0

Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ skkn toán thpt

20 1,883 0
  • Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ skkn toán thpt

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 20/09/2014, 09:09

trong chương trình Toán ở các bậc học, các cấp học ở phổ thông cơ sở, phổ thông Trung học (PTTH), kể cả ngay ở trong các trường chuyên nghiệp thương gặp nhiều bài toán về phương trình và bất phương trình vô tỷ. Như vậy vấn đề cần đặt ra là làm thế nào để có thể giải được loại toán này? Để trả lời vấn đề này bản thân học sinh cần có kiến thức và nắm vững kỹ năng giải toán. Song hiểu theo cách nói là một lẽ, nhưng để giải quyết tốt loại toán này lại là vấn đề khó khăn. Do đó khai gặp loại toán này đa số học sinh còn gặp nhiều khó khăn, lời giải thường thiếu chặt chẽ dẫn đến không có kết quả (điểm), hoặc nếu có kết quả thì kết quả đạt được cũng không cao ( không có điểm tối đa). Vậy vấn đề đặt ra là để học sinh có được những kiến thức và kỹ năng giải được thành thạo loại toán này, đáp ứng được mục tiêu tư duy tìm hiểu tốt nhất của học sinh đề tài này sẽ cung cấp cho các bạn đọc đặc biệt là các bạn học sinh một cách nhìn bao quát về dạng toán này, cung cấp cho các em bạn một số phương pháp giải cơ bản về loại toán này. SKKN: Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ A. ĐẶT VẤN ĐỀ. Nhờ có sự quan tâm của Đảng và Nhà nước về công tác giáo dục - đào tạo (GD-ĐT), cùng với sự nỗ lực của học sinh, thời gian qua chúng ta đã đạt được một số thành tích đáng kể trong ngành GD-ĐT. Tuy nhiên nếu đánh giá một cách thổng thể, khách quan, thì hiện nay chất lượng, hiệu quả GD-ĐT còn thấp, chưa đáp ứng được yêu cầu ngày càng cao của xã hội. Nhìn chug trình độ kiến thức của học sinh, khả năng tư duy khoa học, khả năng thực hành còn yếu kém, chưa thích ứng được với thực tiễn xã hội, khả năng vận dụng kiến thức vào sản xuất, đời sống còn hạn chế. Đặc biệt trong chương trình Toán ở các bậc học, các cấp học ở phổ thông cơ sở, phổ thông Trung học (PTTH), kể cả ngay ở trong các trường chuyên nghiệp thương gặp nhiều bài toán về phương trình và bất phương trình vô tỷ. Như vậy vấn đề cần đặt ra là làm thế nào để có thể giải được loại toán này? Để trả lời vấn đề này bản thân học sinh cần có kiến thức và nắm vững kỹ năng giải toán. Song hiểu theo cách nói là một lẽ, nhưng để giải quyết tốt loại toán này lại là vấn đề khó khăn. Do đó khai gặp loại toán này đa số học sinh còn gặp nhiều khó khăn, lời giải thường thiếu chặt chẽ dẫn đến không có kết quả (điểm), hoặc nếu có kết quả thì kết quả đạt được cũng không cao ( không có điểm tối đa). Vậy vấn đề đặt ra là để học sinh có được những kiến thức và kỹ năng giải được thành thạo loại toán này, đáp ứng được mục tiêu tư duy tìm hiểu tốt nhất của học sinh đề tài này sẽ cung cấp cho các bạn đọc đặc biệt là các bạn học sinh một cách nhìn bao quát về dạng toán này, cung cấp cho các em bạn một số phương pháp giải cơ bản về loại toán này. Tôi mong rằng qua đề tài này đã góp phần làm tăng thêm khả năng tư duy khoa học, khả năng thực hành, kỹ năng giải toán về phương trình và bất phương trình vô tỷ. SKKN: Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ B. TÊN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU: “Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ”. C. