Hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài toán giới hạn trong toán 11

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Trong chương trình Toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 11, các em học sinh đã được tiếp cận với giới hạn dãy số và giới hạn hàm số cũng cách giải Tuy nhiên thực tế các bài toán tìm giới hạn dãy số và giới hạn hàm số rất phong phú và đa dạng Đặc biệt, các đề thi Đại học - Cao đẳng – Trung cấp chuyên nghiệp các em sẽ gặp một lớp các bài toán về giới hạn dãy sớ và giới hạn hàm sớ mà có khơng ít các em biết phương pháp giải trình bày còn lủng củng, chưa được gọn gàng sáng sủa, thậm chí còn mắc một số sai lầm không đáng có quá trình tính giới hạn dãy số và giới hạn hàm số dẫn đến kết quả sai Trong quá trình dạy học môn toán THPT tơi nhận thấy học sinh rất gặp rất nhiều khó khăn việc tính giới hạn dãy số và giới hạn hàm số Hầu hết các em không phân biệt được các dạng giới hạn dãy số và giới hạn hàm số Điều này vô quan trọng vì dạng lại có cách giải khác nhau, nếu không phân biệt rõ sẽ dẫn đến giải sai và cho kết quả sai Để giúp học sinh hiểu và tính được giới hạn dãy số và giới hạn hàm số tốt nghĩ phải có biện pháp giúp học sinh làm có thể hiểu tường tận vấn đề từ có thể hiểu sâu và tính được giới hạn dãy số, giới hạn hàm số một cách nhanh chóng dễ dàng mà khơng phạm phải sai lầm đáng tiếc Là một giáo viên rất trăn trở với vấn đề này, tơi ln có suy nghĩ làm thế nào để có thể làm cho học sinh hiểu tường tận và cặn kẽ về giới hạn dãy số và giới hạn hàm số Vì vậy lúc nào cũng cố gắng tìm tòi các biện pháp giúp học sinh có thể hiểu được các dạng toán tìm giới hạn dãy số và giới hạn hàm số đơn giản dễ hiểu nhằm giúp học sinh có hứng thú từ học nợi dung về giới hạn tốt Qua tìm hiểu nhận thấy: “Hệ thống tập giới hạn” có thể giúp cho học sinh có mợt cách nhìn mới về giới hạn Giúp học sinh hiểu sâu về giới hạn từ có thể giải được các bài toán tìm giới hạn mợt cách nhanh chóng, khơng thế cách trình bày còn gọn gàng hơn, chặt chẽ, dễ hiểu hơn, nhất là không tính sai kết quả Đây là sai lầm mà học sinh thường dễ gặp phải, và cũng làm mất điểm học sinh quá trình làm bài thi Trong qúa trình tìm hiểu nguồn thơng tin mạng tơi cũng thấy có rất nhiều thầy cô giáo ít nhiều suy nghĩ về vấn đề này thông qua rất nhiều đề tài liên quan đến giới hạn với nhiều cách tiếp cận khác nhau, và cách đề cập đến vấn đề này cũng khác Tên một số đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã biết: Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11; Một số sai lầm thường gặp và các phương pháp tìm giới hạn; Với các đề tài này các tác giả đều đề cập đến đối tượng nghiên cứu là học sinh hệ THPT Còn với đối tượng là học sinh hệ GDNN - GDTX với ý thức tổ chức kỷ luật yếu, học lực yếu thì việc áp dụng các sáng kiến đới với học sinh là rất khó vì bản thân học sinh có trình đợ về các mơn văn hóa thường