Đang tải... (xem toàn văn)
Phương pháp chung : Để giải phương trình chứa dấu căn ta tìm cách khử dấu căn .Cụ thể : Tìm ĐKXĐ của phương trình . Biến đổi đưa phương trình về dạng đã học. Giải phương trình vừa tìm được . So sánh kết quả với ĐKXĐ rồi kết luận nghiệm .Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ cơ bản:Phương pháp nâng lên luỹ thừa (Bình phương hoặc lập phương hai vế phương trình ):
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9 Chuyên đề bồi d ỡng hsg toán 9 3.1. Khái niệm ph ơng trình vô tỉ 3.1.1. Khái niệm: Phơng trình vô tỉ là phơng trình chứa ẩn trong dấu căn . 3.1.2. Các ví dụ : a) 11 =x b) 2173 =++ xx c) 3+ xx 1 2 + xx =3 d) 4 1 1 1 1 3 3 2 3 2 3 = + x x x xx 3. 2.Ph ơng pháp chung : Để giải phơng trình chứa dấu căn ta tìm cách khử dấu căn . Cụ thể : - Tìm ĐKXĐ của phơng trình . - Biến đổi đa phơng trình về dạng đã học. - Giải phơng trình vừa tìm đợc . - So sánh kết quả với ĐKXĐ rồi kết luận nghiệm . 3.3. Một số ph ơng pháp giải ph ơng trình vô tỉ cơ bản: a. Ph ơng pháp nâng lên luỹ thừa (Bình ph ơng hoặc lập ph ơng hai vế ph ơng trình ): a.1. Các ví dụ : * Giải phơng trình dạng : )()( xgxf = Ví dụ 1: Giải phơng trình : 11 =+ xx (1) ĐKXĐ : x+1 0 x -1 Với x -1 thì vế trái của phơng trình không âm .Để phơng trình có nghiệm thì x-1 0 x 1.Khi đó phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình : Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9 x+1 = (x-1) 2 x 2 -3x= 0 x(x-3) = 0 = = 3 0 x x Chỉ có nghiệm x =3 thoả mãn điều kiện x 1 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x =3 . Ví dụ 2: Giải phơng trình: 131 =+ xx xx = 131 ĐKXĐ : 013 01 x x 13 1 x x 1 13x (2) Bình phơng hai vế của (1) ta đợc : 2 )13(1 xx = 017027 2 =+ xx Phơng trình này có nghiệm 10 1 =x và 17 2 =x .Chỉ có 10 1 =x thoã mãn (2) . Vậy nghiệm của phơng trình là 10=x * Giải phơng trình dạng : )()()( xgxhxf =+ Ví dụ 3: Giải phơng trình: 121 =+ xx xx ++= 211 (1) ĐKXĐ: 02 01 + x x 2 1 x x 12 x Bình phơng hai vế của phơng trình (1) ta đợc : xxx ++++= 22211 01 2 =+ xx Phơng trình này có nghiệm 2 51 =x thoã mãn (2) Vậy nghiệm của phơng trình là 2 51 =x Ví dụ 4: Giải phơng trình: 3 1+x 27 3 =+ x (1) (1) Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9 Lập phơng trình hai vế của (1) ta đợc: 82).7)(1(371 3 =++++ xxxx (x-1) (7- x) = 0 x =-1 x =7 (đều thoả mãn (1 )). Vậy 7;1 == xx là nghiệm của phơng trình . * Giải phơng trình dạng : =+ )()( xhxf )(xg Ví dụ5: Giải phơng trình 1+x - 7x = x12 1+x = x12 + 7x (1) ĐKXĐ: 121 7 12 1 07 012 01 + x x x x x x x Bình phơng hai vế ta đợc: x- 4 = 2 )7)(12( xx (3) Ta thấy hai vế của phơng trình (3) đều thoã mãn (2) vì vậy bình phơng 2 vế của phơng trình (3) ta đợc : (x - 4) 2 = 4(- x 2 + 19x- 84) 5x 2 - 84x + 352 = 0 Phơng trình này có 2 nghiệm x 1 = 5 44 và x 2 = 8 đều thoả mãn (2) . Vậy x 1 = 5 44 và x 2 = 8 là nghiệm của phơng trình. * Giải phơng trình