Một số dạng luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian banach p khả trơn

I HC QUăC GIA H NáI TRNG I HC KHOA HÅC TÜ NHIÊN LÊ VĂN DŨNG MËT SÈ D„NG LUŠT SÈ LỴN CHO MƒNG BI˜N NGˆU NHIÊN NHŠN GIÁ TRÀ TRONG KHÔNG GIAN BANACH p-KHƒ TRƠN LU N NTI NS TO NHC H Ni - 2013 I HC QUăC GIA H NáI TRìNG I HC KHOA HC Tĩ NHI N Lả Vôn Dụng MáTSăD NGLU TSăLNCHOM NGBI NNG U NHI N NH N GI TRÀ TRONG KH˘NG GIAN BANACH p-KH TRèN Chuyản ng nh: Lỵ thuyt xĂc suĐt v thng kả toĂn hồc M s: 62 46 15 01 LU N NTI NS TO NHC Ngữới hữợng dÔn khoa hồc: GS TSKH Nguy„n Duy Ti‚n H Nºi - 2013 L˝I CAM OAN Tỉi xin cam oan ¥y l cỉng tr…nh nghi¶n cøu cıa ri¶ng tỉi C¡c k‚t qu£ n¶u lu“n ¡n l trung thüc v ch÷a tłng ÷ỉc cỉng bŁ b§t k… cỉng tr…nh n o kh¡c TĂc giÊ Lả Vôn Dụng LIC MèN Lun Ăn ữổc ho n th nh dữợi sỹ hữợng dÔn ca GS TSKH Nguy„n Duy Ti‚n T¡c gi£ xin b y tä lặng bit ỡn sƠu sc nhĐt tợi Thy v sỹ nh hữợng v sỹ gổi m vĐn ã ca Thy nghi¶n cøu, sü nghi¶m kh›c cıa Thƒy håc t“p v v… t…nh th÷ìng cıa Thƒy d nh cho t¡c gi£ cuºc sŁng Trong qu¡ tr…nh håc t“p v ho n th nh lu“n ¡n, t¡c gi£ ¢ nhn ữổc sỹ quan tƠm giúp ù v gõp ỵ ca GS.TS Nguyn Hu Dữ, GS TS Nguyn Vôn Hu, TS Nguy„n V«n Hịng, TS Nguy„n H›c H£i, PGS TS Hỗ ông Phúc, PGS TS Phm Ngồc Phúc, PGS TS Nguy„n V«n Qu£ng, PGS.TS Trƒn Hịng Thao, GS TSKH °ng Hũng Thng, PGS TS Phan Vit Thữ, TS Lả Vôn Th nh, T¡c gi£ xin ch¥n th nh cÊm ỡn tợi quỵ thy v bn Lả Vôn Th nh vã sỹ giúp ù quỵ bĂu õ TĂc giÊ xin gòi lới cÊm ỡn tợi Khoa ToĂn - Cỡ - Tin hồc, Phặng Sau i hồc, Trữớng i håc Khoa håc Tü nhi¶n - ⁄i håc QuŁc Gia H Ni, nỡi tĂc giÊ Â hồc v nghiản cứu t nôm 2008 tợi TĂc giÊ xin gòi lới cÊm ỡn tợi Thy, Cổ B mổn Lỵ thuyt xĂc suĐt v thng kả toĂn, Khoa ToĂn - Cỡ - Tin hồc  giúp ù tĂc giÊ rĐt nhi•u qu¡ tr…nh håc t“p v ho n th nh lu“n ¡n T¡c gi£ xin gßi líi c£m ìn tợi Trữớng i hồc Sữ phm - i hồc Nfing, cĂc ỗng nghiằp Khoa ToĂn - Trữớng i hồc Sữ ph⁄m, nìi t¡c gi£ ang cỉng t¡c v gi£ng d⁄y TĂc giÊ xin gòi lới cÊm ỡn tợi tĐt cÊ thy cổ, gia nh v bn b  gõp ỵ, ıng hº v ºng vi¶n t¡c gi£ qu¡ tr…nh håc t“p v ho n th nh lu“n ¡n L¶ V«n Dơng MƯC LƯC Nhœng k‰ hi»u dịng lu“n ¡n Mð ƒu Ch÷ìng Ki‚n thøc chu'n bà 1.1 1.2 1.3 K… vång câ i•u ki»n Mºt sŁ d⁄ng hºi tư cıa m£n Khỉng gian Banach p-kh Chữỡng Lut mnh s lợn cho mÊng bin ngÔu nhiản 2.1 2.2 Chuỉi kp cĂc bin ngÔu n Lu“t m⁄nh sŁ lỵn Chữỡng mÊng bin ngÔu nhiản 3.1 3.2 3.3 3.4 Kh£ t‰ch •u ành l‰ hºi tö theo trung b Lu“t y‚u sŁ lỵn Feller Lu“t y‚u sŁ lỵn Łi vỵi m£ng K‚t lu“n v Danh mưc c¡c cỉng tr…nh khoa håc cıa t¡c gi£ li¶n quan ‚n lu“n ¡n T i li»u tham kh£o NHÚNG K HI U DÒNG TRONG LU N N R E kk B(E) ( ; F; P ) Card(A) I(A) a := b (k; l) (m; n) m_n m^n log(x) + log (x) [x] N Tp hổp cĂc s nguyản dữỡng T“p hæp c¡c sŁ thüc Khæng gian Banach thüc v kh£ ly Chu'n tr¶n khỉng gian Banach E - ⁄i sŁ Borel tr¶n khỉng gian Banach E Khỉng gian x¡c suĐt y S phn tò ca hổp A H m ch tiảu ca hổp