Luận văn một số phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI • ••• NGUYỄN THỊ VÂN MỘT số PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 • LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC •• Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hùng HÀ NỘI, 2014 Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo TS. Nguyễn Văn Hùng. Sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình, nghiêm túc thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọngLỜI sâu sắc nhấtƠN thầy. CẢM Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng sau đại học, thầy cô giáo nhà trường, thầy cô giáo dạy chuyên ngành Toán giải tích giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập. Tác giả xin chân thành cám ơn gia đình, người thân, bạn bè, giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ, hoàn thành luận văn này. Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Vân Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn TS. Nguyễn Văn Hùng. Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn. Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc. Hà Nội, ngày 16 tháng năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Vân Mục lục BẢNG KÝ HIỆU Luận văn sử dụng kí hiệu với nghĩa xác định bảng đây: c c [A; B] Tập số phức Tập tất hàm số thực liên tục [a,b] N Tập số tự nhiên N* Tập số tự nhiên khác không Q Tập số hữu tỷ R Tập số thực RK Không gian thực k chiều z Tập số nguyên Tập hợp rỗng ll-ll Chuẩn □ Kết thúc chứng minh. MỞ ĐẦU 1. Lý chọn đề tài Phương trình vi phân phi tuyến lĩnh vực quan trọng ngành toán học phương diện lý thuyết mô hình ứng dụng. Có nhiều phương pháp giải phương trình phi tuyến. Một phương pháp sử dụng nhiều phương pháp lặp. Nên chọn đề tài “Một số phương pháp lặp để giải phương trình phi tuyến” với mong muốn tìm hiểu sâu phương pháp này. 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu số phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến ứng dụng giải số phương trình cụ thể máy tính. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu cách giải số phương trình phi tuyến nhờ áp dụng phương pháp lặp. Phân tích hội tụ phương pháp. Nêu ứng dụng phương pháp 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Hệ thống số phương pháp lặp: phương pháp Newton, phương pháp Euler, phương pháp Runge-Kutta, phương pháp Kantorovich. ứng dụng giải số số phương trình máy tính. 5. Những đóng góp đề tài Đề tài nghiên cứu cách có hệ thống số phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến. Nêu lên ứng dụng phương pháp vào giải số phương trình vi phân phi tuyến. 6. Phương pháp nghiên cứu Vận dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, giải tích hàm, giải tích số lập trình máy tính. Sưu tầm, nghiên cứu tài liệu liên quan. Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian metric Định nghĩa 1.1. [2] Cho tập 1/0. Một ánh xạ d từ X X X vào M gọi metric X điều kiện sau thỏa mãn: ( ỉ ) d ( x , y ) > 0, d ( x , y ) = X = y . (iỉ) d(x,y ) = d(y,x),Vx,y e X (tính chất đối xứng). (ỉỉi) d(x, y ) < d(x, z ) + d(z, y),\/x, y,z £ X (bất đẳng thức tam giác). Nếu d metric X (X , d ) không gian metrỉc. Nếu D metric X thỏa mãn tính chất sau Id(x, y ) — d(u, v)| < d(x, ù) + d(y, v). Định nghĩa 1.2. [2] Dãy điểm {x n } không gian metric (X : d) gọi hội tụ tới điểm X G X lim d(x n : x ) = 0. 