Phương trình chứa căn (còn gọi là phương trình vô tỉ) là một trong lớp các bài toán về phương trình và bất phương trình vô tỉ. Phương trình siêu việt, cũng như phương trình lượng giác thường xuyên đưa về phương trình vô tỉ. Chính vì thế việc khảo sát phương trình vô tỉ là rất cần thiết. Trong những năm gần đây, phương trình vô tỉ thường xuất hiện trong các đề thi Đại HọcCao Đẳng và đề thi Học Sinh Giỏi. Do đó, việc biên soạn một hệ thống các bài tập và phương giải cho dạng toán này sẽ giúp ích cho học sinh khi ôn luyện.
Trang 1SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1 Họ và tên: ĐOÀN KHẮC QUỐC
2 Ngày tháng năm sinh: 26-08-1978
3 Nam,nữ : Nam
4 Địa chỉ: Xuân Đông-Cẩm Mỹ-Đồng nai
5 Điện thoại:0984347530
6 Chức vụ: Tổ trưởng
7 Đơn vị công tác:THPT Võ Trường Toản
II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị : Cử nhân
- Năm nhận bằng:2001
- Chuyên ngành đào tạo: Toán học
III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán học
Số năm có kinh nghiệm: 7
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: không
Trang 2I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Phương trình chứa căn (còn gọi là phương trình vô tỉ) là một trong lớp các bài toán về phương trình và bất phương trình vô tỉ Phương trình siêu việt, cũng như phương trình lượng giác thường xuyên đưa về phương trình
vô tỉ Chính vì thế việc khảo sát phương trình vô tỉ là rất cần thiết
Trong những năm gần đây, phương trình vô tỉ thường xuất hiện trong các đề thi Đại Học-Cao Đẳng và đề thi Học Sinh Giỏi Do đó, việc biên soạn một hệ thống các bài tập và phương giải cho dạng toán này sẽ giúp ích cho học sinh khi ôn luyện
II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI.
1 Thuận lợi:
Đa số học sinh đều thích học môn Toán, các em học Toán để chuẩn bị cho các kì thi Tốt Nghiệp Phổ Thông, Đại học, Cao đẳng và thi Học Sinh Giỏi Ngoài ra, được sự động viên, quan tâm và giúp đỡ của Ban Giám Hiệu cũng như của đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện đề tài này
2 Khó khăn:
Học sinh chủ yếu là con em nông thôn, gia đình ở xa trường, điều kiện kinh tế khó khăn, ngoài thời gian học ở trường các em còn phải phụ giúp gia đình Đa số điểm đầu vào của học sinh còn thấp, vì thế cũng có phần khó khăn cho việc lĩnh hội kiến thức
III TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI:
A) Cơ sở lí luận:
Một trong những trọng tâm của đổi mới chương trình và sách giáo khoa giáo dục phổ thông là tập trung vào đổi mới phương pháp dạy học,
Trang 3thực hiện việc dạy học dựa vào hoạt động tích cực, chủ động của học sinh với sự tổ chức và hướng dẫn của giáo viên nhằm phát triển tư duy độc lập, sáng tạo, góp phần hình thành phương pháp và du cầu tự học, bồi dưỡng hứng thú học tập, tạo niềm tin và niềm vui trong học tập cho học sinh.Tiếp tục tận dụng các ưu điểm của phương pháp truyền thống và dần dần làm quen với những phương pháp dạy học mới
Khi giải một bài toán, học sinh thường cố gắng tìm ra một phương pháp tối ưu, đẹp nhất, chặt chẽ, chính xác nhất trong nhiều cách giải bài toán đó Với cách học đó giúp các em tích lũy được nhiều kinh nghiệm giải toán và giải toán sáng tạo Để bổ sung cho học sinh phương pháp giải phương trình
vô tỉ tôi giới thiệu đề tài “Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ”
B) Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài:
Một số phương trình vô tỉ khi giải bằng phương pháp thông thường sẽ gặp rất nhiều khó khăn, vì phương trình chứa nhiều dấu căn khá phức tạp
Ở đây tôi nêu ra hai phương pháp để giải phương trình vô tỉ là đặt ẩn phụ và phương pháp vectơ
1) Đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình.
