luận văn một số dạng phương trình tích phân tuyến tính

Trng H Hựng Vng Khoa Toỏn Cụng ngh 1 MụC LụC Trang Mở đầu . 3 Chơng 1: KIếN THứC chuẩn bị. 5 1.1. Bổ xung về không gian Banach 5 1.1.1. Không gian định chuẩn 5 1.1.2. Không gian Banach10 1.1.3. Không gian Banach khả li 10 1.1.4. Toán tử tuyến tính liên tục. 9 1.2. Không gian Hilbert 12 1.2.1. Khái niệm không gian tiền Hilbert 12 1.2.2. Bất đẳng thức schwarz, chuẩn trên không gian tiền Hilbert 12 1.2.3. Khái niệm không gian Hilbert 14 1.2.4. Hệ thống trực giao và trực chuẩn 15 1.2.4.1. Vectơ trực giao 15 1.2.4.2. Một số tính chất đơn giản .16 1.2.4.3. Hệ thống trực giao 17 1.2.4.4. Hệ thống trực chuẩn .17 1.2.4.5. Bất đẳng thức Bessel .19 1.2.4.6. Hệ trực chuẩn đầy đủ 20 1.2.4.7. Các định lý 20 1.2.4.8. Cơ sở trực chuẩn 23 1.2.5. Phép chiếu 24 1.2.6. Giá trị riêng, vectơ riêng26 1.2.7. Không gian Hilbert tách đợc28 1.2.8. Định lý biểu diễn Riesz, phiếm hàm tuyến tính và song tuyến tính trên không gian Hilbert 31 1.2.9. Toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert 36 1.2.9.1. Toán tử tự liên hợp 36 1.2.9.2. Toán tử đối xứng 36 Trng H Hựng Vng Khoa Toỏn Cụng ngh 2 1.2.9.3. Toán tử hoàn toàn liên tục 40 1.2.10. Toán tử tích phân43 1.2.11. Phơng trình tích phân.46 1.2.12. Bài toán dẫn tới phơng trình tích phân 47 Chơng 2: MộT Số DạNG PHƯƠNG TRìNH TíCH PHÂN TUYếN TíNH 49 2.1.Phơng trình tích phân với hạch đối xứng.49 2.1.1. Định nghĩa 2.1 49 2.1.2. Xét sự tồn tại nghiệm.49 2.2. Phơng trình tích phân với hạch thoái hoá 51 2.2.1. Định nghĩa 2.2 .51 2.2.2. Xét sự tồn tại nghiệm.51 2.2.3. Đinh lý Fredholm ( trờng hợp hạch thoái hoá ) 56 2.3.Phơng trình tích phân với hạch không đối xứng 56 2.3.1. Định nghĩa 2.3 .56 2.3.2. Xét sự tồn tại nghiệm.57 2.3.3. Định lý Fredholm ( trong trờng hợp tổng quát ) 61 2.4. Phơng trình Volterra 61 2.5. Một số cách giải phơng trình tích phân tuyến tính.62 2.5.1. Pơng pháp đại số 61 2.5.2. Phơng pháp xấp xỉ 62 2.5.3. Phơng pháp lặp liên tiếp 64 2.5.4. Bài tập áp dụng 67 Kết luận .84 Tài liệu tham khảo .85 Trng H Hựng Vng Khoa Toỏn Cụng ngh 3 Mở đầu 1) Lý do chọn đề tài Giải tích hàm là một ngành Toán học đợc xây dựng vào khoảng đầu thế kỷ XX và đến nay hầu nh đ đợc xem nh một ngành toán học cổ điển. Trong quá trình phát triển, Giải tích hàm đ tích lũy đợc một nội dung hết sức phong phú. Những phơng pháp và kết quả mẫu mực, tổng quát của Giải tích hàm đ xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên quan và sử dụng đến công cụ Giải tích và