SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp học sinh làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT

Giới hạn là một nội dung quan trọng trong toán giải tích 11, 12 và các môn học khác như vật lí...dựa trên các kiến thức về giới hạn người ta xây dựng ra những kiến thức khác như tính liên tục của hàm số, đạo hàm và tích phân, trong vật lí giới hạn tham gia giải các bài toán về chuyển động...Tuy nhiên sau khi học xong chương giới hạn toán 11 thì không có nhiều học sinh hiểu và giải tốt các bài toán về giới hạn. Các em lúng túng, không tự tin, thường mắc phải các sai sót về trình bày và về lí luận. Chính vì tầm quan trọng và thực tế khó khăn của học sinh như thế nên tôi quyết định chọn đề tài này

9 2.3 các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề 3

1 ĐẶT VẤN ĐẾ

1.1 Lý do chọn đề tài :

Giới hạn là một nội dung quan trọng trong toán giải tích 11, 12 và các môn học khác như vật lí dựa trên các kiến thức về giới hạn người ta xây dựng ra những kiếnthức khác như tính liên tục của hàm số, đạo hàm và tích phân, trong vật lí giới hạn tham gia giải các bài toán về chuyển động Tuy nhiên sau khi học xong chương giới hạn toán 11 thì không có nhiều học sinh hiểu và giải tốt các bài toán về giới hạn Các em lúng túng, không tự tin, thường mắc phải các sai sót về trình bày và về

lí luận Chính vì tầm quan trọng và thực tế khó khăn của học sinh như thế nên tôi quyết định chọn đề tài này

1.2 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:

Trong đề tài này tôi nghiên cứu bài tập về giới hạn Bắt đầu từ những bài trong lí thuyết cho đến các bài toán vận dụng được hệ thống sắp xếp và phân thành từng dạng có phương pháp giải đơn giản và cụ thể

1.3 phương pháp nghiên cứu:

Trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các phương pháp sau: Phương pháp so sánh, phương pháp tổng hợp

2 GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

2.1 Thực trạng của vấn đề

Hệ thống bài tập đi với lí thuyết đôi khi chưa hợp lí, chưa phù hợp với đối tượng học sinh Bài tập đưa ra ở các mục trước ít có liên hệ để hình thành kiến thức ở mụcsau Do vậy hiệu quả của hệ thống bài tập trong sách giáo khoa chưa cao

2.2 Cơ sở lí luận của vấn đề

Dựa trên nguyên tắc dạy học và nhận thức của học sinh, việc phân chi hệ thống bàitập đi với lí thuyết giúp các em phát triển về tư duy, ôn tập và hình thành kiến thức mới trong quá trình giải toán Vì vậy tôi đã xây dựng hệ thống bài tập có liên hệ giữa các phần với nhau, phân loại và đưa ra phương pháp cho từng loại

2.3 các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề

Kí hiệu:limun  0 hoặc limu  n 0 hoặc u  n 0

b) Một vài giới hạn đặc biệt

Định lí: cho hai dãy số (un) và (vn).Nếu |un| vn với mọi n và lim vn=0 thì lim

un=0

2 Dãy số có giới hạn hữu hạn

a) Định nghĩa :Ta nói dãy số (un) có giới hạn là số thực L nếu

lim u n  L 0

Kí hiệu:limun  0 hoặc limu  n 0 hoặc u  n 0

b) Một vài giới hạn đặc biệt limc c

c) Một số định lý

Định lý 1: giả sử lim(un)=L khi đó

a) lim u n L và lim3 u n 3 L

b) Nếu un0 với mọi n thì L0 và lim u n  L

Định lý 1: Nếu lim(un)=L , lim(vn)=M thì:

u S

q

3 Dãy số có giới hạn vô cực:

a) Định nghĩa:

Ta nói dãy số (un) có giới hạn là nếu với mổi số dương bất kỳ, mọi số

hạng của

dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó

Kí hiệu: lim(un)= hay limun= hay un  

Ta nói dãy số (un) có giới hạn là  nếu với mổi số âm bất kỳ, mọi số hạng của

dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số dương đó

Kí hiệu: lim(un)=  hay limun=  hay un   

b) Một vài giới hạn đặc biệt

u v

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:

1 Giới hạn của dãy số (u n ) với  

 

n

P n u

Q n

 với P,Q là các đa thức:

o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a0, hệ số cao nhất của Q là b0

thì rút nk ra đơn giản và đi đến kết quả:   0

o Nếu k = bậc P > bậc Q, rút nk ra đơn giản và đi đến kết quả : lim(un)=

2 Giới hạn của dãy số dạng:  

 

n

f n u

g n

 , f và g là các biển thức chứa căn.