A a ữổc g¡n b‹ng b k mv l n maxfm; ng minfm; ng logarit cì sŁ e cıa x maxflog(x); 0g SŁ nguyản lợn nhĐt khổng vữổt quĂ x M U L chồn ã t i 1.1 Kolmogorov  tng nõi "GiĂ tr chĐp nhn ữổc ca lỵ thuyt xĂc suĐt l cĂc nh l giợi hn, cĂc kt quÊ ch yu nhĐt v quan trồng nhĐt ca lỵ thuyt xĂc suĐt l cĂc lut s lợn", v lut s lợn ữổc Ănh giĂ l mt ba viản ngồc quỵ ca lỵ thuyt xĂc suĐt Ng y nay, lut s lợn vÔn ang l vĐn ã cõ tnh thới sỹ ca lỵ thuyt xĂc suĐt 1.2 T nhng nôm 1950 tr li Ơy, lut s lợn  ữổc nghiản cứu m rng cho dÂy bin ngÔu nhiản nhn gi¡ trà khỉng gian Banach Ng y v§n ã n y vÔn ang ữổc tip tửc nghiản cứu 1.3 Lut s lợn i vợi dÂy bin ngÔu nhiản martingale nhn giĂ tr khổng gian Banach  ữổc nghiản cứu bi nhiãu tĂc giÊ cõ tản tui Tuy nhiản viằc m rng khĂi niằm martingale cho mÊng nhiãu ch s gp khõ khôn nản cĂc nh l giợi hn i vợi mÊng nhiãu ch s cĂc bin ngÔu nhiản khổng c lp vÔn chữa ữổc nghiản cứu nhiãu Vợi cĂc l trản chúng tổi quyt nh chồn • t i nghi¶n cøu cho lu“n ¡n cıa m…nh l : Mºt sŁ d⁄ng lu“t sŁ lỵn cho m£ng bin ngÔu nhiản nhn giĂ tr khổng gian Banach p-kh£ trìn Mưc ‰ch nghi¶n cøu Lu“n ¡n nghi¶n cøu sü hºi tö cıa chuØi k†p, lu“t m⁄nh sŁ lỵn Kolmogorov v lu“t m⁄nh sŁ lỵn Marcinkiewicz - Zygmund i vợi mÊng bin ngÔu nhiản, hi tử theo trung b…nh b“c p, lu“t y‚u sŁ lỵn Feller v lu“t yu s lợn i vợi mÊng bin ngÔu nhiản dữợi iãu kiằn khÊ tch ãu i tữổng nghiản cứu i tữổng nghiản cứu l mÊng bin ngÔu nhiản nhn gi¡ trà khæng gian Banach Ph⁄m vi nghiản cứu Lun Ăn nghiản cứu lut s lợn i vợi mÊng bin ngÔu nhiản nhn giĂ tr khổng gian Banach Phữỡng phĂp nghiản cứu Chúng tổi sò dửng cĂc kắ thut ca giÊi tch v xĂc suĐt, k¾ thu“t martingale ” chøng minh c¡c ành l‰ hºi tử Mt s b ã quan trồng nhữ: B ã Borel-Cantelli, B ã Toeplitz v BĐt flng thức cỹc i Kolmogorov, BĐt flng thức Doob, cụng ữổc sò dửng chứng minh cĂc kt quÊ ị nghắa khoa hồc v thỹc tin ị nghắa khoa hồc: gõp phn l m phong phó th¶m c¡c k‚t qu£ v sü hi”u bi‚t v• sü hºi tư cıa chi, lu“t m⁄nh sŁ lỵn, hºi tư theo trung b…nh v lu“t y‚u s lợn i vợi mÊng bin ngÔu nhiản nhn giĂ tr khổng gian Banach ị nghắa thỹc tin: lun Ăn gõp phn phĂt trin lỵ thuyt vã cĂc nh l giợi hn ca mÊng bin ngÔu nhiản nhn giĂ tr khổng gian Banach lỵ thuyt xĂc suĐt TŒng quan v c§u tróc lu“n ¡n 7.1 TŒng quan lun Ăn CĂc nh l giợi hn lỵ thuyt xĂc suĐt nõi chung v lut s lợn nõi riảng õng vai trặ quan trồng phĂt trin lỵ thuyt v thỹc h nh xĂc suĐt v thng kả Lut s lợn u tiản ca James Bernoulli ữổc cổng b nôm 1713 Vã sau, kt quÊ n y ữổc Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov mð rºng Tuy nhi¶n, ph£i ‚n nôm 1909 lut mnh s lợn mợi ữổc E Borel ph¡t hi»n K‚t qu£ n y cıa Borel ÷ỉc Kolmogorov ho n thi»n v o n«m 1926 Lu“t m⁄nh sŁ lợn Kolmogorov phĂt biu rng: Nu fX ng l dÂy cĂc bin ngÔu nhiản c lp vợi cĂc moment bc hœu h⁄n, fb ng l d¢y c¡c h‹ng sŁ cho < bn " Khi â, n‚u th… â Sn = X1 + X2 + ::: + Xn Sau Day [10] ÷a khĂi niằm khổng gian Banach p-khÊ trỡn,  cõ rĐt nhiãu tĂc giÊ nghiản cứu lut s lợn i vợi dÂy bin ngÔu nhiản nhn giĂ tr khổng gian Banach p-kh£ trìn nh÷: Woyczynski, Hoffmann-J rgensen, Pisier, Assouad [2]  ữa iãu kiằn cn v mºt khæng gian Banach thüc kh£ ly l khæng gian p-khÊ trỡn dỹa trản dÂy bin ngÔu nhiản martingale Hoffmann-J rgensen v Pisier [22]  ữa ữổc tnh chĐt c trững ca khổng gian p-khÊ trỡn vã lut s lợn Kolmogorov Trong nhng nôm gn Ơy nhiãu tĂc giÊ vÔn tip tửc nghiản cứu cĂc nh l giợi hn trản khổng gian p-khÊ trỡn nhữ: Nguyn Vôn QuÊng [33, 34, 35], Volodin, A I.[1], Sung, S H [41, 42], v  thu ữổc nhiãu kt quÊ quan trồng Vi»c nghi¶n cøu c¡c ành l‰ hºi tư theo trung bnh bc p cụng l mt hữợng thu ữổc lut yu s lợn CĂc tĂc giÊ thu ữổc nhiãu k‚t qu£ v• hºi tư theo trung b…nh v lu“t yu s lợn i vợi mÊng bin ngÔu nhiản nhng nôm gn Ơy phÊi k n l Adler, A [1], Cabrera, M O [5], Chandra, T K [6], L¶ V«n Th nh [45] Trong lu“n ¡n n y chóng tổi tip tửc nghiản cứu lut s lợn i vợi mÊng bin ngÔu nhiản nhn giĂ tr khổng gian Banach p-kh£ trìn Vi»c mð rºng kh¡i ni»m martingale sang mÊng nhiãu chiãu gp phÊi khõ khôn xƠy dỹng quan h» thø tü M°c dị v“y, cơng ¢ câ mºt sŁ t¡c gi£ x¥y düng kh¡i ni»m martingale Łi vợi mÊng nhiãu chiãu Trong lun Ăn n y thay v xƠy dỹng khĂi niằm martingale cho mÊng chiãu, chúng tổi  xƠy dỹng mÊng - i s trản mÊng bin ngÔu nhiản  cho cho vÔn thu ữổc bĐt flng thức cỹc i i vợi mÊng nhiãu chiãu tữỡng tỹ bĐt flng thức cỹc i mÊng chiãu V Ơy l bĐt flng thức quan trồng nhĐt thit lp lut s lợn Viằc m rng cho trữớng hổp d (d > 2) chiãu ho n to n t÷ìng tü tr÷íng hỉp m£ng chiãu nản lun Ăn n y chúng tổi ch xt cho mÊng bin ngÔu nhiản chiãu CĂc kt quÊ ca lun Ăn  ữổc bĂo cĂo ti cĂc hºi nghà: Hºi nghà to n quŁc lƒn thø vã XĂc suĐt v thng kả (Vinh, 5/2010), Hi Ngh Khoa Håc Khoa To¡n - Cì - Tin håc (trữớng H Khoa hồc Tỹ nhiản-HQG H Ni, 10/2010), v  ữổc ông cĂc ch: Acta Mathematica Vietnamica, Statistics and Probability Letters, Lobachevskii Journal of Mathematics, Bulletin of the Korean Mathematical Society, Journal of the Korean Mathematical Society 7.2 C§u tróc lu“n ¡n Ngo i phƒn mð ƒu, K‚t lu“n, Danh mưc c¡c b i b¡o cıa nghi¶n cøu sinh li¶n quan ‚n lu“n ¡n v t i li»u tham kh£o, lu“n ¡n ÷ỉc tr…nh b y ba ch÷ìng Ch÷ìng tr…nh b y c¡c kh¡i ni»m v• k… vång, k… vång câ i•u ki»n cıa bi‚n ngÔu nhiản nhn giĂ tr khổng gian Banach, mt s dng hi tử ca mÊng bin ngÔu nhiản v thi‚t l“p b§t flng thøc cüc ⁄i cho m£ng bi‚n ngÔu nhiản nhn giĂ tr khổng gian Banach Chữỡng thit lp iãu kiằn hi tử i vợi chuỉi kp ca mÊng hai chiãu cĂc bin ngÔu nhiản Cụng Ch÷ìng chóng tỉi khỉng ch¿ thi‚t l“p lu“t mnh s lợn m cặn ữa ữổc tc hºi tư cıa lu“t sŁ lỵn Łi vỵi m£ng bi‚n ngÔu nhiản nhn giĂ tr khổng gian Banach Chữỡng ÷a c¡c ành l‰ hºi tư theo trung bnh bc p v lut yu s lợn gỗm lut yu s lợn Feller vợi ch s ngÔu nhiản v khổng ngÔu nhiản v thit