Giải một số phương trình tích phân tuyến tính và áp dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐÀO THỊ THANH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ HUY CHUẨN Hà Nội – Năm 2014 Mục lục MỞ ĐẦU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khái niệm phương trình tích phân 1.2 Một số kiến thức chuẩn bị 1.3 Phương trình tích phân Fredholm loại hai với nhân tách biến 4 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN TỔNG QUÁT 2.1 Phương pháp liên tiếp 2.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 2.3 Các định lý Fredholm 2.4 Cấu trúc nhân giải 14 14 17 21 30 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN HERMITIAN 3.1 Một số tính chất nhân Hermitian 3.2 Các giá trị riêng nhân Hermitian 3.3 Các hàm riêng nhân Hermitian 3.4 Định lý Hilbert-Schmidt KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo 35 35 37 45 52 65 66 MỞ ĐẦU Các phương trình tích phân xuất tự nhiên ta nghiên cứu toán lý thuyết toán xuất phát từ vật lý, học, · · · Hai loại phương trình tích phân quan trọng nghiên cứu phát triển vào đầu kỉ 20 phương trình tích phân Fredholm phương trình tích phân Volterra Trong luận văn ta xét phương trình tích phân Fredholm Ta nghiên cứu tồn nghiệm phương trình tích phân Fredholm loại hai phương pháp giải cụ thể số trường hợp Luận văn chia thành ba chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương cung cấp sở lý thuyết cho hai chương sau, bao gồm định nghĩa phương trình tích phân phân loại dạng phương trình tích phân Sau số tính chất kí hiệu liên quan đến phương trình tích phân Fredholm loại hai Thứ ba định lý Fredholm trường hợp nhân có dạng tách biến Chương Phương trình tích phân Fredholm loại hai nhân tổng quát Mục đích chương trình bày phương trình tích phân Fredholm loại hai, đưa số phương pháp giải phương pháp liên tiếp, phương pháp xấp xỉ liên tiếp số ví dụ minh họa Sau ta kết hợp hai phương pháp để chứng minh định lý Fredholm trường hợp nhân tổng quát xây dựng toán tử giải Chương Phương trình tích phân Fredholm loại hai nhân Hermitian Chương đưa khái niệm hạt Hermitian, số tính chất hạt nhân toán tử Hermitian Sau chứng minh định lý Hilbert-Schmidt đưa công thức nghiệm phương trình tích phân Fredholm loại hai với nhân Hermitian Các kết luận văn trình bày dựa tài liệu tham khảo [9] Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình nghiêm khắc TS Lê Huy Chuẩn Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Qua đây, xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2011- 2013, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình học tập Nhà trường Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn đồng nghiệp thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên để hoàn thành tốt nhiệm vụ Hà Nội, tháng 03 năm 2014 Tác giả luận văn Đào Thị Thanh Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khái niệm phương trình tích phân Định nghĩa 1.1 Phương trình tích phân phương trình mà hàm cần tìm xuất dấu tích phân Xét phương trình tích phân tuyến tính có dạng b λϕ(x) − K(x, t)ϕ(t)dt = f (x), (1.1) a • f (x) hàm cho trước, có giá trị phức liên tục đoạn [a, b]; • K(x, t) hàm cho trước, liên tục [a, b] × [a, b], có giá trị phức gọi nhân; • λ số phức cho trước; • ϕ(x) hàm cần tìm, giả thiết khả tích theo nghĩa Riemann Ta phân loại sau: Nếu hệ số λ = ta phương trình b K(x, t)ϕ(t)dt = f (x) a Phương trình gọi phương trình Fredholm loại Nếu hệ số λ = phương trình gọi phương trình tích phân Fredholm