Các định lý giới hạn cho martingale

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ CÔNG SƠN CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN CHO MARTINGALE LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ CÔNG SƠN CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN CHO MARTINGALE Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học 62460106 Mã số: LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG Hà Nội - 2014 L˝I CAM OAN Tổi xin cam oan Ơy l cổng trnh nghiản cøu cıa ri¶ng tỉi C¡c k‚t qu£ n¶u lu“n ¡n l trung thüc v ch÷a tłng ÷ỉc cỉng bŁ b§t k… cỉng tr…nh n o kh¡c T¡c gi£ T⁄ Cỉng Sìn L˝IC MÌN T¡c gi£ xin b y tọ lặng bit ỡn sƠu sc nhĐt tợi Thy, GS TSKH ng Hũng Thng v sỹ nh hữợng v sỹ gổi m vĐn ã ca Thy nghiản cứu, sü nghi¶m kh›c cıa Thƒy håc t“p v sü bao dung cıa Thƒy cuºc sŁng d nh cho tĂc giÊ TĂc giÊ xin gòi lới cÊm ỡn tợi Khoa To¡n - Cì - Tin håc, PhỈng Sau ⁄i hồc, Trữớng i hồc Khoa hồc Tỹ nhiản - i håc QuŁc Gia H Nºi, nìi t¡c gi£ ¢ håc v nghiản cứu TĂc giÊ xin gòi lới cÊm ỡn tợi cĂc Thy, Cổ B mổn XĂc suĐt v thŁng k¶, Khoa To¡n - Cì - Tin håc, Trữớng i hồc Khoa hồc Tỹ nhiản, nỡi tĂc giÊ ang cỉng t¡c v gi£ng d⁄y, ¢ gióp ï t¡c giÊ rĐt nhiãu quĂ trnh hồc ho n th nh lu“n ¡n Trong qu¡ tr…nh håc t“p v ho n th nh lu“n ¡n, t¡c gi£ vỉ cịng bit ỡn nhn ữổc sỹ quan tƠm giúp ù v gõp ỵ ca GS.TSKH Nguyn Duy Tin, GS.TS Nguyn Hu Dữ, GS.TS Nguyn Vôn Hu, GS.TS Nguyn Vôn QuÊng, PGS.TS Phan Vit Thữ, PGS.TS Trn Hũng Thao, PGS.TS Hỗ «ng Phóc, TS Trƒn M⁄nh C÷íng, TS Nguy„n Thành, TS Lả Vôn Dụng, TS Lả Vôn Th nh, TS Nguyn Vôn HuĐn TĂc giÊ xin chƠn th nh cÊm ỡn tợi anh, TS Lả Vôn Dụng vã nhiãu sỹ giúp ù, õng gõp quỵ bĂu TĂc giÊ xin ữổc gòi lới cĂm ỡn tợi tĐt cÊ thy cổ, bn b  gõp ỵ, ng h v ng vi¶n t¡c gi£ qu¡ tr…nh håc t“p v ho n th nh lu“n ¡n Lu“n ¡n l mân qu quỵ giĂ ca tĂc giÊ d nh tng cha mà, hai em gĂi, em r v ngữới vổ sp cữợi nhng ngữới  luổn cnh ng viản tĂc gi£ nhœng lóc khâ kh«n T⁄ Cỉng Sìn MƯC LƯC Nhœng k‰ hi»u dịng lu“n ¡n Mð ƒu Ch÷ìng 1.1 1.2 1.3 1.4 Ki‚n thøc chu'n bà Mºt sŁ d⁄ng hºi tö ca trữớn Trữớng cĂc hiằu martingale ToĂn tò ngÔu nhiản Chữỡng Lut s lợn cho tr÷íng c¡c hi»u martingale 2.1 2.2 2.3 Lu“t m⁄nh s lợn cho trữớng Lut s lợn dng Brunk-Pro Lut yu s lợn cho trữớng Chữỡng hiằu Martingale 3.1 3.2 3.3 Hºi tö ho n to n Hºi tö ho n to n trung bn Tc hi tử ca chuỉi ngÔ Chữỡng Sỹ hi tử ca dÂy cĂc martingale toĂn tò 4.1 4.2 Hi tử ca dÂy martingale Sỹ hi tö cıa t‰ch c¡c to¡ K‚t lu“n v Danh möc c¡c cỉng tr…nh khoa håc cıa t¡c gi£ li¶n quan lu“n ¡n T i li»u tham kh£o ‚n NHÚNG K HI U DÒNG TRONG LU N Z N N0 N T“p hỉp c¡c sŁ nguy¶n T“p hỉp c¡c sŁ nguy¶n dữỡng Tp hổp cĂc s nguyản khổng Ơm R Tp hæp c¡c sŁ thüc E Khæng gian Banach thüc v kh£ ly k kChu'n tr¶n khỉng gian Banach E B(E) - ⁄i sŁ Borel c¡c t“p cıa E ( ; F; P ) Khỉng gian x¡c su§t ƒy ı Card(A) SŁ phƒn tß cıa t“p hỉp A IA H m ch¿ ti¶u cıa t“p hỉp A d Phƒn tß (1; 1; :::; 1) N d n Phƒn tß (n1; n2; :::; nd) Z n+m Phdƒn tß ( n