GIẢI một số PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN kỳ dị và áp DỤNG

I HC QUC GIA H NI TRNG I HC KHOA HC T NHIấN NGễ C H GII MT S PHNG TRèNH TCH PHN K D V P DNG LUN VN THC S TON HC H NI, NM 2014 Li cm n Lun ny c hon thnh di s hng dn nhit tỡnh v nghiờm khc ca TS Lờ Huy Chun Thy ó dnh nhiu thi gian hng dn cng nh gii ỏp cỏc thc mc ca tụi sut quỏ trỡnh lm lun Tụi mun by t lũng bit n sõu sc n thy Qua õy, tụi xin gi li cm n sõu sc ti quý thy cụ Khoa Toỏn - C Tin hc, Trng i hc Khoa hc T nhiờn, i hc Quc gia H Ni, cng nh cỏc thy cụ tham gia ging dy khúa cao hc 2011 - 2013, ó cú cụng lao dy d tụi sut quỏ trỡnh hc ti Nh trng Tụi xin cm n gia ỡnh, bn bố v cỏc bn ng nghip thõn mn ó quan tõm, to iu kin v c v, ng viờn tụi tụi hon thnh tt nhim v ca mỡnh H ni, thỏng nm 2014 Tỏc gi lun Ngụ c H i Mc lc Li cm n i M u iii Kin thc chun b 1.1 Khỏi nim phng trỡnh tớch phõn 1.2 Phng trỡnh tớch phõn k d 1.3 Tớch phõn theo ngha giỏ tr chớnh Cauchy 1.4 Mt s kt qu lý thuyt hm bin phc 1.5 Phng trỡnh tớch phõn k d trờn chu tuyn 10 Phng phỏp Riemann - Hilbert gii phng trỡnh tớch phõn trờn ng cong m 12 2.1 Bi toỏn Riemann - Hilbert 13 2.2 Phng trỡnh tớch phõn Abel 16 2.3 Gii phng trỡnh tớch phõn k d vi ht nhõn Logarit 21 2.4 Phng trỡnh tớch phõn k d vi nhõn Logarit trờn cỏc on ri 30 Mt s phng phỏp c bit tỡm nghim ca phng trỡnh tớch phõn k d 35 3.1 Phng trỡnh tớch phõn k d vi nhõn Logarit 35 3.2 Phng trỡnh tớch phõn vi ht nhõn Cauchy 46 3.3 S dng cụng thc Poincarộ - Bertrand 48 Kt lun 54 Ti liu tham kho 55 ii M u Phng trỡnh tớch phõn xut hin mt cỏch t nhiờn nghiờn cu bi toỏn giỏ tr biờn ca toỏn hc vt lý Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v phng trỡnh tớch phõn vic a giỏ tr k d ca nhõn vo phng trỡnh tớch phõn ó t nhng khú nhng y hp dn vic tỡm nghim ca phng trỡnh tớch phõn Cỏc k thut gii phng trỡnh tớch phõn k d ó c xõy dng v phỏt trin mnh m th k XXI Cỏc k thut ny gn lin vi tờn tui nhiu nh toỏn hc ni ting nh: Noether, Muskhelishvili, Gakhov, Vekua, B N Mandal, A Chakrabarti, Lun Gii mt s phng trỡnh tớch phõn k d v ỏp dng c chia lm ba chng Chng trỡnh by nhng kin thc chun b l c s lý thuyt cho hai chng sau, bao gm cỏc khỏi nim v phng trỡnh tớch phõn, phng trỡnh tớch phõn k d, tớch phõn theo ngha giỏ tr chớnh Cauchy Sau ú l mt s kt qu lý thuyt hm bin phc: cụng thc tớch phõn Cauchy, cụng thc Poincarộ - Bertrand Chng trỡnh by phng phỏp Riemann - Hilbert v ỏp dng phng phỏp ny vo gii mt s phng trỡnh tớch phõn k d nh phng trỡnh tớch phõn Riemann - Hilbert , Abel, phng trỡnh tớch phõn k d vi nhõn Logarit Chng trỡnh by mt s phng phỏp c bit tỡm nghim ca phng trỡnh tớch phõn k d vi ht nhõn k d dng Cauchy v dng Logarit Nhng phng phỏp ny trỏnh c nhng k thut phc s dng phng phỏp bin s phc ó c mụ t Chng Cỏc kt qu chớnh chng v chng c trỡnh by da trờn ti liu tham kho [5] iii Chng Kin thc chun b 1.1 Khỏi nim phng trỡnh tớch phõn nh ngha 1.1.1 Phng trỡnh tớch phõn l mt phng trỡnh m ú hm s cha bit cú xut hin di du tớch phõn Vớ d 1.1.1 Xột cỏc phng trỡnh tớch phõn: a) Phng trỡnh tớch phõn Fredholm b Loi 1: K(x, t)(t)dt = f (x) a x b a b Loi 2: (x) + K(x, t)(t)dt = f (x) a x b a ú l hng s, K(x, t) v f (x) l cỏc hm ó bit, (x) l hm cha bit Hm K(x, t) c gi l nhõn ca phng trỡnh tớch phõn b) Phng trỡnh tớch phõn Volterral x Loi 1: K(x, t)(t)dt = f (x) a x Loi 2: (x) + K(x, t)(t)dt = f (x) a ú K(x, t), f (x) l cỏc hm ó bit, (x) l hm cha bit Hm K(x, t) c gi l nhõn ca phng trỡnh tớch phõn 1.2 Phng trỡnh tớch phõn k d nh ngha 1.2.1 Phng trỡnh tớch phõn k d l phng trỡnh tớch phõn cú nhõn K(x, t) l hm khụng b chn trờn ly tớch phõn Chng Kin thc chun b Da trờn tớnh cht khụng b chn ca nhõn, chỳng ta cú th phõn loi phng trỡnh tớch phõn k d thnh hai loi : Phng trỡnh tớch phõn k d mnh v phng trỡnh tớch phõn k d yu Phng trỡnh tớch phõn k d yu l phng trỡnh tớch phõn vi nhõn K(x, t) tha iu kin tớch phõn b a K(x, t)dt tn ti theo ngha Riemann, vi mi x (a, b) Phng trỡnh tớch phõn k d mnh l phng trỡnh tớch phõn k d m nhõn K(x, t) cú tớnh cht l tn ti x (a, b) cho b K(x, t)dt khụng tn ti theo ngha Riemann a Vớ d 1.2.1 a) Nhõn K(x, t) = L(x, t) |x t| vi L(x, t) l hm liờn tc hỡnh ch nht [a, b] ì [a, b], L(x, x) = v l hng s (0 < < 1) Khi ú tớch phõn b K(x, t)dt vi a < x < b a tn ti theo ngha Riemann Do vy tng ng chỳng ta cú c phng trỡnh tớch phõn k d yu b) Nhõn K(x, t) = L(x, t) ln |x t| vi L(x, t) l hm liờn tc hỡnh ch nht [a, b] ì [a, b], L(x, x) = Khi ú, phng trỡnh tớch phõn (x) + b a L(x, t) ln |x t|(t)dt = f (x) l phng trỡnh tớch phõn k d yu c) Nhõn K(x, t) = L(x, t) x t a (3.3.12) Khi ú phng trỡnh (3.3.11) tr thnh 2 a (1 x ) 1 (t) t x dt + 1 (1 t2) (t) t x dt = p +1 g(x), < x < 1, (3.3.13) 50 Chng Mt s phng phỏp c bit tỡm nghim ca phng trỡnh tớch phõn k d ú (3.3.14) 1+ p 1+ x Sau ú ly tớch phõn hai v theo bin x vi x ri i th t ly tớch phõn tớch phõn lp v ỏp dng PBF (3.3.1) trờn L = (1, 1), ta c 1 +a2 ] dx dt 1 + t 1+ x dt x = g1(), < < 1, (3.3.15) vi l n hng ( < Re < 1) v g1() = p +1 1 ( x ) 21 g(x) 1+ x x dx (3.3.16) Trong cụng thc (3.3.15) chuyn thnh thu c +a2 + 1+ t 1 1x 1 t (1 + a2)2() x } dx dt ( 21 ( 1 x ) 1+ x x dx dt } = g2(), < < 1, vi g2() = p +1 (3.3.17) ( x ) 12 g(x) 1+ x x dx a12 = p Nhõn c hai v ca phng trỡnh (3.3.13) vi 51 ( x ) 21 (3.3.18) x , vi < < (1 )( + ).