dạng : =+ )()( xhxf )(xg + )(xq Ví dụ 6: Giải phơng trình : 1+x + 10+x = 2+x + 5+x (1) ĐKXĐ : + + + + 05 02 010 01 x x x x 5 2 10 1 x x x x x -1 (2) Bình phơng hai vế của (1) ta đợc : Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9 x+1 + x+ 10 + 2 )10)(1( ++ xx = x+2 + x+ 5 + 2 )5)(2( ++ xx 2+ )10)(1( ++ xx = )5)(2( ++ xx (3) Với x -1 thì hai vế của (3) đều dơng nên bình phơng hai vế của (3) ta đợc )10)(1( ++ xx = 1- x Điều kiện ở đây là x -1 (4) Ta chỉ việc kết hợp giữa (2) và (4) 1 1 x x x = 1 là nghiệm duy nhầt của phơng trình (1). a.2. Nhận xét : Phơng pháp nâng lên luỹ thừa đợc sử dụng vào giải một số dạng phơng trình vô tỉ quen thuộc, song trong quá trình giảng dạy cần chú ý khi nâng lên luỹ thừa bậc chẵn Với hai số dơng a, b nếu a = b thì a 2n = b 2n và ngợc lại (n= 1,2,3 ) Từ đó mà chú ý điều kiện tồn tại của căn, điều kiện ở cả hai vế của phơng trình đó là những vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan khi sử dụng phơng pháp này. Ngoài ra còn phải biết phối hợp vận dụng phơng pháp này với cùng nhiều phơng pháp khác lại với nhau . a.3. Bài tập áp dụng: 1. 4 2 x = x- 2 2. 41 2 ++ xx = x+ 1 3. x1 + x+4 =3 4. 3 45+x - 3 16x =1 5. x1 = x6 - )52( + x 6. 3 1x + 3 2x = 3 32 x 7. x + yx + = 1x + 4+x Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9 b. Ph ơng pháp đ a về ph ơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối : b.1. Các ví dụ : Ví dụ1: Giải phơng trình: 416249 2 +=+ xxx (1) ĐKXĐ: + + 04 016249 2 x xx 4 0)43( 2 x xx x 4 Phơng trình (1) 43 x = -x + 4 = += 443 443 xx xx = = 0 2 x x Với x= 2 hoặc x = 0 đều là nghiệm của phơng trình (đều thoả mãn x 4 ). Ví dụ 2 : Giải phơng trình : 44 2 = xx + 168 2 + xx = 5 ĐKXĐ: x R Phơng trình tơng đơng : 2x + 4x = 5 Lập bảng xét dấu : x 2 4 x- 2 - 0 + + x- 4 - - 0 + Ta xét các khoảng : + Khi x < 2 ta có (2) 6-2x =5 x = 0,5(thoả mãn x 2) + Khi 2 x 4 ta có (2) 0x + 2 =5 vô nghiệm + Khi x > 4 ta có (2) 2x 6 =5 x =5,5 (thoả mãn x > 4 ) Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0,5 và x = 5,5 Ví dụ 3 : Giải phơng trình: 314 + xx + 816 + xx = 1 ĐKXĐ: x 1 Phơng trình đợc viết lại là : 414)1( + xx + 916)1( + xx = 1 Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9 2 )21( x + 2 )31( x = 1 21 x + 31 x =1 (1) - Nếu 1 x < 5 ta có (1) 2- 1x + 3 - 1x = 1 1x =2 x= 5 không thuộc khoảng đang xét - Nếu 5 x 10 thì (1) 0x = 0 Phơng trình có vô số nghiệm - Nếu x> 10 thì (1) -5 = 1 phơng trinh vô nghiệm Vậy phơng trình có vô số nghiệm : 5 x 10 b.2. Nhận xét : Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối đợc sử dụng giải một số dạng phơng trình vô tỉ quen thuộc nh trên song trong thực tế cần lu ý cho học sinh : -áp dụng hằng đẳng thức 2 A = A - Học sinh thờng hay mắc sai lầm hoặc lúng túng khi xét các khoảng giá trị của ẩn nên giáo viên cần lu ý để học sinh tránh sai lầm . b.3. Bài tập áp dụng : 1. 96 2 + xx + 2510 2 ++ xx = 8 2. 