Đối với phương pháp này ta có thể đưa về hệ hai ẩn khác ẩn của phương trình hoặc có thể chỉ đặt một ẩn và ẩn còn lại của hệ là ẩn của phương trình ban đầu
a) Đặt một ẩn phụ
Ta tìm phương pháp chung để giải các phương trình dạng
ax b+ =cx2 +dx e+ và 3ax b+ =cx3 +dx2 +ex + f
Dạng 1 : ax b+ =mx2 +cx +d a( ≠ 0,m ≠ 0,m = 1)
a .
Trang 4Xét hàm số ( ) = 1x2 +cx +d
Ta có f x'( ) = 2x +c
a , '( ) = ⇔ = −0
2
ac
Đặt + = +
2
ac
ax b y , ta đưa phương trình dạng 1 về hệ đối xứng quen thuộc
Ví dụ 1: Giải phương trình x + =5 x2 −5.
Làm nháp: Xét hàm sốf x( ) = x2 −5.
Ta có f x'( ) = 2 , '( )x f x = ⇔ =0 x 0.
Giải
Đặt x + =5 y y( ≥ 0), ta được hệ phương trình − =
− =
2 2
5 5
Hệ này là hệ đối xứng loại 2
Giải hệ ta được
=
−
=
2
2
x y
(loại) hoặc
=
+
=
2
2
x y
hoặc
=
− +
=
2
2
x y
hoặc
=
− −
=
2
2
x y
(loại)
Vậy phương trình có hai nghiệm = 1+ 21 = − +1 17
,
Trang 5Ví dụ 2: Giải phương trình 1 + 61 = 3 2 + − 29
Làm nháp: Xét hàm số ( ) = 3 2 + − 29
6
Ta có '( ) = 6 +1, '( ) = ⇔ = −0 1
6
Giải
Đặt 1 + 61 = + 1( ≥ −1)
3x 36 y 6 y 6 , ta được hệ phương trình
+ = +
2 2
Suy ra 3(y2 −x2) (+ y −x) = − ⇔x y (x −y)(3y +3x +2) = ⇔ =0 y x
hoặc = −3 +2
3
x
*Với y = x, ta có 3 2 = ⇒ = =5 5
3
*Với = − 3 +2
3
x
x
tìm được y và kết luận nghiệm của phương trình
Dạng 2 : ax + =b cx2 +dx +e a( ≠ 0,c ≠ 0,a ≠ 1)
c .
Xét hàm số ( ) =cx2 +dx +e.
Ta có f x'( ) = 2cx +d , '( ) = ⇔ = −0
2
d
c .
Trang 6Đặt ax b+ = 2cy d+ , ta đưa phương trình dạng 2 về hệ đối xứng quen thuộc
Ví dụ 3: Giải phương trình 9x − =5 3x2 +2x + 3.
Làm nháp: Xét hàm sốf x( ) = 3x2 +2x + 3.
Ta có '( ) = 6 +2, '( ) = ⇔ = −0 1
3
Giải
Đặt 9 − =5 3 +1( ≥ −1)
3
2 2
Từ đây ta có thể dễ dàng giải tiếp
Dạng 3 : 3ax b+ =cx3 +dx2 +ex + f a( ≠ 0,c ≠ 0,a = 1)
c .
Xét hàm số
= ⇔ = −
''( ) 0
3
d
c .
Đặt 3 + = +
3
d
c , ta đưa pt dạng 3 về hệ đối xứng quen thuộc.
Ví dụ 4: Giải phương trình x3 + =1 2 23 x −1.