o Rút nk ra đơn giản và đi đến kết quả với k chọn thích hợp

o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp

Ghi chú: những cách biến đổi trên không là duy nhất và cũng không phải bài

nào cũng giải được tuy nhiên đa số các bài trong chương trình nếu có những đặc điểm trên đều có thể giải được

với số dương 1001 ta thấy kể từ số hạng thứ 1000001 mọi số hạng trong dãy

2) lim 1  3 0

n

Vì với số dương 1 ta thấy mọi số hạng trong dãy số đều có |un|>1

Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học định nghĩa dãy số có giới hạn 0, nó giúp học sinh nắm và hiểu rõ hơn định nghĩa đồng thời giúp cho học sinh thấy được một số dãy số đặc biệt có giới hạn 0 Bài 3 Xác định giới hạn của các dãy số sau?

6) lim 

 

3 4

Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học một vài dãy số có giới hạn 0 đặc biệt, nó giúp học sinh nắm và ghi nhớ dãy số có giới hạn 0 đặc biệt

Bài 4 Tìm giới hạn các dãy số sau Có nhận xét gì về giá trị các số hạng trong dãy số khi n tăng

Nhận xét: giá trị của các số hạng trong dãy số hội tụ dân về -4 khi n tăng

Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn, nó giúp học sinh nắm và hiểu rõ hơn định nghĩa

Bài 5 Tìm giới hạn các dãy số sau

1 1

n n

3

sin 1

n n

Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học các tính chất của giới hạn hữu hạn giúp học sinh ghi nhớ và nắm được cách vận dụng các tính chất này

Bài 7 Dự đoán giới hạn của dãy số (u n )và chỉ ra kết quả dự đoán đó đúng qua một vài kiểm chứng cụ thể

giải1) dự đoán limn 3

kiểm chứng:

với số dương 1000 ta thấy kể từ số hạng thứ 11 mọi số hạng trong dãy số đều có

n

Giải

1) là dãy số có dạng un=nk nên có giới hạn là 

2) là dãy số có dạng un=k n nên có giới hạn là 

3) là dãy số có dạng un=q n với q>1 nên có giới hạn là 

Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học một vài dãy số có giới hạn vô cực đặc biệt, nó giúp học sinh nắm và ghi nhớ dãy số

có giới hạn vô cực đặc biệt

Bài 9 Tìm giới hạn các dãy số sau

1) lim3.n3 2) limn3 n2 3) lim

n

Giải 1) lim3.n3 

Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học các tính chất của giới hạn vô cực giúp học sinh ghi nhớ và nắm được cách vận dụng các tính chất này

Bài 10 Tìm giới hạn các dãy số sau

n n

n n

BÀI TẬP TỰ GIẢI

1 Định nghĩa giới hạn của hàm số:

Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại 1 điểm : Giả sử ( ; )a b là một khoảng chứa điểm x0 và f là một hàm số xác định trên tập ( ; ) \ { }a b x0 Ta nói hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần tới x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy số ( )x n trong tập

Định nghĩa giới hạn vô cực Được định nghĩa tương tự như trên.

Định nghĩa giới hạn của hàm số tại vô cực : Gỉa sử hàm số f xác định trên khoảng

Các giới hạn khác được định nghĩa tương tự.

Định nghĩa giới hạn bên phải, bên trái:

Giả sử hàm số f xác định trên khoảng ( ; )x b0 (x0R) Ta nói hàm số f có giới hạn bên

phải là số thực L khi x dần tới x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy số ( )x n trong

b) x x f x L

0

3 3

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:

Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau:

1 Giới hạn của hàm số dạng: lim   0

Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì phân tích ra thừa số.

Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp

Chia tử và mẫu cho xk với k là số mũ lớn nhất của x

Chú ý: nếu x   thì coi như x>0, nếu x    thì coi như x<0 khi đưa x ra

hoặc vào khỏi căn bậc chẵn

3 Giới hạn của hàm số dạng: lim     - 

1) xét hàm số f(x)=x2+1 Với mọi dãy số (xn) và limxn=-1

ta có f(xn)= (xn)2+1 suy ra lim f(xn)=(-1)2+1=2 Vậy lim(x +1)= 2 x -1 2



2) xét hàm số f(x)= 2 3

1

x x



 Với mọi dãy số (xn), xn -1 với mọi n và limxn=1,

ta có f(xn)=

2 3 1

n n

x x

x  Với mọi dãy số (xn) , xn 1 với mọi n và limxn=1,

ta có f(xn)= 2

3 (x  n 1) vì lim3=3, lim(xn-1)2=0 và (xn-1)2>0 với mọi n suy ra limf(xn)= +

Vậy  2

3 1

   

Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học định nghĩa giới hạn hàm số, nó giúp học sinh nắm và hiểu rõ hơn định nghĩa đồng thời giúp cho học sinh thấy được mối liên hệ giữa tính chất hàm số và tính chất dãy số

Bài 2 Xác định giới hạn của các dãy số sau?

