phương trình tích phân tuyến tính và các ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN TRUNG HIẾU PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ CÁC ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS Lê Thị Thiên Hương THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2010 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin trân trọng cảm ơn TS Lê Thị Thiên Hương tận tâm hướng dẫn, động viên tơi suốt q trình thực luận văn Xin chân thành cảm ơn Q thầy Khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tận tâm truyền đạt kiến thức kinh nghiệm cho tơi suốt khóa học Xin cảm ơn Phịng Sau Đại học, Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành khóa học Xin cảm ơn Khoa Tốn học, Trường Đại học Đồng Tháp tạo kiện thuận lợi để tơi có thời gian học tập thực luận văn Cho gửi lời cảm ơn chân thành đến đồng nghiệp, bạn học viên cao học Giải tích Khóa 18 giúp đỡ tơi thời gian học tập thực luận văn Nguyễn Trung Hiếu MỞ ĐẦU Nhiều vấn đề toán học (phương trình vi phân với điều kiện biên hay điều kiện ban đầu, phương trình đạo hàm riêng), học, vật lí ngành kĩ thuật khác dẫn đến phương trình hàm chưa biết chứa dấu tích phân Những loại phương trình gọi phương trình tích phân Phương trình tích phân cơng cụ tốn học hữu ích nhiều lĩnh vực nên quan tâm nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác tồn nghiệm, xấp xỉ nghiệm, tính chỉnh hay khơng chỉnh, nghiệm chỉnh hóa,… Lí thuyết tổng qt loại phương trình tích phân tuyến tính xây dựng buổi giao thời kỉ XIX, XX, chủ yếu công trình Volterra, Fredholm Hilbert Trong tài liệu [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], tác giả trình bày cách tổng quát phương trình tích phân tuyến tính, chủ yếu phương trình tích phân tuyến tính Fredholm phương trình tích phân tuyến tính Volterra Tuy nhiên, tài liệu chưa trình bày chi tiết chưa có ví dụ minh họa cụ thể Với đề tài “Phương trình tích phân tuyến tính ứng dụng”, chúng tơi khảo sát tồn nghiệm, dạng nghiệm phương trình tích phân tuyến tính với nhân suy biến, nhân đối xứng, nhân có bình phương khả tích bất kì, nhân liên tục, đồng thời đưa số minh họa cụ thể cho vấn đề số ứng dụng phương trình tích phân tuyến tính Các kết luận văn tổng hợp từ tài liệu [4], [5], [9] Với vấn đề đặt ra, luận văn bao gồm nội dung sau Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số không gian hàm số kết tốn tử đối xứng hồn tồn liên tục, làm sở cho chương sau Chương Một số tốn dẫn đến phương trình tích phân tuyến tính Chương trình bày số khái niệm liên quan đến phương trình tích phân tuyến tính số tốn dẫn đến phương trình tích phân tuyến tính Chương Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm Chương trình bày tồn nghiệm phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại trường hợp nhân suy biến, nhân đối xứng, nhân có bình phương khả tích bất kì, sử dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp cho phương trình trường hợp nhân liên tục có bình phương khả tích, xây dựng minh họa cho vấn đề Chương Phương trình tích phân tuyến tính Volterra Chương trình bày phương pháp xấp xỉ liên tiếp cho phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại số phương pháp đưa phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại Chương Một số ứng dụng phương trình tích phân tuyến tính Chương trình bày số ứng dụng phương trình tích phân tuyến tính phương trình vi phân thường với giá trị ban đầu, tốn biên, phương trình mơ tả dao động tự dây đàn hồi Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương chúng tơi trình bày số kết làm sở cho chương sau Các kết tổng hợp từ [1], [4], [6] 0.1 Một số không gian hàm