yếu, ý thức lại chưa cao, lại đợ tuổi ham chơi Vì vậy để các em có thể tiếp thu tốt nội dung bài học cũng có thể ghi nhớ bài học từ vận dụng tốt vào việc giải bài tập, thấy việc mình phải có phương pháp phù hợp cũng lựa chọn nội dung kiến thức phù hợp với đối tượng học sinh Vì vậy quá trình giảng dạy đại số 11 đã “Hệ thống tập giới hạn” từ học sinh có thể tiếp cận với nợi dung kiến thức về giới hạn một cách đơn giản nhất, dễ hiểu nhất để có thể làm được các dạng bài tập chương nhằm tạo hứng thú học tập từ đạt kết quả học tập tớt góp phần đạt thành tích cao năm học Tơi nhận thấy việc “Hệ thống tập giới hạn” sẽ giúp các em tiến bợ hơn, có ý thức từ tiếp thu bài học dễ dàng hơn, phù hợp với đối tượng học sinh hệ GDTX Tên sáng kiến “Hệ thống tập giúp làm quen giải toán giới hạn toán 11” Tác giả sáng kiến - Họ và tên: LÊ THỊ MINH LÝ - Địa tác giả sáng kiến: Trung tâm GDNN - GDTX Tam Dương - Số điện thoại: 0987357077 E_mail: lethi.minhly2@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến - Họ và tên: LÊ THỊ MINH LÝ giáo viên trung tâm GDNN - GDTX Tam Dương Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng vào học đại số lớp 10a 1, 10a2 trung tâm GDNN – GDTX Tam Dương Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử Ngày 10/3/2020 Mô tả chất sáng kiến: A Lý chọn đề tài: Giới hạn là một nội dung quan trọng toán giải tích 11, 12 và các môn học khác vật lí dựa các kiến thức về giới hạn người ta xây dựng kiến thức khác tính liên tục hàm số, đạo hàm và tích phân, vật lí giới hạn tham gia giải các bài toán về chuyển động Tuy nhiên sau học xong chương giới hạn toán 11 thì khơng có nhiều học sinh hiểu và giải tốt các bài toán về giới hạn Các em lúng túng, không tự tin, thường mắc phải các sai sót về trình bày và về lí luận Theo nhận thấy học sinh vậy là hệ thống bài tập với lí thuyết chưa hợp lí, chưa phù hợp với đối tượng học sinh Bài tập đưa các mục trước ít có liên hệ để hình thành kiến thức mục sau Do vậy hiệu quả hệ thống bài tập sách giáo khoa chưa cao Vì vậy nghiên cứu bài tập về giới hạn Bắt đầu từ bài lí thuyết cho đến các bài toán Tôi sử dụng các phương pháp so sánh, phương pháp tổng hợp từ hệ thớng sắp xếp và phân thành dạng có phương pháp giải đơn giản và cụ thể nhằm hạn chế khó khăn học sinh học chương giới hạn Chính vì tầm quan trọng và thực tế khó khăn học sinh thế nên quyết định chọn đề tài: “Hệ thống tập giúp làm quen giải toán giới hạn toán 11” B Nội dung đề tài: PHẦN I: GIỚI HẠN DÃY SỐ: I KIẾN THỨC CƠ BẢN: Dãy số có giới hạn 0: 1.1 Định nghĩa 1: Ta nói dãy sớ (un) có giới hạn nếu với mổi sớ dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng dãy số, kể từ mợt sớ hạng nào trở đi, đều có giá trị tụt đới nhỏ sớ dương Kí hiệu: lim  un   hoặc lim un  hoặc un � 1.2 Một vài giới hạn đặc biệt n n =0(k �N * ) ; limq =0( q  ) ; Định lí: Cho hai dãy số (u n) và (vn).Nếu |un| �vn với mọi n và lim vn=0 thì