4) xlim x5 5) xlim  x4 6) xlim  x5

Bài 3 Tìm giới hạn các hàm số sau

Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học các tính chất của giới hạn hữu hạn giúp học sinh ghi nhớ và nắm được cách vận dụng các tính chất này

Bài 4 Tìm giới hạn các hàm số sau

 

2 2

BÀI TẬP TỰ GIẢI Tính các gới hạn

2 2

1) lim x+1 - x ; 2) lim x + x+1 - x ; 3) lim x - 2x -1 ;

Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên ( ; )a b và x0 ( ; )a b Hàm số f đgl liên

tục tại điểm x0 nếu: x xlim ( )0 f x f x( ) 0

Hàm số không liên tục tại x0 đgl gián đoạn tại x0.

Định nghĩa:

a) G.sử hàm số f xác định trên tập J, trong đó J là một khoảng hoặc hợp của

nhiều khoảng Ta nói rằng hàm số f liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm

Chú ý: Tính liên tục của hàm số trên các nửa khoảng [ ; )a b , ( ; ]a b , [ ;a  ), ( ; ]  b cũng được định nghĩa tương tự.

2 Tính chất của hàm số liên tục

Định lí về GTTG: Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [ ; ]a b Nếu f a( ) f b( )thì với

số M nằm giữa f a f b( ), ( ), tồn tại ít nhất điểm c ( ; )a b sao cho f c( ) M

Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f liên tục trên [ ; ]a b và M nằm giữa f a f b( ), ( )thì đường thẳng y M cắt đồ thị của hàm số y f x ( ) ít nhất tại 1 điểm có hoành độ

c ( ; )a b

Hệ quả: Nếu hàm số f liên tục trên [ ; ]a b và f a f b( ) ( ) 0  thì tồn tại ít nhất một điểm c( ; )a b sao cho f c( ) 0

Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f liên tục trên [ ; ]a b và f a f b( ) ( ) 0 thì đồ thị hàm

số y f x ( ) cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ c ( ; )a b

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:

1 Hàm số liên tục tại điểm:

Để xét tính liên tục của hàm số y=f(x) tại điểm x o ta thực hiện các bước sau:

2 Hàm số liên tục trên một khoảng: y=f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng

* Kết luận chung về hàm số có liên tục trên khoảng hay đó hay không

3 Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm:

Để chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a,b) ta làm như

1 1 2 1 2 Limf(x)

1 1



x Lim

1

2 Limf(x)

2

1 1

Ta có

f(0)=2a+1

2 Limf(x)

0 0

x x Lim

1 2 ) 0 ( Limf(x)

0



a a

f

Bài 3 Cho hàm số

2 16 , khi x 4

16 )

(

4 4

4 4

x Lim

x

f

Lim

x x

1 2 ) 4 ( f(x) Lim

Ta có

f(1)=a+1

3 2 1 2 1

2 1 1

2 )

(

1 1

1 1

x x Lim

x

f

Lim

x x

1

víi x=0 2

a) Tìm a để hàm số liển tục trái tại x=1;

b) Tìm a để hàm số liển tục phải tại x=1;

Bài 7: Xét tính liên tục của hàm số

khi x > 1

x 1 f(x)

x

mx khi x 1 2

trên

R.

Phần thứ ba : Kết Luận

Đối với các bài toán có liên quan đến phần giới hạn trong khi giảng dạy giáo viên cần :

- Nhắc lại các công thức đã học

- Nêu lại các định nghĩa và các giới hạn đặc biệt

- Nêu lại phương pháp giải đối với từng dạng bài toán

* Kiến nghị :

- Thời gian phân phối chương trình còn ít, cần tăng thêm thời gian luyện tập cho học sinh

- Cần bổ sung thêm hệ thống bài tập vừa sức với học sinh

- Tạo điều kiện cho giáo viên và học sinh có thêm nhiều cơ hội tham khảo tài liệu