Luận văn một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính volterra

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ HƯỜNG

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌCNGUYỄN THỊ HƯỜNG

*

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS KHUAT VĂNNINH

Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS TSKhuất Văn Ninh Tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy, người đã định hướngchọn đề tài và tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình tìm hiểu, nghiên cứu để tôi cóthể hoàn thành luận văn này.

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tới toàn thể các thầy cô giáo khoa Toán, chuyênngành Toán Giải tích, Phòng Sau đại học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảngdạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã cổ vũ, động viên, giúpđỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn này vẫn không tránh khỏi những thiếusót và hạn chế Tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp và phản hồi từ phía cácthầy, cô và các bạn để luận văn này được hoàn thiện một cách tốt hơn.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Người thực hiện

Nguyên Thị Hường

Lồi cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Khuất Văn Ninh, luận văn

chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “ Một số phương pháp giải gần đúng phương

trình tích phân tuyến tính Volterra ” được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của

bản thân, không trùng lặp với bất cứ luận văn nào khác.

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những kết quả củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Ngưòi thực hiện

Nguyễn Thị Hường

Lòi cảm dnLòi cam đoan

Danh mục kí hiệu và viết tắt

Mỏ đầu

1 Kiến thức chuẩn bị

1 ■ 1 Một số kiến thức về giải tích hàm LUKhông gian metrỉc 1.1.2 Không gian định chuẩn 1.1.3 Không gian Hỉlbert 1.1.4 Không gian L ( X , y)

1.1.5 Một số không gian hàm 1.1.6 Khai triển Taylor

2 PHƯỜNG TRÌNH TÍCH PHẤN VQLTERRA

2.1 Phương trình tích phân Volterra 2.1.1 Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại một 2.1.2 Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai

1414142.1.3 Biến đổi phương trình tích phân Volterra loại một thành

2.2 Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến

Mục lục

48482.2.1 Phương pháp phân tích Adomiar]

2.2.2 Phương pháp biến đổi phân tích2.2.3 Hiện tượng số hạng nhiễu âm2.2.4 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp

2.2.5 Phương pháp biến đổi Laplac e2.2.6 Phương pháp chuỗi lũy thừa

3.1 Công thức cầu phường 3.2 Công thức hình thang 3.3 Phường pháp số giải phường trình tích phân tuyến tính Volterra

loại 2 50

Danh mục kí hiệu và viết tắt

Các kí hiệu thưòng dùng

M =

X Ệ MX không thuộc tập M' i x e M Với mọi X thuộc tập M

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về việc giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra, dưới sự hướng dẫn của PGS TS

Khuất Văn Ninh, tôi đã chọn đề tài: “Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Voỉterra” để thực

hiện luận văn của mình.

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu về phương trình tích phân tuyến tính Volterra, một số phương pháp giải gần đúng phương trình tíchphân tuyến tính Volterra.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu phương trình tích phân tuyến tính Volterra và một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyếntính Volterra.

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại một, loại hai.

Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình, một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình và ứng

dụng vào giải gần đúng một số phương trình tích phân tuyến tính Volterra cụ thể.

5 Phương pháp nghiên cứu

Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan.

Vận dụng một số phương pháp của Giải tích hàm, Giải tích số, Lí thuyết phương trình tích phân Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới phương trình tích phân tuyến tính Volterra.

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1Một số kiến thức về giải tích hàm1.1.1Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là một tập tùy ý Một metric trong X là một ánh xạ

d ( xn + p, xn) < d ( x

Định nghĩa 1.1.3 Dãy điểm xn được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) trong không gian metric X nếu với mọi £ > 0 cho

trước, tồn tại một số no G N* sao cho với mọi n > no và ra > no ta đều có

d{xn, xm) £ ■

Nói cách khác ta có

lim d ( xn, xm) = 0.

Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong không gian metric đều là dãy cơ bản.

Định nghĩa 1.1.4 Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử trong

d [ X n + p i % n )—

Cho p — > 00 trong bất đẳng thức (Ị1.2Ị) ta thu được ước lượng (|1.1|).

Ta lại có Xn+1 = f ( xn) nên cho n — > 00, ta có X * = f { x * ) Vậy X * là điểm mà

/ M = x\

Giả sử ngoài ra còn có X cũng có tính chất f ( x ) = X khi đó ta có

d ( x * , x ) = d ( f ( x * ) , f ( x ) ) < a d ( x * , x ) ,

với a < 1 Từ đó suy ra X * = X Vậy X * là duy nhất.