lim un=0 lim n k =0 (k �N * ) lim k Dãy số có giới hạn hữu hạn 2.1 Định nghĩa: Ta nói dãy sớ (un) có giới hạn là số thực L nếu Kí hiệu: lim  un   hoặc lim  un  L   lim un  2.2 Một vài giới hạn đặc biệt hoặc un � limc  c 2.3 Một số định lý Định lý 1: Giả sử lim(un)=L a) lim un  L và lim3 un  L b) Nếu un �0 với mọi n thì L �0 và lim un  L Định lý 2: Nếu lim(un)=L , lim(vn)=M thì : a) lim un �vn   L �M b) lim un.vn   L M lim c) un L  , M �0 M 2.4 Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn có cơng bội q ,với q 1 : S u1 1 q Dãy số có giới hạn vơ cực: 3.1 Định nghĩa: Ta nói dãy sớ (un) có giới hạn là �nếu với mổi sớ dương bất kỳ, mọi số hạng dãy số, kể từ sớ hạng nào trở đi, đều lớn sớ dương Kí hiệu: lim(un)= � hay limun= � hay un � � Ta nói dãy sớ (un) có giới hạn là �nếu với mổi số âm bất kỳ, mọi số hạng dãy số, kể từ số hạng nào trở đi, đều nhỏ sớ dương Kí hiệu: lim(un)= � hay limun= � hay un � � 3.2 Một vài giới hạn đặc biệt k * lim n = �(k �N ) * limnk= �(k �N ) 3.3 Định lý: Tính chất 1: Nếu limun  �� và limvn  �� thì lim(unvn) được cho bảng sau: limun limvn lim(unvn) + + + + – – – + – – – + Tính chất 2: Nếu limun  �� và limvn  L �0 thì lim(unvn) bảng sau: limun L lim(unvn) + + + được cho Tính chất 3: Nếu – – – + – – – + và  hoặc  kể từ một số hạng limun  L �0 limvn  lim nào trở thì + , un được cho bảng sau: lim un L + + + + – – – + – – – + II PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: Giới hạn dãy số (un) với un  P  n Q  n với P, Q đa thức: 1.1 Nếu bậc P = bậc Q , hệ sớ n có sớ mũ cao nhất P là a 0, hệ số n có sớ mũ cao nhất Q là b0 thì chia cả tử và mẫu cho n với số mũ lớn nhất và a lim un   b0 đến kết quả: 1.2 Nếu bậc P nhỏ bậc Q , thì chia cả tử và mẫu cho n với số mũ lớn nhất và đến kết quả : lim(un) = 1.3 Nếu k = bậc P > bậc Q, thì chia cả tử và mẫu cho n với số mũ lớn nhất và đến kết quả : lim(un)= � Giới hạn dãy số dạng: un  f  n g n , f g biển thức chứa 2.1 Rút nk đơn giản và đến kết quả với k chọn thích hợp 2.2 Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp Ghi chú: Những cách biến đổi không là nhất và cũng không phải bài nào cũng giải được nhiên đa sớ các bài chương trình nếu có đặc điểm đều có thể giải được III CÁC VÍ DỤ: Bài Dự đoán giới hạn dãy sớ (un)và kết quả dự đoán đúng qua một vài kiểm chứng cụ thể 1 a) un= n b) un= n giải a) Dự đoán lim 0 n2 Kiểm chứng: với số dương 100 ta thấy kể từ số hạng thứ 11 mọi sớ hạng dãy sớ đều có |un|< 100 với số dương 10000 ta thấy kể từ số hạng thứ 101 mọi số hạng dãy số đều có |un|< 10000 b) Dự đoán lim n 0 Kiểm chứng: với số dương 100 ta thấy kể từ số hạng thứ 1000001 mọi số hạng dãy sớ đều có |un|< 100 với số dương 999 ta thấy kể từ số hạng thứ 9993+1 mọi số hạng dãy số đều có |un|< 999 Bài Dãy sớ (un) có giới hạn là hay không? Vì sao? 1 a) un= n +1 b) un= n giải a) lim  1�0 n2 1 Vì với số dương ta thấy mọi số hạng dãy số đều có |un|> b) lim