Phương pháp chung : Để giải phương trình chứa dấu căn ta tìm cách khử dấu căn .Cụ thể : Tìm ĐKXĐ của phương trình . Biến đổi đưa phương trình về dạng đã học. Giải phương trình vừa tìm được . So sánh kết quả với ĐKXĐ rồi kết luận nghiệm .Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ cơ bản:Phương pháp nâng lên luỹ thừa (Bình phương hoặc lập phương hai vế phương trình ):
Trang 1Chuyên đề bồi d ỡng hsg toán 9 3.1 Khái niệm ph ơng trình vô tỉ
3.1.1 Khái niệm: Phơng trình vô tỉ là phơng trình chứa ẩn trong dấu căn 3.1.2 Các ví dụ :
a) x 1 1
b) 3x 7 x 1 2
c) x x 3 2 1
x
1 1
1
3
3 2
3 2
3
x
x x
x
x
3 2.Ph ơng pháp chung :
Để giải phơng trình chứa dấu căn ta tìm cách khử dấu căn
Cụ thể : - Tìm ĐKXĐ của phơng trình
- Biến đổi đa phơng trình về dạng đã học
- Giải phơng trình vừa tìm đợc
- So sánh kết quả với ĐKXĐ rồi kết luận nghiệm
3.3 Một số ph ơng pháp giải ph ơng trình vô tỉ cơ bản:
a Ph ơng pháp nâng lên luỹ thừa (Bình ph ơng hoặc lập ph ơng hai
vế ph ơng trình ):
a.1 Các ví dụ :
* Giải phơng trình dạng : f(x) g(x)
Ví dụ 1: Giải phơng trình : x 1 x 1 (1)
ĐKXĐ : x+10 x-1
Với x -1 thì vế trái của phơng trình không âm Để phơng trình có nghiệm thì x-10 x1.Khi đó phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình :
x+1 = (x-1)2 x2 -3x= 0
x(x-3) = 0
3 0
x x
Chỉ có nghiệm x =3 thoả mãn điều kiện x1
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x =3
Ví dụ 2: Giải phơng trình: x x 1 13
x113 x (1)
Trang 2ĐKXĐ :
0 13
0 1
x x
13 1
x x
1 x 13 (2) Bình phơng hai vế của (1) ta đợc :
x 1 ( 13 x) 2
2 27 170 0
Phơng trình này có nghiệm x1 10vàx2 17.Chỉ có x1 10thoã mãn (2) Vậy nghiệm của phơng trình là x 10
* Giải phơng trình dạng : f(x) h(x) g(x)
Ví dụ 3: Giải phơng trình: 1 x 2 x 1
1 x 1 2 x (1)
ĐKXĐ:
0 2
0 1
x
x
2
1
x
x
2 x 1
Bình phơng hai vế của phơng trình (1) ta đợc :
1 x 1 2 2 x 2 x 2 1 0
x x
Phơng trình này có nghiệm
2
5
1
x thoã mãn (2)
Vậy nghiệm của phơng trình là
2
5
1
x
Ví dụ 4: Giải phơng trình: 3 x 1 3 7 x 2 (1)
Lập phơng trình hai vế của (1) ta đợc:
x 1 7 x 3 3 (x 1 )( 7 x) 2 8
(x-1) (7- x) = 0
x =-1
x =7 (đều thoả mãn (1 ))
Vậy x 1 ;x 7là nghiệm của phơng trình
* Giải phơng trình dạng : f(x) h(x) g (x)
Ví dụ5: Giải phơng trình x 1- x 7= 12 x
x 1= 12 x+ x 7 (1)
ĐKXĐ: 1 12
7 12 1 0
7 0 12 0 1
x x
x x
x x
Bình phơng hai vế ta đợc: x- 4 = 2 ( 12 x)(x 7 ) (3)
Ta thấy hai vế của phơng trình (3) đều thoã mãn (2) vì vậy bình phơng 2 vế của phơng trình (3) ta đợc :
Trang 3(x - 4)2 = 4(- x2 + 19x- 84)
5x2 - 84x + 352 = 0
Phơng trình này có 2 nghiệm x1 =
5