1.1.2Không gian định chuẩn

Cho X là một không gian vectơ trên trường p ( P = K hoặc C).

Định nghĩa 1.1.5 Một chuẩn, kí hiêu II • II trong X là một ánh xạ từ X vào K thỏa mãn các điều kiện:

i) ||a;|| > 0 với mọi X G X ;

ii) ||a;|| = 0 khi và chỉ khi X = 9 ( 9 là kí hiệu phần tử không);

iii) 11 X x 11 = IAI 11X11 với mọi số A e p và với mọi X e X;iv) ||a; + yII < ||a;|| + ||y|| với mọi y e X

Số II s|| đưọc gọi là chuẩn (hay độ dài) của vecto X e X

Đinh nghĩa 1.1.6 Một không gian vecto X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy gọi là một không gian định chuẩn

(thực hoặc phức, tùy theo p là thực hoặc phức).

Định lý 1.1.2 Giả sử X là một không gian định chuẩn Vói mọi X , y £ X đặt

d ( x , y ) = \ \ x - y II

Khi đó d là một metric trên X.

Định nghĩa 1.1.7 Dãy (xn) trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ đến X o £ X nếu lim \\xn — X o II =0 Khi đó takí hiệu

A cũng được gọi là toán tử tuyến tính Nếu A chỉ thỏa mãn i) thì A được gọi là toán tử cộng tính, nếu A chỉ thỏa mãn ii) thì A

đưọc gọi là toán tử thuần nhất Khi Y = p thì toán tử tuyến tính A đưọc gọi là phiếm hàm tuyến tính

Định nghĩa 1.1.11 Cho không gian định chuẩn X và F Toán tử tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn

nếu tồn tại hằng số c > 0 sao choII Ax\\ < c ||a;|| , với mọi X £ X.

1.1.3Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.12 Cho không gian tuyến tính X trên trường số p(p = R hoặc p = C) Ta gọi là tích vô hướng trên không gian

X mọi ánh xạ từ

X X X vào trường p , kí hiệu (•, •), thỏa mãn các tiên đề:

(i) (y, x) = (x, y), với mọi X, y G X ; ( x , y ) là số phức liên hợp của ( x , y )

(ii) ( x + y , z ) = ( x , z ) + ( y , z ) , v ố i m ọ i x , y , z e X ;

(iii) ( a x , y ) = a ( x , y ) với mọi số a G p và mọi X , y G X ;

(iv) ( x , x ) > 0 nếu X Ỷ 9 ì (ớ là kí hiệu phần tử không);

(v) ( x , x ) = 0 nếu X = 6 ;

Các phần tử X , y , z , gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số ( x , y ) gọi là tích vô hướng của X và y Các tiênđ ề i , i i , i i i , i v , v gọi là các tiên đề tích vô hướng.

Định nghĩa 1.1.13 Không gian tuyến tính X trên trường p cùng với một tích vô hướng trên X gọi là không gian tiền Hilbert.

Định lý 1.1.3 Cho X là một không gian tiền Hilbert, với mỗi X & X , ta đặt ||ar|| = \ / ( x , x ) Khi đó ta có bất đẳng thứcsau (gọi là bất đẳng thức Schwarz)

1) H là không gian tiền Hilbert;

2) H là không gian Banach với chuẩn ||a:|| = y /(X , x ) với X £ X

1.1.4Không gian L ( X , Y )

Cho hai không gian định chuẩn X và Y Ta kí hiệu L ( X , Y ) là tập họp tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào

Y Ta trang bị cho L ( x Y ) hai phép toán sau:

a) Tổng của hai toán tử A , B G L ( X , Y ) là toán tử, kí hiệu A + B xác định

(1.5)bằng hệ thức

Dãy toán tử (An) c L ( X , Y ) gọi là hội tụ từng điểm tới toán tử A G L ( X , Y ) nếu với mỗi X £ X , lim \\Anx — Ax\\ = 0

trong không gian Y.

n — > 00

Một dãy toán tử (An) c L ( X , Y ) hội tụ đều tới toán tử A G L ( X , Y ) thì dãy ( An) hội tụ từng điểm tới toán tử A trongkhông gian Y

Định lý 1.1.4 N ế u Y l à không gian Banach thì L ( x , V) cũng l à không gian Banach.