lp iãu kiằn khÊ tch •u l i•u ki»n ı ” thu ÷ỉc lu“t y‚u s lợn i vợi tng kp cĂc bin ngÔu nhiản cõ ch s ngÔu nhiản Chữỡng gỗm mửc Mưc 3.1 tr…nh b y kh¡i ni»m kh£ t‰ch •u, mưc 3.2 tr…nh b y c¡c k‚t qu£ v• ành l‰ hºi tö trung b…nh, möc 3.3 v 3.4 tr…nh b y cĂc kt quÊ vã lut yu s lợn Chøng minh Chøng minh ho n to n t÷ìng tỹ nhữ chứng minh nh l 3.4.1 vợi p = 64 K‚t lu“n ch÷ìng Trong Ch÷ìng 3, lu“n Ăn  giÊi quyt ữổc cĂc vĐn ã sau: - Thi‚t l“p ÷ỉc c¡c ành l‰ hºi tư theo trung bnh bc p cho mÊng chiãu cĂc bin ngÔu nhiản E-giĂ tr dữợi iãu kiằn khÊ tch ãu - Chøng minh ÷ỉc sü hºi tư theo trung b…nh b“c p cho mÊng bin ngÔu nhiản E-giĂ tr dữợi iãu kiằn Kolmogorov - Thit lp ữổc lut yu s lợn vợi ch s ngÔu nhiản v khổng ngÔu nhiản cho mÊng bin ngÔu nhiản E-giĂ tr dng lut s lợn Feller - Thit lp ữổc lut yu s lợn vợi ch s ngÔu nhiản cho mÊng bin ngÔu nhiản E-giĂ tr dữợi iãu kiằn khÊ tch ãu 65 K TLU NV KI NNGHÀ I K‚t lu“n Lu“n ¡n nghi¶n cøu sỹ hi tử ca chuỉi ngÔu nhiản, lut mnh s lỵn, lu“t y‚u sŁ lỵn v hºi tư theo trung bnh bc p ca mÊng bin ngÔu nhiản nhn giĂ trà khỉng gian Banach p-kh£ trìn K‚t qu£ ch‰nh cıa lu“n ¡n l : Thi‚t l“p i•u ki»n hi tử ca chuỉi kp i vợi mÊng bin ngÔu nhi¶n: ành l‰ mºt chuØi v ành l‰ chuØi Ngo i lun Ăn cặn thit lp ữổc iãu kiằn hi tử ca chuỉi kp cĂc bin ngÔu nhiản b chn ngÔu nhiản Thit lp lut mnh s lỵn Kolmogorov v lu“t m⁄nh sŁ lỵn MarcinkiewiczZygmund Łi vỵi mÊng bin ngÔu nhiản nhn giĂ tr khổng gian Banach p-kh£ trìn Thi‚t l“p mºt sŁ ành l‰ hºi tö theo trung b…nh b“c p cıa m£ng bi‚n ngÔu nhiản nhn giĂ tr khổng gian Banach p-khÊ trỡn dữợi iãu kiằn khÊ tch ãu Thit lp lu“t y‚u sŁ lỵn Feller v lu“t y‚u sŁ lỵn dữợi iãu kiằn khÊ tch ãu i vợi mÊng bin ngÔu nhiản nhn giĂ tr khổng gian Banach p-khÊ trìn II Ki‚n nghà Trong thíi gian tỵi chóng tỉi mong mun tip tửc nghiản cứu nhng vĐn ã sau: Nghiản cứu lut s lợn cĂc bin ngÔu nhiản nh“n gi¡ trà khỉng gian Hilbert Nghi¶n cøu nh l giợi hn trung tƠm i vợi mÊng cĂc bin ngÔu nhiản E-giĂ tr 66 DANH MệC C C C˘NG TR NH KHOA H¯C CÕA T C GI LI NQUAN NLU N N Le Van Dung, Thuntida Ngamkham, Nguyen Duy Tien, Andrei Volodin (2009), "Marcinkiewicz-type law of large numbers for double arrays of random elements in Banach spaces", Lobachevskii Journal of Mathe-matics 30 (4), pp.337-34 Le Van Dung, Nguyen Duy Tien (2010), "Strong laws of large numbers for random fields in martingale type p Banach spaces", Statistics and Probability letters 80 (9-10), pp.756-763 Le Van Dung (2010), "Weak laws of large numbers for double arrays of random elements in Banach spaces", Acta Mathematica Vietnamica 35, pp.387-398 Le Van Dung, Nguyen Duy Tien (2010), "Mean convergence theorems and weak laws of large numbers for double arrays of random elements in Banach spaces", Bull.Math Korean 47, pp.467 482 Nguyen Duy Tien, Le Van Dung (2012), "Convergence of double random series of random elements in Banach