44
và x2 = 8 đều thoả mãn (2)
Vậy x1 =
5
44
và x2 = 8 là nghiệm của phơng trình
* Giải phơng trình dạng : f(x) h(x) g (x)+ q (x)
Ví dụ 6: Giải phơng trình : x 1+ x 10 = x 2 + x 5 (1)
ĐKXĐ :
0 5
0 2
0 10
0 1
x x
5 10 1
x
x
x ≥ -1 (2) Bình phơng hai vế của (1) ta đợc :
x+1 + x+ 10 + 2 (x 1 )(x 10 )= x+2 + x+ 5 + 2 (x 2 )(x 5 )
2+ (x 1 )(x 10 ) = (x 2 )(x 5 ) (3)
Với x -1 thì hai vế của (3) đều dơng nên bình phơng hai vế của (3) ta đợc
) 10
)(
1
(x x = 1- x
Điều kiện ở đây là x -1 (4)
Ta chỉ việc kết hợp giữa (2) và (4)
1 1
x x
x = 1 là nghiệm duy nhầt của phơng trình (1)
a.2 Nhận xét :
Phơng pháp nâng lên luỹ thừa đợc sử dụng vào giải một số dạng phơng trình vô tỉ quen thuộc, song trong quá trình giảng dạy cần chú ý khi nâng lên luỹ thừa bậc chẵn
Với hai số dơng a, b nếu a = b thì a2n = b2n và ngợc lại (n= 1,2,3 )
Từ đó mà chú ý điều kiện tồn tại của căn, điều kiện ở cả hai vế của phơng trình
đó là những vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan khi sử dụng phơng pháp này
Ngoài ra còn phải biết phối hợp vận dụng phơng pháp này với cùng nhiều phơng pháp khác lại với nhau
a.3 Bài tập áp dụng:
1 2 4
x = x- 2
2 1 x x2 4= x+ 1
3 1 x + 4 x =3
Trang 44 3 x 45- 3 x 16 =1
5 1 x = 6 x- ( 2x 5 )
6 3 x 1+ 3 x 2 = 3 2 x 3
7 x + x y = x 1 + x 4
b Ph ơng pháp đ a về ph ơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối :
b.1 Các ví dụ :
Ví dụ1: Giải phơng trình: 9 2 24 16 4
ĐKXĐ:
0 4
0 16 24
9 2
x
x x
4
0 ) 4 3
x
x x
x ≤ 4
Phơng trình (1) 3x 4 = -x + 4
4 4
3
4 4
3
x x
x x
0 2
x x
Với x= 2 hoặc x = 0 đều là nghiệm của phơng trình (đều thoả mãn x 4 )
Ví dụ 2 : Giải phơng trình : 2 4 4
x
x + 2 8 16
x
x = 5 ĐKXĐ: x R
Phơng trình tơng đơng : x 2 + x 4 = 5
Lập bảng xét dấu :
x 2 4
x- 2 - 0 + +
x- 4 - - 0 +
Ta xét các khoảng :
+ Khi x < 2 ta có (2) 6-2x =5
x = 0,5(thoả mãn x 2)
+ Khi 2 x 4 ta có (2) 0x + 2 =5 vô nghiệm
+ Khi x > 4 ta có (2) 2x – 6 =5
x =5,5 (thoả mãn x > 4 )
Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0,5 và x = 5,5
Ví dụ 3 : Giải phơng trình: x 4 x 1 3 + x 6 x 1 8 = 1
ĐKXĐ: x 1
Phơng trình đợc viết lại là :
(x 1 ) 4 x 1 4 + (x 1 ) 6 x 1 9 = 1
( x 1 2 ) 2 + ( x 1 3 ) 2 = 1
Trang 5 x 1 2 + x 1 3 =1 (1)
- Nếu 1 x < 5 ta có (1) 2- x 1 + 3 - x 1= 1
x 1 =2 x= 5 không thuộc khoảng đang xét
- Nếu 5 x 10 thì (1) 0x = 0 Phơng trình có vô số nghiệm
- Nếu x> 10 thì (1) -5 = 1 phơng trinh vô nghiệm
Vậy phơng trình có vô số nghiệm : 5 x 10
b.2 Nhận xét :
Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối đợc sử dụng giải một số dạng phơng trình vô tỉ quen thuộc nh trên song trong thực tế cần