m Q [m; n) n n m n nn m _ (ni i) i=1 n1 2n jnj Phƒn tß (2 Phƒn tß (2 Gi¡ trà jnj = n jn j 1= log(x) log+(x) [x] Gi¡ trà Gi¡ trà jn j Phƒn tß (1 logarit cì s maxflog(x SŁ nguy¶n kk M— U L‰ chồn ã t i 1.1 Lỵ thuyt martingale nghiản cứu nhng vĐn ã liản quan n lỵ thuyt trặ chỡi vã sau ữổc phĂt trin th nh mt lắnh vüc to¡n håc ch°t ch‡, trð th nh mºt mæ h…nh to¡n håc quan trång câ nhi•u øng dưng thng kả, phữỡng trnh vi phƠn, toĂn kinh t c biằt, gn Ơy  cõ nhiãu ứng dửng thú v chøng kho¡n, thu hót kh¡ nhi•u nh to¡n håc quan tƠm Vã phữỡng diằn xĂc suĐt, martingale l sỹ m rng ca tng cĂc bin ngÔu nhiản c lp k vồng khổng 1.2 CĂc nh lỵ giợi hn õng vai trặ quan trồng lỵ thuyt xĂc suĐt, chúng ữổc v nhữ nhng viản ngồc ca xĂc suĐt, Kolmogorov  tng nõi "GiĂ tr chĐp nhn ữổc ca lỵ thuyt xĂc suĐt l cĂc nh l giợi hn, cĂc k‚t qu£ chı y‚u nh§t v quan trång nh§t cıa lỵ thuyt xĂc suĐt l cĂc lut s lợn" Ng y nay, cĂc nh lỵ giợi hn vÔn ang l vĐn ã cõ tnh thới sỹ ca lỵ thuyt xĂc suĐt 1.3.T nhng nôm 1950 tr li Ơy, cĂc nh lỵ giợi hn  ữổc nghiản cứu m rng cho dÂy bin ngÔu nhiản nhn giĂ tr khổng gian Banach Tuy nhiản i vợi trữớng hổp trữớng cĂc hiằu martingale cụng nhữ vợi cĂc dÂy martingale toĂn tò vÔn chữa ữổc nghiản cứu nhiãu Vợi cĂc l trản chúng tổi quyt nh chồn ã t i nghiản cứu cho lun Ăn ca mnh l : CĂc nh lỵ giợi hn cho martingale Mửc ch nghiản cứu Lun Ăn nghiản cứu sỹ hi tử cụng nhữ tc hºi tư cıa cıa tr÷íng c¡c hi»u martingale nh“n gi¡ trà khỉng gian Banach, lu“t m⁄nh sŁ lỵn Kolmogorov, lu“t m⁄nh sŁ lỵn Marcinkiewicz - Zygmund, lu“t sŁ lỵn d⁄ng Brunk-Prokhorov, lu“t y‚u sŁ lỵn, hºi tư ho n to n v hºi tö ho n to n trung bnh ca trữớng cĂc hiằu martingale Lun Ăn nghiản cứu vã sỹ hi tử ca cĂc dÂy toĂn tò ngÔu nhiản, dÂy martingale toĂn tò ngÔu nhiản cụng nhữ tch cĂc toĂn tò ngÔu nhiản c lp khổng gian Banach i tữổng nghiản cứu i tữổng nghiản cứu ca lun Ăn l trữớng cĂc bin ngÔu nhiản nh“n gi¡ trà khỉng gian Banach v d¢y c¡c toĂn tò ngÔu nhiản nhn giĂ tr khổng gian Bannach Ph⁄m vi nghi¶n cøu Lu“n ¡n nghi¶n cøu cĂc nh lỵ giợi hn nhữ lut mnh s lợn, lut yu s lợn, cĂc nh lỵ vã hi tử ho n to n, hºi tö ho n to n trung b…nh, tŁc º hºi tư cıa tŒng c¡c tr÷íng hiằu martingale, cĂc nh lỵ vã hi tử cho dÂy cĂc martingale toĂn tò ngÔu nhiản cụng nhữ tch vổ hn ca dÂy toĂn tò ngÔu nhiản c lp nhn giĂ tr khổng gian Banach Phữỡng phĂp nghiản cứu Lun Ăn sò dửng cĂc kắ thut ca xĂc suĐt, giÊi tch, giÊi tch ngÔu nhiản, cĂc cổng cử cıa martingale ” chøng minh c¡c ành l‰ hºi tö Mt s b ã quan trồng nhữ: B ã Borel-Cantelli, BĐt flng thức Kolmogorov, BĐt flng thức Doob, B ã Toeplitz, lỵ thuyt toĂn tò tĐt nh, cĂc tnh chĐt vã thĂc trin toĂn tò, nguyản lỵ ỗ th õng cụng ữổc sò dửng chứng minh cĂc kt quÊ ị nghắa khoa hồc v thỹc tin ị nghắa khoa hồc: gõp phn l m phong phú thảm c¡c k‚t qu£ v sü hi”u bi‚t v• hºi tư ca chuỉi ngÔu nhiản, lut mnh s lợn ca trữớng cĂc bin ngÔu nhiản nhn giĂ tr khổng gian Banach, cụng nhữ cĂc kt quÊ ca toĂn tò ngÔu nhiản ị nghắa