spaces", Journal of the Korean Mathematical Society 49, pp.1053-1064 67 T ILI UTHAMKH O [1] Adler, A., Rosalsky, A., Volodin, A I (1997), "A mean convergence theorem and weak law for arrays of random elements in martingale type p Banach spaces", Statistics and Probability Letters 32, pp.167-174 [2] Assouad, P (1975), Espaces p-lisses et q-convexes, In†galit†s de Burkholder, S†minaire Maruey-Schwartz, Exp ZV [3] Borovskykh, Yu V and Korolyuk, V S (1997), Martingale Approxi-mation, VSP [4] Cabrera, M O (1988), "Limit theorems for randomly weighted sums of random elements in normed linear spaces", Journal of Multivariate Analysis 25 (1), pp.139-145 [5] Cabrera, M O (1994), "Convergence of weighted sums of random variables and uniform integrability concerning the weights", Col-lectanea Mathematica 45 (2), pp.121-132 [6] Chandra, T K (1989), "Uniform integrability in the Ces ro sense and the weak law of large numbers", Sankhy¢ Ser A 51 (3), pp.309317 [7] Choi, B.D., Sung, S.H (1985), "On convergence of (S n 1=r ESn)=n ; < r < for pairwise independent random variables", Bull Korean Math Soc 22 (2), pp.79-82 [8] Chow, Y S., Teicher, H., (1997), Probability Theory Independence, Interchangeability, Martingale, Springer, New York 68 [9] Czerebak-Mrozowicz, E B., Klesov, O I., Rychlik, Z (2002), "Marcinkiewicz-type strong laws of large numbers for pairwise independent random fields", Probability and mathematical statistics 22 (1), pp.127-139 [10] Day, M.M, (1944), "Uniform convexity in factor and conjugate spaces", Ann.of Math 45, pp.375 -385 [11] Le Van Dung, Ngamkham, Th., Nguyen Duy Tien, Volodin, A I (2009), "Marcinkiewicz-type law of large numbers for double arrays of random elements in Banach spaces", Lobachevskii Journal of Mathe-matics 30 (4), pp.337-34 [12] Le Van Dung, Nguyen Duy Tien (2010), "Strong laws of large numbers for random fields in martingale type p Banach spaces" Statistics and Probability letters 80 (9-10), pp.756-763 [13] Le Van Dung (2010), "Weak laws of large numbers for double arrays of random elements in Banach spaces", Acta Mathematica Vietnamica 35, pp.387-398 [14] Le Van Dung, Nguyen Duy Tien (2010), "Mean convergence theorems and weak laws of large numbers for double arrays of random elements in Banach spaces", Bull.Math Korean 47, pp.467 - 482 [15] Etemadi, N (1981), "An elementary proof of the strong law of large numbers", Z Wahrsch Verw Gebiete 55 (1), pp.119122 [16] Edgar,G A., Louis, S (1992), Stopping times and directed processes, 47, Cambridge University, England [17] Fazekas, I., Tâm¡cs, T (1998), "Strong laws of large numbers for pair-wise independent random variables with multidimensional indices", Publ Math Debrecen 53 (1-2), pp.149161 [18] Feller, W (1971), An introduction to probability theory and its appli-cations, 2, 2nd ed Wiley, New York 69 [19] Gut, A (2001), "Convergence