12 2 ++ xx + 44 2 + xx = 44 2 ++ xx 3. 143 ++ xx + 168 + xx = 5 4. 5233 ++ xx + 522 xx = 2 2 c.Ph ơng pháp đặt ẩn phụ: c 1. Các ví dụ : Ví dụ 1 : Giải phơng trình: 2x 2 + 3x + 932 2 ++ xx =33 ĐKXĐ : x R Phơng trình đã cho tơng đơng với: 2x 2 + 3x +9 + 932 2 ++ xx - 42= 0 (1) Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9 Đặt 2x 2 + 3x +9 = y > 0 (Chú ý rằng học sinh thờng mắc sai lầm không đặt điều kiện bắt buộc cho ẩn phụ y) Ta đợc phơng trình mới : y 2 + y 42 = 0 y 1 = 6 , y 2 = -7 .Có nghiệm y =6 thoả mãn y> 0 Từ đó ta có 932 2 ++ xx =6 2x 2 + 3x -27 = 0 Phơng trình có nghiệm x 1 = 3, x 2 = - 2 9 Cả hai nghiệm này chính là nghiệm của phơng trình đã cho. Ví dụ 2 : Giải phơng trình: x + 4 x = 12 ĐKXĐ : x o Đặt 4 x = y 0 x = y 2 ta có phơng trình mới y 2 + y -12 = 0 phơng trình có 2 nghiệm là y= 3 và y = - 4 (loại) 4 x = 3 x = 81 là nghiệm của phơng trình đã cho. Ví dụ 3: Giải phơng trình: 1+x + x3 - )3)(1( xx + = 2 (1) ĐKXĐ : + 03 01 x x 3 1 x x -1 x 3 Đặt 1+x + x3 = t 0 t 2 = 4 + 2 )3)(1( xx + )3)(1( xx + = 2 4 2 t (2) .thay vào (2) ta đợc t 2 2t = 0 t(t-2) = 0 = = 2 0 t t + Với t = 0 phơng trình vô nghiệm. +Với t = 2 thay vào (2) ta có : )3)(1( xx + = 0 x 1 = -1; x 2 = 3 (thoả mãn) Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x 1 = -1và x 2 = 3 Ví dụ 4: Giải phơng trình : 5 1 3 +x = 2( x 2 + 2) Ta có 1 3 +x = 1+x 1 2 + xx Đặt 1+x = a 0 ; 1 2 + xx = b 0 và a 2 + b 2 = x 2 + 2 Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9 Phơng trình đã cho đợc viết là 5ab = 2(a 2 + b 2 ) (2a- b)( a -2b) = 0 = = 02 02 ba ba + Trờng hợp: 2a = b 2 1+x = 1 2 + xx 4x + 4 = x 2 x +1 x 2 5x -3 = 0 Phơng trình có nghiệm x 1 = 2 375 ; x 2 = 2 375 + + Trờng hợp: a = 2b 1+x = 2 1 2 + xx x+ 1 = 4x 2 -4x + 3 = 0 4x 2 -5x + 3 = 0 phơng trình vô nghiệm. Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x= 2 375 + và x= 2 375 Ví dụ 5: Giải phơng trình: 1+x + 2 (x+1) = x- 1 + x1 + 3 2 1 x (1) Đặt 1+x = u 0 và x1 = t 0 ĐKXĐ: -1 x 1 thì phơng trình (1) trở thành. u + 2u 2 = -t 2 + t +3ut (u t ) 2 + u(u-t) + (u-t) = 0 (u-t)(2u t +1 ) = 0 =+ = tu tu 12 =++ =+ xx xx 1112 11 = = 25 24 0 x x thoả mãn điều kiện -1 x 1 là nghiệm của phơng trình đã cho. Ví dụ 6: Giải phơng trình: 12 xx + 12 + xx = 2 3+x Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9 ĐKXĐ : x 1 Đặt 1x = t 0 x = t 2 + 1 phơng trình đã cho trở thành 2 )1( +t + 2 )1( t = 2 4 2 +t 1+t + 1t = 2 4 2 +t = =+ 0 044 2 2 t tt (t 1) = = 0 2 t t = = 1 5 x x ĐkXĐ: x 1 Vậy phuơng đã cho có nghiệm x= 1và x= 5 c.2 . Nhận xét : Phơng pháp đặt ẩn nhằm làm cho phơng trình đợc chuyển về dạng hữu tỉ .Song để vận dụng phơng pháp này phải có những nhận xét,đánh giá tìm tòi h- ớng giải quyết cách đặt ẩn nh thế nào cho phù hợp nh : Đặt ẩn phụ để đợc phơng trình mới chứa ẩn phụ (Vd 3-1,3-2,3-3) Đặt ẩn phụ để đa về một biểu thức nhóm (VD 3-4; 3-5) c.3. Bài tập áp dụng: 1/ x 2 5 + 6 