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU. - Tìm hiểu trên cơ sở lý luận về việc chuẩn bị lựa chọn phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ. - Trên cơ sở tìm hiểu lý luận nhằm giới thiệu khái quát một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình. - Phát huy tính tích cực chủ động tìm tòi, áp dụng vào thực tế của từng bài toán. - Giải quyết triệt để những yếu kém mà học sinh thường mắc phải khi gặp các loại toán giải phương trình và bất phương trình vô tỉ. D. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU. - Tìm hiểu về phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ. - Dự kiến được những khó khăn của học sinh khi giải các loại toán về phương trình và bất phương trình vô tỷ. E. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. - Nghiên cứu cơ sở lý luận về khả năng tư duy, khả năng thực hành, kỹ năng giải toán phương trình và bất phương trình vô tỷ. - Tổng kết vận dụng cơ sở lý luận để đưa ra được một số phương pháp giải phù hợp đạt hiệu quả vào giải phương trình và bất phương trình vô tỷ. Chương I: Một số định lý về phương trình và bất phương trình vô tỷ. 1. Định lý 1: Phương trình )(xf = g (x) tương đương với hệ g (x) > 0 f (x) > g 2 (x) 2. Định lý 2: SKKN: Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ Bất phương trình )(xf > )(xg tương đương với hệ g (x) > 0 f (x) > g 2 (x) Chương II: Một số sai lầm mà học sinh thường gặp khi giải phương trình và tỉ. Ta gọi phương trình vô tỉ là những phương trình tính chứa ẩn trong dấu căn cần tách các sai lầm sau: Ví dụ : Giải phương trình. 23151 −=−−− xxx (1) 1. Lời giải chuyển vế: 23151 −+−=− xxx (2) Bình phương hai vế: x - 1 = 5x - 1 + 3x - 2 + 2 21315 2 +xx (3) Rút gọn: 2-7x = 2 21315 2 +− xx (4) Bình phương hai vế. 4 - 28x + 49x 2 = 4(15x 2 - 13x + 2) (5) Rút gọn: (11x-2) (x-2) = 0 x 1 = 11 2 ; x 2 = 2 II. Phân tích sai lầm. a. Sai lầm thứ nhất: là không chú ý đến điều kiện có nghĩa của căn thức. Thật vậy ở căn thức 1−x , phải có x > 1, do đó giá trị x = 11 2 không phải là nghiệm của (1). Để khắc phục sai lầm này cần tập xác định của nghiệm phương trình (1) hoặc thử lại các giá trị tìm được của x vào phương trình ban đâu.f b. Sai lầm thứ hai. Là không đặt điều kiện để biến đổi triết học tương đương (4), (5) không tương đương, phương trình (4) tương đương với hệ. 2 - 7x > 0 (2 - 7x) 2 = 4 ( 15x 2 - 13x + 2) SKKN: Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ Do vậy phương trình (50 là phương trình hệ quả của phương trình (4) nó chỉ tương đương với 94) với điều kiện 2-7x > 0. Do đó x = 2 cũng không là nghiệm của (1). III. Cách giải đúng. Đặt điều kiện tồn tại của (1) là x > 1. Do đó x < 5x suy ra x - 1 < 5x - 1. Như vậy vế trái của (10 là số âm, còn vế phải không âm. Vậy phương trình (1) vô nghiệm. 3. Định lý 3: Bất phương trình )(xf > g(x) tương đương với 2 hệ: f(x) > 0 g(x) < 0 g(x) > 0 f(x) > g 2 (x) 4. Định lý 4: Bất phương trình: )(xf < g(x) tương đương với hệ f(x) > 0 g(x) > 0 f(x) < 0 Chương III: Giới thiệu một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỉ. I. Phương án 1: Nâng lên luỹ thừa để phá dấu căn. Một trong các nguyên tắc để giải phương trình hoặc bất phương trình chứa căn thức là chúng ta phải làm mất dấu căn, thông thường chúng ta sử dụng một trong các định lý trên để dấu căn của phương trình hoặc bất phương trình, thường chỉ nên áp dụng một hoặc hai lần và khi đó sẽ đưa phương trình hoặc bất phương trình vô tỷ về dạng mà ta có thể giải dễ dàng hơn. Ví dụ 1: Giải bất phương trình. SKKN: Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ 12315 −=−−− xxx Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là. 5x - 1 > 0 3x - 2 > 0 hay là x > 1 (*) x - 1 > 0 Với điều kiện (*) phương trình cho tương đương với phương trình. 