rates in the central limit theorem for multidimensionally indexed random variables", Studia Sci Math Hungar 37, pp.401-418 [20] Gut, A., Spataru, A (2003), "Precise asymptotics in some strong limit theorems for multidimensionally indexed random variables", J Mul-tivariate Anal 86 (2), pp.398-422 [21] Gut, A., Stadtmuller, U (2009), "An asymmetric Marcinkiewicz-Zygmund LLN for random fields", Statistics and Probability Letters 79, pp.1016-1020 [22] Hoffmann-J rgensen, J., Pisier, G (1976), "The law of large numbers and the central limit theorem in Banach spaces", Ann.Probability 4(4), pp.587-599 [23] Hong, J I., Tsay, J (2010), "A strong law of large numbers for random elements in Banach spaces", Southest Asian Bulletin of Mathematics 34, pp.257-264 [24] Hong, D H., Cabrera, O M., Sung S H., Volodin, A I (2000), "On the weak law for randomly indexed partial sums for arrays of random elements in martingale type p Banach spaces", Statistics and Proba-bility Letters 46, pp.177-185 [25] Hong, D.H., Hwang, S.Y (1999), "Marcinkiewicz-type strong law of large numbers for double arrays of pairwise independent random vari-ables", Int J Math Math Sci 22 (1), pp.171-177 [26] Hong, D.H., Volodin, A.I (1999), "Marcinkewicz-type law of large numbers for double arrays", J.Korean Math.Soc 36 (6), pp.1133 1143 [27] Kwapien, S., Woyczynski, W.A (1992), Random Series and Stochastic Integrals: Single and Multiple, Birkhauser, Boston 70 [28] Landers, D., Rogge, L (1987), "Laws of large numbers for pairwise independent uniformly integrable random variables", Math Nachr 130, pp.189-192 [29] Lindenstrauss J (1963), "On the modulus of smoothness and diver-gent series in Banach spaces", Michigan Math J 10, pp.241-252 [30] Lo–ve, M (1977), Probability Theory, I, 4th Edition Springer, New York [31] Pisier, G (1975), "Martingales with values in uniformly convex spaces", Israel J Math 20 (3-4), pp.326-350 [32] Pisier, G (1986), "Probabilistic methods in the geometry of Banach spaces, in: Probability and Analysis (Varenna, 1985)", Lecture Notes in Math Springer, Berlin 1206, pp.167-241 [33] Nguyen Van Quang, Le Hong Son (2006), "On the weak law of large numbers for sequences of Banach space valued random elements", Bull.Korean.Soc 43 (3), pp.551-558 [34] Nguyen Van Quang, Nguyen Ngoc Huy (2008), "Weak law of large numbers for adapted double arrays of random variables", J.Korean.Soc 45 (3), pp.795-805 [35] Nguyen Van Quang, Le Van Thanh (2006), "Marcinkiewicz-Zigmund law of large numbers for blockwise adapted sequence", Bull Korean Math Soc 43 (1), pp.213-223 [36] Nguyen Van Quang, Le Van Thanh, Nguyen Duy Tien (2011), "Al-most sure convergence for double arrays of block-wise M-dependent random elements in Banach spaces", Georgian Mathematical Journal 18, pp.777-800 [37] Rosalsky, A., Le Van Thanh ( 2006), "Strong and weak laws