(Ve > 0)(3n0 G N*)(Vn,ra > n0) II An — Am II < e (1.4)Từ đó với mọi X G X ta có

Từ dl.4Ị),(fL5]) suy ra dãy điểm (Anx) c Y là dãy cơ bản trong Y Mà theo giả thiết Y là không gian Banach, nên tồn tại giới hạn

Từ đó suy ra A = An i — (An i — A ) G L ( X , Y ) với ni > no và II An — A \ \ — > 0 khi n — > 00.

Vì vậy dãy toán tử (An) c L ( X , Y ) hội tụ tới toán tử A trong không gian L ( X , Y ) Vậy L ( X , Y ) là không gian Banach.

Bây giờ ta giả sử X = Y , nghĩa là ta xét không gian L ( X , X ) các toán tử tuyến tính liên tục trong X Khi ấy ta có thể

định nghĩa phép nhân hai toán tử như sau

Tích của hai toán tử A , B trong X là toán tử A B trong X sao cho

X i

suy ra AB cũng bị chặn (tức là liên tục) và

\\AB\\ < Pll ||B||

Như vậy trong không gian L ( X , X ) có xác định phép cộng và phép nhân hai phần tử Dễ kiểm tra lại rằng phép cộng và phép

nhân này thỏa mãn các tiên đề của một vành.

Do vậy ta có L ( X , X ) là

i) Một vành

ii) Một không gian định chuẩn

iii) Thỏa mãn điều kiện IIABII < IIAII II.6II

iv) Có phần tử đon vị là toán tử đồng nhất I với \\I\\ = 1.

Người ta nói L ( X , X ) là một vành định chuẩn Trong vành L ( X , X ) đưong nhiên có thể nói đến các lũy thừa của một toán

A° = I , An = A An~l{ n = 1,2, )

Không gian Kn

Rn là không gian vectơ

Rn là không gian metric với metric d ( x , y ) =

Hệ thức trên thỏa mãn 3 tiên đề về metric.

Vì vậy hệ thức trên định một metric trên không gian Rn Không gian metric Rn thường đưọc gọi là không gian Euclid Rn là không gian metric đầy Rn là không gian định chuẩn Với một trong các chuẩn sau

\x \

Dễ thấy hệ thức (Ị1.6Ị) thỏa mãn tiên đề tích vô hướng Chuẩn sinh ra bởi tích vôhướng (1.6)

Không gian vectơ thực R” cùng với tích vô hướng d 1,7Ị) là một không gian Hilbert.

Không gian C[at b]

C ị a Ị,] = {ÍC(Í) xác định, liên tục Ví G [ a , 6]} , —00 < a < b < +00.Không gian C ị a b] là không gian metric

\ / x , y e C[ a M, d ( x , y ) = max |x(í) - y { t ) \

a < t < bKhông gian C ị a Ị,] là không gian định chuẩn

||a;|| = max |a;(t)|.

a < t < bKhông gian C ịa Ị,] là không gian Banach.

Không gian C ịa Ị,] là không gian tách được (hay không gian khả ly).

Thật vậy tập tất cả các đa thức với hệ số hữu tỷ trù mật trong C ịa Ị,].

1.1.6 Khai triển Taylor

Định lý 1.1.5 N ế u h à m s ố y = f ( x ) c ó c á c đ ạ o h à mf "{ x ) , , f (n\ x )

liên tục tại điểm XQ và có đạo hàm /(n+1)(æ) trong lân cận của XQ thì tại lân cận đó ta có công thức

I fu(Xo\x X )<“> I fn+1(cKx X )“+■(101+ ^ ^ ( x - x „ )+ | - ^ ( x - x „ )( 1 9 )

c ở khoảng giữa XQ và X : c = XQ + d(x — £o), 0 < 9 < 1.

Công thức này gọi là công thức Taylor cấp n, số hạng cuối cùng được gọi là số hạng dư của nó Ta nói f ( x ) khai triển

được theo công thức Taylor.

Dạng tổng quát của các

phương trình tích phân tuyếntính Volterra loại một được cho bởi

Dạng tổng quát của phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai được cho bởi

Chương 2

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA

2.1 Phương trình tích phân Volterra

2.1.1 Phương trình tích phân tuyến tính Voỉterra loại một

trong đó hạt nhân K ( x , t ) và hàm /(x ) là các hàm giá trị thực cho trước, hàm u ( x ) là hàm cần

được xác định và nó xuất hiện bên trong dấu tích phân của các phương trình tích phân Volterraloại một.