2 x = 7 2/ x x 1 - 2x 3 x = 20 3/ 3 2 x - 3 3 x =20 4/ 8 3 +x = 2x 2 6x +4 5/ 96 + xx + 96 xx = 6 23+x d. Ph ơng pháp đ a về ph ơng trình tích : d.1.Các ví dụ : Ví dụ 1: Giải phơng trình: 2110 ++ xx = 3 3+x + 2 7+x - 6 (1) ĐKXĐ : x -3 Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9 Phơng trình (1) có dạng : )7)(3( ++ xx - 3 3+x + 2 7+x +6 = 0 3+x ( )37 +x -2( )37 +x ) =3 ( )37 +x ( 23 +x ) =0 =+ =+ 023 037 x x =+ =+ 43 97 x x = = 1 2 x x ĐKXĐ. Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = 1; x = 2 Ví dụ 2: Giải phơng trình: 3 1 x + 2+x =1 ĐKXĐ : x -2 Đặt 2+x = t 0 Khi dó 3 1 x = 3 2 3 t Phơng trình (1) 3 2 3 t + t = 1 3 2 3 t = 1- t 3- t 3 = (1-t) 3 t 3 - 4t 2 + 3t + 2 =0 (t-2) ( t 2 -2t -1) = 0 Từ phơng trình này ta tìm đợc x=2 ; x= 1 + 2 2 là nghiệm của phơng trình (1) Ví dụ3 : Giải phơng trình: (4x-1) 1 2 +x = 2(x 2 + 1) + 2x - 1 (1) Đặt 1 2 +x =y ; y 0 (1) (4x-1) y = 2y 2 + 2x -1 2y 2 - (4x -1) y + 2x 1= 0 ( 2y 2 - 4xy + 2y) ( y- 2x+1) = 0 (y- 2x+1) (2y- 1) = 0 Giải phơng trình này ta tìm đợc x = 0 ; x = 3 4 là nghiệm của phơng trình (1) Ví dụ 4: Giải phơng trình: ( 11 + x )( 11 + x ) = 2x ĐKXĐ: -1 x 1 (1) [...]... x + 3 + x 2 x + 1 i Phơng pháp sử dụng điều kiện xảy ra dấu = ở bất đẳng thức không chặt i.1.Các ví dụ : Ví dụ1: Giải phơng trình y + 199 5 + x2 + z 199 6 = 1 (x+y+z) 2 ĐKXĐ : x 2; y - 199 5; z 199 6 Phơng trình (1) x+y+z = 2 x 2 + 2 y + 199 5 + 2 z 199 6 ( x 2 1) 2 + ( y + 199 5 1) 2 + ( z 199 6 1) 2 = 0 x2 =1 y + 199 5 = 1 z 199 6 = 1 x = 3 y = 199 4 z = 199 7 ( thoã mãn ĐKXĐ ) Mt... t duy hơn do đó phơng pháp này đợc áp dụng cho học sinh khá , giỏi Ta cần chú một số điểm sau: + Tìm điều kiện tồn tại của phơng trình + Biến đổi phơng trình để xuất hiện nhân tử chung + Đặt ẩn phụ thích hợp để đa việc giải phơng trình về việc giải hệ phơng trình quen thuộc Ngoài ra ngời học còn biết kết hợp phơng pháp này với phơng pháp khác nh phơng pháp đặt ẩn phụ , phơng pháp sử dụng hằng đẳng... Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = 0 và x = 24 25 d.2.Nhận xét : Khi sử dụng phơng pháp đa về phơng trình tích để giải phơng trình vô tỉ ta cần chú ý các bớc sau + Tìm tập xác định của phơng trình + Dùng các phép biến đổi đại số , đa phơng trình về dạng f(x) g(x) .= 0 (gọi là phơng trình tích) Từ đó ta suy ra f(x) = 0 ; g( x) = 0 ; là những ph ơng trình quen thuộc + Nghiệm của phơng trình là... -12x + 40 3 19 4 x 1 +5 4 + 95 x 2 1 x 2 6 x + 15 = x 2 6 x + 11 6 x 2 3 x + 2 = 3 x 2 6 x + 18 k Một số phơng pháp khác : k.1.Phơng pháp miền giá trị : Ví dụ1: Giải phơng trình: x +1 + x + 1 5 x 18 3 x = 9 (1) Ta tìm miền giá trị của hàm số : y = x 1 + x + 1 5 x 18 3x = 9 trên tập xác định [1;5] ta có: y, = 1 2 x +1 + 1 2 x 1 + 1 2 5 x + 3 2 18 3 x > 0 với mọi x [1;5] Do hàm số y liên tục... nên miền giá trị của hàm số là [ y (1); y (5)] hay [ ] 2 2 15;2 + 6 3` Suy ra y min = 2 2 15 và ymax = 