lu ý cho học sinh :
-áp dụng hằng đẳng thức A2 = A
- Học sinh thờng hay mắc sai lầm hoặc lúng túng khi xét các khoảng giá trị của
ẩn nên giáo viên cần lu ý để học sinh tránh sai lầm
b.3 Bài tập áp dụng :
1 2 6 9
x
x + 2 10 25
x
2 2 2 1
x
x + 2 4 4
x
x = 2 4 4
x x
3 x 3 4 x 1 + x 8 6 x 1 = 5
4 x 3 3 2x 5 + x 2 2x 5 = 2 2
c.Ph ơng pháp đặt ẩn phụ:
c 1 Các ví dụ :
Ví dụ 1 : Giải phơng trình: 2x2 + 3x + 2 2 3 9
x
x =33 ĐKXĐ : x R Phơng trình đã cho tơng đơng với: 2x2 + 3x +9 + 2 2 3 9
x
x - 42= 0 (1) Đặt 2x2 + 3x +9 = y > 0 (Chú ý rằng học sinh thờng mắc sai lầm không đặt
điều kiện bắt buộc cho ẩn phụ y)
Ta đợc phơng trình mới : y2 + y – 42 = 0
y1 = 6 , y2 = -7 Có nghiệm y =6 thoả mãn y> 0
Từ đó ta có 2 2 3 9
x
x =6 2x2 + 3x -27 = 0
Phơng trình có nghiệm x1 = 3, x2 =
-2 9
Cả hai nghiệm này chính là nghiệm của phơng trình đã cho
Ví dụ 2 : Giải phơng trình: x+ 4 x = 12
Trang 6ĐKXĐ : x o
Đặt 4 x = y 0 x = y2 ta có phơng trình mới
y2 + y -12 = 0 phơng trình có 2 nghiệm là y= 3 và y = - 4 (loại)
4 x = 3 x = 81 là nghiệm của phơng trình đã cho
Ví dụ 3: Giải phơng trình: x 1 + 3 x - (x 1 )( 3 x) = 2 (1) ĐKXĐ :
0 3
0 1
x x
3 1
x x
-1 ≤ x ≤ 3 Đặt x 1 + 3 x = t 0 t2 = 4 + 2 (x 1 )( 3 x)
(x 1 )( 3 x) =
2
4
2
t (2) thay vào (2) ta đợc
t2 – 2t = 0 t(t-2) = 0
2
0
t t
+ Với t = 0 phơng trình vô nghiệm
+Với t = 2 thay vào (2) ta có : (x 1 )( 3 x) = 0 x1 = -1; x2 = 3 (thoả mãn)
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x1 = -1và x2 = 3
Ví dụ 4: Giải phơng trình : 5 3 1
x = 2( x2 + 2)
Ta có 3 1
x = x 1 2 1
x x
Đặt x 1 = a 0 ; 2 1
x
x = b 0 và a2 + b2 = x2 + 2 Phơng trình đã cho đợc viết là
5ab = 2(a2 + b2)
(2a- b)( a -2b) = 0
0 2 0 2
b a b a
+ Trờng hợp: 2a = b
2 x 1 = 2 1
x x
4x + 4 = x2 – x +1
x2 – 5x -3 = 0
Phơng trình có nghiệm x1 =
2
37
5 ; x2 =
2
37
5
+ Trờng hợp: a = 2b
x 1 = 2 2 1
x x
x+ 1 = 4x2 -4x + 3 = 0
4x2 -5x + 3 = 0 phơng trình vô nghiệm
Trang 7Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x=
2
37
5 và x=
2
37
5
Ví dụ 5: Giải phơng trình: x 1 + 2 (x+1) = x- 1 + 1 x + 3 1 x2 (1) Đặt x 1 = u 0 và 1 x = t 0
ĐKXĐ: -1 x 1 thì phơng trình (1) trở thành
u + 2u2 = -t2 + t +3ut
(u –t ) 2 + u(u-t) + (u-t) = 0
(u-t)(2u – t +1 ) = 0
t u t u
1
2
x x
x x
1 1 1 2
1 1
2 5 24 0
x x
thoả mãn điều kiện -1 x 1 là nghiệm của phơng trình đã cho
Ví dụ 6: Giải phơng trình: x 2 x 1 + x 2 x 1 =
2
3
x
ĐKXĐ : x 1
Đặt x 1 = t 0 x = t2 + 1 phơng trình đã cho trở thành
2 ) 1
( t + ( t 1 ) 2 =
2
4
2
t
t 1 + t 1 =
2
4 2
t
0
0 4 4
2 2
t
t
t (t 1)
