skkn giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ

A. Đặt vấn đề. Nhờ có sự quan tâm của Đảng và Nhà nớc về công tác giáo dục - đào tạo (GD-ĐT), cùng với sự nỗ lực của học sinh, thời gian qua chúng ta đã đạt đợc một số thành tích đáng kể trong ngành GD-ĐT. Tuy nhiên nếu đánh giá một cách thổng thể, khách quan, thì hiện nay chất lợng, hiệu quả GD-ĐT còn thấp, cha đáp ứng đợc yêu cầu ngày càng cao của xã hội. Nhìn chug trình độ kiến thức của học sinh, khả năng t duy khoa học, khả năng thực hành còn yếu kém, cha thích ứng đợc với thực tiễn xã hội, khả năng vận dụng kiến thức vào sản xuất, đời sống còn hạn chế. Đặc biệt trong chơng trình Toán ở các bậc học, các cấp học ở phổ thông cơ sở, phổ thông Trung học (PTTH), kể cả ngay ở trong các trờng chuyên nghiệp thơng gặp nhiều bài toán về phơng trình và bất ph- ơng trình vô tỷ. Nh vậy vấn đề cần đặt ra là làm thế nào để có thể giải đợc loại toán này? Để trả lời vấn đề này bản thân học sinh cần có kiến thức và nắm vững kỹ năng giải toán. Song hiểu theo cách nói là một lẽ, nhng để giải quyết tốt loại toán này lại là vấn đề khó khăn. Do đó khai gặp loại toán này đa số học sinh còn gặp nhiều khó khăn, lời giải thờng thiếu chặt chẽ dẫn đến không có kết quả (điểm), hoặc nếu có kết quả thì kết quả đạt đợc cũng không cao ( không có điểm tối đa). Vậy vấn đề đặt ra là để học sinh có đợc những kiến thức và kỹ năng giải đợc thành thạo loại toán này, đáp ứng đợc mục tiêu t duy tìm hiểu tốt nhất của học sinh đề tài này sẽ cung cấp cho các bạn đọc đặc biệt là các bạn học sinh một cách nhìn bao quát về dạng toán này, cung cấp cho các em bạn một số phơng pháp giải cơ bản về loại toán này. Tôi mong rằng qua đề tài này đã góp phần làm tăng thêm khả năng t duy khoa học, khả năng thực hành, kỹ năng giải toán về phơng trình và bất phơng trình vô tỷ. B. Tên đề tài nghiên cứu: Gii thiu mt s phng phỏp gii toỏn phng trỡnh v bt phng trỡnh vụ t. C. Mục đích nghiên cứu. - Tìm hiểu trên cơ sở lý luận về việc chuẩn bị lựa chọn phơng pháp giải phơng trình và bất phơng trình vô tỷ. - Trên cơ sở tìm hiểu lý luận nhằm giới thiệu khái quát một số phơng pháp giải phơng trình và bất phơng trình. - Phát huy tính tích cực chủ động tìm tòi, áp dụng vào thực tế của từng bài toán. - Giải quyết triệt để những yếu kém mà học sinh thờng mắc phải khi gặp các loại toán giải phơng trình và bất phơng trình vô tỉ. D. Nhiệm vụ nghiên cứu. - Tìm hiểu về phơng pháp giải phơng trình và bất phơng trình vô tỷ. - Dự kiến đợc những khó khăn của học sinh khi giải các loại toán về phơng trình và bất phơng trình vô tỷ. E. Phơng pháp nghiên cứu. - Nghiên cứu cơ sở lý luận về khả năng t duy, khả năng thực hành, kỹ năng giải toán phơng trình và bất phơng trình vô tỷ. - Tổng kết vận dụng cơ sở lý luận để đa ra đợc một số phơng pháp giải phù hợp đạt hiệu quả vào giải phơng trình và bất phơng trình vô tỷ. Ch ơng I: Một số định lý về phơng trình và bất phơng trình vô tỷ. 1. Định lý 1: Phơng trình )(xf = g (x) tơng đơng với hệ g (x) > 0 f (x) > g 2 (x) 2. Định lý 2: Bất phơng trình )(xf > )(xg tơng đơng với hệ g (x) > 0 f (x) > g 2 (x) Ch ơng II: Một số sai lầm mà học sinh thờng gặp khi giải phơng trình và tỉ. Ta gọi phơng trình vô tỉ là những phơng trình tính chứa ẩn trong dấu căn cần tách các sai lầm sau: Ví dụ : Giải phơng trình. 