Định nghĩa 0.1.1 Kí hiệu L2 ([a, b ]) không gian hàm (thực phức) (t ) xác định [a, b ] thỏa mãn b  |(t )| dt   a Mệnh đề 0.1.2 Không gian L2 ([a, b ]) không gian Hilbert với tích vơ hướng xác định b (,  )   (t )(t ) dt a Tích vơ hướng sinh chuẩn ||||  b  |(t )| dt với   L2 ([a, b ]) a Mệnh đề 0.1.3 Không gian L2 ([a, b ]) không gian Hilbert tách Định nghĩa 0.1.4 Cho {k } tập vô hạn hữu hạn L2 ([a, b ]) Tập {k } gọi trực giao (i , j )  với i  j Tập {k } gọi trực chuẩn 0, i  j,  (i , j )   1, i  j  Mệnh đề 0.1.5 Giả sử { k } hệ hàm độc lập tuyến tính L2 ([a, b ]) Khi đó, hệ {k } xác định k 1  1  , k (s )  || 1||  k (s )   ( k , i )i i 1 k 1 || k (s )   ( k , i )i || i 1 hệ trực chuẩn L2 ([a, b ]) Định nghĩa 0.1.6 Cho {k } hệ trực chuẩn L2 ([a, b ]) Với   L2 ([a, b ]) , số  ( , i ) gọi hệ số Fourier hàm  hệ trực chuẩn {k } Chuỗi   a  (s) i 1 i i gọi chuỗi Fourier  theo hệ {k } Định lí 0.1.7 Giả sử {k } hệ trực chuẩn L2 ([a, b ]) Với   L2 ([a, b ]) , ta có bất đẳng thức Bessel   |( ,  )| i i 1 || ||2 Định lí 0.1.8 (Định lí Riesz – Fischer) Nếu {i } hệ trực chuẩn L2 ([a, b ]) dãy {i } thỏa mãn   | | i 1 i   tồn hàm f (s ) nhận  i làm hệ số Fourier hệ trực chuẩn {i } n ||f    ii ||  n   i 1 Định nghĩa 0.1.9 Hệ trực chuẩn {i } L2 ([a, b ]) gọi sở trực chuẩn hay hệ trực chuẩn đầy đủ hàm f  L2 ([a, b ]) tổ hợp tuyến tính hệ {i } Định nghĩa 0.1.10 Kí hiệu L2 ([a, b ]  [a, b ]) không gian hàm (thực phức) (s, t ) xác định [a, b ]  [a, b ] thỏa mãn b b   |(s, t )| dsdt   a a Mệnh đề 0.1.11 Không gian L2 ([a, b ]  [a, b ]) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng xác định (,  )  b b   (s, t )(s, t )dsdt a a Tích vơ hướng sinh chuẩn   b b   | s, t  | dsdt a a Định lí 0.1.12 Nếu {i } sở trực chuẩn L2 ([a, b ]) hệ {ij } sở trực chuẩn L2 ([a, b ]  [a, b ]) Định lí 0.1.13 Khơng gian C [a, b ] , hàm liên tục [a, b ] , không gian định chuẩn với chuẩn ||x ||  max{|x (t )| : a  t  b} 0.2 Tốn tử đối xứng hồn tồn liên tục Định nghĩa 0.2.1 Cho A tốn tử tuyến tính liên tục khơng gian Hilbert H Tốn tử tuyến tính liên tục A gọi đối xứng (Ax , y )  (x , Ay ) Định nghĩa 0.2.2 Số  gọi giá trị riêng toán tử A phương trình Ax  x có nghiệm khơng tầm thường Nghiệm gọi vectơ riêng ứng với giá trị riêng  Định lí 0.2.3 Nếu A tốn tử đối xứng vectơ riêng A ứng với hai giá trị riêng khác trực giao với Định lí 0.2.4 Nếu A tốn tử đối xứng |(Ax , x )| ||x || ||x || ||A||  sup|(Ax , x )|  sup ||x ||1 Định nghĩa 0.2.5 Toán tử tuyến tính A khơng gian Hilbert H gọi hoàn toàn liên tục A biến tập bị chặn thành tập hồn tồn bị chặn Định lí 0.2.6 Giả sử A tốn tử đối xứng hồn tồn liên tục Khi (i) Tồn giá trị riêng  thỏa   ||A|| (ii) Tập giá trị riêng A đếm Nếu đếm tập lập thành dãy hội tụ đến Định lí 0.2.7 Nếu tốn tử liên tục A có miền giá trị khơng gian hữu hạn chiều không gian Hilbert H A tốn tử hồn tồn liên tục Định lí 0.2.8 Nếu {An } dãy tốn tử hoàn toàn liên tục An  A  tốn tử A tốn tử hồn tồn liên tục Định lí 0.2.9 Trong khơng gian Hilbert tách được, tốn tử đối xứng hồn tồn liên tục có hệ trực chuẩn đầy đủ vectơ riêng Chương MỘT SỐ BÀI TOÁN DẪN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH 1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Phương trình tích phân phương trình hàm cần tìm chứa nhiều dấu tích phân Ví dụ 1.1.2 Các phương trình sau phương trình tích phân b f (s )   K (s, t )(t )dt , (1.1.1) a b (s )  f (s )   K (s, t )(t )dt , (1.1.2) a b (s )   K (s, t ) (t ) dt ,   (1.1.3) a a  s  b , a  t  b , (s ) hàm cần tìm, hàm cịn lại biết Người ta cịn xét phương trình tích phân mà hàm cần tìm hàm nhiều biến Ví dụ 1.1.3 Với s  (s1, , sn ) , t  (t1, , tn )  n ,  n , phương trình sau phương trình tích phân (s )  f (s )   K (s, t )(t )dt (1.1.4)  Định nghĩa 1.1.4 Phương trình tích phân tuyến tính phương trình biểu diễn dạng L[(s )]  f (s ) (1.1.5) với L tốn tử tuyến tính theo hàm cần tìm (s ) Ví dụ 1.1.5 Trong Ví dụ 1.1.2, phương trình (1.1.1), (1.1.2) phương trình tích phân tuyến tính, phương trình (1.1.3) phương trình tích phân khơng tuyến tính Nhận xét 1.1.6 Phương trình tích phân tuyến tính có dạng h(s )(s )  f (s )    K (s, t )(t )dt (1.1.6) a cận tích phân biến số cố định; hàm f (s ) , K (s, t ) biết; (s ) hàm cần tìm,  giá trị thực phức tham số khác không Hàm K (s, t ) gọi nhân phương trình tích phân Định nghĩa 1.1.7 Nếu cố định cận b , h(s )  (1.1.6) trở thành b f (s )    K (s, t )(t )dt  (1.1.7) a Phương trình (1.1.7) gọi phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Nếu cố định cận b , h(s )  (1.1.6) trở thành b (s )  f (s )    K (s, t )(t )dt (1.1.8) a Phương trình (1.1.8) gọi phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Nếu f (s )  phương trình (1.1.8) trở thành b (s )    K (s, t )(t )dt (1.1.9) a Phương trình (1.1.9) gọi phương trình (1.1.8) Định nghĩa 1.1.8 Nếu cận biến số s , h(s )  (1.1.6) trở thành s f (s )    K (s, t )(t )dt  (1.1.10) a Phương trình (1.1.10) gọi phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại Nếu cận biến số s , h(s )  (1.1.6) trở thành s (s )  f (s )    K (s, t )(t )dt (1.1.11) a Phương trình (1.1.11) gọi phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại Nếu f (s )  phương trình (1.1.11) trở thành s (s )    K (s, t )(t )dt (1.1.12) a Phương trình (1.1.12) gọi phương trình (1.1.11) Định nghĩa 1.1.9 Nhân K (s, t ) gọi L2 - nhân nhân K (s, t ) thỏa mãn điều kiện sau b b (i) Với a  s  b , a  t  b , ta có   |K (s, t )| dsdt   , a a b (ii) Với a  s  b , ta có  |K (s, t )|2dt   , a b (iii) Với a  t  b , ta có  |K (s, t )|2ds   a Định nghĩa 1.1.10 Số  thỏa mãn phương trình (1.1.9) với (s ) khác khơng gọi giá trị riêng nhân K (s, t ) Hàm (s ) ứng với giá trị riêng  thỏa mãn phương trình (1.1.9) gọi hàm riêng ứng với giá trị riêng  nhân K (s, t ) 1.2 Một số toán dẫn đến phương trình tích phân tuyến tính Phương trình tích phân tuyến tính cơng cụ tốn học hữu ích giải tích Nhiều tốn vật lí, học, khoa học kĩ thuật tốn tốn học dẫn đến phương trình tích phân tuyến tính Trong phần này, chúng tơi giới thiệu số tốn 1.2.1 Bài tốn Abel Cho sợi dây đường cong trơn đặt mặt phẳng đứng hình 1.1 Cho chất điểm giữ đứng yên P sau thả chuyển động dọc theo sợi dây tác dụng trọng lực Hỏi chất điểm tụt xuống vị trí thấp O ? P (x , y ) Q ( ,  ) s O Hình 1.1 Lời giải Chọn O gốc tọa độ, Ox trục đứng, chiều dương hướng lên, Oy trục nằm ngang Gọi P (x , y ) , Q( , ) s độ dài đường cong OQ Q ds ds Ta có vận tốc chất điểm Q   2g(x   ) Do t    dt P 2g x    P Vậy tổng thời gian chất điểm tụt xuống đến O T   O ds 2g(x   )  Vì đường cong ta giả sử s  u( ) Khi ds  u( )d  u( )d  x T   2g(x   ) Bài tốn Abel tìm độ dài đường cong mà thời gian chất điểm tụt hết đường cong hàm f (x ) cho trước Khi đó, tốn trở thành tìm hàm u từ phương trình x f (x )   u( )d  2g(x   ) (1.2.13) Phương trình (1.2.13) phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 1.2.2 Bài toán cân dây chịu tải Xét sợi dây sợi vật chất đàn hồi có độ dài l , uốn tự chống lại dãn lực tỉ lệ với độ lớn dãn Giả sử đầu mút dây bị giữ chặt điểm x  x  l Khi đó, vị trí cân bằng, dây trùng với đoạn thẳng trục x ,  x  l Giả sử x   đặt lực thẳng đứng P lên dây Dưới tác dụng lực sợi dây bị lệch khỏi vị trí cân có dạng hình 1.2 A B  P Hình 1.2 Tìm độ lớn  độ lệch điểm  tác dụng lực P  a  k 1 2 k k phân kì phương trình (2.4.52) khơng có nghiệm, trường hợp ngược lại, phương trình (2.4.44) có nghiệm cho n b k 1 a (s )  lim  kakk (s ) với ak   f (s )k (s )ds n  Chứng minh Với kí hiệu Định lí 2.4.14, theo Định lí Hilbert – Schmidt ta có ak  bk k hay bk  ak k Áp dụng Định lí Riesz – Fischer ta có điều phải chứng minh Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA Phương trình tích phân tuyến tính Volterra xem trường hợp riêng phương trình tích phân tuyến tính Fredholm với nhân thỏa mãn K (s, t )  , t  s Tuy nhiên, phương trình tích phân tuyến tính Volterra có vài tính chất riêng biệt Trong chương này, chúng tơi trình bày số kết riêng biệt Cũng phương trình tích phân tuyến tính Fredholm, phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại có kết phong phú phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại ưu tiên trình bày trước Trong chương này, khơng nói khác hàm xét hàm thực 3.1 Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại Xét phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại s (s )  f (s )    K (s, t )(t )dt với a  s  b (3.1.1) a hàm f , K cho trước,  tham số,  hàm cần tìm Sử dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp, ta thiết lập điều kiện tồn nghiệm dạng nghiệm phương trình (3.1.1) hàm f , K thỏa mãn hai giả thiết sau Giả thiết (C ) : (C ) : Hàm f (t )  f (t ) liên tục [a, b ] , (C ) : Với a  s  b , K (s, t )  , K (s, t ) liên tục [a, b ]  [a, s ] Giả thiết (D ) : (D1 ) : Hàm f  L2 ([a, b ]) , f  , D  : Hàm K (s, t ) L - nhân, K  2 Ta xây dựng dãy {n } sau 0 (s )  f (s ) , s 1(s )  f (s )    K (s, t )0 (t )dt ,…, a s n (s )  f (s )    K (s, t )n 1(t )dt (3.1.2) a Theo cách xây dựng n (s ) , ta có n s m 1 a n (s )  f (s )    m  K m (s, t )f (t )dt s    (3.1.3)   với K m (s, t )  K (s, x )K m 1(x , t )dx , K s, t  K s, t t Biểu thức (3.1.4) gọi nhân lặp thứ m phương trình (3.1.1) (3.1.4) Định lí 3.1.1 Giả sử giả thiết (C ) Khi phương trình (3.1.1) ln có nghiệm   C [a,b ] cho  (s )  f (s )    m 1 s m K m (s, t )f (t )dt (3.1.5) a Chứng minh Trước hết ta chứng minh tồn nghiệm Xem K (s, t )  với t  s nhân K (s, t ) liên tục với t  s b Khi đó, |K (s, t )|  M  max{|K (s, t )|, a  s, t  b, s  t } Đặt N   |f (s )|ds a Bằng qui nạp ta chứng minh s | K m (s, t )f (t )dt|  NM m a (s  a )m 1 (m  1)! (3.1.6) Từ (3.1.6) ta có s (b  a )m 1  |  Km (s, t )f (t )dt|  m 1 || NM (m  1)!  m 1 a   m m m (3.1.7) Do chuỗi vế phải (3.1.7) hội tụ nên vế trái (3.1.7) chuỗi hội tụ [a, b ] Suy  s m 1 a chuỗi f (s )    m  K m (s, t )f (t )dt hội tụ tuyệt đối [a, b ]  s m 1 Đặt a (s )  f (s )    m  K m (s, t )f (t )dt (3.1.8) Theo giả thiết (C ) , ta có   C [a, b ] Mặt khác, từ (3.1.3) (3.1.8) suy lim n (s )  (s ) với a  s  b n  (3.1.9) Khi đó, từ (3.1.2) (3.1.9) suy  nghiệm phương trình (3.1.1) Bây ta chứng minh nghiệm Giả sử 1 2 hai nghiệm phương trình (3.1.1) Đặt   1  2 Khi đó,  nghiệm phương trình s (s )    K (s, t )(t )dt với a  s  b (3.1.10) a Bằng qui nạp ta chứng minh |(s )|  |||| M n (s  a )n với a  s  b , n  0,1, n! Cho n   , ta |(s )|=0 với a  s  b hay ||||  Do 1  2 Định lí 3.1.2 Giả sử giả thiết (D ) Khi phương trình (3.1.1) ln có nghiệm   L2 ([a, b ]) cho  (s )  f (s )    m 1 s m K m (s, t )f (t )dt (3.1.11) a Chứng minh Trước hết ta chứng minh tồn nghiệm Đặt b b A (s )   K (s, x )dx , B (t )   K (t, x )dx 2 a a Bằng qui nạp ta chứng minh K n 2 (s, t )  A2 (s )B (t )Fn (s, t ) , n  1,2, s s t (3.1.12) t với F1(s, t )   A2 (x )dx , F2 (s, t )   A2 (x )F1(x , t )dx s Fn (s, t )   A2 (x )Fn 1(x , t )dx , n  2, 3, (3.1.13) t Bằng qui nạp ta chứng minh Fn (s, t )  n F (s, t ) , n  1,2, n! (3.1.14) Thật vậy, hiển nhiên (3.1.14) với n  Giả sử (3.1.14) với n  k   Ta chứng minh (3.1.14) với n  k Từ (3.1.13) ta có F (x , t ) 1 n 1 n 1  A (x )F1 (x, t )dx  (n  1)!  