thỹc tin: lun Ăn gõp phn phĂt trin lỵ thuyt vã cĂc nh l giợi hn ca trữớng bin ngÔu nhiản nhn giĂ tr khổng gian Banach lỵ thuyt xĂc suĐt Tng quan v c§u tróc lu“n ¡n 7.1 TŒng quan lu“n ¡n C¡c nh l giợi hn xĂc suĐt õng vai trặ quan trồng phĂt trin lỵ thuyt, thỹc h nh xĂc suĐt v thng kả Chnh v vy m cĂc nh lỵ vã giợi hn  thu hút nhiãu nh khoa håc nghi¶n cøu v mð rºng ƒu ti¶n ph£i k” ‚n lu“t sŁ lỵn: Lu“t sŁ lỵn ƒu tiản ca Bernoulli ữổc cổng b nôm 1713 Vã sau, k‚t qu£ n y ÷ỉc Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov mð rng Tuy nhiản, phÊi n nôm 1909 lut mnh s lợn mợi ữổc Borel phĂt hiằn Kt quÊ n y ca Borel ữổc Kolmogorov ho n thiằn v o nôm 1926, ta thữớng gồi l lut s lợn dng Kolmogorov çng thíi Kolmogorov cơng ch¿ r‹ng tr÷íng hỉp dÂy cĂc i lữổng ngÔu nhiản c lp phƠn bŁ th… i•u ki»n cƒn v ı cıa lu“t m⁄nh s lợn l cĂc bin ngÔu nhiản õ cõ moment tuy»t Łi c§p mºt hœu h⁄n K‚t qu£ n y ¢ ÷ỉc Marcinkiewicz v Zygmund mð rºng (gåi l lu“t s lợn dng Marcinkiewicz-Zygmund) Brunk (1948) v Prokhorov (1950)  khĂi quĂt iãu kiằn dng Kol-mogorov vợi moment bc cao hỡn v thu ữổc lut mnh s lợn dng Brunk-Prokhorov Lut s lợn tip tửc ữổc m rng bi nhiãu tĂc giÊ nhữ Tien, Quang, Hung, Thanh, Huan, Dung, Stadtmulle, Rosalsky, Volodin (xem [47],[48],[49], [16],[14],[67],[50],[30]) b‹ng c¡ch l m nhà iãu kiằn c lp ca dÂy bin ngÔu nhiản (nhữ nghiản cứu trữớng hổp dÂy cĂc hiằu martingale, cho c¡c hºp ºc l“p, v hºp martingale), nghi¶n cøu cho trữớng hổp ch s nhiãu chiãu, hoc xem xt tr¶n c¡c khỉng gian kh¡c Trong lu“n ¡n n y chúng tổi tip tửc nghiản cứu cĂc nh lỵ lut s lợn cho trữớng cĂc hiằu martingale, trữớng hp c¡c -hi»u martingale nh“n gi¡ trà khæng gian Banach p-khÊ trỡn, trữớng cĂc bin ngÔu nhiản -tữỡng thch mnh nh“n gi¡ trà khỉng gian Bannach p-kh£ trìn ành lỵ giợi hn cặn ữổc nghiản cứu dữợi dng chuỉi ngÔu nhiản, u tiản ữổc bit n vợi cĂc nh lỵ hai chuỉi, ba chuỉi sau õ l cĂc nghiản cøu v• tŁc º hºi tư cıa chi ºc l“p, chuØi hi»u martingale, (xem [51],[52], [64]) C¡c kh¡i ni»m kh¡c nh÷ hºi tư ho n to n, hºi tư ho n to n trung bnh cụng ữổc nhiãu tĂc giÊ quan tƠm, nghiản cứu (nhữ [31], [34], [7],[53],[10]) Trong lun vôn n y chúng tổi nghiản cứu vã hi tử ho n to n, hºi tö ho n to n trung b…nh, v ¡nh gi¡ tŁc º hºi tö cıa chi c¡c tr÷íng 112 T ILI UTHAMKH O [1] Adler A., Rosalsky A (1987), "On general strong laws for weighted sums of stochastically dominated random variables", Stoch Anal Appl , pp.1-16 [2] Assouad P (1975), Espaces p-lisses et q-convexes, In†galit†s de Burkholder, S†minaire Maruey-Schwartz, Exp ZV [3] Borovskykh Y.V., Korolyuk V.S (1997), Martingale Approximation, VSP [4] Brunk H.D (1948), "The strong law of large numbers", Duke Math J 15, pp.181-195 [5] Cabrera M.O (1994), "Convergence of weighted sums of random vari-ables and uniform integrability concerning the weights", Collectanea Mathematica 45(2), pp.121-132 [6] Chattecji S.D (1986), "Martingale convergence and the RadonNikodym theorem in Banach