không gian vectơ. Chính điều đó đ mở ra phạm vi nghiên cứu lớn cho ngành Toán học. Phơng trình tích phân trên không gian Hilbert là một mảng trong giải tích hàm đợc xây dựng từ các bài toán thực tế trong vật lý, hoá học và nhiều khoa học ứng dụng khác. Cụ thể nh trong nghiên cứu tính đàn hồi, tính dẻo, nhiệt và sự thay đổi khối lợng của vật, lý thuyết dao động, lý thuyết xếp bảng, kỹ thuật điện, kinh tế, y học, Với mong muốn đợc nghiên cứu và tìm hiểu sâu sắc hơn về bộ môn này và bớc đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học, em đ chọn đề tài Một số dạng phơng trình tích phân tuyến tính. 2) Mục đích v nhim v nghiên cứu Bớc đầu giúp em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về Giải tích hàm đặc biệt về phơng trình tích phân tuyến tính trên không gian Hilbert. Hệ thống lại những cơ sở lý thuyết cần thiết về toán tử trên không gian Hilbert từ đó đa ra một số dạng phơng trình tích phân tuyến tính trên không gian Hilbert và sự tồn tại nghiệm của những phơng trình dạng này. Đặc biệt hệ thống phơng pháp giải phơng trình tích phân bao gồm phơng pháp đại số hoá, phơng pháp lặp liên tiếp, phơng pháp xấp xỉ và có bài tập áp dụng. 3) Đối tợng nghiên cứu Đối tợng chính mà khoá luận nghiên cứu là những phơng trình tích phân tuyến tính trên không gian Hilbert, bên cạnh đó khoá luận còn nghiên cứu về không Trng H Hựng Vng Khoa Toỏn Cụng ngh 4 gian Hilbert làm cơ sở cho việc nghiên cứu đối tợng chính. 4) Phơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận: Trớc tiên là đọc các tài liệu liên quan tới nội dung của đề tài. Cụ thể nh tài liệu viết về nguồn gốc thực tiễn và cơ sở lý thuyết dẫn tới phơng trình tích phân tuyến tính trên không gian Hilbert. Từ đó làm tiền đề cho việc tìm hiểu về phơng trình tích phân tuyến tính trên không gian Hilbert và vận dụng các kiến thức cơ sở trên để đọc hiểu về đối tợng chính ta cần nghiên cứu, phân tích, tổng hợp rồi rút ra kết luận - Hỏi ý kiến chuyên gia: Chủ yếu là giáo viên hớng dẫn 5) í ngha khoa hc v thc tin Khoỏ lun l ti liu tham kho cho thy cụ giỏo, cỏc bn sinh viờn khoa toỏn. V bn thõn bờn cnh vic ủc tỡm hiu sõu hn v phng trỡnh tớch phõn tuyn tớnh trờn khụng gian Hilbert cũn ủc nõng cao kin thc c s v Gii tớch hm. 6) Cấu trúc của khóa luận Ngoi li núi ủu, mc lc, kt lun, ti liu tham kho, ni dung khoỏ lun l ti liu dy 85 trang gm hai chng: Chơng 1 - Kiến thức chuẩn bị Chơng 2 - Một số phơng trình tích phân tuyến tính Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 5 