F1 (x, t ) 1x dx (n  1)! t t s Fn (s, t )  s x s  n 1  1 n F1 (s, t )   F1 (x , t )  (n  1)!  n  x t n ! Vậy (3.1.13) chứng minh b b Do   |K (s, t )| dsdt  N a a b nên  F1(s, t )   A2 (x )dx  N Từ (3.1.14) (3.1.15), ta có (3.1.15) a  Fn (s, t )  2n N n! (3.1.16) Từ (3.1.12) (3.1.16), ta có |K n 2 (s, t )|  A(s )B(t ) Nn n! , n  0,1,2, (3.1.17) Suy |  m 2K m 2 (s, t ) | ||2A(s )B(t ) (N  )m m! , n  0,1,2, (3.1.18) Do chuỗi   || A(s)B(t ) m 1   m 1 m (N  )m m! hội tụ hầu hết [a, b ]  [a, b ] nên từ (3.1.18) suy chuỗi K m (s, t ) hội tụ tuyệt đối hầu hết [a, b ]  [a, b ] Do f (s )    s m m 1 s a  a m 1  m  Km (s, t )f (t )dt  f (s )     Km (s, t )f (t )dt hội tụ Lập luận tương tự phần chứng minh Định lí 3.1.1, ta có (3.1.11) nghiệm phương trình (3.1.1) Do K  L2 ([a, b ]  [a,b ]) nên K n  L2 ([a,b ]  [a, b ]) Do   L2 ([a, b ]) Bây ta chứng minh nghiệm Giả sử 1 2 hai nghiệm phương trình (3.1.1) Đặt   1  2 Khi đó,  nghiệm phương trình s (s )    K (s, t )(t )dt với a  s  b (3.1.19) a s s a a  (s )  ||2  K (s, t )dt   (t )dt  ||2A2 (s )||||2 Ta có đánh giá (3.1.20) Từ (3.1.19) (3.1.20), ta có s s s s a a a a  (s )  ||2  K (s, t )dt   (t )dt  ||4 ||||2  K (s, t )dt  A2 (t )dt s  ||4 ||||2A2 (s ) A2 (t )dt (3.1.21) a Từ (3.1.19) 3.1.21), ta có s s s s t a a a a a  (s )  ||2  K (s, t )dt   (t )dt  ||6 ||||2  K (s, t )dt  A2 (t )dt  A2  x  dx s t a a  ||6 ||||2A2 (s ) A2 (t )dt  A2 (x )dx t1 s tn a a Tổng quát ta  (s )  || |||| A (s ) A (t1 )dt1   A2 (tn )dtn 2 a (3.1.22) Mặt khác, theo (3.1.14), ta có t1 s tn s 1 2n n  A (t1 )dt1   A (tn )dtn  n ! [  A (x )dx ]  n ! N a a a a 2 Từ (3.1.2) (3.1.23), ta có  (s )  ||2||||2A2 (s ) (3.1.23) (||2N )n , n  0,1,2, n! Suy (s )  Do 1  2 hầu hết [a, b ] Vậy nghiệm phương trình (3.1.11) Ví dụ 3.1.3 Giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại a s (s )   s    (s  t )(t )dt (3.1.24) Lời giải Dãy nhân lặp xác định sau s K1(s, t )  s  t , K (s, t )   K (s, x )K (x , t )dx  t s K (s, t )   K (s, x )K (x , t )dx  t (s  t )3 , 3! (s  t )5 ,… 3! Tiếp tục vậy, ta nhận dạng nghiệm phương trình (3.1.24) (s )   s  ( s2 s s4 s5  )   (  )  2! 3! ! 5! Nếu   nghiệm phương trình (3.1.24) (s )  e s Ví dụ 3.1.4 Xét phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại s (s )  f (s )    e s t(t )dt (3.1.25) Lời giải Dãy nhân lặp xác định sau s   K1(s, t )  e s t , K (s, t )   K (s, x )K (x , t )dx  s  t e s t , t s K (s, t )   K (s, x )K (x , t )dx  t (s  t )2 s t e ,… 2! Tổng quát ta K m (s, t )  (s  t )m 1 s t e (m  1)! Do nghiệm phương trình (3.1.25) cho s  (s )  f (s )     m 1  m 1(s  t )m 1 (m  1)! s e s t  f (s )    e ( 1)(s t ) f (t )dt 3.2 Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại Xét phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại s f (s )    K (s, t )(t )dt  (3.2.1) a Với điều kiện thích hợp K (s, t ) f (s ) , phương trình (3.2.1) đưa phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại Từ đó, việc khảo sát phương trình (3.2.1) quy việc khảo sát phương trình tích phân tuyến tính loại tương ứng Trong phần này, ta trình bày hai cách biến đổi đưa phương trình tích phân loại Định lí 3.2.1 Nếu giả thiết (C ) đúng,   , K (s, s )  , hàm f (s ) , Ks(s, t ) tồn liên tục phương trình (3.2.1) đưa phương trình tích phân tuyến tính loại có dạng (s )   K (s, t ) f (s )  s (t )dt K (s, s ) a K (s, s ) s (3.2.2) Chứng minh Lấy đạo hàm hai vế phương trình (3.2.1) theo s , ta s f (s )  K (s, s )(s )    K s(s, t )(t )dt  (3.2.3) a Chia hai vế (3.2.3) cho K (s, s ) , ta (3.2.2) Định lí 3.2.2 Nếu giả thiết C  đúng,   , K (s, s )  , Kt(s, t ) tồn liên tục phương trình (3.2.1) đưa phương trình tích phân tuyến tính loại có dạng K (s, t ) f (s )  t (t )dt với (s )   (t )dt K (s, s ) a K (s, s ) s (s )   s (3.2.4) Chứng minh Sử dụng tích phân phân, phương trình (3.2.1) trở thành t s s f (s )   K (s, t )(t )    K t(s, t )(t )dt   t a a hay s f (s )  K (s, s )(s )    Kt(s, t )(t )dt  (3.2.5) a Chia hai vế (3.2.5) cho K (s, s ) , ta (3.2.4) Ví dụ 3.2.3 Giải phương trình tích phân Volterrra loại s s   e s t(t )dt  (3.2.6) Lời giải So sánh phương trình (3.2.6) với phương trình (3.2.1), ta có f (s )  s , K (s, t )  es t Ta chuyển phương trình (3.2.6) phương trình tích phân Volterra loại Cách 1: Theo (3.2.3), ta có phương trình trình tích phân Volterra loại s (s )  1   e s t(t )dt (3.2.7) s Theo Ví dụ 3.1.4, suy nghiệm (3.2.7) (s )  1   dt  1  s Vậy (3.2.6) có nghiệm (s )  1  s Cách 2: Theo (3.2.4), ta có phương trình trình tích phân Volterra loại s (s )  s   e s t (t )dt (3.2.8) s Theo Ví dụ 3.1.4, suy nghiệm (3.2.8) (s )  s   tdt  s  s Do  (t )dt  s  s2 s2 hay (s )  1  s Vậy (3.2.6) có nghiệm (s )  1  s Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH Chương trình bày ứng dụng phương trình tích phân tuyến tính số toán giá trị ban đầu, toán biên đơn giản, toán dao động tự dây đàn hồi Tuy nhiên, đưa tốn xét phương trình tích phân tuyến tính thích hợp, cịn việc thiết lập nghiệm phương trình tích phân chưa trình bày 4.1 Bài toán giá trị ban đầu cho phương trình vi phân thường  Bài tốn 4.1.1 Tìm hàm y s thỏa mãn y (s )  A(s )y (s )  B(s )y(s )  F (s ) , a s b (4.1.1) y(a )  q , y (a )  q1 , (4.1.2) A, B, F hàm liên tục [a, b ] cho trước Sử dụng số phép biến đổi ta tìm mối liên hệ Bài tốn (4.1.1) – (4.1.2) với phương trình tích phân tuyến tính Bổ đề 4.1.2 Với F hàm liên tục a, b  , n số nguyên dương s, s1, , sn  a,b  , ta có     s sn s s2     F s  ds ds ds a a dsn  n 1 a a s s  t   n  1 !  n 1  F t dt (4.1.3) a s I n (s )   (s  t )n 1 F (t )dt , (4.1.4) f (s, t )  (s  t )n 1 F (t ) Chứng minh Đặt (4.1.5) dI (4.1.6) a Với n  , theo (4.1.4) ta có ds  F (s ) Với n  , sử dụng cơng thức đạo hàm tích phân phụ thuộc tham số, ta dI n s  (n  1) (s  t )n 2 F (t )dt  (s  t )n 1 F (t )  (n  1)I n 1  t s ds a Từ (4.1.7), suy d kIn ds k Với k  n  , ta (4.1.7)  (n  1)(n  2) (n  k )I n k với n  k (4.1.8) d n 1I n (4.1.9) ds n 1  (n  1)! I Lấy vi phân hai vế (4.1.9), kết hợp với (4.1.6), ta d nI n ds n  (n  1)! F (s ) (4.1.10) Từ (4.1.4) (4.1.9) suy I n (s ) đạo hàm triệt tiêu s  a Khi đó, từ (4.1.7) (4.1.11), ta có s s a a I 1(s )   F (s1 )ds1 , I (s )   I 1(s2 )ds2  s sn   F (s )ds ds 1 ,…, a a s s2 a a s s2 a a I n (s )  (n  1)!     F (s1 )ds1ds2 dsn 1dsn (4.1.11) So sánh (4.1.4) (4.1.11) ta có (4.1.3) Vậy Bổ đề 4.1.2 chứng minh Bây ta khảo sát toán (4.1.1) – (4.1.2) Lấy tích phân hai vế (4.1.1) từ a đến s , kết hợp với (4.1.2), ta s s a a y (s )  q1  A(s )y(s )   [B(s1 )  A(s1 )]y(s1 )ds1   F (s1 )ds1 A(a )q (4.1.12) Lấy tích phân hai vế (4.1.12) từ a đến s , kết hợp với (4.1.2), ta s s s2 a a a y(s )  q    A(s1 )y(s1 )ds1    [B(s1 )  A(s1 )]y(s1 )ds1ds2 s s2    F (s1 )ds1ds2  [A(a )q  q1 ](s  a ) (4.1.13) a a Theo Bổ đề 4.1.2, ta có s s2   F (s )ds ds a a s   (s  t )F (t )dt , (4.1.14) a s s2 s a a a   [B(s1 )  A(s1 )]y(s1 )ds1ds2   (s  t )[B(t )  A(t )]y(t )dt (4.1.15) Thay (4.1.14) (4.1.15) vào (4.1.13), ta s y(s )  q  [A(a )q  q1 ](s  a )   (s  t )F (t )dt a s   {A(t )  (s  t )[B(t )  A(t )]}y(t )dt (4.1.16) a Đặt K (s, t )  {A(t )  (s  t )[B(t )  A(t )]} , (4.1.17) s f (s )  q  [A(a )q  q1 ](s  a )   (s  t )F (t )dt (4.1.18) a Từ (1.1.16) – (1.1.17), ta nhận phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại sau s y(s )  f (s )   K (s, t )y(t )dt (4.1.19) a Ngược lại, dễ dàng kiểm tra nghiệm y(s ) phương trình (4.1.19) nghiệm Bài tốn (4.1.1) – (4.1.2) Ví dụ 4.1.3 Tìm hàm y(s ) thỏa mãn y (s )  y(s )  F (s ) , (4.1.20) y(0)  , y (0)  (4.1.21) Lời giải So sánh Bài toán (4.1.20) – (4.1.21) với Bài tốn (4.1.1) – (4.1.2), ta có A(s )  , B(s )   Bài tốn (4.1.20) – (4.1.21) dẫn đến phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại sau s s 0 y(s )    (s  t )F (t )dt    (t  s )y(t )dt 4.2 Bài tốn biên cho phương trình vi phân thường Bài tốn 4.2.1 Tìm hàm y(s ) thỏa mãn y (s )  A(s )y (s )  B(s )y(s )  F (s ) , a  s  b (4.2.1) y(a )  y , y(b)  y1 , (4.2.2) A, B, F hàm liên tục [a, b ] cho trước Sử dụng số phép biến đổi ta tìm mối liên hệ Bài toán (4.2.1) – (4.2.2) với phương trình tích phân tuyến tính Lấy tích phân hai vế (4.2.24) từ a đến s , kết hợp điều kiện biên y(a )  y , ta s s a a y (s )  C   F (s )ds  A(s )y(s )  A(a )y   [A(s )  B(s )]y(s )ds (4.2.3) với C số Lấy tích phân hai vế (4.2.3) từ a đến s , ta s s2 y(s )  y  [C  A(a )y ](s  a )    F (s1 )ds1ds2 a a s s s2 a a a   A(s1 )y(s1 )ds1    [A(s1 )  B(s1 )]y(s1 )ds1ds2 (4.2.4) Sử dụng Bổ đề 4.1.2, từ (4.2.4) ta s y(s )  y  [C  A(a )y ](s  a )   (s  t )F (t )dt a s   {A(t )  (s  t )[A(t )  B(t )]}y(t )dt (4.2.5) a Trong (4.2.5), thay s  b , kết hợp với điều kiện biên y(b)  y1 , ta b y1  y  [C  A(a )y ](b  a )   (b  t )F (t )dt a b   {A(t )  (b  t )[A(t )  B(t )]}y(t )dt a Từ (4.2.6), suy b C  A(a )y  s a {(y1  y )   (b  t )F (t )dt b a a (4.2.6) b    {A(t )  (b  t )[A(t )  B(t )]}y t dt } (4.2.7) a Từ (4.2.5) (4.2.7), ta s y(s )  y   (s  t )F (t )dt  a b s a [(y  y )   (b  t )F (t )dt ] b a a s   {A(t )  (s  t )[A(t )  B(t )]}y(t )dt a b s a {A(t )  (b  t )[A(t )  B(t )]}y(t )dt } b a a  (4.2.8) Đặt s f (s )  y   (s  t )F (t )dt  a b s a [(y  y )   (b  t )F (t )dt ] , b a a s  a {A(t )  (b  t )[A(t )  B(t )]}, t  s,  b  a K (s, t )   s  a  (t  a )(b  s ) A(t )  A(t )  B(t ) , t  s  1    b a  b  a   (4.2.9) (4.2.10) Từ (4.2.9) (4.2.10) ta đưa (4.2.8) dạng phương trình phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại b y(s )  f (s )   K (s, t )y(t )dt (4.2.11) a Ví dụ 4.2.2 Tìm hàm y s  thỏa mãn y (s )  P (s )y(s )  Q(s ) , (4.2.12) y(a )  , y(b)  (4.2.13) Lời giải So sánh Bài toán (4.2.12) – (4.2.13) với Bài tốn (4.2.1) – (4.2.2), ta có A(s )  , B(s )  P (s ) , F (s )  Q(s ) , y  , y1  Thay kết vào (4.2.9), (4.2.10), ta s f (s )   (s  t )Q(t )dt  a b s a (b  t )Q(t )dt , b a  a  (s  a )(b  t )P (t ) , t  s,   b a K (s, t )    (t  a )(b  s )P (t ) , t  s  b a  (4.2.14) (4.2.15) Bài toán (4.2.12) – (4.2.13) dẫn đến phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại b y(s )  f (s )   K (s, t )y(t )dt a Ví dụ 4.2.3 Giải phương trình tích phân Fredholm loại 1 f (s )   K (s, t )(t )dt (4.2.16) s(1  t ), s  t,  K (s, t )   (1  s )t, s  t  Lời giải Phương trình (4.2.16) – (4.2.17) có nhân đối xứng, ta khảo sát phương trình dựa vào kết Định lí 2.4.16 Từ Ví dụ 4.2.2 suy toán biên d 2y  y  0, y(0)  y(1)  , ds tương đương với phương trình (4.2.17) (s )    K (s, t )(t )dt (4.2.18) Bài toán (4.2.17) có giá trị riêng 1   , 2  22  2, , n  n 2 2, (4.2.19) hàm riêng trực chuẩn tương ứng 1(s )  sin  s, 2 (s )  sin 2 s, , n (s )  sin n s, (4.2.20) Do K (s, t ) có giá trị riêng (4.2.19) hàm riêng trực chuẩn (4.2.20) Ta có ak   f (t ) sin k  tdt Theo Định lí 2.4.17, phương trình (4.2.16) có nghiệm  chuỗi   k 4ak hội tụ Lúc đó, nghiệm (4.2.16) k 1 n  s   lim   k 4ak2 sin n s n  k 1 4.3 Bài toán