spaces", Math Scand 22, pp.21-41 [7] Chen P., Hu T.C., Volodin V (2006), "A note on the rate of complete convergence for maximus of partial sums for moving average processes in rademacher type Banach spaces", Lobachevskii J Math 21, pp.45-55 [8] Christofidesm T.C., Serfling R.J (1990)," Maximal inequalities for multidimensionally indexed submartingale arrays" Ann.Probab 45(3), pp.436-641 113 1=r [9] Choi B.D., Sung S.H (1985), "On convergence of (S n ESn)=n ; 1< r < for pairwise independent random variables", Bull Korean Math Soc 22(2), pp.79-82 [10] Chow Y.S (1988), "On the rate of moment convergence of sample sums and extremes" Bull Inst Math.Acad.Sin (N.S.) 16, pp.177-201 [11] Chow Y S., Teicher H (1997), Probability Theory Independence, In-terchangeability, Martingale, Springer, New York [12] Czerebak-Mrozowicz E.B., Klesov O.I., Rychlik Z (2002), "Marcinkiewicz-type strong laws of large numbers for pairwise independent random fields", Probab Math Statist 22(1), pp.127139 [13] Day M.M (1944), "Uniform convexity in factor and conjugate spaces", Ann.of Math 45, pp.375 -385 [14] Dung L.V (2010), "Weak laws of large numbers for double arrays of random elements in Banach spaces" Acta Math Vietnamica 35, pp.387-398 [15] Dung L.V., Son T.C., Tien N.D (2014), "L1 bounds for some martin-gale central limit theorems" Lithuanian Math J 54(1), pp.4660 [16] Dung L.V., Tien N.D (2010), "Strong laws of large numbers for ran-dom fields in martingale type p Banach spaces" Stat Probab lett 80 (9-10), pp.756-763 [17] Edgar G.A., Louis S (1992), Stopping times and directed processes, 47, Cambridge University, England [18] Fazekas I.; Klesov O (2000), "A general approach to the strong law of large numbers" Theory Probab Appl 45(3), 436449 [19] Fazekas I., Tâm¡cs T (1998), "Strong laws of large numbers for pair-wise independent random variables with multidimensional indices", Publ Math Debrecen 53(1-2), pp.149161 114 [20] Feller W (1971), An introduction to probability theory and its appli-cations, 2, 2nd ed Wiley, New York [21] Gaposhkin V.F (1995), "On the strong law of large numbers for block-wise independent and block-wise orthogonal random variables", The-ory Probab Appl 39, pp.667 - 684 [22] Gut A (2001), "Convergence rates in the central limit theorem for multidimensionally indexed random variables", Studia Sci Math Hungar 37, pp.401-418 [23] Gut A., Stadtmuller U (2009), "An asymmetric Marcinkiewicz-Zygmund LLN for random fields", Stat Probab Lett 79, pp.1016-1020 [24] Hoffmann-J rgensen J., Pisier G (1976), "The law of large numbers and the central limit theorem in Banach spaces", Ann.Probability 4(4), pp.587-599 [25] Hong J.I., Tsay J (2010), "A strong law of large numbers for random elements in Banach spaces", Southest Asian Bulletin of Mathematics 34, pp.257-264 [26] Hong D.H., Volodin A.I (1999), "Marcinkewicz-type law of large num-bers for double arrays", J.Korean Math.Soc 36(6), pp.1133 - 1143 [27] Hu S., Chen G., Wang X (2008), "On extending the Brunk-Prokhorov strong law of large numbers for martingale differences", Statist Probab Lett 78, pp.3187-3194 [28] Huan N.V and Quang N.V (2012) "The Doob inequality and strong law of large numbers of multidimensional arrays in general Banach spaces" Kybernetika 48, pp.254-267 [29] Huan N.V., Quang N.V., Volodin A.