23151 = xxx (1) 1. Lời giải chuyển vế: 23151 += xxx (2) Bình phơng hai vế: x - 1 = 5x - 1 + 3x - 2 + 2 21315 2 +xx (3) Rút gọn: 2-7x = 2 21315 2 + xx (4) Bình phơng hai vế. 4 - 28x + 49x 2 = 4(15x 2 - 13x + 2) (5) Rút gọn: (11x-2) (x-2) = 0 x 1 = 11 2 ; x 2 = 2 II. Phân tích sai lầm. a. Sai lầm thứ nhất: là không chú ý đến điều kiện có nghĩa của căn thức. Thật vậy ở căn thức 1x , phải có x > 1, do đó giá trị x = 11 2 không phải là nghiệm của (1). Để khắc phục sai lầm này cần tập xác định của nghiệm phơng trình (1) hoặc thử lại các giá trị tìm đợc của x vào phơng trình ban đâu.f b. Sai lầm thứ hai. Là không đặt điều kiện để biến đổi triết học t- ơng đơng (4), (5) không tơng đơng, phơng trình (4) tơng đơng với hệ. 2 - 7x > 0 (2 - 7x) 2 = 4 ( 15x 2 - 13x + 2) Do vậy phơng trình (50 là phơng trình hệ quả của phơng trình (4) nó chỉ tơng đơng với 94) với điều kiện 2-7x > 0. Do đó x = 2 cũng không là nghiệm của (1). III. Cách giải đúng. Đặt điều kiện tồn tại của (1) là x > 1. Do đó x < 5x suy ra x - 1 < 5x - 1. Nh vậy vế trái của (10 là số âm, còn vế phải không âm. Vậy ph- ơng trình (1) vô nghiệm. 3. Định lý 3: Bất phơng trình )(xf > g(x) tơng đơng với 2 hệ: f(x) > 0 g(x) < 0 g(x) > 0 f(x) > g 2 (x) 4. Định lý 4: Bất phơng trình: )(xf < g(x) tơng đơng với hệ f(x) > 0 g(x) > 0 f(x) < 0 Chơng III: Giới thiệu một số phơng pháp giải phơng trình và bất phơng trình vô tỉ. I. Phơng án 1: Nâng lên luỹ thừa để phá dấu căn. Một trong các nguyên tắc để giải phơng trình hoặc bất phơng trình chứa căn thức là chúng ta phải làm mất dấu căn, thông thờng chúng ta sử dụng một trong các định lý trên để dấu căn của phơng trình hoặc bất phơng trình, thờng chỉ nên áp dụng một hoặc hai lần và khi đó sẽ đa phơng trình hoặc bất phơng trình vô tỷ về dạng mà ta có thể giải dễ dàng hơn. Ví dụ 1: Giải bất phơng trình. 12315 = xxx Giải: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là. 5x - 1 > 0 3x - 2 > 0 hay là x > 1 (*) x - 1 > 0 Với điều kiện (*) phơng trình cho tơng đơng với phơng trình. 23115 += xxx Cả hai vế của phơng trình đều không âm, nâng lên luỹ thừa hai của cả hai vế ta đợc phơng trình tơng đơng. 5x - 1 = 4x - 3 + 2 )23)(1( xx Hay là x + 2 = 2 )23)(1( xx Với x > 1 thì cả hai vế của phơng trình trên đều không âm, bình phơng 2 vế ta đợc phơng trình tơng đơng: (x+2) 2 = 4 (x-1) (3x-2) Hay là: 11x 2 - 24x + 4 = 0 Phơng trình này có 2 nghiệm: x 1 = 2 và x 2 = 11 2 Ta thấy chỉ có x = 2 thoả mãn điều kiện (*). Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = 2 Ví dụ 2: Giải bất phơng trình. xxx <+ 11 (1) Giải: Điều kiện để bất phơng trình có nghĩa là: 1 + x > 0 <=> - 1 < x < 1 1 - x > 0 Ta xét các khả năng có thể sảy ra sau đây: 1. Nếu - 1 < x < 0: Khi đó (1) <=> - x < xx + 11 (2) Do - 1 < 1 - x + 1 + x* - 2 2 1 x <=> 2 - x 2 > 2 2 1 x <=> 4 - 4x 2 = x 4 > 4 - 4x 2 <=> x 4 > 0 luôn đúng Với mọi x thoả mãn - 1 < x < 0. Vậy - 1 < x < 0 là nghiệm của bất phơng trình đã cho. 2. Nếu 0 < 1 x < : Khi đó 1 + x > 1 - x => xx + 11 < 0 (1) <=> 1 + x + 1 - x - 2 2 1 x < x 2 <=> 2 - x 2 < 2 2 1 x <=> 4 - 4x 2 + x 4 - 4x 2 <=> x 4 < 0 => x = 0 Nghiệm này bị loại: Vậy nghiệm của bất phơng trình là: -1 < x < 0 II. Phơng pháp 2: Phơng pháp khoảng. Nội dung của pháp pháp này là đa các bất chơng trình căn thức về bất phơng trình tách, tìm nghiệm các thừa số rồi xét dấu để tìm nghiệm. Ví dụ 1: Giải bất phơng trình: (x-3) 4 2 x < x 2 - 9 (1) Giải: Điều kiện để bất phơng trình có nghĩa là x 2 - 4 > 0 => |x| > 2 Hay là: x < - 2 hoặc x > 2 Khi đó ta có: (1) <=> (x-3) ( 34 2 xx ) < 0 (2) Xét phơng trình: 34 2 xx = 0, khio đó ta có: 34 2 xx = 0 <=> 4 2 x = x +3 x + 3 > 0 <=> x 2 - 4 = x 2 + 6x + 9 x > - 3 <=> => x = 6 13 x = 6 13 Xét dấu của vế trái của (20 ta có: 6 13 - -2 2 + 3 - Vậy nghiệm của bất phơng trình là: x < 6 13 và x > 3. Ví dụ 2: Giải bất phơng trình: x 2 10 x < x 2 - 6 (1) Giải: Điều kiện để bất phơng trình có nghĩa là: 10 - x 2 > 0 => x 2 < 10 => |x| = 10 Với điều kiện đó ta có: (1) <=> x 2 10 x - x 2 + 6 < (2) Xét phơng trình: x 2 10 x - - x 2 + 6 = 0 < => x 2 10 x = x 2 - 6 x (x 2 - 6) > 0 <=> x 2 (10 - x 2 ) = x 4 - 12 x 2 + 36 - 6 < x < 0, x > 6 <=> x 4 = 11x 2 + 18 = 0 - 6 < x < 0, x > 6 <=> x 2 = - 2 - 6 < x < 0, x > 6 <=> x = + 3; x = + 2 x = 3 <=> x = - 2 Xét dấu vế trái của (2) ta có: - 3 + - Vậy nghiệm của bất phơng trình là: 10 < x < - 2 , 3 < x < 10 III. Phơng pháp 3: Phơng pháp đặt ẩn phụ. Một số bài toán về giải phơng trình và bất phơng trình có chứa căn thức có thể giải đợc nhờ việc đa thêm vào các ẩn phụ để phá căn thức hoặc có thể đa về các phơng trình hoặc bất phơng trình đại số. Thông thờngcó thể đặt ẩn mới bằng một căn thức (hoặc tổng hay hiệu hai căn thức) nào đó. Chúng ta thờng gặp 3 dạng ẩn phụ sau: Dạng 1: Đặt ẩn phụ để đa về một phơng trình hay bất phơng trình với một ẩn mới. Dạng 2: Đặt ẩn phụ để đa về một hệ hai phơng trình hai ẩn mới. Dạng 3: Đặt ẩn phụ để đa về một phơng trình với hai ẩn (phơng pháp sử dụng phơng trình bậc hai). Ví dụ 5: Giải phơng trình: x = x + xxx + 2 1 = 2 (1) Giải: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: x > 0 <=> x > 1 x - 1 > Đặt triết học = x + 1x do x > 1 nên t > 1 Khi đó ta có: t 2 = x = x - 1 + 2 )1( xx => x = 2 1 2 2 = t xx Phơng trình (1) trở thành: t + 2 1 2 +t = 2 => t 2 + 2t - 3 = 0 => t = 1, t = -3 (loại) Vậy ta có: t = 1 => x + 1x = 1 => x + x - 1 + 2 1 2 = xx => 1 2 = xx - x 1 - x > 0 <=> x 2 - x = 1 - 2x + x 2 x < 1 <=> <=. x = 1 Vậy ta có x = 1 x = 1 Ví dụ 6: Giải phơng trình: 431532373 2222 +=+ xxxxxxx (1) Giải: Điều kiện phơng trình có nghĩa là: 3x 2 - 7x + 3 > 0 x 2 - 2 > 0 (*) 3x 2 - 5x - 1 > 0 x 2 - 3x = 4 > 0 Đặt 373 2 + xx = b 2 2 x = b 1753 2 x = c 43 