71—>00 Kí hiệu lim x n = X x n —»• X n —>• oo. n—>00 Định nghĩa 1.3. [2] Cho T ánh xạ từ tập X vào nó. Ánh xạ T gọi có điểm bất động tồn x G X, cho T(x 0) = £()• Định nghĩa 1.4. [2] Một dãy điểm {x n } không gian metric (x,d) gọi dẫy (hay dẫy Cauchy) Ve > 0,3n{e) G N* : d(x m ,x n) < e,Vm,n > n(s) Định nghĩa 1.5. [1] Không gian metric (X , d ) gọi đầy đủ dãy X hội tụ đến phần tứ X. Định lý 1.6. [1] Mọi tập đóng không gian metric đầy đủ không gian metric đầy đủ. Định nghĩa 1.7. [1] Ánh xạ T từ không gian metric (X,d) vàochính gọi ánh xạ co tồn số a e [0,1) cho: d(Tx,Ty ) < ad(x, y) vôi x,y € X. Định lý 1.8. [1] (Nguyên lý ánh xạ co Banach) Cho (X, d ) không gian metric đầy đủ T ánh xạ cotrên X. Khiđó tồn u e X cho T(u ) = u. Ngoài X G X, ta có T n (x ) —> u n —> oo. C HỨN G MINH. Lấy X £ X tùy ý. Do T ánh xạ co nên d(T(x),T (x)) = d[T(x),T(T(i:))] < ad(x,T(i:)). =* d{T n {x),T n + {x )) < a n d(x, T(x)). Khi với Vn,p > ta có: D {T N { X ),T N + P { X )) < d{T n {x),T n + {x)) + d{T n + {x),T n + {x)) + . + d{T n + p - {x),T n + p {x)). < (a n + a n + + .+ a ĩ l + p ~ )d(x ì T(x)) < (a" + a n + + .+ a n + p ~ l + a n + p + .)d(x, T(x :)) an _ = D ( X ,T( X )) (do < A < 1). 1— a Do < A < nên lim A N = 0, suy {T"(;c)} dãy Cauchy. Không gian (X, D) n—>00 đầy đủ, nên tồn U G X cho lim T N ( X ) = U . rỉ—>00 d{T{u),u ) < d{T{u),T n {x)) + d{T n {x),u) < ad(T n ~ (x), u) + d(T n (x), u) —> 0. với Vì T( U ) = U hay U điểm bất động ánh xạ T. Vậy với X € X dãy {T N ( X )} tồn giới hạn T N ( X ) —> DUY N H Ấ T : D ( X , Y 0) Vậy Giả sử T có hai điểm bất động = D (T( X ),T( Y )) < A D { X , Y 0) X , Y -,T( X 0) = U N —> oo. T Í N H X ,T( Y ữ) = Y0. Lúc < D { X , Y ), vô lý. x0 = y0. □ 1.2. Phương trình vi phân thường 1.2.1. Khái niệm Phương trình vi phân phương trình có dạng F{x,y,y r ,y / r , .,y { n ) ) = (1.1) Y = Y ( X ) ẩn hàm cần tìm, thiết phải có tham gia đạo hàm (đến cấp đó) ẩn. Trong trường hợp ẩn hàm cần tìm hàm nhiều biến (xuất đạo hàm riêng) phương trình vi phân gọi phương trình đạo hàm riêng. Để phân biệt người ta thường gọi phương trình với ẩn hàm hàm biến phương trình vi phân thường. Thông thường, ta xét phương trình với biến thực Y = Y ( X ), xác định khoảng mở I c ẩn hàm hàmsố M. Khiđó, hàm F đẳng thức xác định tập mở G M X M n+1. Trong trường hợp ẩn hàm cần tìm hàm vector Y ( X ) = (YI { X ), . , Y M ( X )) T , F ánh xạ nhận giá trị Mm (1.1) hệ phương trình vi phân. Ta nói phương trình vi phân có cấp N N cấp lớn đạo hàm ẩn xuất phương trình. Phương trình vi phân thường cấp có dạng tổng quát F(x,y,y') = 0, (1.2) F( X , Y , Y ’) giả thiết liên tục với đạo hàm riêng miền Gcl3. Với số giả thiết thích hợp, phương trình vi phân cấp viết dạng sau (gọi D Ạ N G GI Ả I R A ĐƯỢC ĐỐI V ỚI ĐẠ O HÀ M ) y’ = f{x,y), (1.3) với / liên tục miền D c M2. Ví dụ 1.1: Các phương trình e y + y / cosx = 0, y’" — xy = lnx, d u d u dx dy ’ phương trình vi phân thường cấp 1, cấp phương trình đạo hàm riêng cấp 2. Xét phương trình (1.1). Hàm giá trị vector Ộ : I —> Mn (với I = (a, B ) khoảng