(2010), "Strong laws for blockwise Martingale difference arrays in Banach spaces" Lobachevskii Journal of Math 31(4), pp.326 - 335 115 [30] Hung N.V., Tien N.D (1992), "On the almost sure convergence of two-parameter martingales and the strong law of large numbers in Banach spaces" Acta Math Vietnam 17(1), pp.127-143 [31] Hsu P.L., Robbins.H (1947), "Complete convergence and the law of large numbers" Proc.Nat Acad Sci U.S.A 33, pp.2531 [32] Kwapien S., Woyczynski W.A (1992), Random Series and Stochastic Integrals: Single and Multiple, Birkhauser, Boston [33] Lagodowski Z.A (2009), "Strong laws of large numbers for B-Valued Random Fields", Discrete Dynamics in Nature and Society, Article ID 485412, 12 p doi:10.1155/2009/485412 [34] Li D., Rao M.B., Wang X., (1992), "Complete convergence of moving average processes" Stat Probab Lett 14, pp.111-114 [35] Lindenstrauss J (1963), "On the modulus of smoothness and diver-gent series in Banach spaces", Michigan Math J 10, pp.241-252 [36] Lo–ve M (1977), Probability Theory, I, 4th Edition Springer, New York [37] Mâricz F (1987), "Strong limit theorems for block-wise mdependent and block-wise quasiorthogonal sequences of random variables" Proc Amer Math Soc 101, pp.709 - 715 [38] Mâricz F., Stadtmuller U., Thalmaier M (2008), "Strong laws for block-wise M-dependent random fields", J Theoret Probab 21 , pp.660 - 671 [39] Noszaly C., Tomacs T (2000), "A general approach to strong laws of large numbers for fields of random variables", Annales Univ Sci Budapest 43, pp.61-78 [40] Pisier G (1975), "Martingales with values in uniformly convex spaces", Israel J Math 20 (3-4), pp.326-350 116 [41] Pisier G (1986) "Probabilistic methods in the geometry of Banach spaces, in: Probability and Analysis (Varenna, 1985)", Lecture Notes in Math Springer, Berlin 1206, pp.167-241 [42] Prokhorov Y.V (1950) "On the strong law of large numbers", Izv AN SSSR Ser Matem 14, pp.523-536 [43] Quang N.V., Huan N.V (2008), "On the weak laws of large num-bers for double arrays of Banach spaces valued Random elements" J Probab Sta Sci 6, pp.125-134 [44] Quang N.V., Huan N.V (2009), "On the strong laws of large num-bers and Lp-convergence for double arrays of random elements in p-uniformly smooth Banach spaces" Stat Probab Lett., 79, pp.1891-1899 [45] Quang N.V., Huan N.V (2010), A Characterization of puniformly Smooth Banach Spaces and Weak Laws of Large Numbers for d-dimensional Adapted Arrays, Sankhya: The Indian J 72(A), 344-358 [46] Quang N.V., Son L.H (2006), "On the weak law of large numbers for sequences of Banach