Làm nháp: Xét hàm số ( ) = 1 3 + 1
Ta có '( ) = 3 2, ''( ) = 3 , ''( ) = ⇔ =0 0
2
Trang 7Giải
Đặt y = 32x −1, ta được hệ phương trình
+ =
+ =
3 3
1 2
1 2
Trừ hai phương trình của hệ vế theo vế, ta được : x3 −y3 = 2y −2x
=
2 0( )
Thay x = y vào phương trình ban đầu ta được : x3 −2x + =1 0
±
⇔ = 1, = 1 5
2
Dạng 4 : 3ax b+ =cx3 +dx2 +ex + f a( ≠ 0,c ≠ 0,a ≠ 1)
c .
Xét hàm số
= ⇔ = −
''( ) 0
3
d
c .
Đặt 3ax b+ = 3cy d+ , ta đưa pt dạng 4 về hệ đối xứng quen thuộc.
Ví dụ 5: Giải phương trình 381 − =8 3 −2 2 + 4 −2
3
Làm nháp: Xét hàm số ( ) = 3 −2 2 + 4 −2
3
Trang 8Ta có '( ) = 3 2 − 4 = 4, ''( ) = 6 −4, ''( ) = ⇔ =0 2
Giải
Đặt 381x − =8 3y −2, ta được hệ phương trình
4
3 4
3
Đáp số : = 0; = 3 2 6±
3
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Giải các phương trình sau :
1) x2 = 2− +x 2 ; 2) x2 −4x − =3 x +5 ; 3) x3 + =2 3 3 3 x −2 ;
4) 3x + = −1 4x2 +13x −5 ; 5) x + =1 x2+4x +5 ; 6) 1 + 9 = 7 2+ 7
7x 28 x x b) Đặt hai ẩn phụ
Khi biểu thức dưới dấu căn có mối liên hệ với nhau, ta đặt hai ẩn phụ để đưa về hệ phương trình
Ví dụ 6: Giải phương trình 3 − +x x2 − 2 + −x x2 =1
Giải
Đặt u = 3 − +x x2 và v = 2+ −x x u v2( , ≥ 0), ta được hệ phương trình :
1
v
= −
= −
1 2
u
Trang 9Đáp số : = 1± 5
2
Ví dụ 7: Giải phương trình 3x +34 − 3x − =3 1
Giải
Đặt u = 3x + 34và v = 3x − 3, ta được hệ phương trình :
2
3
12 0
v
⇔ + − = ⇔ = hoặc = −
= −
3 4
u
Khi đó
− =
3
3
34 3
x
− =
3 3
34 3
x x
Giải ra được x = 30,x = −61.
Ví dụ 8:Giải phương trình 2 33 x − +2 3 6x − − =5 8 0(ĐH Khối A- 2009)
Giải
Đặt u = 33x −2và v = 6x −5(v ≥ 0), ta được hệ phương trình :
= −
=
2
4
u
v Giải hệ − = −
6 5 4
x
x ta được x = − 2
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Trang 10Giải các phương trình
Bài 1: Giải các phương trình 2 + = 4 +9 >
28
x
4
x
Bài 2: Giải các phương trình 4 47 2− x +4 35 2+ x =4.ĐS: x = −17;x =23 Bài 3: Giải các phương trình x + −3 3x =1.ĐS: x = 1;x = 2 2
Bài 4: Giải các phương trình x + =6 x2 +4x.ĐS: = − +3 17; = − +5 13
Bài 5: Giải các phương trình 3 2− +x x − =1 1.ĐS: x = 1;x = 2;x = 10.