2 + xx = d Điều kiện a, b, c, không âm, d dơng. Khi đó ta có: 3x 2 - 7x + 3 = a 2 x 2 - 2 = b 2 => 3 (a 2 - c 2 ) = 2 (d 2 - b 2 ) 3x 2 - 5x - 1 = c 2 x 2 - 3x = 4 = d 2 Khi đó với điều kiện (*) ta có: (1) <=> a - b = c - d a - b = c - d 3 (a 2 - c 2 ) = 2 ( d 2 - b 2 ) <=> (b - d) (3a+3c+2b+2d) = 0 a,b,c > 0; d > 0 a, b, c > 0; d > 0 <=> b = d > 0 <=> x 2 = 2 = x 2 - 3x + 4 <=> x = 2 thoả mãn điều kiện (*) Vậy x = 2 là nghiệm của phơng trình (1). Ví dụ 7: Giải phơng trình: 7x 2 + 7x = 28 94 +x (1) Giải: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: 4x + 9 > 0 => x > 4 9 Đặt: 28 94 +x = t + 2 1 (t > 2 1 ) => 28 94 +x = t 2 + t + 4 1 => 7t 2 = 7t = x + 2 1 khi đó. 7t 2 = 7t = t + 2 1 (2) (1) <=> Lấy (2) trừ đi (3) ta có 7t 2 = 7t = t + 2 1 (3 ) 7(x2 - t2) + 7(x - t) = t -x => (x - t) (7x + 7t + 8) = 0 => =++ = 0877 0 tx tx xét hai khả năng xảy ra a. Nếu x - t = 0 => t= x. Thay vào (2) ta có: 7x2 + 7x = x + 2 1 => 14x2 + 12x - 1 = 0 => x = 14 256 Do điều kiện x = t 2 1 nên x = 14 256 + là ghiệm. b. Nếu 7x + 7t + 8 = 0 => t = 7 87 x thay vào (2) ta có: 7x2 + 7x = 14 87 x + 2 1 => x = 7 2 23 4 Kết hợp với điều kiện t 2 1 ta có: x = 7 2 23 4 Vậy nghiệm của phơng trình là: x = 7 2 23 4 , x= 14 256 + [...]... đây tôi đã giới thiệu một vài phơng pháp giải toán phơng trình và bất phơng trình vô tỉ trong chơng trình toán THCS - THPT đây không chỉ là vũ trang ban đầu về kiến thức và kỹ năng thực hành của học sinh mà còn hành trang cho các em trong những chơng trình toán cao hơn đây là một cơ sở để kích thích các em tăng tính ham mê, thích học Nh vậy việc lựa chọn các phơng pháp giải toán nh đã giới thiệu trên... quả, dễ dàng tìm cách giải và đạt hiệu quả cao trong quá trình giảng dạy bản thân đã từng bớc đa các phơng pháp này vào vận dụng giải toán và đã đợc kết quả tơng đối tốt Ngay từ lúc này việc giải loại toán phơng trình và bất phơng trình vô tỉ đối với các em học sinh không còn là một loại toán khó khăn nh trớc nữa Tuy nhiên để đạt đợc kết quả nh mong muốn thì ngay cả giáo viên và học sinh cần phải nỗ... và bất phơng trình vô tỉ thành thạo Không lệ thuộc bị động học sinh cần phải có sự chuẩn bị kỹ về kiến thức cơ bản về mở đầu từ số vô tỉ căn bậc hai và các loại phơng trình vô tỉ đơn giản nhằm thấy rõ đợc mục đích của việc lựa chọn và sử dụng phơng pháp giải toán phù hợp III Hớng dẫn học sinh vận dụng phơng pháp Nh những điều ta đã nói và đợc biết ai cũng có thể khẳng định bộ môn toán có nhiệm vụ hàng... kỹ năng và phát triển t duy thế nhng để cho học sinh có đợc những kỹ năng giải loại toán phơng trình và bất phơng trình vô tỉ thì là vấn đề khó ngoài ra cần phát triển đợc khả năng phát triển t duy khoa học Do đó việc lựa chọn và sử dụng phơng pháp giải hợp lý là một việc rất cần thiết Muốn có đợc điều này thì trớc hết học sinh cần phải nắm và hiểu sâu sắc nội dung và mục tiêu của từng dạng toán mới... + 2 => x = -2 Thoả mãn điều kiện (*) Vậy phơng trình có nghiệm là: x = -2 V Phơng pháp 5: Phơng pháp hàm số