space valued random elements", Bull.Korean.Soc 43 (3), pp.551-558 [47] Quang N.V., Thanh L.V (2005), "On the strong laws of large numbers for two-dimensional arrays of block-wise independent and block-wise orthogonal random variables", Probab Math Statist 25, pp.385 - 391 [48] Quang N.V., Thanh L.V (2006), "Marcinkiewicz-Zigmund law of large numbers for blockwise adapted sequence", Bull Korean Math Soc 43 (1), pp.213-223 [49] Quang N.V., Thanh L.V., Tien N.D (2011), "Almost sure conver-gence for double arrays of block-wise M-dependent random elements in Banach spaces", Georgian Mathematical Journal 18, pp.777-800 117 [50] Rosalsky A., Thanh L.V (2007), "On the strong law of large numbers for sequences of blockwise independent and blockwise p-orthogonal random elements in Rademacher type p Banach spaces", Probab Math Statist 27, pp.205 - 222 [51] Rosalsky A., Rosenblatt J (1997), "On convergence of series of Banach space valued random elements", Nonlinear Anal., 30, pp.42374248 [52] Rosalsky A., Rosenblatt J (1998), "On convergence of series of ran-dom variables with applications to martingale convergence and to con-vergence of series with orthogonal summands"Stoch Anal Appl 16, pp.553-566 [53] Rosalsky A., Thanh L.V., Volodin A (2006),"On convergence in Mean of normed sums of independent random elements in Banach spaces" Stoch Anal Appl 24, pp.23-35 [54] Scalora F.S (1961), "Abstract martingale convergence theorems", Pa-cific J Math 11, pp.347-374 [55] Shixin G (2010), "On almost sure convergence of weighted sums of random element sequences",Acta Mathematica Scientia 30 (4), pp.1021-1028 [56] Skorokhod A.V (1984), Random Linear Operators, (Reidel Publishing Company, Dordrecht.) [57] Son T.C (2014), "On the rate of convergence of series of Banach space valued martingale differences" Proceedings of international congress of mathematicians (ICM) Seoul 2014, pp.438 439 [58] Son T.C., Thang D.H (2013), "The Brunk-Prokhorov strong law of large numbers for fields of martingale differences taking values in a Banach space" Stat Probab Lett 83, pp.1901 1910 [59] Son T.C., Thang D.H (2014), "On the convergence of series of mar-tingale differences with multidimensional indices", J Korean Math Soc., Accepted 118 [60] Son T.C., Thang D.H., Dung L.V (2012), "Rate of complete conver-gence for maximums of moving average sums of martingale difference fields in Banach spaces", Stat Probab lett 82(4), pp.19781985 [61] Son T.C., Thang D.H., Dung L.V (2014), "Complete convergence in mean for double arrays of random variables with values in Banach spaces", Appl of Math., 59(2), pp.177-190 [62] Son T.C., Thang D.H., Thu P.V (2013), "Weak laws of large numbers for fields of random variables in banach spaces", J Probab Stat Sci., Accepted [63] Son T.C., Thang D.H., Tien N.D (2014), "On the strong law of large numbers for block-wise( ; )-martingale difference arrays in p-uniformly smooth Banach spaces", submitted to J