Luận văn một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính volterra

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ HƯỜNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GAN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYÊN TÍNH VOLTERRA * LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC NGUYỄN THỊ HƯỜNG * MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GAN ĐÚNG BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYÊN TÍNH VOLTERRA Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS KHUAT VĂN NINH Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS TS Khuất Văn Ninh Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình tìm hiểu, nghiên cứu để hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, chuyên ngành Toán Giải tích, Phòng Sau đại học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu trường Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè cổ vũ, động viên, giúp đỡ trình học tập thực luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn không tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tôi mong nhận ý kiến đóng góp phản hồi từ phía thầy, cô bạn để luận văn hoàn thiện cách tốt Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2016 Người thực Nguyên Thị Hường Lồi cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn PGS TS Khuất Văn Ninh, luận văn chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “ Một số phương pháp giải gần phương trình tích phân tuyến tính Volterra ” hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân, không trùng lặp với luận văn khác Trong trình nghiên cứu thực luận văn, kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2016 Ngưòi thực Nguyễn Thị Hường Mục lục Lòi cảm dn Lòi cam đoan ii Danh mục kí hiệu viết tắt Mỏ đầu Kiến thức chuẩn bị ■ Một số kiến thức giải tích hàm LU Không gian metrỉc 1.1.2 Không gian định chuẩn 1.1.3 Không gian Hỉlbert 1.1.4 Không gian L ( X , y) 1.1.5 Một số không gian hàm 1.1.6 Khai triển Taylor PHƯỜNG TRÌNH TÍCH PHẤN VQLTERRA 2.1 Phương trình tích phân Volterra 14 14 2.1.1 Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 14 2.1.2 Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai 14 2.1.3 Biến đổi phương trình tích phân Volterra loại thành phương trình tích phân Volterra loại hai 15 2.2 Một số phương pháp giải gần phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai 17 2.2.1 Phương pháp phân tích Adomiar] 2.2.2 Phương pháp biến đổi phân tích 24 2.2.3 Hiện tượng số hạng nhiễu âm 28 2.2.4 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 31 2.2.5 Phương pháp biến đổi Laplac e 2.2.6 Phương pháp chuỗi lũy thừa 37 42 GIẢI Số PHƯỜNG TRĨNH TÍCH PHẤN VQLTERRA 48 3.1 Công thức cầu phường 3.2 Công thức hình thang 48 3.3 Phường pháp số giải phường trình tích phân tuyến tính Volterra 48 loại Kết luận 50 67 Danh mục kí hiệu viết tắt Các kí hiệu thưòng dùng c1 c R n M = (X,d) c X €M X Ệ M 'ixeM 3x Không gian hàm liên tục Không gian hàm khả vi liên tục Không gian Euclid n chiều Không gian metric Biến đổi Laplace X thuộc tập M X không thuộc tập M Với X thuộc tập M Tồn X MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lí thuyết phương trình lĩnh vực rộng lớn toán học nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Trong lớp phương trình tích phân đóng vai trò quan trọng Phương trình tích phân tuyến tính Volterra xuất nhiều ứng dụng khoa học lý thuyết động lực, thiết vị bán dẫn, lan truyền bệnh dịch, Trong ứng dụng thực tế việc tìm nghiệm xác phương trình tích phân thường gặp nhiều khó khăn, lúc người ta quan tâm đến giải xấp xỉ phương trình Để giải xấp xỉ phương trình tích phân tuyến tính Volterra người ta sử dụng nhiều phương pháp xấp xỉ liên tiếp, chuỗi lũy thừa, Với mong muốn tìm hiểu sâu việc giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra, hướng dẫn PGS TS Khuất Văn Ninh, chọn đề tài: “Một số phương pháp giải gần phương trình tích phân tuyến tính Voỉterra” để thực luận văn Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu phương trình tích phân tuyến tính Volterra, số phương pháp giải gần phương trình tích phân tuyến tính Volterra Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương trình tích phân tuyến tính Volterra số phương pháp giải gần phương trình tích phân tuyến tính Volterra Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại một, loại hai Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu tồn nghiệm phương trình, số phương pháp giải xấp xỉ phương trình ứng dụng vào giải gần số phương trình tích phân tuyến tính Volterra cụ thể Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm, nghiên cứu tài liệu liên quan Vận dụng số phương pháp Giải tích hàm, Giải tích số, Lí thuyết phương trình tích phân Phân tích, tổng hợp hệ thống kiến thức liên quan tới phương trình tích phân tuyến tính Volterra u(x ) = — í u(t)dt (3.12) •'o Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân vế phải Ta có ■0,4 =1 -u4 — / u(t) dt ^■Uị = — 0, 296398 — 0, x4 +) i = 5, (|3.8|) trở thành ^ ■ U ị = 0, 0,670097 u ( x ) = 1— í u ( t ) d t (3.13) •'o Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân vế phải Ta có -IX5 ■0,5 = — / u(t) dt = — 0, 363408 — 0, 05-1X3 -u5 = 0, 606192 +) i = , (|3.8|) trở thành Ị-Xs u (s6) = — / u ( t ) d t (3.14) Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân vế phải Ta có r 0,6 UQ = — / u(t) dt [...]