Phương trình tích phân kỳ dị và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA PHÓ KIM HƯNG Đề tài luận văn: PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2014 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐHQG – HCM Cán hướng dẫn khoa học: T.S Lê Xuân Đại Cán chấm nhận xét 1: Cán chấm nhận xét 2: Luận văn thạc sĩ bảo vệ trường Đại Học Bách Khoa, ĐHQG Tp.HCM Ngày….tháng….năm…… Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: Xác nhận Chủ tịch Hội đồng đánh giá Luận văn trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau luận văn sửa chữa (nếu có) CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc lập – Tự – Hạnh phúc - NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: PHÓ KIM HƯNG Ngày, tháng, năm sinh: 02-11-1990 Chuyên ngành: Toán ứng dụng MSHV: 12241138 Nơi sinh: Sóc Trăng Mã số: 60 46 36 I TÊN ĐỀ TÀI: PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ VÀ ỨNG DỤNG NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: NGHIÊN CỨU CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN AIRFOIL VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN AIRFOIL II NGÀY GIAO ĐỀ TÀI: 20/01/2014 III NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 20/06/2014 IV CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: T.S LÊ XUÂN ĐẠI Tp HCM, ngày ……tháng … năm 20 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN TS LÊ XUÂN ĐẠI CHỦ NHIỆM NGÀNH ĐÀO TẠO PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY TRƯỞNG KHOA TS HUỲNH QUANG LINH MỤC LỤC Danh mục ký hiệu Lời mở đầu .4 Chương I: Các kiến thức chuẩn bị Chương II: Phương trình tích phân kỳ dị 13 2.1 Phương trình tích phân 13 2.2 Phương trình tích phân kỳ dị 15 2.3 Các ví dụ dẫn đến phương trình tích phân kỳ dị 16 Chương III: Phương trình Airfoil 23 3.1 Định nghĩa 23 3.2 Nghiệm giải tích phương trình Arifoil 23 3.3 Phương pháp giải nghiệm phương trình Airfoil tổng quát 30 3.4 Hệ 53 3.5 Đánh giá hội tụ 61 Kết luận 72 Tài liệu tham khảo 73 Phụ Lục 74 Lời cảm ơn Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào Tạo Sau Đại Học, đặc biệt thầy mơn Tốn Ứng Dụng – Khoa Khoa Học Ứng Dụng trường Đại Học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh, người truyền đạt cho em kiến thức quý báu khóa học vừa qua, tạo điều kiện thuận lợi cho em trình học tập, nghiên cứu thực luận văn Đặc biệt, em chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn em, TS LÊ XUÂN ĐẠI thầy phản biện tận tình giúp đỡ, hướng dẫn em thực hoàn thành đề tài luận văn Đây đề tài hay giúp cho em củng cố kiến thức có liên quan đến phương trình đạo hàm riêng tiếp thu kiến thức mới, phương pháp giải hay thú vị Cuối cùng, em xin gởi đến quý thầy cô lời chúc sức khoẻ lời cảm ơn sâu sắc Tp HCM, ngày 20 tháng 06 năm 2014 Phó Kim Hưng Lời cam đoan Trong trình thực luận văn, tham khảo số tài liệu danh mục tài liệu tham khảo Tuy nhiên xin cam đoan luận văn cơng trình khoa học viết tìm tịi nghiên cứu khoa học nghiêm túc thân tơi Danh mục ký hiệu CPV (Cauchy principal Value): Nguyên lý giá trị Cauchy 16 CISE (Cauchy Singular Intergral Equation): Phương trình tích phân kỳ dị loại Cauchy 23 GAE (General Airfoil Equation): Phương trình Airfoil tổng quát 23 b − K a (x, t)dt : Ký hiệu tích phân kỳ dị loại Cauchy 16 Tn (x) (n ∈ N ): đa thức Chebyshev loại 34 Un (x) (n ∈ N ): đa thức Chebyshev loại 34 αn (x) (n ∈ N ): đa thức Airfoil loại 36 γn (x) (n ∈ N ): đa thức Airfoil loại 36 Lời mở đầu Phương trình tích phân kỳ dị xuất phát từ tự nhiên, từ toán giá trị ban đầu nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật Nếu toán giá trị ban đầu gốc elliptic phương trình tích phân thuộc dạng Fredholm Nếu toán giá trị ban đầu gốc kernel phương trình tích phân gọi phương trình tích phân kỳ dị tổng qt Một phương trình tích phân kỳ dị phương trình tích phân kỳ dị