loại hai Nếu nhân K(x, t) có tính chất K(x, t) ≡ với t > x phương trình (1.1) trở thành: Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nếu λ = ta phương trình x λϕ(x) − K(x, t)ϕ(t)dt = f (x), a gọi phương trình tích phân Volterra loại hai Nếu λ = ta phương trình x K(x, t)ϕ(t)dt = f (x), a gọi phương trình tích phân Volterra loại Trong luận văn này, xét với phương trình Fredholm loại hai Bằng phép biến đổi, ta viết phương trình tích phân Fredholm loại hai dạng b ϕ(x) = f (x) + λ (1.2) K(x, t)ϕ(t)dt a 1.2 Một số kiến thức chuẩn bị Kí hiệu: Q[a, b] = [a, b] × [a, b], C[a, b] = f : [a, b] → C : f liên tục [a, b] , C (Q[a, b]) = f : Q[a, b] → C : f liên tục Q[a, b] , R[a, b] tập hợp hàm giá trị phức khả tích [a, b], R2 [a, b] tập hợp hàm bình phương khả tích [a, b] Với f ∈ C[a, b], ta kí hiệu b f |f (x)|dx = a 1/2 b f |f (x)|2 dx = a Với K(x, t) ∈ C (Q[a, b]), ta kí hiệu b K 1/2 b |K(x, t)|2 dxdt = a a Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Cho f g hai hàm thuộc C[a, b] ta định nghĩa tích vô hướng b f, g = f (x)g(x)dx a Nếu f, g = ta nói f g trực giao Ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwarz b b a b |f (x)|2 dx f (x)g(x)dx ≤ a |g(x)|2 dx a Định nghĩa 1.2 (Hệ hàm trực chuẩn) Tập {ϕn (x)} hàm thuộc C[a, b] gọi hệ trực chuẩn nếu n = m, n = m ϕn , ϕm = Định nghĩa 1.3 (Hệ đầy đủ) Cho Φ = {ϕn (x)}∞ n=1 hệ hàm trực chuẩn f ∈ R [a, b] Nếu f trực giao với phần tử Φ xảy f = hệ Φ gọi hệ đầy đủ Đặt Φm = {ϕ1 , , ϕm } tập hữu hạn Φ Nếu f ∈ span{Φm } ta có chuỗi Fourier hội tụ f (x) = f, ϕ1 ϕ1 (x) + · · · + f, ϕm ϕm (x), f, ϕn , n = 1, , m gọi là hệ số Fourier thứ n f (x) Định nghĩa 1.4 (Sự hội tụ đều) Cho {fn (x)} dãy hàm xác định [a, b] Ta nói dãy {fn (x)} hội tụ tới hàm f (x) [a, b] với ε > 0, tồn số nguyên N = N (ε) cho với n ≥ N |fn (x) − f (x)| < ε với x ∈ [a, b] Định lý 1.1 (Tiêu chuẩn Cauchy) Dãy vô hạn {fn (x)} hàm xác định [a, b] hội tụ với ε > 0, tồn số nguyên N (ε) cho với n, m ≥ N (ε), |fn (x) − fm (x)| < ε với x ∈ [a, b] Định lý 1.2 Nếu {fn (x)}∞ n=1 dãy hàm khả tích hội tụ tới hàm f (x) [a, b], f (x) khả tích [a,b] b b f (x)dx = lim a n→∞ fn (x)dx a Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ∞ Từ ta suy chuỗi un (x) hội tụ đến S(x) [a, b] với n=1 n, un (x) khả tích [a, b] ∞ b b S(x)dx = un (x)dx a n=1 a Định nghĩa 1.5 (Hội tụ trung bình) Dãy {fn (x)} R2 [a, b] gọi hội tụ trung bình tới hàm giới hạn f (x) R2 [a, b] 1/2 b lim fn − f n→∞ |f (x) − fn (x)| dx = lim n→∞ = a Định nghĩa 1.6 (Toán tử Fredholm) Cho K(x, t) hàm xác định Q[a, b] khả tích theo biến [a, b] Kí hiệu toán tử K :R2 [a, b] → R2 [a, b] b ϕ(t) → K(x, t)ϕ(t)dt a gọi toán tử Fredholm tương ứng với hạt nhân K(x, t) Đặt K1 (x, t) = K(x, t) b K2 (x, t) = K1 (x, s)K(s, t)ds a b Km (x, t) = Km−1 (x, s)K(s, t)ds a Ta gọi Km (x, t) nhân lặp thứ m K(x, t) Từ định nghĩa ta có b m K ϕ= Km (x, t)ϕ(t)dt, m = 1, 2, , a Định nghĩa 1.7 Toán tử K gọi bị chặn tồn số C ≥ cho Kϕ ≤ C ϕ 2, ∀ϕ ∈ R2 [a, b] Nếu K bị chặn ta đặt K = sup Kϕ ϕ : ϕ ∈ R2 [a, b], ϕ = gọi chuẩn toán tử K Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Mệnh đề 1.1 Nếu nhân K(x, t) có K(x, t) Kϕ 2 ≤ K 2 ϕ 22 , < ∞ ∀ϕ ∈ R2 [a, b] Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có b | K ϕ(x)| = K(x, s)ϕ(s)ds a b b |K(x, s)|2 ds ≤ |ϕ(s)|2 ds a a Do b Kϕ 2 |Kϕ(x)|2 dx = a b b ≤ |ϕ(s)|2 ds |K(x, s)| dsdx a = K b a 2 ϕ a 2 Định nghĩa 1.8 Giả sử K toán tử Fredholm tương ứng với nhân K(x, t) Kí hiệu K ∗ (x, t) = K(t, x) toán