Bài 6: Giải các phương trình 5 x3 + =1 2(x2 +2).ĐS: = 5± 37
2
2) Vận dụng kiến thức vectơ để giải phương trình
Một số kiến thức vận dụng :
●ur+ ≤vr ur + vr
●ur+ =vr ur + vr ⇔ =ur kv kr( > 0)
●u vr− ≥r ur − vr
●u vr− =r ur − vr ⇔ =ur kv kr( > 0)
●u vr r = u vr r ⇔ =ur kv kr( > 0)
Ví dụ 9: Giải phương trình x2 −2x + −5 x2 −6x +10 = 5
Giải
Phương trình ⇔ (x −1) 2 + −4 (x −3) 2 + =1 5
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,chọn các vectơ có tọa độ như sau :
= −
r
( 1;2)
Trang 11= ( − 3;1)
Ta có : u vr− =r (2;1)
− =
r r
5
u v
r r
( 1) 4 ( 3) 1
Vì ur− =vr ur − vr ⇔ =ur kv kr( >0)nên − = ⇔ =
−
1
3
x
x
Vậy nghiệm của phương trình là x = 5
Ví dụ 10: Giải phương trình x2 +2x +10 + x2 −6x +13 = 41
Giải
PT⇔ (x +1) 2 + +9 (3−x) 2+ =4 41
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,chọn các vectơ có tọa độ như sau :
= +
r
( 1; 3)
= −
r
(3 ;2)
Ta có : ur+ =vr (4;5)
+ =
r r
41
u v
r r
( 1) 9 (3 ) 4
Vì ur+ =vr ur + vr ⇔ =ur kv kr( > 0)nên + = ⇔ =
−
x
x
Vậy nghiệm của phương trình là = 7
5
Ví dụ 11: Giải phương trình
(3 x x) 1 5 2x 40 34x 10x x
Trang 12Giải
Điều kiện: 1 ≤ ≤ 5
2
PT⇔(3−x x) − +1 5 2− x = 40 34− x +10x2 −x3
⇔(3−x x) − +1 5 2− x = [(3−x) 2 +1](4−x)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,chọn các vectơ có tọa độ như sau :
= −
r
(3 ;1)
r
( 1; 5 2 )
Ta có : u vr r = (3 −x x) − + 1 5 2 − x
r r
(3 ) 1 4 40 34 10
Vì u vr r = u vr r ⇔ =ur kv kr( > 0)nên
2 17 49 46 0 2
1 5 2
x
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Giải các phương trình x + −3 4− +x x − −8 6 x − =1 1 ĐS: 5 ≤ ≤x 10
Bài 2: Giải các phương trình x2−8x +816 + x2 +10x +267 = 2003 ĐS: = −56
31
x
Bài 3: Giải các phương trình x − +2 4− =x x2 −6x +11.ĐS: x = 3
Trang 13Bài 4: Giải các phương trình x2−2x + +5 x2 +2x +10 = 29.ĐS: = 1
5
x
Bài 5: Giải các phương trình x + 2x − +1 x − 2x − =1 2
Bài 6: Giải các phương trình x2+2x + +2 x2 −2x + =2 2 2.ĐS: x = 0
IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI:
- Qua thưc tế giảng dạy, nếu học sinh nắm được những vấn đề lý
thuyết cơ bản về hình học và đại số –nhận dạng được các loại bài tập –
phương pháp giải từng loại bài tập có hệ thống như trên thì sẽ giúp cho các
em giải quyết đươc bài toán giải phương trình vô tỉ trong các đề thi Đại học-Cao đẳng một cách nhanh chóng
- Kết quả cho thấy: đa số HS biết ứng dụng và thấy có hiệu quả
V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
Sáng kiến kinh nghiệm góp thêm một phần thiết thực vào việc ôn thi đại học của học sinh Nó giúp học sinh thấy được cách giải quyết vấn đề nhanh chóng và hiệu quả khi nắm vững phương pháp
Tôi rất mong được hội đồng chuyên môn nhà trường góp ý, bổ sung để
đề tài được hoàn thiện hơn và có thể triển khai áp dung rộng rãi để giảng dạy cho học sinh lớp 12 chuẩn bị thi Đại học-Cao đẳng
Trong quá trình biên soạn đề tài tôi đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên cũng không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý chân thành của đồng nghiệp và hội đồng chuyên môn nhà trường để đề tài hoàn thiện hơn
VI.TÀI LIỆU THAM KHẢO.
1.Sách giáo khoa: Đại số 10
Trang 143.Phương trình và bất phương trình –Phan Huy Khải
4.Một số tài liệu trên mạng
NGƯỜI THỰC HIỆN
Đoàn Khắc Quốc