n  �0 Vì với số dương ta thấy mọi số hạng dãy sớ đều có |un|>1 Lưu ý: Nhóm tập ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau học định nghĩa dãy số có giới hạn 0, giúp học sinh nắm hiểu rõ định nghĩa đồng thời giúp cho học sinh thấy số dãy số đặc biệt có giới hạn Bài Xác định giới hạn các dãy số sau? a) d) lim n4 lim b) c) n n5 lim n e) lim n n � 1� lim � � 2� � f) �3 � lim � � �4 � Giải k a) và b) là dãy sớ có dạng un= n nên có giới hạn là k c) và d) là dãy sớ có dạng un= n nên có giới hạn là n e) và f) là dãy sớ có dạng un= q với |q|1000 với số dương 1000000 ta thấy kể từ số hạng thứ 101 mọi sớ hạng dãy sớ đều có un>1000000   lim  n  � b) Dự đoán Kiểm chứng: Với số âm -100 ta thấy kể từ số hạng thứ 11 mọi số hạng dãy số đều có un1 nên có giới hạn là � Lưu ý: Nhóm tập ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau học vài dãy số có giới hạn vơ cực đặc biệt, giúp học sinh nắm ghi nhớ dãy số có giới hạn vơ cực đặc biệt Bài Tìm giới hạn các dãy số sau a)  lim 3.n3 lim d)  b)  lim n3  n2 lim n � 2� � 3� � � e)  c) n � 2� � � 3� � Giải lim n  n2 a) b) c)    lim n3  n2  � lim lim d) lim e)  lim 3.n3  � 0 n  n2 n � 2� � 3� � �  � n � 2� � � 3� �  � Lưu ý: Nhóm tập ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau học tính chất giới hạn vô cực giúp học sinh ghi nhớ nắm cách vận dụng tính chất Bài 10 Tìm giới hạn các dãy số sau a) lim 3n + 2n + 7n + n - � � lim � � �n  � d) b) e) lim n + + 4n 3n - �  2n � lim � n � 1 � � c) f) lim  n + 2n + - n  � n3 � lim � � �n  � Giải � � n + + 3+ + � n 2 � 3n + 2n + n � � n n =3 lim = lim = lim � � 7n + n - 7+ - n2 � 7+ - � n n � n n � a) � � 1 n� 1+ + � 1+ +4 � � 2 n n + + 4n 1+ n � � lim = lim = lim = = 3n - 3 � 2� 3n� 3- � n � n� b) 10 PHẦN II GIỚI HẠN HÀM SỐ: I KIẾN THỨC CƠ BẢN: Định nghĩa giới hạn hàm số: 1.1 Định nghĩa giới hạn hữu hạn hàm số điểm: x Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm và f là một hàm số xác định tập (a; b) \{x0} x0 (hoặc tại limxn  x0 ta đều có Ta nói hàm sớ f có giới hạn là sớ thực L x dần tới x0 điểm (xn) ) nếu với mọi dãy số lim f (xn)  L Ta viết: tập (a; b) \{x0} mà lim f (x)  L x� x0 hoặc f (x) � L x � x0 1.2 Định nghĩa giới hạn vô cực: Được định nghĩa tương tự 1.3 Định nghĩa giới hạn hàm số vô cực: Gỉả sử hàm số f xác định khoảng (a;�) Ta nói hàm sớ có giới hạn là sớ thực L x dần rới + nếu với mọi dãy số lim f (xn)  L (xn) limxn  � (a; �) mà , ta đều có: Ta viết: lim f (x)  L x�� Các giới hạn khác được định nghĩa tương tự 1.4 Định nghĩa giới hạn bên phải, bên trái: Giả sử hàm số f xác định khoảng (x0;b) (x0 �R) Ta nói hàm sớ f có giới hạn bên phải là sớ thực L x dần tới x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số (xn) (x0;b) mà limxn  x0 , ta đều có lim f (xn)  L Ta viết: lim f (x)  L x� x0 Giới hạn bên trái (tương tự) Ta viết: lim f (x)  L x� x0 Nhận xét:  lim f (x)  L � lim f (x)  lim f (x)  L x�x0 