Bull Korean Math Soc [64] Sung S.H., Volodin I (2001) "On convergence of series of independent random variables", Bull Korean Math Soc 38, pp.763772 [65] Su C., Tong T.J (2004), "Almost Sure Convergence of the General Jamison Weighted Sum of B-Valued Random Variables", Acta Math Sinica English Series 20(1), pp.181-192 [66] Sung S.H., Hu T.C., Volodin A.I (2006), "On the weak laws with random indices for partial sums for arrays of random elements in mar-tingale type p Banach spaces", Bull.Korean.Soc 43(3), pp.543549 [67] Stadtmulle U., Thanh L.V (2011), "On the limit theorems for double arrays of blockwise M-dependent random variables", Acta Math Sinica (English Series) 27, pp.1923-1934 [68] Stadtmuller U., Thalmaier M (2009), "Strong laws for delayed sums of random fields", Acta Sci Math (Szeged) 75(3-4), pp.723-737 [69] Thang D.H (1987), "Random Operators in Banach space",Probab Math Statist 8, pp.155-157 119 [70] Thang D.H., Son T.C (2013), "On the convergence of the product of independent random operators", submitted to An Inter J of Prob Stoch Process [71] Thang D.H., Son T.C (2013), "Convergence for martingale sequences of random bounded operators" Preprint [72] Thang D.H., Son T.C., Cuong T.M (2014), "Inequalities for sums of adapted random fields in Banach spaces and applications for strong law of large numbers" J Inequal Appl doi:10.1186/1029-242X-2014-446, pp.1-14 [73] Thang D.H and Thinh N (2004), "Random bounded operators and their extension", Kyushu J.Math 58, pp.257-276 [74] Thang D.H., Thinh N., Quy T.X (2012), "Generalized random spec-tral measures".J.Theor.Probab Doi:10.1007/s10959012-0461-0 [75] Tien N.D., Dung L.V (2012), "Convergence of double random series of random elements in Banach spaces", J Korean Math Soc 49, pp.1053-1064 [76] Wei D., Taylor R.L (1978), "Convergence of weighted sums of tight random elements", Journal of Multivariate Analysis 8(2), pp.282-294 [77] Woyczynski W.A (1978), Geometry and martingales in Banach spaces II Independent increments, Probability on Banach spaces, Adv Probab Related Topics, 4, pp.267-517 [78] Woyczynski W.A (1981), "Asymptotic behavior of martingales in Ba-nach spaces II", Martingale theory in harmonic analysis and Banach spaces, Lecture Notes in Mathematics, 939, pp.216-225 120 ... GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ CÔNG SƠN CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN CHO MARTINGALE Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học 62460106 Mã số: LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN... hi»u martingale To¡n tò ngÔu nhiản Chữỡng Lut s lợn cho trữớng cĂc hiằu martingale 2.1 2.2 2.3 Lut mnh s lợn cho trữớng Lut s lợn dng Brunk-Pro Lut yu s lợn cho trữớng Chữỡng hi»u Martingale. .. LN CHO TRìNG C C HI U MARTINGALE Trong ch÷ìng n y chóng tỉi tr…nh b y c¡c k‚t qu£ v• lu“t m⁄nh sŁ lợn cho trữớng hp cĂc -hiằu martingale, lut s lợn d⁄ng Brunk-Prokhorov cho tr÷íng c¡c hi»u martingale