0 2
t
t
1 5
x x
ĐkXĐ: x≥ 1
Vậy phuơng đã cho có nghiệm x= 1và x= 5
c.2
Nhận xét :
Phơng pháp đặt ẩn nhằm làm cho phơng trình đợc chuyển về dạng hữu
tỉ Song để vận dụng phơng pháp này phải có những nhận xét,đánh giá tìm tòi h-ớng giải quyết cách đặt ẩn nh thế nào cho phù hợp nh :
Đặt ẩn phụ để đợc phơng trình mới chứa ẩn phụ (Vd 3-1,3-2,3-3)
Đặt ẩn phụ để đa về một biểu thức nhóm (VD 3-4; 3-5)
c.3. Bài tập áp dụng:
1/ x2 – 5 + 2 6
x = 7 2/ x
x
1 - 2x 3 x = 20
3/ 3 x2 - 3 3 x =20
4/ 3 8
x = 2x2 – 6x +4
Trang 85/ x 6 x 9 + x 6 x 9 =
6
23
x
d Ph ơng pháp đ a về ph ơng trình tích :
d.1.Các ví dụ :
Ví dụ 1: Giải phơng trình: x 10 x 21 = 3 x 3 + 2 x 7 - 6 (1)
ĐKXĐ : x -3
Phơng trình (1) có dạng :
) 7 )(
3 (x x - 3 x 3 + 2 x 7 +6 = 0 x 3( x 7 3 )-2( x 7 3 )) =3 ( x 7 3 )( x 3 2) =0
0 2 3
0 3 7
x x
4 3 9 7
x x
1
2
x
x
ĐKXĐ
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = 1; x = 2
Ví dụ 2: Giải phơng trình: 31 x + x 2 =1
ĐKXĐ : x -2
Đặt x 2 = t 0 Khi dó 31 x = 3 3 t 2
Phơng trình (1) 3 3 t 2 + t = 1
3 3 t 2 = 1- t
3- t3 = (1-t) 3
t3 - 4t2 + 3t + 2 =0
(t-2) ( t2 -2t -1) = 0
Từ phơng trình này ta tìm đợc x=2 ; x= 1 + 2 2là nghiệm của phơng trình (1)
Ví dụ3 : Giải phơng trình: (4x-1) 2 1
x = 2(x2 + 1) + 2x - 1 (1)
Đặt 2 1
x =y ; y 0 (1) (4x-1) y = 2y2 + 2x -1
2y2 - (4x -1) y + 2x – 1= 0
( 2y2 - 4xy + 2y) – ( y- 2x+1) = 0
(y- 2x+1) (2y- 1) = 0
Giải phơng trình này ta tìm đợc x = 0 ; x =
3
4
là nghiệm của phơng trình (1)
Ví dụ 4: Giải phơng trình: ( 1 x 1)( 1 x 1) = 2x
ĐKXĐ: -1 x 1 (1)
Trang 9đặt 1 x = u (0 u 2) suy ra x = u2 -1 phơng trình (1) trở thành : (u -1 ) ( 2 2 1 )
u = 2 ( u2 -1)
(u -1 ){ ( 2 2 1 )
u - 2 (u+1)} = 0 (u-1) ( 2 2 2 1 )
u u = 0
0 1 2 2
0 1
2 u u u
(+) u-1 = 0 u =1 ( thoả mãn u 0 ) suy ra x = 0 thoả mãn (1)
(+) 2 2 2 1
u u = 0 2
2 u = 2u + 1
) 1 2 ( 2
0 1
2
2
u u
u
(thoả mãn vì u 0 ) 5u2 + 4u - 1 = 0
5
) ( 0 1
2 1
u
loai u
nên có x = u2 -1 = (
5
1
)2 – 1 =
25
24
thoã mãn điều kiện (1)
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = 0 và x =
25
24
d.2.Nhận xét :
Khi sử dụng phơng pháp đa về phơng trình tích để giải phơng trình vô tỉ
ta cần chú ý các bớc sau
+ Tìm tập xác định của phơng trình
+ Dùng các phép biến đổi đại số , đa phơng trình về dạng f(x) g(x) ….= 0 (gọi.= 0 (gọi
là phơng trình tích) Từ đó ta suy ra f(x) = 0 ; g( x) = 0 ;….= 0 (gọi là những phơng trình quen thuộc
+ Nghiệm của phơng trình là tập hợp các nghiệm của các phơng trình f(x) = 0 g( x) = 0 ;….= 0 (gọi thuộc tập xác định