... loai một 2.2 Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai Để giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai, ngươi ta đã đề xuất một số phương pháp giải tích và phương pháp số như phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương pháp biến đổi Laplace và nhiều phương pháp khác Trong mục này ta sẽ áp dụng một số phương pháp như phương pháp phân tích Adomian (ADM), phương. .. thêm một lần nữa để thu được phương trình tích phân Volterra loại 1 u ( x ) = - s i n x + — c o s x — / sinh(a: — t ) u ( t ) d t 2 2 J 0 Khi đã biến đổi phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại một thành phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai, thì ta có thể áp dụng các phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai cho phương trình tích phân tuyến tính Volterra. .. thực, và A là một tham số cho trưóc 2.1.3 Biến đổi phương trình tích phân Voỉterra loại một thành phương trình tích phân Volterra loại hai Trong phần này, chúng ta sẽ trình bày một số phương pháp biến đổi phương trình tích phân Volterra loại một thành phương trình tích phân Volterra loại hai Ta giả thiết K ( x , x ) Ỷ 0- Lấy đạo hàm cả hai vế của phương trình tích phân Volterra loại một f{x)= / K(x,t)u(t)dt,... Adomian (ADM), phương pháp biến đổi khai triển (mADM), phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương pháp chuỗi lũy thừa và phương pháp biến đổi Laplace để giải phương trình tích phân Volterra loại hai Ta cần xác định nghiệm u ( x ) của phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai Sau đây chúng ta sẽ trình bày các phương pháp nêu trên 2.2.1 Phương pháp phân tích Adomian Phương pháp phân tích Adomian (ADM)... dấu tích phân của các phương trình tích phân Volterra loại một tính Volterra loại một được Dạng tổng cho bởi 0 2.1.2 quát của Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai phương trình (2.2) tích phân tuyến tính Volterra loại hai Hàm ẩn u ( x ) , sẽ được xác định, nằm bên trong và được cho bởi 0 bên ngoài dấu tích phân Hạt nhân K ( x , t ) và hàm f ( x ) là các hàm giá trị thực, và A là một tham... các phương pháp giải phương trình tích phân Volterra loại hai Nghiệm thu được chính là nhiệm của phương trình tích phân Volterra loại một Ví dụ 2.1 Biến đổi phương trình tích phân Volterra loại một thành phương trìnhtích phân Volterra loại hai (2.8) e — cosæ Lấy đạo hàm cả hai vế của (|2.8|) và dùng quy tắc Leibnitz ta được e x + sinz = u ( x ) + / e x ~ t u ( t ) d t ■'O Từ đó ta có phưong trình tích. .. ) , U ị ( x ) , u 2 ( x ) , u ^ ( x ) , hoàn toàn xác định Nghiệm u ( x ) của phương trình tích phân Volterra (Ị2.2Ị) cho dưới dạng chuỗi Phương pháp phân tích Adomian để giải phương trình tích phân Volterra được minh họa bởi các ví dụ sau Ví dụ 2.4 Áp dụng phương pháp phân tích Adomian giải phương trình tích phân Volterra sau u(x) = 6x — 3x2 + / u(t)dt •'O (2.16) Ta chú ý rằng /(x ) = 6 x — 3 x... cấp n, số hạng cuối cùng được gọi là số hạng dư của nó Ta nói f ( x ) khai triển được theo công thức Taylor Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA Dạng tổng quát của các 2.1 Phương trình tích phân Volterra 2.1.1 Phương trình tích phân tuyến tính Voỉterra loại một (2.1) trong đó hạt nhân K ( x , t ) và hàm /(x ) là các hàm giá trị thực cho trước, hàm u ( x ) là hàm cần phương trình tích phân tuyến. .. phưong trình đã cho về phưong trình tích phân Volterra loại hai Ví dụ 2.3 Biến đổi phương hình tích phân Volterra loại một thành phương trình tích phân Volterra loại hai 2 / sinh(£ — t ) u ( t ) d t ■'0 sinx — X cosx (2.10) Lấy đạo hàm hai vế của (|2.1Q|) và dùng quy tắc Leibnitz ta được f x £ S Ì n £ = 2 / cosh(a: — t ) u ( t ) d t , ■'0 phương trình trên vẫn là phương trình tích phân Volterra loại một. .. ■ Giải tìm u ( x ) , biết rằng K ( x , x ) Ỷ ' (2.4) 0 0’ ta thư được phương trình tích phân Volterra loại hai là u f ' ( x ) ỉx 1 (xì= K( \ / 1C( ,Kx{x,t)u{t)dt K{X,X) JQ K{X, X (2.5) ) Đặt ^ 'ĨT ^ H II Crs (2.6) và G{x ’t)= Khi đó ta có phương trình tích phân Volterra loại 2 (2.7) u(x) = g(x) + / G(x,t)u(t)dt Khi đã biến đổi phương trình tích phân Volterra loại một thành phương trình tích phân Volterra