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC chuÈn bÞ 1.1. BỔ SUNG VỀ KHÔNG GIAN BANACH 1.1.1 Không gian ñịnh chuẩn ∗ Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một không gian vectơ trên trường K (thực hoặc phức), hàm thực ⋅ : X → ℝ thoả mãn ba tính chất: ( ) i x ≥ 0 , 0 0, ∀ ∈ Χ = ⇔ = ∀ ∈ Χ x x x x ( ) ii . , λ λ = x x , ∀ ∈Χ x λ ∀ ∈Κ ( ) iii , + ≤ + x y x y , ∀ ∈Χ x y Đượ c g ọ i là m ộ t chu ẩ n trên Χ , c ặ p ( Χ , ⋅ ) ñượ c g ọ i là không gian tuy ế n tính ñị nh chu ẩ n, hay không gian ñị nh chu ẩ n. ∗ Ví dụ 1.1.1. Không gian vect¬ t ấ t c ả các hàm s ố ( ) x x t = xác ñị nh và ñ o ñượ c trên ñ o ạ n [ ] ; a b v ớ i bình ph ươ ng mo ñ un kh ả tích trên [ ] ; a b , ( ) −∞ < < < +∞ a b ta kí hi ệ u là [ ] 2 , a b L . [ ] 2 , a b L = 2 ( ) ( )     = < +∞       ∫ b a x x t x t dt Khi ñ ó ( [ ] 2 , a b L , ⋅ ) là không gian ñị nh chu ẩ n, v ớ i chu ẩ n ⋅ xác ñị nh b ở i x = ( ) 1 2 2       ∫ b a x t dt , [ ] 2 , a b x L ∈ Th ậ t v ậ y: ∀ [ ] 2 , a b x L ∈ : ( ) 2 0 ≥ x t , [ ] , ∀ ∈ t a b suy ra ( ) 2 0 b a x t dt ≥ ∫ hay ( ) 1 2 2 0 b a x t dt x   = ≥     ∫ ( ) 1 2 2 0 0 b a x x t dt   ⇒ = ⇔ =     ∫ Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 6 ( ) ( ) 2 2 0 0 ⇔ = ⇔ = ∫ b a x t dt x t hầu khắp nơi trên [ ] , a b ( ) 0 ⇔ = x t hầu khắp nơi trên [ ] , a b ( ) [ ] 0, ,x t t a b x θ ⇔ = ∀ ∈ ⇔ = λ ∀ ∈Κ , [ ] 2 , a b x L ∈ : ( ) 1 2 2 λ λ   =     ∫ b a x x t dx = 1 2 2 2 ( ) λ       ∫ b a x t dt = ( ) 1 2 2 2 λ       ∫ b a x t dt = ( ) 1 2 2 λ       ∫ b a x t dt = . λ ⋅ x [ ] 2 , , a b y x L ∀ ∈ : ( ) ( ) ( ) ( ) , + = + x y t x t y t [ ] , ∀ ∈ t a b nên: ( )( ) 1 2 2 b a x y x y t dt   + = +     ∫ = ( ) ( ) ( ) 1 2 2   +     ∫ b a x t y t dt . từ b ấ t ñẳ ng th ứ c Holder: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2     ⋅ ≤ ⋅         ∫ ∫ ∫ b b b a a a x t y t dt x t dt y t dt Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 + = + ≤ + ∫ ∫ b b a a x y x t y t dt x t y t dt ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 2 2 2 b b b b a a a a x t dt y t dt x t dt y t dt     ≤ + ⋅ +         ∫ ∫ ∫ ∫ = ( ) ( ) 2 1 1 2 2 2 2         +               ∫ ∫ b b a a x t y t dt = ( ) 2 + x y Cho nên ( ) 2 2 + ≤ + x y x y hay: . + ≤ + x y x y Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 7 ∗ Tính Chất ) + ( ) , d x y = − x y , ( ) , , ∀ ∈ Χ ⋅ x y là một mêtric trên X ) + Trong một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X ( ) i Phép cộng và phép nhân vô hướng là một ánh xạ liên tục ( ) ii Chuẩn ⋅ là một