+ Biết vận dụng,phối hợp một cách linh hoạt với các phơng pháp khác nh nhóm các số hạng,tách các số hạng hoặc đặt ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn
đa về phơng trình về dạng tích quen thuộc đã biết cách giải
d.3.Bài tập áp dụng:
1 3 7 6
x
x = 0
2 2 2
x
x - 2 2 2
x
x = x 1
3 x(x+5) = 23 2 5 2 2
x x
4 2( x2 + 2x + 3) = 5 3 3 2 3 2
x
Trang 10e Ph ơng pháp đ a về hệ ph ơng trình :
e.1.Các ví dụ :
Ví dụ 1: Giải phơng trình: 25 x2 - 15 x2 =2
ĐKXĐ: 0 x2 15 Đặt: 25 x2 = a (a 0) (* )
15 x2 = b ( b 0) ( ** )
Từ phơng trình đã cho chuyển về hệ phơng trình :
0
) (
2 ) )(
(
2
b
a
b a b
a b
a
b
a
5 2
b a b a
2
3
2
7
b
a
Thay vào phơng trình (*) ta có 25 –x2 =
4
49
x2 =
4
51
x =
2
51
ĐkXĐ ) Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x =
2
51
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
3 5
3 ) 3 ( 5
) 5 (
x x
x x
x x
= 2 (1) ĐKXĐ : 3 x 5
Đặt
) 0 ( 3
) 0 ( 5
t t x
u u x
Phơng trình (1 ) trở thành hệ phơng trình :
2 2
2
2
2
2
t
ut
u
t
u
ut = 0
0 0
t u
5 3
x x
(thõa mãn điều kiện ) Vậy phơng trình đẫ cho có nghiệm x =3 ; x= 5
Ví dụ 3: Giải phơng trình: 3 2 x + x 1 = 1
ĐKXĐ: x 1
Đặt
) 0 ( 1 2
3
t t x
u x
Khi đó ta có u3 = 2 – x ; t2 = x- 1 nên u3 + t3 = 1
Phơng trình đã cho đợc đa về hệ:
) 2 ( 1 ) 1 ( 1
3
3 t u t u
Từ phơng trình (1) u = 1 – t Thay vào phơng trình (2) ta có :
( 1 – t )3 + t2 = 1
t( t2 - 4t + 3 = 0
Trang 11
0 3 4 0
2 t t
t
3 1 0
t t t
Từ đó ta đợc x= 3; x =2 ; x = 10 (ĐKXĐ x 1 ) là nghiệm của phơng trình
đã cho
Ví dụ 4: Giải phơng trình: 3 ( x 1 ) 2 + 3 ( x 1 ) 2 + 3 x2 1 = 1
Đặt:3 x 1 = a ; 3 x 1 = b nên ta có:
a2 = 3 ( x 1 ) 2
b2 = 3 ( x 1 ) 2
ab = 3 x2 1 Ta đợc phơng trình : a2 + b 2 + ab = 1 ( 1)
1 1
3 3
x b
x a
Ta đợc phơng trình : a3 – b3 = 2 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình :
2 1
3 3 2 2
b a
ab b
a
Từ hệ phơng trình ta suy ra a –b = 2 b = a – 2
Thay vào hệ phơng trình (1) ta đợc : (a -1 )2 = 0 a =1
Từ đó ta đợc x = 0
Vậy nghiệm của phơng trình là : x = 0
e.2.Nhận xét :
Qua 4 ví dụ trên cho ta thấy phơng pháp hệ phơng trình có những điểm sáng tạo và đặc thù riêng, nó đòi hỏi học sinh phải t duy hơn do đó phơng pháp này đợc áp dụng cho học sinh khá , giỏi Ta cần chú ýmột số điểm sau:
+ Tìm điều kiện tồn tại của phơng trình
+ Biến đổi phơng trình để xuất hiện nhân tử chung
+ Đặt ẩn phụ thích hợp để đa việc giải phơng trình về việc giải hệ phơng trình quen thuộc
Ngoài ra ngời học còn biết kết hợp phơng pháp này với phơng pháp khác
nh phơng pháp đặt ẩn phụ , phơng pháp sử dụng hằng đẳng thức
e.3.Bài tập áp dụng :
Giải các phơng trình sau :
1
x
1
+ 2
2
1
x
= 2