23115 −+−=− xxx Cả hai vế của phương trình đều không âm, nâng lên luỹ thừa hai của cả hai vế ta được phương trình tương đương. 5x - 1 = 4x - 3 + 2 )23)(1( −− xx Hay là x + 2 = 2 )23)(1( −− xx Với x > 1 thì cả hai vế của phương trình trên đều không âm, bình phương 2 vế ta được phương trình tương đương: (x+2) 2 = 4 (x-1) (3x-2) Hay là: 11x 2 - 24x + 4 = 0 Phương trình này có 2 nghiệm: x 1 = 2 và x 2 = 11 2 Ta thấy chỉ có x = 2 thoả mãn điều kiện (*). Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2 Ví dụ 2: Giải bất phương trình. xxx <−−+ 11 (1) Giải: Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là: 1 + x > 0 <=> - 1 < x < 1 1 - x > 0 Ta xét các khả năng có thể sảy ra sau đây: 1. Nếu - 1 < x < 0: Khi đó (1) <=> - x < xx +−− 11 (2) Do - 1 < 1 - x + 1 + x* - 2 2 1 x− SKKN: Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ <=> 2 - x 2 > 2 2 1 x− <=> 4 - 4x 2 = x 4 > 4 - 4x 2 <=> x 4 > 0 luôn đúng Với mọi x thoả mãn - 1 < x < 0. Vậy - 1 < x < 0 là nghiệm của bất phương trình đã cho. 2. Nếu 0 < 1 x < : Khi đó 1 + x > 1 - x => xx −−+ 11 < 0 (1) <=> 1 + x + 1 - x - 2 2 1 x− < x 2 <=> 2 - x 2 < 2 2 1 x− <=> 4 - 4x 2 + x 4 - 4x 2 <=> x 4 < 0 => x = 0 Nghiệm này bị loại: Vậy nghiệm của bất phương trình là: -1 < x < 0 II. Phương pháp 2: Phương pháp khoảng. Nội dung của pháp pháp này là đưa các bất chương trình căn thức về bất phương trình tách, tìm nghiệm các thừa số rồi xét dấu để tìm nghiệm. Ví dụ 1: Giải bất phương trình: (x-3) 4 2 −x < x 2 - 9 (1) Giải: Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là x 2 - 4 > 0 => |x| > 2 Hay là: x < - 2 hoặc x > 2 Khi đó ta có: (1) <=> (x-3) ( 34 2 −−− xx ) < 0 (2) Xét phương trình: 34 2 −−− xx = 0, khio đó ta có: 34 2 −−− xx = 0 <=> 4 2 −x = x +3 x + 3 > 0 <=> x 2 - 4 = x 2 + 6x + 9 x > - 3 SKKN: Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ <=> => x = 6 13− x = 6 13− Xét dấu của vế trái của (20 ta có: Vậy nghiệm của bất phương trình là: x < 6 13− và x > 3. Ví dụ 2: Giải bất phương trình: x 2 10 x− < x 2 - 6 (1) Giải: Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là: 10 - x 2 > 0 => x 2 < 10 => |x| = 10 Với điều kiện đó ta có: (1) <=> x 2 10 x− - x 2 + 6 < (2) Xét phương trình: x 2 10 x− - - x 2 + 6 = 0 < => x 2 10 x− = x 2 - 6 x (x 2 - 6) > 0 <=> x 2 (10 - x 2 ) = x 4 - 12 x 2 + 36 - 6 < x < 0, x > 6 <=> x 4 = 11x 2 + 18 = 0 - 6 < x < 0, x > 6 <=> x 2 = - 2 - 6 < x < 0, x > 6 <=> x = + 3; x = + 2 x = 3 6 13− - -2 2 + 3 - SKKN: Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ <=> x = - 2 Xét dấu vế trái của (2) ta có: Vậy nghiệm của bất phương trình là: 10− < x < - 2 , 3 < x < 10 III. Phương pháp 3: Phương pháp đặt ẩn phụ. Một số bài toán về giải phương trình và bất phương trình có chứa căn thức có thể giải được nhờ việc đưa thêm vào các ẩn phụ để phá căn thức hoặc có thể đưa về các phương trình hoặc bất phương trình đại số. Thông thườngcó thể đặt ẩn mới bằng một căn thức (hoặc tổng hay hiệu hai căn thức) nào đó. Chúng ta thường gặp 3 dạng ẩn phụ sau: Dạng 1: Đặt ẩn phụ để đưa về một phương trình hay bất phương trình với một ẩn mới. Dạng 2: Đặt ẩn phụ để đưa về một