hàm số liên tục trên X Chứng minh. ( ) i : Giả sử hai dãy { } { } , n n x y trong không gian ñịnh chuẩn X, lần lượt hội tụ tới 0 0 , x y thuộc X, tức 0 lim , = n x x 0 lim = n y y và { } λ n là dãy số trong trường K với lim 0 λ λ = ∈Κ n . Khi ñó: ) + ( ) 0 0 0 0 0 0 0 + − + = − + − ≤ − + − → n n n n n n x y x y x x y y x x y y ⇒ lim ( ) 0 0 + = + n n x y x y . ) + ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 λ λ λ λ λ λ λ λ − = − + − ≤ − + − ≤ n n n n n n n n x x x x x x x x 0 0 0 0 n n n x x x λ λ λ ≤ − + − → (khi → ∞ n ) Tõ ®ã cã: ( ) 0 0 lim n n x x λ λ = . ( ) ii : V ớ i m ọ i , ∈Χ x y ta có: = − + ≤ − + x x y y x y y ⇒ − ≤ − x y x y (1) = − + ≤ − + = − + y y x x y x x x y x ⇒ − ≤ − y x x y (2) T ừ (1) và (2) suy ra: − ≤ − x y x y . Do ñ ó, v ớ i { } n x là m ộ t dãy ph ầ n t ử trong X mà h ộ i t ụ t ớ i 0 ∈Χ x thì: Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 8 0 0 0 − ≤ − → n n x x x x (khi → ∞ n ) Suy ra 0 lim n x x = , hay ta có chuẩn ⋅ là một hàm số liên tục trên X. 1.1.2. Không gian Banach ∗ Định nghĩa 1.1.2. Một không gian ñịnh chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản của X ñều hội tụ trong X. ∗ Dãy { } n x trong không gian ñịnh chuẩn X ñược gọi là dãy cơ bản nếu ε ∀ >0 cho trước, 0 ∗ ∃ ∈Ν n ñể 0 , ∀ ≥ m n n ta ñều có − n m x x < ε . ∗ Ví dụ 1.1.2. Không gian ℝ n với chuẩn 2 1= = ∑ n i i x x , trong ñó ( ) 1, = = i i n x x Định lý 1.1.2. Không gian ñịnh chuẩn X là không gian Banach khi và chỉ khi mọi chuỗi hội tụ tuyệt ñối ñều hội tụ. Chứng minh. Giả sử X là không gian Banach, chuỗi 1 ∞ = ∑ n n x hội tụ tuyệt ñối trong X, tức chuỗi 1 n n x ∞ = ∑ hội tụ, gọi { } n S là dãy tổng riêng của chuỗi 1 ∞ = ∑ n n x với n S = 1 = ∑ n k k x , khi ñó với mọi số tự nhiên , n p ta có: 1 1 0 + + + = + = + − = ≤ → ∑ ∑ n p n p n p n k k k n k n S S x x khi , n p → ∞ Suy ra { } n S là m ộ t dãy c ơ b ả n trong không gian X, vì X là không gian Banach nên dãy này h ộ i t ụ , do ñ ó chu ỗ i 1 ∞ = ∑ n n x h ộ i t ụ . Ng ượ c l ạ i, X là không gian ñị nh chu ẩ n th ỏ a mãn m ọ i chu ỗ i h ộ i t ụ tuy ệ t ñố i ñề u h ộ i t ụ , ta ch ỉ ra X là không gian Banach. Th ậ t v ậ y, gi ả s ử { } n x là m ộ t dãy c ơ b ả n b ấ t kì c ủ a không gian tuy ế n t ính ñị nh chu ẩ n X, khi ñ ó v ớ i m ỗ i s ố t ự nhiên n t ồ n t ạ i s ố t ự nhiên n k sao cho ≥ n m k , ≥ n l k thì khi ñ ó 1 2 − ≤ l m n x x (3) Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 9 Ta chọn các n k sao cho: 1 2 3 < < < < < n k k k k thì ta sẽ có dãy con { } n k x của dãy { } n x hội tụ trong X, vì từ (3) suy ra 1 1 2 + − < n n k k n x x , ∗ ∀ ∈ ℕ n Suy ra chu ỗ i ( ) ( ) ( ) 1 2 1 3 2 1 + + − + − + + − + n n k k k k k k k x x x x x x x (4) có 1 0 + − → n n k k x x khi → ∞ n Do v ậ y (4) h ộ i t ụ tuy ệ t ñố i, theo gi ả thi ế t thì chu ỗ i (4) h ộ i t ụ . M ặ t khác, = n n k S x , v ớ i m ọ i n ∈ ℕ . Do v ậy { } n k x hội tụ trong X, vì { } n x là dãy cơ bản suy ra chuỗi { } n x hội trong X. Suy ra ( ) , Χ ⋅ là không gian Banach. 1.1.3. Không gian Banach khả li ∗ Định nghĩa 1.1.3. Không gian Banach X ñược gọi là khả li (hay tách ñược) nếu tồn tại một dãy { } n n x các phần tử của X trù mật khắp nơi trong X. ∗ Ví dụ 1.1.3. Không gian các hàm số liên tục trên [ ] 0,1 kí hiệu là [ ] 0,1 C , là không gian khả li với dãy { } [ ] 0,1 ⊂ n x C xác ñịnh bởi: 0 1 = x , ( ) , = ∈ ℕ n n x t t n trù mật khắp nơi trong [ ] 0,1 C . 1.1.4.Toán tử tuyến tính liên tục ∗ Định nghĩa 1.1.4. Cho ( ) , . X X và ( ) , . Y Y là hai không gian tuyến tính ñịnh chuẩn trên cùng một trường K. Ánh xạ A : X Y → gọi là toán tử tuyến tính liên tục nếu nó vừa tuyến tính vừa liên tục. ∗ Chú ý. A liên tục tại ñiểm 0 ∈Χ ⇔ x với mọi dãy { } n x các phần tử của Χ th ỏa mãn 0 lim 0 − = n X x x thì 0 lim 0 n y Ax Ax − = ) + A liên tục trên X khi A liên tục tại mọi ñiển thuộc X ) + A ñược gọi là tuyến tính nếu , ∀ ∈ Χ x y :  ( ) A x y Ax Ay + = + Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ 10  ( ) x,A x A λ λ λ = ∀ ∈Κ Định lý 1.1.4. Giả sử cho A : → X Y là một toán tử tuyến tính từ không gian ñịnh chuẩn X vào không gian ñịnh chuẩn Y, khi ñó 3 mệnh ñề sau là tương ñương: i A liên tục ii A liên tục tại θ ∈ Χ iii A bị chặn ( ) 0: Ax , ∃ > ≤ ∀ ∈Χ M M x x Chứng minh. i ⇒ ii : A liên tục, tức A liên tục tại mọi ñiểm thuộc X do vậy A hiển nhiên liên tục tại θ ∈Χ . ii ⇒ i : Giả sử A liên tục tại θ ∈Χ , với mỗi x bất kỳ thuộc Χ và dãy { } n n x hội tụ tới ñiểm ∈Χ x , ta chỉ ra lim x n Ax A = . Thật vậy, vì n x , ∈ Χ x , ∗ ∀ ∈ ℕ n nên ( ) − ∈Χ n x x và ( ) lim 0 →∞ − = n n x x (do tính liên t ụ c c ủ a phép c ộ ng trên không gian ñị nh chu ẩ n ). Theo gi ả thi ế t A liên t ụ c t ạ i θ ∈ Χ suy ra: ( ) lim 0 n A x x A θ − = = lim n Ax Ax ⇒ = . Nên A liên t ụ c t ạ i x , v ớ i m ọ i ∈ Χ x nên A liên t ụ c. i ⇒ iii : Gi ả s ử A liên t ụ c, ta ch ứ ng minh A b ị ch ặ n. Th ậ t v ậ y, vì A liên t ụ c trên X nên A liên t ụ c t ạ i ph ầ n t ử θ ∈Χ , do ñ ó 0 ∃∂ > sao cho m ọ i x ∈ Χ mà ≤ ∂ x thì ta có 1 Ax ≤ . Bây gi ờ v ớ i m ọ i ∈Χ x , 0 ≠ x ñặ t ∂ = x u x thì = ∂ u nªn: Au 1 ≤ Thay ∂ = x u x ñượ c: 1 A 1 A x A x x x x x ∂ ∂ = ⋅ ≤ ⇔ ≤ ⋅ ∂ (5) B ấ t ñẳ ng th ứ c (5) ñ úng cho c ả tr ườ ng h ợ p θ = x , do ñ ó A b ị ch ặ n. iii ⇒ i : Gi ả s ử A b ị ch ặ n, ta ch ứ ng minh A liên t ụ c. Th ậ t v ậ y, v ớ i x là ph ầ n [...]