dao động tự dây đàn hồi Dao động tự dây đàn hồi mơ tả tốn: Tìm hàm y(x , t ) thỏa mãn  2y  2y  c 2 với c số, t x (4.3.1) y(0, t )  0, y(1, t )  , (4.3.2) y(x , 0)  g(x ), yt(x , 0)  (4.3.3) Bằng phương pháp tách biến, ta có nghiệm toán (4.3.1) – (4.3.3)  n 1 y(x , t )   bn cos(n ct ) sin(n x ) với bn  2 g(x ) sin n xdx Ở ta đưa toán (4.3.1) – (4.3.3) phương trình tích phân Việc khảo sát toán (4.3.1) – (4.3.3) quy khảo sát phương trình tích phân Đặt y(x , t )  u(x )(t ) Bài toán (4.3.1) – (4.3.3) dẫn đến hai toán sau: Bài toán biên (4.3.3) – (4.3.4) u (x )  u(x )  , u(0)  u(1)  (4.3.3) (4.3.4) Bài toán giá trị ban đầu (4.3.5) – (4.3.6)  (t )  c 2(t )  , (0)  u(x ) ,  (0)  g(x ) (4.3.5) (4.3.6) Từ Ví dụ 4.2.3, ta có Bài tốn biên (4.3.3) – (4.3.4) tương đương với phương trình tích phân u(s )    K (s, t )u(t )dt (4.3.7) s(1  t ), s  t,  K (s, t )   (1  s )t, s  t  Sử dụng kết Bài toán (4.1.1) – (4.1.2), suy Bài toán (4.3.5) – (4.3.6) tương đương với phương trình tích phân Volterra (t )  t g(x )    c (s  t )(s )ds u(x ) (4.3.8) Khảo sát phương trình tích phân (4.3.7) (4.3.8), ta có kết Bài toán (4.3.1) – (4.3.3) KẾT LUẬN Trên sở tổng hợp, phân tích tài liệu tham khảo, luận văn đạt số kết sau Thứ nhất, luận văn hệ thống chi tiết hóa kết điều kiện tồn nghiệm, dạng nghiệm phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại với nhân suy biến, nhân đối xứng, L2 -nhân bất kì; sử dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp khảo sát điều kiện tồn nghiệm phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại Volterrra loại trường hợp nhân liên tục L2 nhân Thứ hai, luận văn xây dựng ví dụ minh họa cho vấn đề số ứng dụng đơn giản phương trình tích phân tuyến tính Qua luận văn này, tác giả thật làm quen với công tác nghiên cứu khoa học cách nghiêm túc có hệ thống Tác giả học tập phương pháp nghiên cứu tài liệu, phương pháp làm việc nhóm Những kiến thức, kinh nghiệm đạt q trình nghiên cứu q báu thân tác giả Tuy nhiên, lực kiến thức cịn hạn chế nên khó tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận bảo q Thầy bạn, xin chân thành cảm ơn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đậu Thế Cấp (2002), Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục [2] T.A.Burton (1983), Volterra Intergral and Differential Equations, Academic Press, New York [3] N.Kolmogorov, S.V Fomine, (1983), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, tập Nhà xuất Giáo dục [4] Ram.P.Kanwal (1971), Linear Intergal equations: theory and technique, Academic Press, New York [5] William Vernon Lovitt (1950), Linear Intergal equations, Dover Publications Inc., New York [6] Hồng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [7] Nguyễn Công Tâm, Đinh Ngọc Thanh, (2005), Phương trình tích phân, Nhà xuất ĐHQG TP.Hồ Chí Minh [8] Cấn Văn Tuất (2005), Phương trình vi phân phương trình tích phân, Nhà xuất Đại học Sư phạm [9] F G Tricomi (1957), Intergal equations, Interscience Publishers, Inc., New York [10] V S Vladimirov (1984), Equations of Mathematical, Mir Publishers, Moscow ... loại phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại Chương Một số ứng dụng phương trình tích phân tuyến tính Chương trình bày số ứng dụng phương trình tích phân tuyến tính phương trình vi phân. .. tác giả trình bày cách tổng qt phương trình tích phân tuyến tính, chủ yếu phương trình tích phân tuyến tính Fredholm phương trình tích phân tuyến tính Volterra Tuy nhiên, tài liệu chưa trình bày... n 1 Phương trình (1.2.27) phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH FREDHOLM Trong [3], tác giả chứng minh phương trình tích phân tuyến tính Fredholm