of large numbers for double sums of independent random elements in Rader- 71 macher type p Banach spaces", Stoch Anal Appl 24 (6), pp.1097-1117 [38] Scalora, F S (1961), "Abstract martingale convergence theorems", Pacific J Math 11, pp.347-374 [39] Shixin, G (2010), "On almost sure convergence of weighted sums of random element sequences",Acta Mathematica Scientia 30 (4), pp.1021-1028 [40] Su, C., Tong, T J (2004), "Almost Sure Convergence of the General Jamison Weighted Sum of B-Valued Random Variables", Acta Mathematica Sinica English Series 20 (1), pp.181-192 [41] Sung, S H (1999), "Weak law of large numbers for arrays of random variables", Statist Probab Lett 42 (3), pp.293298 [42] Sung, S H., Hu, T.C., Volodin, A.I (2006), "On the weak laws with random indices for partial sums for arrays of random elements in mar-tingale type p Banach spaces", Bull.Korean.Soc 43 (3), pp.543549 [43] Stadtmulle, U., Le Van Thanh (2011), "On the limit theorems for double arrays of blockwise M-dependent random variables", Acta Math Sinica (English Series) 27, pp.1923-1934 [44] Stadtmuller, U., Thalmaier, M (2009), "Strong laws for delayed sums of random fields", Acta Sci Math (Szeged) 75 (3-4), pp.723-737 [45] Le Van Thanh (2006), "Mean convergence theorems and weak laws of large numbers for double arrays of random variables", Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis, pp.1-15 [46] N D Tien (1980), "On Kolmogorov’s three series theorem and mean square convergence of martingales in a Banach space", Theory Probab Appl 24, pp.797-808 72 [47] Nguyen Duy Tien, Le Van Dung (2012), "Convergence of double ran-dom series of random elements in Banach spaces", Journal of the Ko-rean Mathematical Society 49, pp.1053-1064 [48] Wei, D., Taylor, R L (1978), "Convergence of weighted sums of tight random elements", Journal of Multivariate Analysis (2), pp.282-294 [49] Woyczynski, W.A (1978), Geometry and martingales in Banach spaces II Independent increments, Probability on Banach spaces, Adv Probab Related Topics, 4:267-517, Dekker, New York [50] Woyczynski, W.A (1981), "Asymptotic behavior of martingales in Ba-nach spaces II", Martingale theory in harmonic analysis and Banach spaces, Lecture Notes in Mathematics, 939, 216-225 73 ... (2:8) ta câ n q l P max m 20 p k k cho k ^ l ! 1, ta ÷ỉc m p k pq @ P n q sup S Tł (2:2) suy 1 XX p EkXijk ! n ! i=1 j=n v XX 1 p EkXijk ! m ! 1: i=m j=1 V… v“y, P @ n q sup m p i•u n y chøng tä... sup k D„ d ng th§y r‹ng måi khỉng gian Banach thüc kh£ ly •u l khỉng gian 1-kh£ trìn, ÷íng thflng thüc R l khỉng gian 2-kh£ trìn N‚u E l khỉng gian Banach p- kh£ trìn (1 < p 2) th… E l khæng gian. .. Banach thüc v kh£ ly Chu'n tr¶n khỉng gian Banach E - ⁄i sŁ Borel tr¶n khỉng gian Banach E Khổng gian xĂc suĐt y S phn tò cıa t? ?p h? ?p A H m ch¿ ti¶u cıa t? ?p h? ?p A a ÷ỉc g¡n b‹ng b k mv l n maxfm;