hệ hai phương trình hai ẩn mới. Dạng 3: Đặt ẩn phụ để đưa về một phương trình với hai ẩn (phương pháp sử dụng phương trình bậc hai). Ví dụ 5: Giải phương trình: x = x + xxx −+− 2 1 = 2 (1) Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là: x > 0 <=> x > 1 x - 1 > Đặt triết học = x + 1−x do x > 1 nên t > 1 Khi đó ta có: t 2 = x = x - 1 + 2 )1( −xx => x = 2 1 2 2 − =− t xx - 3 + - SKKN: Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ Phương trình (1) trở thành: t + 2 1 2 +t = 2 => t 2 + 2t - 3 = 0 => t = 1, t = -3 (loại) Vậy ta có: t = 1 => x + 1−x = 1 => x + x - 1 + 2 1 2 =− xx => 1 2 =− xx - x 1 - x > 0 <=> x 2 - x = 1 - 2x + x 2 x < 1 <=> <=. x = 1 Vậy ta có x = 1 x = 1 Ví dụ 6: Giải phương trình: 431532373 2222 +−−−−=−−+− xxxxxxx (1) Giải: Điều kiện phương trình có nghĩa là: 3x 2 - 7x + 3 > 0 x 2 - 2 > 0 (*) 3x 2 - 5x - 1 > 0 x 2 - 3x = 4 > 0 Đặt 373 2 +− xx = b 2 2 −x = b 1753 2 −−x = c 43 2 +− xx = d Điều kiện a, b, c, không âm, d dương. Khi đó ta có: 3x 2 - 7x + 3 = a 2 x 2 - 2 = b 2 => 3 (a 2 - c 2 ) = 2 (d 2 - b 2 ) 3x 2 - 5x - 1 = c 2 SKKN: Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ x 2 - 3x = 4 = d 2 Khi đó với điều kiện (*) ta có: (1) <=> a - b = c - d a - b = c - d 3 (a 2 - c 2 ) = 2 ( d 2 - b 2 ) <=> (b - d) (3a+3c+2b+2d) = 0 a,b,c > 0; d > 0 a, b, c > 0; d > 0 <=> b = d > 0 <=> x 2 = 2 = x 2 - 3x + 4 <=> x = 2 thoả mãn điều kiện (*) Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình (1). Ví dụ 7: Giải phương trình: 7x 2 + 7x = 28 94 +x (1) Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là: 4x + 9 > 0 => x > 4 9− Đặt: 28 94 +x = t + 2 1 (t > 2 1− ) => 28 94 +x = t 2 + t + 4 1 => 7t 2 = 7t = x + 2 1 khi đó. 7t 2 = 7t = t + 2 1 (2) (1) <=> Lấy (2) trừ đi (3) ta có 7t 2 = 7t = t + 2 1 (3 ) 7(x2 - t2) + 7(x - t) = t -x => (x - t) (7x + 7t + 8) = 0 =>    =++ =− 0877 0 tx tx xét hai khả năng xảy ra a. Nếu x - t = 0 => t= x. Thay vào (2) ta có: 7x2 + 7x = x + 2 1 => 14x2 + 12x - 1 = 0 => x = 14 256 ±− Do điều kiện x = t ≥ 2 1− nên x = 14 256 +− là ghiệm. [...]... chọn và sử dụng phương pháp giải toán phù hợp SKKN: Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ III HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP Như những điều ta đã nói và được biết ai cũng có thể khẳng định bộ môn toán có nhiệm vụ hàng đầu là hình thức kỹ năng và phát triển tư duy thế nhưng để cho học sinh có được những kỹ năng giải loại toán phương trình và bất phương trình. .. kiện (*) Vậy phương trình có nghiệm là: x = -2 V Phương pháp 5: Phương pháp hàm số Để sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là một dạng toán khá quen thuộc Ta có ba hướng áp dụng sau: Hướng 1: Chuyển phương trình về dạng: SKKN: Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ f(x) =k Bước 2: Xét hàm số y = f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số là đơn điệu... số giảm trên D Do đó phương trình (2) f(x) = g(x) nếu có nghiệm thì nghiệm đó phải là nghiệm duy nhất Thấy t = 1 thoả mãn phương trình Khi đó: x2 - x = 1 x = 1+ 5 2 SKKN: Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ Vậy phương trình có nghiệm x = 1+ 5 2 VI Phương pháp 6: Phương pháp đánh giá Nhiều bài toán bằng cách đánh giá tinh tế dựa trên các tính chất của bất. .. 