Để sử dụng các tính chất của hàm số để giải phơng trình là một dạng toán khá quen thuộc Ta có ba hớng áp dụng sau: Hớng 1: Chuyển phơng trình về dạng: f(x) =k Bớc 2: Xét hàm số y = f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số là đơn điệu (giả sử là hàm số đồng biến) Bớc 3: Nhận xét - Với x = xo => f(x)... sự lựa chọn phơng pháp giải tốt nhất đạt kết quả cao nhất Nh vậy để có đợc sự lựa chọn phù hợp phơng pháp giải cũng nh rèn luyện đợc kỹ năng giải toán của học sinh trớc hết mỗi giáo viên phải hớng dẫn cho học sinh thấy và biết phân nhóm đợc các loại toán phù hợp với từng phơng pháp giải Từ đó, việc thực hiện quá trình giải đơn giản đi rất nhiều không còn hiện tợng lúng túng tìm cách giải IV Kết luận... dạng toán để xác định rõ việc lựa chọn phơng pháp giải thích hợp nhất * Việc thứ hai: Giáo viên phải sắp xếp những phơng pháp đã đợc chuẩn bị bằng những kiến thức cơ bản nh: Định nghĩa, định lý, tính chất Nhằm lựa chọn những phơng pháp giải thích hợp khai thác triệt để nội dung của từng dạng toán II Công việc chuẩn bị của học sinh Để học sinh có những kỹ năng thực hành giải phơng trình và bất phơng trình. .. phơng trình về dạng f(x) = f(x) Bớc 2: Xét hàm số y = f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số là đơn điệu (giả sử đồng biến) Bớc 3: Khi đó f(u) = f(V) U = V U, V Df Ví dụ 12: Giải phơng trình: 4 x 1 + 4 x 2 = 1 Giải: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: 4x - 1 > 0 x > 4x2 - 1 > 0 1 2 Nhận xét rằng: Số nghiệm của phơng trình (1) là số giao điểm của đồ thị của hàm số y = 4 x 1 + 4 x 2 1 và đờng... nhiều học sinh giải bài toán này chỉ thu đợc nghiệm là x = 2 và x = 5 - Bài toán trên có thể giải nh sau: x 1 1 + 2 x 1 = ( ) ( x 1 1 + 2 x 1 ) x 1 1 0 x 1 1 => 2 x 5 2 x 1 0 x 1 2 Chơng V: Công việc chuẩn 1 Chuẩn bị của giáo viên Để có đợc những phơng pháp giải toán giải phơng trình và bất phơng trình vô tỉ thì công việc chuẩn bị của giáo viên là hết sức quan trọng * Việc thứ nhất:... phơng trình vô nghiệm - Với x < xo => f(x) < f(x) = k, do đó phơng trình vô nghiệm Vậy x = xo là nghiệm duy nhất của phơng trình Hớng dẫn: Thực hiệnh theo các bớc Bớc 1: Chuyển phơng trình về dạng: f(x) = g(x) Bớc 2: Xét hàm số; y = f(x) và y = g(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số y = f(x) là đồng biến càn hàm số y = g(x) là hàm hằng hoặc nghịch biến Xác định xo sao cho f(xo) = g(xo) Bớc 3: Vậy phơng trình . năng giải toán phơng trình và bất phơng trình vô tỷ. - Tổng kết vận dụng cơ sở lý luận để đa ra đợc một số phơng pháp giải phù hợp đạt hiệu quả vào giải phơng trình và bất phơng trình vô tỷ bị lựa chọn phơng pháp giải phơng trình và bất phơng trình vô tỷ. - Trên cơ sở tìm hiểu lý luận nhằm giới thiệu khái quát một số phơng pháp giải phơng trình và bất phơng trình. - Phát huy. còn hiện tợng lúng túng tìm cách giải. IV. Kết luận Trên đây tôi đã giới thiệu một vài phơng pháp giải toán phơng trình và bất phơng trình vô tỉ trong chơng trình toán THCS - THPT đây không chỉ