tử K∗ xác định b K∗ : ϕ ∈ R2 [a, b] → (K∗ ϕ)(x) = K ∗ (x, t)ϕ(t)dt a gọi toán tử liên hợp toán tử K Từ định nghĩa ta suy ra: (i) Với ϕ, ψ thuộc R2 [a, b] Kϕ, ψ = ϕ, K∗ ψ (ii) Với m ≥ (Km )∗ = (K∗ )m Định nghĩa 1.9 (Miền) Tập Ω ⊂ C mở, khác rỗng liên thông gọi miền C Định nghĩa 1.10 Cho miền Ω hàm f : Ω → C (i) Hàm f gọi hàm giải tích Ω f khả vi điểm z ∈ Ω (ii) Hàm f gọi hàm phân hình Ω tồn tập P ⊂ Ω cho: - P điểm giới hạn Ω; - f (z) hàm giải tích miền Ω\P ; - Mọi điểm P cực điểm f (z) Định nghĩa 1.11 Hàm f : C → C gọi hàm nguyên f hàm giải tích toàn mặt phẳng phức C Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.3 Phương trình tích phân Fredholm loại hai với nhân tách biến Trong mục này, ta xét phương trình tích phân Fredholm loại hai có dạng b ϕ(x) = f (x) + λ (1.3) K(x, t)ϕ(t)dt, a K(x, t) nhân tách biến Q[a, b] có dạng n (1.4) (x)bi (t), K(x, t) = i=1 (x), bi (t) hàm thuộc C[a, b] Thay (1.4) vào phương trình (1.3) ta thu n b ϕ(x) = f (x) + λ (x) bi (t)ϕ(t)dt a i=1 Khi phương trình trở thành n ϕ(x) = f (x) + λ ci (x), (1.5) i=1 b bi (t)ϕ(t)dt, i = 1, , n Từ phương trình suy nghiệm ci = a ϕ(x) phương trình (1.3) xác định xác định hệ số ci Nhân hai vế phương trình (1.5) với bi (t) lấy tích phân theo biến t [a, b] ta thu hệ phương trình n ci = f i + λ aij cj , i = 1, , n, j=1 b b bi (t)f (t)dt, fi = aij = aj (t)bi (t)dt a a Việc giải phương trình tương đương với việc giải hệ đại số tuyến tính (I − λA)c = f , (1.6) I ma trận đơn vị cấp n × n, A = (aij ) ma trận cấp n × n với phần tử xác định trên, f = (f1 , · · · , fn )T c = (c1 , · · · , cn )T hệ số phải tìm Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN HERMITIAN vào phương trình ta thu b N ϕ(x) = f (x) + λk a n=1 b N = f (x) + λk a n=1 ϕn (x)ϕn (t) ϕ(t)dt λn ϕ, ϕn ϕn (x) λn (3.3) Nếu j số cho λj = λk ta có ϕ, ϕj = f, ϕj + λk ϕ, ϕj λj Suy ϕ, ϕj = λj f, ϕj λj − λk (3.4) Thay (3.4) vào (3.3) ta thu nghiệm riêng phương trình ϕ(x) = f (x) + j=k λk f, ϕj ϕj (x) λj − λk k cj ϕj (x) Còn với số j mà λj = λk ϕ(x) = j=1 Do vậy, ta có biểu diễn nghiệm phương trình tích phân ϕ(x) = f (x) + λk j=k 3.4 f, ϕj ϕj (x) + λj − λk k+r−1 cj ϕj (x) j=k Định lý Hilbert-Schmidt Ở phần trước, với khai triển song tuyến tính hữu hạn, ta tìm nghiệm phương trình tích phân Fredholm loại hai với nhân tách biến Hermitian Vấn đề đặt khai triển liệu có số N tổng thay ∞ Trong trường hợp nói chung câu trả lời không khả quan, chuỗi ∞ n=1 ϕn (x)ϕn (t) λn không hội tụ Tuy nhiên, ta giải số trường hợp Điều thể định lý Hilbert-Schmidt Trong định lý này, ta giả sử chuỗi Fourier g(x) ∼ g, ϕn ϕn (x) = n gn ϕn (x) n 52 Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN HERMITIAN xây dựng mà không nói kiểu hội tụ Ta không giả sử tập hàm trực chuẩn {ϕn (x)} hệ đầy đủ Định lý 3.4 (Định lý Hilbert-Schmidt) Cho K(x, t) nhân Hermitian thuộc C(Q[a, b]) Giả sử nhân K(x, t) có vô hạn giá trị riêng λ1 , λ2 , hàm riêng trực chuẩn tương ứng ϕ1 (x), ϕ2 (x), , Với g ∈ R2 [a, b] ta xác định hàm b f (x) = K g = K(x, t)g(t)dt a Khi f (x) khai triển thành chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối sau ∞ ∞ fn ϕn (x) = f (x) = n=1 n=1 gn ϕn (x), λn fn = f, ϕn gn = g, ϕn hệ số Fourier f (x) g(x) Hơn f thuộc R2 [a, b] Chứng minh Vì K(x, t) nhân Hermitian, λn số thực nên fn = f, ϕn = Kg, ϕn = g, Kϕn = g, ϕn λn = gn g, ϕn = λn λn Xét tổng riêng N σN (x) = n=1 gn ϕn (x) λn Ta có N +p |σN +p (x) − σN (x)|2 = n=N +1 ϕn (x) gn λn N +p N +p gn2 ≤ n=N +1 n=N +1 N +p ∞ gn2 ≤ n=N +1 Vì n=1 |ϕn (x)|2 λ2n |ϕn (x)|2 λ2n ∞ ∞ gn2 n=1 | g, φn |2 ≤ g = n=1 N +p gn2 nhỏ tùy ý nên với N đủ lớn n=N +1 53 2 < +∞ Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN HERMITIAN ∞ Ta chứng minh n=1 |ϕn (x)|2 bị chặn (theo hệ bất đẳng thức λ2n Bessel) Với x ∈ [a, b] cố định, xét hàm liên tục kx (s) = K(x, s) Hệ số Fourier kx (s) hệ trực chuẩn {ϕn (s)} cho b kx , ϕn = ϕn (x) λn K(x, s)ϕn (s)ds = a Do ∞ |ϕn (x)|2 = λ2n n=1 {σN (x)}∞ N =1 ∞ | kx , ϕn |2 ≤ kx 2 < +∞ n=1 Suy chuỗi thỏa mãn tiêu chuẩn Cauchy Do đó, tồn hàm liên tục σ ∈ R [a, b] cho σ(x) = lim σN (x) N →∞ Bây ta chứng minh f (x) = σ(x) Vì σ(x) = lim σN (x) nên với N →∞ ε > 0, tồn số nguyên Nε cho với N ≥ Nε ε |σN (x) − σ(x)| < √ b−a Suy b ϕN − σ 2 |σN (x) − σ(x)|2 dx < = a hay σN − σ ε2 ε < với N ≥ Nε Mặt khác, ta thấy N f (x) − σN (x) = Kg − n=1 gn ϕn (x) λn N b K(x, t)g(t)dt − = a n=1 N b K(x, t)g(t)dt − = a n−1 N b K(x, t) − = a n=1 g, ϕn ϕn (x) λn λn b g(t)ϕn (t)dt ϕn (x) a ϕn (x)ϕn (t) λn g(t)dt b = ∆N +1 (x, t)g(t)dt a Ta nhận thấy ∆N +1 (x, t) nhân Hermitian cắt cụt thuộc C(Q[a, b]) Đặt DN +1 :R2 [a, b] → R2 [a, b] b g → DN +1 g = ∆N +1 (x, t)g(t)dt a 54 Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN HERMITIAN Khi 2 f − σN = DN +1 g 2 = DN +1 g, DN +1 g = g, D2N +1 g Toán tử D2N +1 Hermitian tương ứng với nhân lặp ∆2N +1 (x, t) Theo Bổ đề 3.2, có giá trị riêng λ2N +1 theo Định lý 3.1 ta có λ2N +1 ϕ, D2N +1 ϕ = max ϕ ϕ, ϕ Với g ∈ R2 [a, b] λ2N +1 g, D2N +1 g f − σN ≥ = g, g g, g 2 Theo Định lý Fredholm thứ tư, λN → ∞ n → +∞ Do tồn Mε cho g, g ε , < λ2N +1 Suy f − σN ∀N ≥ Mε ε < , ∀N ≥ Mε Như vậy, với N ≥ max{Nε , Mε } f −σ ≤ f − σN + σN − σ 2 ≤ ε ε + = ε 2 Suy f = σ Vậy f (x) = lim σN (x) hay N →∞ ∞ f (x) = n=1 Lại có f = Kg ≤ K g gn ϕn (x) = λn ∞ fn ϕn (x) n=1 < +∞ Do f ∈ R2 [a, b] Hệ 3.1 (Công thức Hilbert) Cho K(x, t) có tính chất Định lý 3.4 Nếu g, h ∈ R2 [a, b] ∞ K g, h = n=1 g, ϕn ϕn , h λn Đặc biệt, g = h ∞ K g, g = n=1 | g, ϕn |2 λn 55 Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN HERMITIAN Chứng minh Ta có b Kg(x)h(x)dx K g, h = a b ∞ = a n=1 ∞ = n=1 ∞ = n=1 gn ϕn (x)h(x)dx λn b gn λn ϕn (x)h(x)dx a g, ϕn ϕn , h λn Nếu g = h ∞ | g, ϕn |2 λn K g, g = n=1 Hệ 3.2 Cho K(x, t) có tính chất Định lý 3.4 Khi đó, với m ≥ 2, nhân lặp Km (x, t) có biểu diễn dạng song tuyến tính ∞ Km (x, t) = n=1 ϕn (x)ϕn (t) λm n Do vậy, vết Am Km (x, t) cho ∞ b Am = Km (x, x)dx = a n=1 λm n Chứng minh Ta chứng minh phương pháp quy nạp Cho s cố định thuộc [a, b], đặt g(t) = K(t, s) Vì K(x, t) nhân Hermitian λn số thực nên b gn = g, ϕn = b K(t, s)ϕn (t)dt = a Ta có K(s, t).ϕn (t)dt = a ∞ Kg = n=1 gn ϕn (x) = λn ∞ n=1 ϕn (x)ϕn (s) λ2n Mặt khác, ta lại có b Kg = K(x, t)K(t, s)dt = K2 (x, s) a Suy ∞ K2 (x, t) = n=1 ϕn (x)ϕn (t) λ2n 56 ϕn (s) λn Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN HERMITIAN Như với m = công thức khai triển song tuyến tính Giả sử công thức khai triển với m = 2, , M Đặt g(t) = KM (t, s) Với m > 2, ta có b gn = g, ϕn = KM (t, s)ϕn (t)dt a b = KM (s, t)ϕn (t)dt = a ∞ Do Kg = n=1 gn ϕn (x) = λn ∞ ϕn (s) λM n ϕn (x)ϕn (s) λM +1 n=1 n Mặt khác, ta lại có b Kg = b K(x, t)g(t)dt = a K(x, t)KM (t, s)dt = KM +1 (x, s) a Do ∞ ϕn (x)ϕn (s) KM +1 (x, s) = n=1 +1 λM n Như vậy, khai triển song tuyến tính với m ≥ Suy ∞ b Am = Km (x, x)dx = a n=1 λm n Ta điều cần chứng minh Hệ 3.3 (Nhân giải thức) Cho K(x, t) có tính chất Định lý 3.4 Khi nhân giải thức R(x, t; λ) tương ứng với