cho martingale 2 fUnj Vnj g; j kn, ta suy rng vợi mồi > 0; P iãu n y ữổc hi”u l max X j K‚t hỉp vỵi (3.29) i•u n y ch¿ r‹ng j i•u n y tữỡng ữỡng vợi iãu kiằn V trĂi (3.41) ữổc l m trºi bði U hºi tö bºi cho ph†p chóng ta l m m⁄nh sü hºi tư (3.41) th nh hºi tư L i•u n y trỹc tip dÔn n (3.31) Nu (3.28) v (3.31) úng, th (3.30) suy t nh lỵ 2:5:2 i•u n y ho n thi»n chøng minh phƒn ƒu ca nh lỵ BƠy giớ t p > v gi£ thi‚t (3.29) v (3.33) Th… fV 2p ;n 1g l kh£ nkn t‰ch •u N‚u (3.34) óng, th… (3.30) cụng úng, õ (3.31) l úng T nh lỵ 2:5:2 ta suy (3.35) Ng÷ỉc l⁄i n‚u (3.35) óng, th (3.31) cụng 60 Chữỡng nh Lỵ Giợi Hn Trung TƠm úng, v t nh lỵ 2:5:2 Ôn n (3.38) Phƒn cỈn l⁄i ta ch¿ cƒn chøng minh (3.34) v (3.36) l tữỡng ữỡng nh nghắa bnn Yni; Zni; Ani v Bni nhữ nh lỵ 2:5:2, xĂc nh nh÷ sau Yni = XniI(jXnij Z =X ni Y ni Ani = YniI(Vni 1) E[XniI(jXnij 1)jFn;i 1]; ni ); v B =Y ni A ni ni T§t c£ cĂc i lữổng õ ãu l martingale hiằu Vợi mồi r > cõ t nh lỵ 2:2:1 v nh lỵ 2:2:2 tỗn ti cĂc hng s K1 v K2 cho E i X j Nh÷ v“y j p;j A (V… Y ni ni Ani ( l kh£ t‰ch •u Ta d„ d ng chøng minh E ÷ỉc: 2 Bni jFn;i = E Yni I(Vni > )jFn;i E Xni jFn;i I(Vni > ): Do â ta câ: E i X 61 Chữỡng nh Lỵ Giợi Hn Trung TƠm K2 (E " K2 (E " K fE[V 2 nkn Ta suy tł (3.33) r‹ng Xi n sup E Ta cụng cõ E i X Dữợi iãu kiằn (3.34) hoc (3.36), mỉi iãu kiằn õ dÔn n (3.31) N‚u (3.34) óng, th… (3.32) cơng óng theo c¡ch n y, v Ơy l phn u ca (3.36) iãu kiằn (3.36) Ôn n fU 2p g l khÊ tch ãu, v v… nkn Xi t‰nh kh£ t‰ch •u cıa f( i (3.44) bƠy giớ ngử ỵ rng v t p Zni ) g suy tł (3.42) v P nh lỵ 2:2:1, 2p X Chồn l im liản tửc cıa E B¥y gií ta câ, E i i E X = 62 Chữỡng nh Lỵ Giợi H⁄n Trung T¥m X =2 E[Xni I(jXnij > 1)]! i 0; v v… X ni ð â 2 = I( P )I(V E(X2 jF 2 ; ni n;i ) + I( > )! ); tł â suy r‹ng Tł h» qu£ tr÷ng Ee 3:212:4 t 2p X Nh÷ng EjS nkn j2p v công tł (3.43), (3.46) v (3.47), 2p 2p lim lim supj(EjSnkn j )21p (EjZ j )21p j = 0; !1 n!1 i•u n y thi‚t l“p (3.36) CuŁi cịng, vỵi gi£ thi‚t (3.36) 2p ƒu cıa ành lỵ DÂy fjSnkn j g l iãu kiằn (3.30) theo sau tł mºt phƒn i X t‰nh kh£ t‰ch •u ca fj P (3.44) bƠy giớ ữổc hiu l (3.46), tł â suy (3.41) Nh÷ng 2p v tł c¡c i•u ki»n (3.42), (3.43), (3.45) k†o theo t‰nh kh£ tch ãu ca fU vợi (3.30) dÔn tợi (3.34) nkn 63 2p g Còng T i li»u tham kh£o o Hu Hỗ (1998), XĂc suĐt thng kả, In ln thø 3, Nh xu§t b£n ⁄i håc quŁc gia H Nºi, 224 Tr °ng Hòng Th›ng (1998), Mð ƒu vã lỵ thuyt XĂc suĐt v cĂc ứng dửng, In lƒn thø hai, Nh xu§t b£n Giaos dưc H Nºi, 218 Tr Nguy„n Vi‚t Phó, Nguy„n Duy Ti‚n (1983), Cỡ s lỵ thuyt XĂc suĐt, Nh xuĐt bÊn i håc v trung håc chuy¶n nghi»p H Nºi, 462 Tr Nguy„n Duy Ti‚n, °ng Hịng Th›ng (2000), C¡c mỉ h…nh X¡c su§t v øng dưng, Phƒn II qu¡ tr…nh dłng v øng dưng, Nh xu§t b£n ⁄i håc QuŁc Gia, H Nºi Nguy„n Duy Ti‚n, °ng Hòng Th›ng (2000), C¡c mỉ h…nh X¡c su§t v øng dưng, Phƒn III giÊi tch ngÔu nhiản, Nh xuĐt bÊn i hồc QuŁc Gia, H Nºi Adler, R J (1978) A martingale central limit theorem without negligibility conditions Bull Austral Math Soc 18, 13-19 [52] Adler, R J, and Scott, D J (1975) Martingale central limit theorem without negligibility conditions: Corrigendum Bull Austral Math Soc 18, 311-319 [52] Aldous, D J (1977b) Limit theorems for subsequencens of arbitrarily-dependent sequences of random variables Z Wahrsch Verw Gebiete 40, 59-82 [207, 208] William Feller (1971) An Introduction to Propability Theory and Its Applications 64 ... Billlingsley, v ºc l“p vợi Ibragimov,  thit lp nh lỵ giợi hn trung tƠm cho cĂc martingale vợi cĂc hiằu ữổc giÊ thit dng v thọa mÂn giÊ thit ergodic CĂc martingale nhữ v“y câ ph÷ìng sai ti»m c“n h‹ng sŁ... ch‰nh c¡c lu“t giỵi h⁄n trung tƠm cho martingale nhữ sỹ m rng ca tng cĂc i lữổng ngÔu nhiản c lp, v kt quÊ d⁄ng Raikov ¥y l mºt ph¡t hi»n quan trång vi»c nghi¶n cøu c¡c martingale thỉng qua c¡c... nh nghắa vã martingale dữợi, martingale trản, martingale tữỡng ữỡng vợi: GiÊ sò N = 0; 1; 2; : : : ; N; ( ; A; P ) l khỉng gian x¡c su§t, A0 A1 An An+1 A: Khi â fXn; An; n Ng l : martingale tr¶n,