(1 + a2)2() (t) [ t (1 x)( + x )( t x + 1x) 1x (1 t2) (t) [( x ) 12 ( t x + )] (1 ) ( )1 (t) { (1 x) ( + x )1( tx+1) (1 t2) (t) { tx+1) Chng Mt s phng phỏp c bit tỡm nghim ca phng trỡnh tớch phõn k d Bõy gi tớnh cỏc tớch phõn cỏc h thc (3.3.15) v (3.3.17) bng cỏch s dng kt qu (3.3.6), thu c (1 ) ( + ) (1 + a2)2() + a2 sin ( t) { a cot 1 + tan 1 (t)dt (1 ) ( + ) (1 t)( + t )} dt 1t t (1 t2) (t) {( + ) 12 ( + t ) 21 } dt t 1t = g1(), < < 1, (3.3.19) v (1 ) ( + )1 (1 + a ) () + a2 sin 1 2 ( t) { + a cot 1 t (t)dt (1 ) ( + )1 (1 t) ( + t )1} dt 1t 1 (1 t2) (t) {( + ) 21 ( + t ) 2} t 1t tan = g2(), < < Nhõn hai v ca (3.3.19) vi ( ) 1+ cng li, ta c dt (3.3.20) v hai v ca (3.3.20) vi ( )1 1+ 22(1 + a2)(1 )() ( )1} = ( )g1() + ( )1 g2() a2c {( ) + 1+ 1+ 1+ sin 1+ ( t) ( + t )1}dt + a cot t (1 t){( 11+ 11 + 1+ t tt ) 1 tan ( t) {( ) ( + t ) 21 t (1 t ) 1+ 1t 52 12 v Chng Mt s phng phỏp c bit tỡm nghim ca phng trỡnh tớch phõn k d ( )1.( + t ) } dt, < < 1, 1+ t ú c= (t)dt (3.3.21) (3.3.22) Ta cú biu din (1 t2) = (1 t) ( + t ) 12 1t T (3.3.21) ta nhn thy nghim ca phng trỡnh tớch phõn (3.3.13) cú th c xỏc nh t (3.3.21) nu chn cho a2 cot = tan tan = |a| Trong trng hp ny nghim ca (3.3.13) l (t) = 22(1 + a2)(1 t) a2c {( t ) sin 1+ t 1+ t [( t ) g1(t) + ( t )1 g2(t) 1+ t 1+ t ( t )1}] + , < t < (3.3.23) Nhn xột T phng trỡnh (3.3.13) suy l hm l v vy cú c = Do ú nghim (t) cú dng (t) = 22(1 + a2)(1 t) ] [( t ) g1(t) + ( t )1 g2(t) , < t < 1, 1+ t 1+ t (3.3.24) ú g1, g2 l cỏc hm c xỏc nh t (3.3.16) v (3.3.18) 53 Kt lun Lun ó trỡnh by cỏc phng phỏp gii mt s phng trỡnh tớch phõn k d gm cú: ã Phng phỏp Riemann - Hilbert gii cỏc phng trỡnh tớch phõn dng Rieman - Hilbert, phng trỡnh tớch phõn Abel v phng trỡnh tớch phõn k d vi nhõn Logarit ã Mt s phng phỏp c bit gii cỏc phng trỡnh tớch phõn k d vi nhõn Cauchy v nhõn Logarit Cỏc hng cú th phỏt trin t lun ã Nghiờn cu cỏch gii phng trỡnh tớch phõn k d cp cao ã Nghiờn cu thờm cỏc phng phỏp c bit gii phng trỡnh tớch phõn k d ã Nghiờn cu phng trỡnh vi - tớch phõn k d Mc dự ó c gng ht mỡnh nhng kh nng v thi gian cú hn, vỡ vy lun khụng th trỏnh nhng thiu sút c v phng din kin thc ln k nng son tho LATEX Tỏc gi lun mong nhn c s úng gúp ý kin ca quý thy cụ v cỏc bn bố ng nghip lun ngy cng c hon chnh Tỏc gi xin chõn thnh cm n! 54 Ti liu tham kho [A] Ting Vit [1] Phm K Anh, Trn c Long (2001), Giỏo trỡnh hm thc v gii tớch hm, NXB i hc Quc gia H Ni [2] Nguyn Vn Khuờ, Lờ Mu Hi (2009), Hm bin phc, NXB i hc Quc gia H Ni [3] Nguyn Vn Mu (2006), Lý thuyt toỏn t v phng trỡnh tớch phõn k d, NXB i hc Quc gia H Ni [4] Nguyn Thy Thanh (2005), C s lý thuyt hm bin phc, NXB i hc Quc gia H Ni [B] Ting Anh [5] B N Mandal, A Chakrabarti (2011), Applied singular integral equations, Science Publishers [6] A Chakrabarti (2008), Solution of a generalized Abel integral equation, J Integr Eqns & Applic [7] A Chakrabarti (2008), Applied integral equations, Vijay Nicole Imprints Pvt Ltd Chennai [8] F D Gakhov (1966), Boundary value problems, Pergamon Press, Oxford [9] F G Tricomi (1955), Integral equation, Interscience Publisher 55 [...]... (2.3.4) là kỳ dị mạnh trong đó các phương trình tích phân (2.3.1) và (2.3.2) là kỳ dị yếu Chakrabarti (2006) đã đưa ra phương pháp tìm nghiệm của phương trình tích phân kỳ dị yếu (2.3.1) và (2.3.2) mà nghiệm thu được không phải tích phân kỳ dị mạnh a) Phương pháp tìm nghiệm phương trình tích phân (2.3.1) Bước 1 Xây dựng bài toán RHP tương ứng phương trình (2.3.1): Giả sử φ(t) là nghiệm của phương trình. .. 2 Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở và λ(x) = e−iπµ d 2πi dx ∫β x g(x) Φ+0(t)(t − x)1−µ dt Các công thức nghiệm (2.2.14) và (2.2.15) là tương đương 2.3 Giải phương trình tích phân kỳ dị với hạt nhân Logarit Nhiều vấn đề trong toán học vật lý mà để giải quyết nó đã đưa đến việc xuất hiện phương trình tích phân kỳ dị với hạt nhân Logarit Chúng ta nghiên cứu giải hai phương trình. .. −πi Phương trình (2.3) có dạng Φ+(t) = G(t)Φ−(t) + g(t), t ∈ Γ, trong đó G(t), g(t) là các hàm H¨older liên tục trên Γ 12 (2.4) (2.3) Chương 2 Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở Bài toán giải phương trình tích phân kỳ dị (2.1) được đưa về tìm hàm Φ(z) giải tích trên C\Γ và thỏa mãn phương trình (2.4) 2.1 Bài toán Riemann - Hilbert Phương pháp Riemann - Hilbert là phương pháp... 2.2 Phương trình tích phân Abel Phương trình tích phân Abel là phương trình có dạng ∫x a(x) α φ(t) (x − t)µ dt + b(x) ∫β x φ(t) (t − x)µ dt = f (x), x ∈ (α, β), 16 (2.2.1) Chương 2 Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở trong đó 0 < µ < 1 Có khá nhiều nhà toán học đã tiến hành các phương pháp khác nhau để giải (2.2.1) Sau đây, chúng ta tiến hành giải phương trình (2.2.1) bằng phương. .. Plemelj, ta có thể giải được một số phương trình tích phân kỳ dị trên đường cong đơn, kín đơn giản Ví dụ 1.5.1 Giải phương trình tích phân kỳ dị ∫ φ (τ ) 1 t(t − 3)φ(t) + t2 − 9t + 18 τ − t dτ = ,tt ∈ Γ, πi (1.5.1) Γ trong đó Γ là đường cong kín đơn sao cho z = 3 thuộc miền ngoài Γ và z = 0 thuộc miền trong Γ (Hình 1.2) Γ D+ D− 3 Hình 1.2 Giải Đặt Φ(z) = ∫ Γ φ( τ ) τ − z dτ, z ∈/ Γ Sử dụng công thức Plemelj:... − 11 Chương 2 Phương pháp Riemann - Hilbert giải phương trình tích phân trên đường cong mở Xét phương trình tích phân kỳ dị loại 2 với nhân Cauchy ∫ φ(τ ) c(t)φ(t) + τ − t dτ = f (t), z ∈ C\Γ (2.1) Γ với Γ là hợp hữu hạn các đường cong mở và c(t), f (t),φ(t) là các hàm H¨older liên tục trên Γ Đặt Φ(z) = 1 2πi ∫ Γ φ( τ ) τ − z dτ, z ∈ Γ (2.2) Sử dụng công thức Plemelj (1.4.6), phương trình (2.1) trở... xét : 1 Điều kiện i) và ii) của (2.3.44) có thể tránh được nếu chọn A = 0 = B 2 Trong công thức nghiệm (2.3.42) nếu thêm vào điều kiện nghiệm bị chặn tại x = α và x = β, phải bổ sung thêm hai điều kiện: v) Ψ′(α) = 0 và vi) Ψ′(β) = 0 (2.3.45) 2.4 Phương trình tích phân kỳ dị với nhân Logarit trên các đoạn rời nhau Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu các phương trình tích phân kỳ dị với nhân Logarit... dị với hạt nhân Logarit Chúng ta nghiên cứu giải hai phương trình tích phân kỳ dị nhân Logarit thường gặp: ∫β φ(t) ln |t − x|dt = f (x), α < x < β, (2.3.1) α và ∫β α α < x < β, t + x dt = f (x), (2.3.2) ở đó φ(x) và f (x) là các hàm có đạo hàm trong khoảng (α, β) Có một số cách giải phương trình (2.3.1) và (2.3.2), như của Porker (1972) và Chakrabarti (1997) đã chỉ ra nghiệm φ(x) = 1 1 π2[(x − α)(β −... các đoạn rời nhau Bằng cách biến đổi đưa về bài toán RHP, lớp phương trình này đã được Banerjea và Rakshif giải quyết thành công vào năm 2007 Xét phương trình tích phân ∑n∫ βj φ(t) ln |t − x|dt = f (x), x ∈ L = ∪n (αj , βj ) (2.4.1) j =1 j =1 αj Bước 1 Xây dựng bài toán RHP tương ứng với phương trình (2.4.1): Giả sử φ(t) là nghiệm của phương trình (2.4.1) Đặt Φ(z) = ∑n ∫ j =1 αj βj φ(t) ln(t − z)dt −... phương trình tích phân (2.3.1) 1d[ 1 φ(x) = 2 π dx {(x − α)(β − x)} 12 ∫β {π dΨ dt ln |x − t|dt}] , (2.3.25) 2D+ α ở đó 1 [ Ψ(t) = {(t − α)(β − t)} 2 f (t) − B ln(t − α) − A ln ( t − α )] β−t Một trường hợp đặc biệt : Nếu f (x) = C là một hằng số khi đó nghiệm (2.3.25) của phương trình (2.3.1) có dạng: φ(x) = C ( β−α ) {(x − α)(β − x)}− 2 π ln 4 1 (2.3.26) b) Phương pháp tìm nghiệm của phương trình