loại Cauchy thường xuất nhiều toán giá trị ban đầu biên không trơn mô tả vết cắt, vết nứt, khe hở, Phương trình xuất nhiều lĩnh vực động lực học đàn hồi Trong phương trình tích phân kỳ dị loại Cauchy có phương trình Airfoil phương trình xuất khoa học kỹ thuật hàng không Việc nghiên cứu lý thuyết phương trình tích phân kỳ dị có nhiều ý nghĩa ứng dụng để giải toán thực tiễn Lý thuyết phương trình tích phân kỳ dị tìm thấy báo Michael A Golberg, BN Mandal and A Chakrabarti, Gennadi Vainikko, Luận văn “Phương trình tích phân kỳ dị ứng dụng” gồm chương: Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị : Giới thiệu kiến thức giải tích hàm sử dụng luận văn Chương 2: Phương trình tích phân kỳ dị : Trình bày ký hiệu ví dụ dẫn đến phương trình tích phân kỳ dị Chương 3: Phương trình Airfoil : Giới thiệu tổng quan phương trình Airfoil, đưa phương pháp giải ví dụ minh họa phương trình Airfoil đánh giá tốc độ hội tụ phương pháp Cuối kết luận hướng phát triển luận văn Trong trình thực luận văn, nhận hướng dẫn tận tâm nhiệt tình thầy Lê Xuân Đại thầy phản biện thân nổ lực, song luận văn tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Vì vậy, mong nhận ý kiến đóng góp quý Thầy, Cơ bạn để luận văn hồn thiện Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa tích phân suy rộng Khi định nghĩa tích phân b f a (x)dx ta giả thiết rằng: a) Đoạn [a, b] hữu hạn b) Hàm dấu tích phân f (x) bị chặn đoạn [a, b] Nếu hai điều kiện khơng thỏa tích phân gọi tích phân suy rộng 1.2 Phân loại 1.2.1 Tích phân suy rộng loại Nếu điều kiện a) khơng thỏa tích phân b f a (x)dx gọi tích phân suy rộng loại (hay tích phân với cận vơ hạn) 1.2.2 Tích phân suy rộng loại Nếu điều kiện b) không thỏa, tức hàm dấu tích phân có gián đoạn vơ hạn [a,b], tích phân b f a (x)dx gọi tích phân suy rộng loại (hay tích phân hàm khơng bị chặn) Trong luận văn đề cập tích phân suy rộng loại 1.2.3 Định nghĩa tích phân suy rộng loại Giả sử f (x) xác định khoảng [a, b) , −∞ < a < b < +∞ không bị chặn b đoạn [a, b − η] , < η < b − a, hàm f (x) khả tích b−η a η→∞ Nếu lim f (x)dx tồn hữu hạn, ta gọi giới hạn hữu hạn tích phân suy rộng loại hàm f (x) kí hiệu b f a (x)dx 1.2.4 Điểm kỳ dị Cho f (x) xác định [a, b] \ {x0 } Nếu lim+ f (x) = lim− f (x) = ∞ x0 điểm kỳ dị f [a, b] x→x0 x→x0 Tích phân suy rộng loại b f a (x)dx với f có điểm kỳ dị [a, b] Cho f (x) khả tích [a + ε, b], với ε > đủ nhỏ, f kỳ dị a b b f (x)dx = lim+ ε→0 a f (x)dx a+ε Cho f (x) khả tích [a, b − ε], với ε > đủ nhỏ, f kỳ dị b b b−ε f (x)dx = lim ε→0+ a f (x)dx a Nếu f kỳ dị a b b c f (x)dx = b f (x)dx + a f (x)dx a c với c ∈ (a, b) Khi đó: b c b−ε f (x)dx = lim f (x)dx + lim ε→0+ a f (x)dx ε→0+ a+ε c Nếu f kỳ dị x0 ∈ (a, b) b f (x)dx + a a x0 −ε b x0 f (x)dx = f (x)dx = lim ε→0+ x0 b f (x)dx + lim ε→0+ a f (x)dx x0 +ε Ví dụ 1.2.4 a) Xét tích phân suy rộng loại 2, có điểm kỳ dị a b I= a với b φ (δ) = a+δ dx = lim φ (δ) (x − a)α δ→0+     ln (b − a) − ln δ , α = dx = (x − a)α   1 1−α α−1 (b − a) − δ α−1 , α=1 b) Xét tích phân suy rộng loại 2, có điểm kỳ dị b b−ε I= a với b−ε ϕ (ε) = a dx = lim ϕ (ε) (b − x)α ε→0+     ln (b − a) − ln ε , α = dx = (b − x)α   − 1 − α−1 1−α ε (b − a)α−1 1.3 Khơng gian Hilbert 1.3.1 Định nghĩa tích vô hướng [1] , α=1 ... phương trình tích phân kỳ dị yếu, phương trình tích phân kỳ dị mạnh, phương trình tích phân siêu kỳ dị, phương trình tích phân kỳ dị loại Cauchy Trong luận văn ta khảo sát phương trình tích phân kỳ. .. 2.2 Phương trình tích phân kỳ dị 2.2.1 Định nghĩa Phương trình tích phân kỳ dị phương trình tích phân mà hàm dấu tích phân có chứa điểm kỳ dị Phương trình tích phân kỳ dị có nhiều loại như: phương. .. II: Phương trình tích phân kỳ dị 13 2.1 Phương trình tích phân 13 2.2 Phương trình tích phân kỳ dị 15 2.3 Các ví dụ dẫn đến phương trình tích phân kỳ dị 16 Chương III: Phương