6 Thoả mãn điều kiện bài toán b Với t =-2x, x 2 + 2 x − 1 = - 2x − 2 x ≥ 0 x ≤ 0  2 2  2 x + 2x −1 = 4x 3 x − 2 x − 1 = 0 Phương trình này vô nghiệm SKKN: Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ Vậy phương trình đã cho (1) có nghiệm x = -1 ± 6 Ví dụ 9: Giải phương trình: 5 x + 1 = 2(x2 + 2) (1) Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là: x3 + 1... V ∀ U, V ∈ Df Ví dụ 12: Giải phương trình: 4 x − 1 + 4 x 2 = 1 Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là: 4x - 1 > 0 4x2 - 1 > 0 x > 1 2 SKKN: Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ Nhận xét rằng: Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị của hàm số y = 4 x − 1 + 4 x 2 − 1 và đường thẳng y = 1 Xét hàm số: y = 4 x − 1 + 4 x 2 − 1 1 2 Miền... phương pháp giải cũng như rèn luyện được kỹ năng giải toán của học sinh trước hết mỗi giáo viên phải hướng dẫn cho học sinh thấy và biết phân nhóm được các loại toán phù hợp với từng phương pháp giải Từ đó, việc thực hiện quá trình giải đơn giản đi rất nhiều không còn hiện tượng lúng túng tìm cách giải IV Kết luận Trên đây tôi đã giới thiệu một vài phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô. . .SKKN: Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ b Nếu 7x + 7t + 8 = 0 => t = − 7x − 8 thay vào (2) ta có: 7 23 − 7x − 8 1 −4± 7x2 + 7x = + => x = 2 14 2 7 23 −1 −4− Kết hợp với điều kiện t≥ ta có: x = 2 2 7 Vậy nghiệm của phương trình là: x = −4− 7 23 −6+5 2 2 , x= 14 * Nhận xét: Muốn sử dụng phương pháp hệ phương trình ta thường đưa về hệ phương trình đối... −1 + 2 − x −1 ) x −1 −1 2 − x −1 > 0 1< x − 1 ≤ 2 1 ≤ x - 1 ≤ 4 => 2 ≤ x ≤ 5 SKKN: Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ Vậy nghiệm của phương trình là 2≤ x ≤ 5 * Chú ý: - Rất nhiều học sinh giải bài toán này chỉ thu được nghiệm là x = 2 và x = 5 - Bài toán trên có thể giải như sau: x −1 −1 + 2 − x −1 = ( ) ( x −1 −1 + 2 − x −1 )  x −1 −1 ≥ 0  x −1 ≥... giải và đạt hiệu quả cao trong quá trình giảng dạy bản thân đã từng bước đưa các phương pháp này vào vận dụng giải toán và đã được kết quả tương đối tốt Ngay từ lúc này việc giải loại toán phương trình và bất phương trình vô tỉ đối với các em học sinh không còn là một loại toán khó khăn như trước nữa Tuy nhiên để đạt được kết quả như mong muốn thì ngay cả giáo viên và học sinh cần phải nỗ lực hơn SKKN: ... đạt được kết quả như mong muốn thì ngay cả giáo viên và học sinh cần phải nỗ lực hơn SKKN: Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ nữa, cần phải có sự phân tích từng loại toán một cách chính xác Tôi tin rằng trong một thời gian không lâu các phương pháp giải này sẽ trở thành một món ăn tinh thần cho những bạn học sinh Qua đề tài này tôi rất mong được các bạn độc . năng giải toán về phương trình và bất phương trình vô tỷ. SKKN: Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ B. TÊN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU: Giới thiệu một số phương. của việc lựa chọn và sử dụng phương pháp giải toán phù hợp SKKN: Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ III. HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP. Như những. phương trình Khi đó: x 2 - x = 1 <=> x = 2 51+ SKKN: Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ Vậy phương trình có nghiệm x = 2 51+ VI. Phương pháp
- Xem thêm -

Xem thêm: Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ skkn toán thpt, Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ skkn toán thpt, Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ skkn toán thpt

Từ khóa liên quan