x� x0 x�x0 Một số hàm số có giới hạn đặc biệt: Với x0 �R , ta có: a) lim c  c x�x0 (c: số) b) lim x  x0 x�x0 Với mọi sớ ngun dương k ta có:  lim xk  � x��  � � nế u k chẵ n lim xk  � � nế u k lẻ x�� � Một số định lí giới hạn 3.1 Một số định lí giới hạn hữu hạn 12  lim x�� xk 0 ; lim x�� xk 0 Định lí 1: Giả sử lim f (x)  L lim g(x)  M x� x0 x� x0 (L, M  R) �f (x)  g(x)� � lim � LM x� x0 a) �f (x)  g(x)� � lim � LM b) x� x0 c) x� x0 d) x� x0 �f (x)g(x)� � lim �  LM lim f (x) L  g(x) M Định lí 2: Giả sử Đặc biệt, � � cL lim � cf (x)� x� x0 (M  ) lim f (x)  L x� x0 lim f (x)  L a) x� x0 b) x� x0 lim f (x)  L c) Nếu f (x) �0,x�J \{x0}, J là mợt khoảng nào chứa x0 , thì L �0 và lim x� x0 f (x)  L 3.2 Một số định lí giới hạn vơ cực Định lí: Nếu lim f (x)  � x� x0 Qui tắc 1: Nếu thì lim f ( x)  �� x� x0 lim x� x0 và 0 f (x) lim g(x)  L x� x0 thì: lim f (x) L + + + + – – – + – – – + x� x0 �f (x)g(x)� � lim � x� x0 13 Qui tắc 2: Nếu lim f (x)  L �0 lim g(x)  x� x0 x� x0 và g(x)  x�J \{x0} , J là mợt khoảng nào chứa x0 lim hoặc với thì: f ( x) g(x) L g(x) + + + + – – – + – – – + x� x0 g(x)  II PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp dạng sau: Giới hạn hàm số dạng: f  x �0 � �� x�a g x �0 � lim Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì phân tích thừa số Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp Sau rút gọn tử, mẩu f  x ��� ��� x�� g x � � Giới hạn hàm số dạng: lim Chia tử và mẫu cho xk với k là số mũ lớn nhất x Chú ý: Nếu x � � thì coi x>0, nếu x � � thì coi x0 với mọi n suy limf(xn)= + � lim Vậy x �1  x  1  � d) Xét hàm số f(x)= x Với mọi dãy số (xn) , xn �0 với mọi n và limxn=- �, 0 ta có limf(xn)=0 Vậy x�� x lim Lưu ý: Nhóm tập ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau học định nghĩa giới hạn hàm số, giúp học sinh nắm hiểu rõ định nghĩa đồng thời giúp cho học sinh thấy mối liên hệ tính chất hàm số tính chất dãy số Bài Xác định giới hạn các dãy số sau? a) e) lim4 b) x�3 lim x4 x�� c) lim x x�3 c) lim x4 d) x�� d) x�� x e) x�� x lim lim x5 x�� lim x5 x�� lim Giải a) e) lim4  x�3 lim x4  � x�� b) lim x  3 x�3 f) c) lim x4  � x�� lim x5  � x�� 15 g) lim x�� d) 0 x3 lim x5  � x�� h) lim x�� 0 x5 Lưu ý: Nhóm tập ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau học vài hàm số có giới hạn đặc biệt, giúp học sinh nắm ghi nhớ hàm số có giới hạn đặc biệt Bài Tìm giới hạn các hàm số sau x2  a) x�1 x  lim b) lim  x  x  x �� c) lim  x    x   x �2 Giải x  12   2 a) x�1 x  1  lim lim  x3  x   � b) c) x �� lim  x    x        3.2    x �2 Lưu ý: Nhóm tập ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau học tính chất giới hạn hữu hạn giúp học sinh ghi nhớ nắm cách vận dụng tính chất Bài Tìm giới hạn các hàm số sau x - 3x + lim a) x�2 x - e) x+1 - lim b) �3x -1 � lim � x��� �2x  � f) x �3 lim 3x -  x3  x2  1 x�� �3x-1 � lim � � x��� 2x  � c) g) lim  x �+� x+1 - x  �2x x  � lim � � x���x  