2 + 6 3 với mọi x [1;5] Để phơng trình (1) có nghiệm thì y min 9 ymax nhng điều này không xảy ra vì y min = 2 2 15 < 9 và ymax = 2 + 6 3 < 9 Do đó phơng trình (1) vô nghiệm vì không tồn tại giá trị x [1;5] để y(xi) = 9 k.2.Phơng pháp hàm số: Ví dụ 2: Giải phơng trình: x3 +1 = 2 3 2 x ... Phơng pháp đa về hệ phơng trình : e.1.Các ví dụ : Ví dụ1: Giải phơng trình: 25 x 2 - 15 x 2 =2 ĐKXĐ: 0 x2 15 Đặt: 25 x 2 = a (a 0) (* ) 15 x 2 = b ( b 0) ( ** ) Từ phơng trình đã cho chuyển về hệ phơng trình : a b = 2 (a b)(a + b) = 2(a + b) a + b 0 a b = 2 a + b = 5 Thay vào phơng trình (*) ta có 25 x2 = ĐkXĐ ) Ví dụ 2: 49 4 x2 = Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x = Giải phơng trình: ... vụ t - BDHSG toỏn lp 9 Là nghiệm của phơng trình (1) Ví dụ 2: Giải phơng trình: 3( x + 1) 2 + 4 + Vế trái của (*) Vế phải của (*) 3x 2 + 6 x + 7 + 2 5 x 2 + 10 x + 14 = 4 2x x 5( x + 1) 2 + 9 = 5 (x+1)2 (*) 3( x + 1) 2 + 4 + 5( x + 1) 2 + 9 2 + 3 = 5 5 (x+1)2 5 Vì thế phơng trình (*) chỉ có nghiệm khi và chỉ khi hai vế của phơng trình (*) bằng nhau và bằng 5 x+ 1 = 0 x = -1 Vậy phơng trình đã... =-1 Ví dụ3: ĐKXĐ: x> Giải phơng trình: x 4x 1 + 4x 1 =2 (1) x 1 4 áp dụng bất đẳng thức a b + 2 với a,b > 0 b a xảy ra dấu = khi và chỉ khi a =b Dấu = của (1) xảy ra khi x= 4 x 1 x2 - 4x +1 = 0 (do x> 1 ) 4 Giải phơng trình này ta tìm đợc x= 2 3 (thoả mãn ĐKXĐ) Vậy x= 2 3 là nghiệm của phơng trình i.2 Nhận xét : Khi sử dụng phơng pháp bất đẳng thức để giải phơng trình vô tỉ ta cần chú ý các bớc... đẳng thức e.3.Bài tập áp dụng: Giải các phơng trình sau : 1 1 + x 1 2 x2 =2 2 2 3 2 x 1 = x3+ 1 Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9 3 3 1 x + 3 1 + x =1 4 3 x 1 + 3 x 21 = 3 2x 3 5 4 4 + x = x g Phơng pháp bất đẳng thức : g.1 Phơng pháp chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau , khi đó phơng trình vô nghiệm g.1.1.Các ví dụ : Ví dụ1: Giải phơng trình: x 1 - x 1 0 5 x 1... phơng trình là tập hợp các nghiệm của các phơng trình f(x) = 0 g( x) = 0 ; thuộc tập xác định Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9 + Biết vận dụng,phối hợp một cách linh hoạt với các phơng pháp khác nh nhóm các số hạng,tách các số hạng hoặc đặt ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn đa về phơng trình về dạng tích quen thuộc đã biết cách giải d.3.Bài tập áp dụng: 1 x 3 7 x 6 = 0 . 199 6 Phơng trình (1) x+y+z = 2 2x + 2 199 5 + y + 2 199 6 z 2 )12( x + 2 )1 199 5( + y + 2 )1 199 6( z = 0 = =+ = 1 199 6 1 199 5 12 z y x = = = 199 7 199 4 3 z y x (. 1- t 3- t 3 = (1-t) 3 t 3 - 4t 2 + 3t + 2 =0 (t-2) ( t 2 -2 t -1 ) = 0 Từ phơng trình này ta tìm đợc x=2 ; x= 1 + 2 2 là nghiệm của phơng trình (1) Ví dụ3 : Giải phơng trình: (4x-1). ơng pháp sử dụng điều kiện xảy ra dấu = ở bất đẳng thức không chặt i.1.Các ví dụ : Ví dụ1: Giải phơng trình 2x + 199 5 + y + 199 6z = 2 1 (x+y+z) ĐKXĐ : x 2; y -1 99 5; z 199 6 Phơng