... gian Hilbert H ta g i m i d ng song tuy n tính ph c trên H là m t phi m hàm song tuy n tính trên H Ta bi t r ng v i A là m t toán t tuy n tính trong không gian tích vô hư ng E thì ϕ ( x, y ) = Αx, y , ∀x, y ∈ Ε là m t d ng song tuy n tính ph c trên E Do ñó khi A là toán t tuy n tính trên không gian Hilbert H thì ϕ ( x, y ) = Αx, y là m t phi m hàm song tuy n tính trên H hơn n a n u A b ch n thì ϕ b... s ϕ = sup ϕ ( x, y ) ñư c g i là chu n c a ϕ x = y =1 ∗ Ví d Tích vô hư ng trên E là m t d ng song tuy n tính, ñ i x ng, dương ch t và b ch n, có chu n ⋅, ⋅ = 1 Th t v y, trư c h t d ràng ch ra tích vô hư ng là m t d ng song tuy n tính t tính ch t c a nó là: α x1 + β x2 , y = α x1 , y + β x2 , y x, α y1 + β y2 = α x, y1 + β x, y2 Có tính ñ i x ng vì: x, y = y, x , ∀x, y ∈ Ε Dương ch t vì: 33 Trư... v i ℂ Ν vi c ch ng minh tương t như trên 1.2.8 Phi m hàm tuy n tính và song tuy n trên không gian Hilbert, ñ nh lý Riesz N u H là m t không gian Hilbert thì f ( x ) = x, xo , ∀x ∈ Η là m t phi m hàm tuy n tính liên t c trên H và f = x0 Th t v y, ∀x ∈ Η , f ( x ) ∈ Κ , do tính tuy n tính liên t c c a tích vô hư ng , nên f là hàm s tuy n tính liên t c trên H M t khác, ∀x ∈ Η theo b t ñ ng th c Schwarz... xn − x ) ≤ M xn − x  0 → Kéo theo A ( xn − x ) → 0 khi n → ∞ Do tính tuy n tính c a A suy ra lim Axn = Ax V y A liên t c t i x , v i x là b t kỳ suy ra A liên t c ∗ Không gian các toán t tuy n tính b ch n Cho X,Y là các không gian tuy n tính ñ nh chu n trên cùng trư ng K Ta ký hi u L ( X ,Y ) là t p h p t t c các toán t tuy n tính b ch n t X vào Y Khi ñó v i phép c ng các toán t và phép nhân vô... ℂ ; x1 , x2 , x, y1 , y2 , y ∈ Ε ∗ Ví d : a) Tích vô hư ng là 1 d ng song tuy n tính ph c b) Cho A, B là các toán t tuy n trên không gian tích vô hư ng E, khi ñó ϕ1 ( x, y ) = Ax, y ; ϕ2 ( x, y ) = x, By ; ϕ3 = Ax, Ay , ∀x, y ∈ Ε 32 Trư ng ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công ngh là các d ng song tuy n tính ph c trên E, th t v y ta s ch ra ϕ1 là d ng song tuy n tính ph c còn các trư ng h p còn l i ch ng minh... cũng là vect¬ riêng ng v i giá tr riêng λ ∗ Ví d 1.2.6 Cho H là không gian Hilbert, S ⊂ Κ , PS : Η → S là phép chi u tr c giao tìm t t c các