x  � � � d) h) lim+  x -  x �2 x x -4 Giải a) dạng  x -   x - 1 = lim x - = - 1= x - 3x + lim = lim   x �2 x �2 x �2 x-2 x-2 Chia tử và mẫu cho (x-2) b) dạng lim x �3 x +1 - 3x - = lim x �3   x +1 +  3x + 3 = lim  x +1 -   3x +    3x -   x + +   3x - 3 x +1 +  3x +  x +1 - x �3 � c) dạng � 16 � 1� � 1� x� 3 � 3 � � x� x� �3x-1 � � � lim lim  lim  � x � x ���  � x �  � � 1� � 1� �2x  � x� 2 � 2 � � � x� � x� � d) dạng � �2 x � � � x2 �  2�  � � x x � x x2 � �2x x  � � � lim �  lim 0 � lim x ���x  x  � x �� � 1 � x ��� 1 � � � x � 1  � 1  � � � x x � � x x � � e) dạng � � 1� � 1� x2 � 3 � 3 � � �3x -1 � x� x� � � lim lim  lim 0 � x � x ���  � x �  � � �2 � 2� �2x  � x � 2� � 2� �x x � �x x � f) dạng � � lim x x��  x  1  lim x (1  x ��  )  � x x3 g) dạng � � lim  x �+�  x+1 - x  lim x �� 0 x 1  x h) dạng � lim  x -  x �2+ x x(x  2) x(x  2)  lim  lim 0 2 x �2 x - x �2 x 4 x2 Lưu ý: Nhóm tập ta tiến hành cho học sinh luyện tập cách tìm giới hạn dãy số gặp trường hợp vô định, giáo viên cần hướng dẩn cho học sinh ghi nhớ cách biến đổi thường dung cho dạng BÀI TẬP TỰ GIẢI Tính gới hạn Bài 1: (Tính trực tiếp) a lim(x + 2x+1) x �-1 x +1 d x �1 2x - ; lim b lim(x + x +1) x �1 x + x+1 e x�-1 2x + lim Bài 2: (Tính giới hạn dạng hàm phân thức đại số) 17 c lim  - 4x  x �3 x2 - ; x-1 a)lim x �1 x-3 ; x �3 x + 2x - 15 b)lim x4 - d)lim ; x �1 x + 2x - x2 - x e)lim Bài 3: (Tìm giới hạn dạng 0 ; hàm phân thức đại số chứa thức bậc hai) x+4 - ; x b)lim x+3 - ; x -1 c)lim d)lim x - 2x - ; x - 12x + 11 e)lim x-2 -2 ; x -6 f) lim x �1  x - 2 8x - f )lim ; x � 6x - 5x + a)lim x �0 x - 3x + x �2 ; x -1 x �1 c )lim x �1 x �6 2- x-2 ; x �7 x - 49 x2 + - ; x-2 x �2 Bài 4: (Tìm giới hạn dạng hàm phân thức đại số chứa thức bậc ba và bậc cao) a)lim x �2 d)lim x �1 3 4x - ; x-2 x �0 x -1 ; x - +1 2x - - x e )lim c )lim x �1 ; x -1 x �1 1- x -1 ; x b )lim f )lim x �1 2x - - ; x -1 2- x -1 x -1 � Bài 5: (Tính giới hạn dạng � hàm số ) -6x +7x - 4x + ; x �+� 8x - 5x + 2x - b ) lim a) lim 4x - d) lim x �� 4x + x �+ � 2x + x +1 2x + x - e) lim ; x + x +1 x �� x x2 - ; c ) lim ; x �� x + x2 + x 3x - x +1 ; 5x + - x ; x �� 1- x f ) lim Bài 6: (Tính giới hạn dạng � � hàm số) a) lim  x �+� d) lim  x ��  x+1 - x ; b) lim  x �+�   e ) lim  x  2x  3 ; 2x + + x ; c) lim  x - 2x -  ; x2 + x + - x ; x �� x �� f ) lim x x ��  Bài 7: (Giới hạn một bên) a) lim+ x+2 x x �0 b) lim + x � -1 x- x ; b) limx �2 x + 3x + x +x - x2 ; e) lim + x � -2  2- x ; 3x + x+2 c) limx �3 ; f) lim x � -2  Bài 8: (Tính giới hạn dạng 0.� hàm số) 18 x - 7x + 12 - x2 3x + x+2 ; ;  4x + + 2x ; a) lim+  x -  x ; x -4 d) lim  x +1 2x +1 ; x + x+2 x �2 x �- � Bài 9: Cho hàm số Tìm b) lim +  x +1 x ; x -1 e) lim  - 2x  3x +1 ; x +1 x � -1 x �+� x�1 x�1 limf  x , limf  x v�limf  x  x�3 2x + x f) lim x x �- � x - x +3 (nếu có) � 9 x2 � � f  x  � � �x 9 Bài 10: Cho hàm số Tìm x �+� x-1 ; x3 + x � x3 x