nhân K(x, t) có khai triển song tuyến tính vô hạn ∞ R(x, t; λ) = K(x, t) + λ n=1 ∞ hội tụ chuỗi n=1 λn (λn − λ) λn (λn − λ) ϕn (x)ϕn (t) ϕn (x)ϕn (t) tuyệt đối λ = λn với n ≥ Chứng minh Với x, t ∈ Q[a, b], |λ| < |λ1 | chuỗi giải thức hội tụ tuyệt đối theo định lý xấp xỉ liên tiếp chứng minh 2.2 Khi xây dựng chuỗi song tuyến tính cho giải thức, ta phải ý chuỗi song tuyến tính với hạng tử K1 (x, t) = K(x, t) không thiết phải hội tụ Theo hệ trước, 57 Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN HERMITIAN ta có ∞ λm−1 Km (x, t) R(x, t; λ) = m=1 ∞ λm−1 Km (x, t) = K(x, t) + m=2 ∞ = K(x, t) + λ = K(x, t) + λ ∞ m=2 n=1 ∞ ϕn (x)ϕn (t) (λ/λn )2 ϕn (x)ϕn (t) − (λ/λn ) n=1 ∞ = K(x, t) + λ m λ λn λn (λn − λ) n=1 ϕn (x)ϕn (t) Theo quy tắc thác triển giải tích, dạng biểu diễn với λ = λn với n ≥ Mệnh đề 3.9 Cho K(x, t) nhân Hermitian thuộc C(Q[a, b]) K(x, t) ≡ Nếu K(x, t) không âm ta có khẳng định sau: (i) Tất giá trị riêng λn K(x, t) dương (ii) Với x ∈ [a, b] K(x, x) ≥ (iii) Nếu ∆N +1 nhân cắt cụt N ∆N +1 (x, t) = K(x, t) − n=1 ϕn (x)ϕn (t) , λn toán tử Fredholm xác định b DN +1 g(x) = ∆N +1 (x, t)g(t)dt, a thỏa mãn tính chất sau: ∞ DN +1 ϕ(x) = N +1 ϕ, ϕN ϕN (x); λn ∞ DN +1 ϕ, ϕ = N +1 | ϕ, ϕN |2 ; λn Do đó, ∆N +1 (x, t) nhân không âm 58 Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN HERMITIAN (iv) Với N ≥ x ∈ [a, b], ta có N n=1 |ϕn (x)|2 ≤ K(x, x) λn Chứng minh (i) Nếu λn giá trị riêng nhân K(x, t) tồn hàm ϕn cho λn K ϕn = ϕn Khi λn K ϕn , ϕn = λn K ϕn , ϕn = ϕn , ϕn > Mà K ϕn , ϕn ≥ K(x, t) nhân không âm Do λn > (ii) Ta chứng minh phương pháp phản chứng Lấy c ∈ (a, b) Giả sử K(c, c) < Vì K(x, t) liên tục nên với điểm (c, c) ∈ Q[a, b], tồn lân cận S(c, δ) = {(x, t) : c − δ ≤ x ≤ c + δ c − δ ≤ t ≤ c + δ} cho Re{K(x, t)} < S(c, δ) với δ đủ nhỏ Ta xác định hàm xung lượng c − δ ≤ x ≤ c + δ a ≤ x < c − δ c + δ < x ≤ b 1, 0, p(x; c, δ) = Theo Mệnh đề 3.1, Kp, p nhận giá trị thực nên ta có b b Kp, p = K(x, t)p(t)p(x)dxdt a a = Re{K(x, t)}dxdt < 0, S(c,δ) Điều mâu thuẫn với giả sử K(x, t) nhân không âm Suy K(c, c) ≥ với (c, c) ∈ Q[a, b] Ta có K(a, a) ≥ K(b, b) ≥ theo lập luận liên tiếp Do K(x, x) ≥ với x ∈ [a, b] (iii) Theo Bổ đề 3.2, ∆N +1 (x, t) liên tục Q[a, b] giá trị riêng giá trị riêng K(x, t) với n ≥ N + Nếu ϕ ∈ R2 [a, b] từ định lý Hilbert-Schmidt ta có N b K(x, t) − DN +1 ϕ(x) = a n=1 ϕn (x)ϕn (t) ϕ(t)dt λn b N b K(x, t)ϕ(t)dt − = a ∞ = n=1 ∞ a n=1 N ϕn (x) ϕ, ϕn − λn = n=N +1 n=1 ϕn (x) ϕ, ϕn λn 59 ϕn (x)ϕn (t) ϕ(t)dt λn ϕn (x) ϕ, ϕn λn Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN HERMITIAN Suy b DN +1 ϕ, ϕ = DN +1 ϕ(x)ϕ(x)dx a b ∞ = a n=N +1 ∞ = n=N +1 ∞ = n=N +1 ϕ, ϕn ϕn (x)ϕ(x)dx λn ϕ, ϕn ϕn , ϕ λn | ϕ, ϕn |2 λn Vì giá trị riêng λn dương với n = 1, 2, nên DN +1 ϕ, ϕ > với ϕ ∈ R[a, b] Từ ta kết luận ∆N +1 (x, t) nhân không âm (iv) Vì λn > với n = 1, 2, nên ta có N ∆N +1 (x, x) = K(x, x) − n=1 ∞ = n=N +1 |ϕn (x)|2 λn |ϕn (x)|2 ≥ λn Suy N n=1 |ϕn (x)|2 ≤ K(x, x) λn Từ bổ đề ta xây dựng kết sau Định lý 3.5 (Định lý Mercer) Cho K(x, t) nhân Hermitian thuộc C(Q[a, b]) K(x, t) ≡ Nếu K(x, t) nhân không âm khai triển thành chuỗi song tuyến tính vô hạn ∞ K(x, t) = n=1 ϕn (x)ϕn (t) λn chuỗi hội tụ tuyệt đối Q[a, b] (3.5) ∞ Chứng minh Theo Mệnh đề 3.9, với x ∈ [a, b] chuỗi ∞ tụ n=1 n=1 |ϕn (x)|2 hội λn |ϕn (x)|2 ≤ K(x, x) Đặt B = max K(x, x) Khi tồn số nguyên λn a≤x≤b Nx (ε) phụ thuộc vào x ε cho với p ≥ m ≥ Nx (ε) p n=m ε |ϕn (x)|2 < λn B 60 (3.6) Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN HERMITIAN Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có p p |ϕn (x)ϕn (t)| ≤ ϕn (x)ϕn (t) n=m p n=m ≤ n=m p ≤ n=m n=m |ϕn (x)|2 λn ε B = ε, B ≤ p |ϕn (x)|2 λn |ϕn (t)|2 λn K(t, t) ∀p ≥ m ≥ Nx (ε) (3.4) Do với x cố định thuộc [a, b], chuỗi (3.5) hội tụ tới hàm L(x, t) liên tục theo biến t Tiếp theo ta L(x, t) = K(x, t) Lấy ϕ ∈ R2 [a, b], theo Định lý Hilbert-Schmidt ta có b b (L(x, t) − K(x, t)) ϕ(t)dt = a b L(x, t)ϕ(t)dt − K(x, t)ϕ(t)dt a a ∞ b = a ∞ = n=1 ∞ = n=1 n=1 ∞ ϕn (x)ϕn (t) λn ϕn (x) λn ϕ(t)dt − n=1 ∞ b ϕ(t)ϕn (t)dt a − n=1 ϕ, ϕn ϕn (x) − λn ∞ n=1 ϕ, ϕn ϕn (x) λn ϕ, ϕn ϕn (x) λn ϕ, ϕn ϕn (x) = λn Đặc biệt, ta chọn hàm ϕ(t) = L(x, t) − K(x, t) ta thu b L(x, t) − K(x, t) 2 |L(x, t) − K(x, t)|2 dt = = a Vì L(x, t) K(x, t) hàm liên tục theo biến t đoạn [a, b] nên L(x, t) = K(x, t) với x cố định thuộc [a, b] Do ∞ L(x, t) = K(x, t) = n=1 ϕn (x)ϕn (t) , λn ∀(x, t) ∈ Q[a, b] Tiếp theo ta chứng minh chuỗi (3.5) hội tụ theo biến x Chọn t = x, ta thu ∞ K(x, x) = n=1 61 |ϕn (x)|2 λn Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN HERMITIAN Vì hàm giới hạn K(x, x) liên tục [a, b] nên theo định lý Dini chuỗi hội tụ [a, b] Do tồn số nguyên N (ε) cho bất đẳng thức (3.6) với p ≥ m ≥ N (ε) độc lập với biến x Bất đẳng thức (3.4) điều kiện Do đó, chuỗi (3.5) hội tụ tuyệt đối tới K(x, t) Hệ 3.4 Giả sử K(x, t) thỏa mãn điều kiện Định lý 3.5 Khi vết A1 nhân K(x, t) biểu diễn ∞ b A1 = K(x, x)dx = a n=1 λn Chứng minh Từ Định lý 3.5 ta có ∞ |λn (x)|2 λn K(x, x) = n=1 Do b A1 = K(x, x)dx a ∞ b |λn (x)|2 λn = a ∞ n=1 b |λn (x)|2 dx λn = n=1 ∞ = n=1 dx a λn Định lý 3.6 Xét phương trình tích phân Fredholm loại hai b ϕ(x) = f (x) + λ K(x, t)ϕ(t)dt, a f (x) ∈ C[a, b], K(x, t) ∈ C(Q[a, b]) nhân Hermitian K(x, t) ≡ Gọi λ1 , λ2 , giá trị riêng nhân xếp theo thứ tự tăng dần modul ϕ1 , ϕ2 , hàm riêng trực chuẩn tương ứng Khi đó: (i) Nếu λ không giá trị riêng nhân phương trình tích phân có nghiệm biểu diễn ∞ ϕ(x) = f (x) + λ n=1 62 f, ϕn ϕn (x) λn − λ Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN HERMITIAN (ii) Nếu λ = λk = · · · = λk+r−1 giá trị riêng bội r hạt nhân với hàm riêng tương ứng ϕk , , ϕk+r−1 phương trình tích phân có nghiệm f, ϕj = với j = k, , k + r − Khi đó, nghiệm phương trình tích phân biểu diễn f, ϕj ϕj (x) + λj − λk ϕ(x) = f (x) + λk j k+r−1 cj ϕj (x), j=k tổng lấy với số j cho λj = λk hệ số cj tổng thứ hai tùy ý Chứng minh (i) Với giả thiết cho theo hệ định lý HilbertSchmidt, phương trình tích phân biểu diễn lại sau ∞ ϕ, ϕn ϕn (x) λn ϕ(x) = f (x) + λ n=1 Do ϕ, ϕn = f, ϕn + λ ϕ, ϕn λn Suy ϕ, ϕn = Do f, ϕn λn λn − λ ∞ ϕ(x) = f (x) + λ n=1 f, ϕn ϕn (x) λn − λ Mặt khác, ta lại có ∞ n=1 f, ϕn ϕn (x) = λn − λ ∞ b n=1 a b ∞ = a n=1 f (t)ϕn (t)dt ϕn (x) λn − λ ϕn (x)ϕn (t) λn − λ f (t)dt b = R(x, t; λ)f (t)dt a Chứng tỏ nghiệm phương trình tích phân biểu diễn b ϕ(x) = f (x) + λ R(x, t; λ)f (t)dt a (ii) Giả sử λ = λk = · · · = λk+r−1 giá trị riêng bội r nhân Khi đó, theo định lý Fredholm thứ ba, phương trình tích phân có nghiệm 63 Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN HERMITIAN f (x) trực giao với tất hàm riêng phương trình tương ứng với λ Tuy nhiên, K(x, t) nhân Hermitian nên hàm riêng K(t, x) hàm riêng K(x, t) Cũng theo Mệnh đề 3.3, λ số thực Do đó, trường hợp này, để nghiệm tồn điều kiện cần đủ f, ϕj = 0, với j = k, , k + r − Nếu điều kiện trực giao thỏa mãn phương trình tích phân không có nghiệm nghiệm có dạng ϕ(x) = f (x) + λk ϕ(p) (x; λk ) + βϕ(h) (x; λk ) f (x) + ϕ(p) (x; λk ) nghiệm đặc biệt phương trình tích phân, β số tùy ý ϕ(h) (x; λk ) tổ hợp tuyến tính hàm riêng tương ứng với λk Nếu j số cho λj = λk ϕ, ϕj = f, ϕj + λk ϕ, ϕj λj Suy ϕ, ϕj = λj f, ϕj λj − λk Thay vào công thức nghiệm cho định lý Hilbert-Schmidt, ta ϕ(x) = f (x) + λ j f, ϕj ϕj (x) λj − λk Nếu số j làm cho λj = λk f, ϕj = Từ ta thu ϕ(x) = cj ϕj (x) j tổ hợp tuyến tính hàm riêng tổng thứ hai 64 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số vấn đề sau: - Định nghĩa phân loại dạng phương trình tích phân, tồn nghiệm phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại hai đưa công thức nghiệm cụ thể trường hợp nhân có dạng tách biến - Trình bày phương pháp xấp xỉ liên tiếp phương pháp liên tiếp kèm theo ví dụ chi tiết trường hợp nhân tổng quát thỏa mãn số điều kiện, tồn nghiệm phương trình tích phân Fredholm loại hai với nhân tổng quát - Một số kết trường hợp phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại hai có nhân Hermitian đưa công thức biểu diễn nghiệm trường hợp Mặc dù cố gắng hết mình, khả thời gian có hạn, luận văn tránh khỏi thiếu sót phương diện kiến thức lỗi tả soạn thảo LaTex Tác giả luận văn mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn ngày hoàn chỉnh Tác giả xin chân thành cảm ơn! 65 Tài liệu tham khảo [1] P K Anh T Đ Long (2001), Giáo trình hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] T Đ Long, N Đ Sang, H Q Toàn (2001), Giáo trình giải tích t2, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] R P Kanwal (1997), Linear Integral Equations, Birkh¨auser [4] P Kythe and P Puri (2002), Computational Methods for Linear Integral Equations, Springer [5] A D Polyanin and A V Manzhirov (2008), Handbook of Integral Equations, Chapman and Hall/ CRC [6] M Rahman (2007), Integral Equations and their Applications, WIT Press [7] C Tretter (1978), Integral Equations and Operator Theory, Birkh¨auser [8] F G Tricomi (1985), Integral Equations, Dover Publications [9] S M Zemyan (2012), The Classical Theory of Integral Equations, Birkh¨auser 66 [...]... bi (t) i=1 23 (2.13) Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN TỔNG QUÁT Như vậy, phương trình (2.10) trở thành phương trình tích phân Fredholm loại hai với nhân tách biến Ta có thể giải được phương trình này bằng phương pháp đã được mô tả ở Chương 1 Tuy nhiên, ở đây có một sự khác biệt đó là nhân vẫn còn phụ thuộc vào tham số λ Ta sẽ giải quyết phương trình (2.10) này như sau: Thay... cos x + sin x = cos x + sin x 2.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Trong phần này, ta sẽ giới thiệu một phương pháp khác để giải quyết phương trình tích phân Fredholm loại hai Điểm thuận lợi của phương pháp này là ta sẽ sử dụng cách chứng minh sự hội tụ khác và thu được một kết quả tốt hơn trong trường hợp chuỗi toán tử giải có bán kính hội tụ lớn Xét phương trình tích phân Fredholm loại hai b ϕ(x) = f... Lời giải Trước hết ta thấy rằng sup |K(x, t)| = 1, λ = 3, a = 0, b = 1 [0;1] Suy ra |λ|(b − a) sup |K(x, t)| = 3.1.1 > 1 Do vậy ta không thể áp dụng phương pháp thế liên tiếp để giải phương trình này được Tuy nhiên ta kiểm tra thấy rằng K(x, t) 2 Do đó |λ| K(x, t) 2 1 =√ 21 1 = 3 √ < 1 21 20 Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN TỔNG QUÁT Vì vậy ta có thể áp dụng phương pháp xấp... riêng của nhân thì phương trình thuần nhất b ϕ(x) = λ K(x, t)ϕ(t)dt a có nghiệm không tầm thường Hơn nữa, phương