M) nghiệm (1.1) có đạo hàm liên tục đến cấp n I thỏa mãn F(x, ộ(x), ệ'(x), ộ"(x), . (ỊÁ n \x)) = với Mx G I. (1-4) Trong trường hợp phương trình vi phân cấp 1, nghiệm hàm thực biến Y = Ệ ( X ) mà thay vào (1.2) (1.3) ta đẳng thức đúng. 1.2.2. Định lý tồn nghiệm Bài toán Cauchy Ta nhận thấy nghiệm phương trình vi phân phụ thuộc vào hay nhiều số tùy ý đó. Để xác định nghiệm cụ thể, ta cần thêm hay vài kiện nghiệm (tùy thuộc vào cấp phương trình vi phân). Chẳng hạn: Y = — + c nghiệm (tổng quát) phương o X trình Y ' = X . Dễ thấy Y = — + nghiệm phương trình o với điều kiện Y ( 0) = 1. Ta xét toán sau đặt với phương trình (1.2), gọi toán Cauchy (hay toán giá trị ban đầu). Bài toán: Tìm nghiệm Y ( X ) thỏa mãn ✓ = /(*,»), (15) y(x o) = Vo, (X , Y 0) e D gọi điều kiện ban đầu. Câu hỏi đặt toán có hay không có lời giải. Ta lưu ý lúc toán Cauchy có nghiệm có nghiệm không thiết có nghiệm. Chẳng hạn, toán x3 Y ' = X , Y ( 0) = có nghiệm Y = —; toán X Y ' = Y , Y ( 0) = nghiệm nào; toán Y ' = Y 3, Y { 0) = có hai nghiệm Y = 0; Y = — X . y ,y 27 Sự tồn nghiệm Định nghĩa 1.9. [7] Cho hàm f xác định miền D c M2. Ta nói f thỏa mãn điều kiện Lipchitz theo biến y D tồn số dương 905 NAG; Maple, chương trình NAG mở rộng phép độ xác ngẫu nhiên lớn. Các ví dụ tính toán hình thức trình bày phần sau. 906 Maple có ngôn ngữ lập trình cấp cao đầy đủ. Cũng có giao diện cho ngôn ngữ khác (C, Fortran, Java, MatLab, Visual Basic). Cũng có giao diện dành cho Excel. 3.2. Giải số phương trình phần mềm Maple Ví dụ 3.1: 907 Sử dụng phương pháp Euler, phương pháp Euler cải tiến, Runge-Kutta với độ dài bước H = 0.05 để tìm xấp xỉ nghiệm phương trình: mãn điều kiện ban đầu Y ( 0) = đoạn [0,1]. 908 Sử dụng phương pháp Euler > restart; x(0):= 0; y(0):= 0; h:=0.0 5; 909 / := { X , Y )~ > X + Y2\ ye:=proc(n) x(n):=x(0)+(n)*h; y(n):=y(n-l)+h*f(x(n-l),y(n-l)); end; 910 x(0) := 91 Y' = X2 + Y2 thỏa 911 v(0) : = h := . 05 912 / := (ж, у)- > - > argsị l]2 + argsị 2]2 > seq(ye(i),i=1 10); 913 0, . 000125,.0006250007815,.001750020314,.003750173443, . 006875876633,.01137824052,.01750971374,.02552504325, 914 .03568261964,.04824628211,.06348766730,.08168920150, 915 . 1031478578,.1281798318,.1571263353,.1903607696,.2282976307, . 2714036211,.3202116174 > with(DEtools): > sol := dsolve(diff(z(x),x ) = X + (z(x)) ,z( 0) = 0,z(x))', 916 — Æ * ( — B E S S E Ỉ Y ( — / , / * X ) + B ES S E L J(— / , / * X ) ) (— > assign (sol); B E S S E L Y (1/4,1/2 * Ж2) 4- B E S S E L J(l/4,1/2 * ж2)) 917 >array([seq([n,ye(n),evalf(subs(x=n/20,z(x)))],n=1 20)]); 918 1921 924 927 930 933 936 939 919 922 .000125 925 . 0006250007815 928 . 001750020314 931 . 003750173443 934 . 006875876633 937 . 01137824052 940 . 01750971374 92 920 . 000042666622 923 . 000333334906 926 . 001125027190 929 . 002666869814 932 . 005209302335 935 . 009003473190 938 . 01430188852 941 . 02135938017 942 945 10 948 11 951 12 954 13 957 14 960 15 963 16 966 17 969 18 972 19 975 20 978 979 943 . 02552504325 946 . 03568261964 949 . 04824628211 952 . 06348766730 955 . 08168920150 958 . 1031478578 961 . 1281798318 964 . 1571263353 967 . 1903607696 970 . 2282976307 973 . 2714036211 976 . 3202116174 944 . 03043446027 947 . 