giá tr riêng c a PS Xét phương trình : PS u = λ u , λ ∈ ℂ Tác d ng PS vào hai v c a phương trình trên ta có : PS ( PS u ) = PS ( λ u ) mà PS ( PS u ) = PS u vì v y: λ PS u = λ 2u ⇔ λu = λ 2u , ∀u ≠ θ Suy ra: λ =0 (λ − λ )u = θ ⇔  λ = 1  2  Như v y ñ i v... 1-1 t H1 lên H2, b o toàn các phép toán tuy n tính cũng như b o toàn tích vô hư ng, c th : + ) Ki m tra π là song ánh: , ∀x ∈ Η1 , π ( x ) = θ kéo theo x , = θ nên α n = 0 = α n suy ra: ∞ ∞ n =1 n =1 x = ∑α nen = ∑ 0.en = θ v y π là ñơn ánh ∞ n , ∀x ∈ Η 2 , x = ∑α e ⇒ x = ∑α nen ∈ Η1 ⇒ π x = x , , , n =1 , , n n n =1 v y π là toàn ánh + ) Ki m tra tính tuy n tính c a ∞ ∞ n =1 π: n =1 ∀x, y ∈ Η1 : x =... gian tích vô hư ng các s ph c ℂ , v i tích vô hư ng z , z ' = zz ' là không gian Hilbert + ) Không gian ℂ , ℝ là nh ng không gian Hilbert v i tích vô hư ng ñư c xác k k ñ nh l n lư t là: ( k ) z , z ' = ∑ z j z j ' , z = z1, , Zk , z ' = ( z1 ', , zk ' ) j =1 k x, y = ∑ xi yi , x = ( xi )i =1, k , y = ( yi )i =1, k i =1 + ) Không gian L[ a ,b] các hàm s 2 xác ñ nh và ño ñư c trên [ a, b ] và có bình phương. .. t ra là n u ϕ ( x, y ) là m t song tuy n tính b ch n trên không gian Hilbert H thì li u có t n t i toán t tuy n tính A trên H sao cho: ϕ ( x, y ) = Ax, y , ∀x, y ∈ Η câu tr l i n m ñ nh lý sau 34 Trư ng ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công ngh Đ nh lý 1.2.8 Gi s ϕ là m t d ng song tuy n tính b ch n trên không gian Hilbert H, khi ñó t n t i duy nh t m t toán t tuy n tính b ch n A trên H sao cho: ϕ ( x, y )... m hàm tuy n tính b ch n trên H theo ñ nh lý bi u di n Riesz, t n t i duy nh t ph n t Ax ∈ Η sao cho ϕ ( x, y ) = Ax, y , ∀y ∈ Η Ta s ch ra x ֏ Ax là m t toán t tuy n tính b ch n trên H Do tính t n t i duy nh t c a ph n t Ax ∈ Η v i m i x ∈ Η nên quy t c trên là m t ánh x trên H hơn n a, ∀x1 , x2 , y ∈ Η , ∀α , µ ∈ ℂ ta có: A (α x1 + µ x2 ) , y = αϕ ( x1 , y ) + µϕ ( x2 , y ) (do ϕ tuy n tính) = α Ax1 . Toán tử tích phân4 3 1.2.11. Phơng trình tích phân. 46 1.2.12. Bài toán dẫn tới phơng trình tích phân 47 Chơng 2: MộT Số DạNG PHƯƠNG TRìNH TíCH PHÂN TUYếN TíNH 49 2.1.Phơng trình tích phân với. phơng trình tích phân tuyến tính trên không gian Hilbert. Hệ thống lại những cơ sở lý thuyết cần thiết về toán tử trên không gian Hilbert từ đó đa ra một số dạng phơng trình tích phân tuyến tính. chọn đề tài Một số dạng phơng trình tích phân tuyến tính. 2) Mục đích v nhim v nghiên cứu Bớc đầu giúp em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về Giải tích hàm đặc