2.1.2Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai

2.1.3 Biến đổi phương trình tích phân Voỉterra loại một thành phương trình tích phân Volterra loại hai

Trong phần này, chúng ta sẽ trình bày một số phương pháp biến đổi phương trình tích phân Volterra loại một thành phương

trình tích phân Volterra loại hai Ta giả thiết K ( x , x ) Ỷ 0- Lấy đạo hàm cả hai vế của phương trình tích phân Volterra loại

Ví dụ 2.1 Biến đổi phương trình tích phân Volterra loại một thành phương trình

Nhận xét 2.1 Đã biết rằng nếu K ( x , x ) = 0, thì không thể biến đổi phưong trình tích phân Volterra loại một thành loại hai.

Tuy nhiên, nếu K ( x , x ) = 0 và K 'x (X X) Ỷ 0 thì bằng việc lấy đạo hàm phưong trình tích phân Volterra loại một nhiều

lần , với K ( x , t ) là hạch , thì phưong trình đã cho sẽ đưa đưọc về phưong trình tích phân Volterra loại hai.

Ở chú ý thứ nhất, khi K ( x , x ) = 0 , K'x(x, x) Ỷ 0’ ta sẽ lấy đạo hàm hai lần, và áp dụng quy tắc Leibnitz để biến đổi phưongtrình đã cho về phưong trình tích phân Volterra loại hai.

2.2 Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Volterraloại hai

Để giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai, ngươi ta đã đề xuất một số phương pháp giải tích và phươngpháp số như phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương pháp biến đổi Laplace và nhiều phương pháp khác Trong mục này ta sẽ ápdụng một số phương pháp như phương pháp phân tích Adomian (ADM), phương pháp biến đổi khai triển (mADM), phươngpháp xấp xỉ liên tiếp, phương pháp chuỗi lũy thừa và phương pháp biến đổi Laplace để giải phương trình tích phân Volterra

loại hai Ta cần xác định nghiệm u ( x ) của phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai.

Sau đây chúng ta sẽ trình bày các phương pháp nêu trên.

2.2.1 Phương pháp phân tích Adomian

Phương pháp phân tích Adomian (ADM) đã được giới thiệu và phát triển bởi George Adomian và là phương pháp tốt trongnhiều phép kiểm tra.

Phương pháp phân tích Adomian bao gồm phân tích hàm u ( x ) của phương trình bất kỳ thành tổng vô hạn của các số hạng

được xác định bởi chuỗi

71 = 0

hay tương đương

u ( x ) = UQ(X) + U i ( x ) + u2( x ) + .,trong đó các hàm un( x ) , n > 0 được xác định bằng phương

u2{ x ) = A í K ( x , t ) u i ( t ) d t , u ^ ( x ) = A í K ( x , t ) u2{ t ) d t , (2.15) *>0 *>0

và tương tự vậy với các thành phần khác.

Trong công thức (Ị2.15Ị), các thành phần u0( x ) , U ị ( x ) , u2( x ) , u ^ ( x ) , hoàn toàn xác định Nghiệm u ( x ) của

phương trình tích phân Volterra (Ị2.2Ị) cho dưới dạng chuỗi.

Phương pháp phân tích Adomian để giải phương trình tích phân Volterra được minh họa bởi các ví dụ sau.

Ví dụ 2.4 Áp dụng phương pháp phân tích Adomian giải phương trình tích phân Volterra sau

u ( x ) = 6 x — 3 x2 + / u ( t ) d t (2.16)•'O

Ta chú ý rằng /(x ) = 6 x — 3 x2, A = 1, K ( x , t ) = 1 Nhắc lại rằng nghiệm u ( x ) được giả sử là có dạng chuỗi cho trong

(|2.1 lị) Thế chuỗi khai triển (|2.11 Ị) vào cả hai vế của (Ị2.16Ị) cho ta

thu được bằng cách dùng khai triển Taylor.

Ví dụ 2.6 Áp dụng phương pháp phân tích Adomian giải phương trình tích phân Volterra sau

u ( x ) = 1 + x — í ( t — x ) u ( t ) d t d o

Chú ý rằng f ( x) = 1 + X , X = —1, K ( x , t ) = t — X

Thế chuỗi khai triển (|2.1 lị) vào cả hai vế của (Ị2.18Ị) ta có

un {x) = l + x -x ) un( t ) d t ,n =0^ n =0

hay tương đương

u0( x ) + U ị ( x ) + u2{ x ) + = 1 + X — / ( t — x ) [ u0( t ) + U ị ( t ) + ] d t

d o

Điều này chỉ ra quan hệ truy hồi sau