trình không thuần nhất có nghiệm khi và chỉ khi hàm f (x) trực giao với tất cả các hàm riêng của phương trình thuần nhất liên kết b ψ(x) = λ K(t, x)ψ(t)dt a 13 Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN TỔNG QUÁT Ở Chương 1, ta đã xét phương trình tích phân Fredholm loại... mãn phương trình tích phân thuần nhất b δ(x) = λ K(x, t)δ(t)dt a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được b 2 2 b 2 |δ(x)| ≤ |λ| |δ(t)|2 dt |K(x, t)| dt a a Lấy tích phân cả hai vế theo biến x suy ra b 2 1 − |λ| K 2 2 |δ(x)|2 dx ≤ 0 a b Nhưng vì |λ| K 2 |δ(x)|2 dx = 0, suy ra δ(x) = 0 hay ϕ(x) ≡ ϕ(x) < 1 cho nên a Chứng tỏ phương trình (2.5) có nghiệm duy nhất Ví dụ 2.2 Giải phương trình tích phân. .. 2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN TỔNG QUÁT Do đó λ là giá trị riêng của nhân K(t, x) tương ứng với q(λ) hàm riêng đã cho b Lại có phương trình (2.22) và phương trình ϕ(x) = λ Gε (x, t; λ)ϕ(t)dt có hạt a nhân liên kết nên chúng phải có cùng số hàm riêng độc lập tuyến tính, nghĩa là p(λ) = q(λ) Từ đó, ta có định lý sau: Định lý 2.5 (Định lý Fredholm thứ hai) Cho phương trình tích phân. .. Fredholm về cấu trúc của các nghiệm của phương trình phụ thuộc vào λ Trong chương này ta sẽ nghiên cứu phương trình tích phân Fredholm loại hai với nhân tổng quát 2.1 Phương pháp thế liên tiếp Định lý 2.1 (Định lý thay thế liên tiếp) Xét phương trình tích phân Fredholm loại hai b ϕ(x) = f (x) + λ K(x, t)ϕ(t)dt, (2.1) a trong đó λ là một tham số phức, f (x) ∈ C[a, b] và K(x, t) là một nhân thuộc C(Q[a,... (2.16) Đặt Dρ (λ) = det(I − λA(λ)), 24 Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN TỔNG QUÁT và gọi Dρ (λ) là định thức Fredholm Ta thấy Dρ (λ) là hàm giải tích của λ trên đĩa đóng ρ Khi đó số nghiệm của hệ phương trình (2.16) phụ thuộc vào giá trị của Dρ (λ) Ta sẽ xem xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: Dρ (λ) = 0 Khi đó hệ phương trình tuyến tính trên có nghiệm duy nhất c(λ) = (I − λA(λ))−1... tiếp tục phương pháp này ta thu được ϕ(x) = 1 + x10 3 3 9 27 1+ + 2 + 3 + ··· 11 21 21 21 Do đó, nghiệm của phương trình tích phân trên là 3 ϕ(x) = 1 + x lim 11 n→∞ n 10 k=0 3 21 k 7 = 1 + x10 22 2.3 Các định lý Fredholm Ở Chương 1, ta đã chứng minh các định lý Fredholm đối với phương trình tích phân Fredholm loại hai b ϕ(x) = f (x) + λ K(x, t)ϕ(t)dt, a 21 (2.6) Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM... giao với tất cả các nghiệm của phương trình liên hợp thuần nhất B∗ y = 0 Từ bổ đề này, ta thấy hệ tuyến tính (I − λk A)c = f có nghiệm nếu và chỉ nếu f trực giao với tất cả các nghiệm của phương trình (I − λk A)∗ d = 0 11 (1.9) Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Vì ma trận (I − λk A) và (I − λk A)∗ có cùng hạng và số khuyết nên phương trình (1.9) cũng có pk nghiệm độc lập tuyến tính Lại có T (I − λk A)∗ d = ... THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khái niệm phương trình tích phân Định nghĩa 1.1 Phương trình tích phân phương trình mà hàm cần tìm xuất dấu tích phân Xét phương trình tích phân tuyến tính có dạng b λϕ(x) − K(x,... trình tích phân Fredholm phương trình tích phân Volterra Trong luận văn ta xét phương trình tích phân Fredholm Ta nghiên cứu tồn nghiệm phương trình tích phân Fredholm loại hai phương pháp giải. .. Chương Phương trình tích phân Fredholm loại hai nhân tổng quát Mục đích chương trình bày phương trình tích phân Fredholm loại hai, đưa số phương pháp giải phương pháp liên tiếp, phương pháp xấp