04179114620 950 . 05570133726 953 . 07244786118 956 . 09232831036 959 . 1156598536 962 . 1427852339 965 . 1740802646 968 . 2099632190 971 . 2509066824 974 . 2974526313 977 . 3502318440 Trong bảng này, cột thứ số bước lặp, số cột thứ hai tương ứng giá trị xấp xỉ, số cột thứ ba giá trị theo công thức đúng. Ta thấy kết tính toán theo công thức Euler có sai số lớn so với nghiệm xác. Ta tiếp tục giải phương trình phương pháp Euler cải tiến sau đây. 980 Phương pháp Euler cải tiến > x(0):=0; 981 y(0):=0; 982 h:=0.05; 983 / := {x,y)~ > X + y ; 984 yec:=proc(n) 985 x(n):=x(0)+(n)*h; 986 y(n):=y(n-l)+l/2*h*f(x(n-l),y(n-l)) 987 + l/2*h*f(x(n),h*f(x(n-l), y(n-l)) +y(n-l)); end: > seq(yec(i),i=1 20); 93 988 .00006250000000,.0003750009767,.001187523634,.002750192593, . 005313445880,.009128432478,.01444766189,.02152597186, . 03062188485,.04199943065,.05593052469,.07269800878,.09259948712, . 1159521278,.1430986524,.1744148132,.2103187592,.2512828471, . 2978486639, .3506463411 > with(Detools): > sol := dsolve(diff(t(x),x ) = 989 X2 + (t(x)) ,t( 0) = 0,£(ж)); — X * { — B E S S E L Y ( — / , / * X ) + B E S S E L J ( — / , / * X ) ) (— B E S S E L Y (1/4,1/2 * Æ2) 4- B E S S E L J( 1/4,1/2 * X )) > assign (sol); > array([seq([n,yec(n),evalf(subs(x=n/20,t(x)))],n=1 20)]); .00006250000000 .00004266662214 .0003750009767 .0003333349060 990 991 . 992 . 3993 001187523634 00112502719 994 . 995 . 002750192593 00266686981 996 997 . 998 . 005313445880 00520930233 999 1000 . 1001 . 009128432478 00900347319 1002 1003 . 1004 . 01444766189 01430188852 1005 1006 . 1007 . 02152597186 02135938017 1008 1009 . 1010 . 03062188485 03043446027 1011 1012 . 1013 . 10 04199943065 04179114620 1014 1015 . 1016 . 11 05593052469 05570133726 1017 1018 . 1019 . 12 07269800878 07244786118 1020 1021 . 1022 . 13 09259948712 09232831036 1023 1024 . 1025 . 14 1159521278 1156598536 1026 1027 . 1028 . 15 1430986524 1427852339 1029 1030 . 1031 . 16 1744148132 1740802646 1032 1033 . 1034 . 17 2103187592 2099632190 94 1035 18 1038 19 1041 20 1044 1036 . 2512828471 1039 . 2978486639 1042 . 3506463411 1037 . 2509066824 1040 . 2974526313 1043 . 3502318440 1045 phương pháp Euler cải tiến cho kết tốt phương pháp Euler nhiều. 1046 Phương pháp Runge-Kutta > restart; > x(0) :=0 ; y(0) :=0 ; h:= 0.1; 1047 / := (я, У )- > X + у2; local kl,k2,k3,k4; x(n):=x(0)+n*h; kl:=f(x(n-l),y(n-l)); 1048 H К2 := F ( X ( N — 1) + H /2, Y ( N — 1) + * K L /2 ); K := F ( X ( N — 1) + H /2, Y { N — ) + H * K 2/2); k4:=f(x(n),y(n-l)+h*k3); y(n):=y(n-l) +h/6*(kl+2*k2+2*k3+k4); end: > seq(yr(i),i=1 20); 1049 . 00004166667889,.0003333349638,.001125027317,.002666870383, . 95 005209303464,.009003475096,.01430189176,.02135938501, . 03043446755,.04179115619,.05570135122,.07244787942, 1050 . 09232833426,.1156598842,.1427852733,.1740803147,.2099632827, . 2509067624,.2974527326,.3502319726 > with(DEtools): > sol := dsolve(diff(t(x),x ) = X + (t(x)) ,t( 0) = 0,t(x))-, 1051 -x*(-BesselY(- 3/4,1/2 *x*) + Besselj(- 3/4,1/2 * X )) (— BesselY (1/4,1/2*ж ) + 5esse/J(l/4,1/2 * X )) > assign (sol); > array([seq([n,yr(n),evalf(subs(x=n/20,t(x)))],n=l 20)]); 1052 1053 . 1054 . 11055 0000416666798 000041666622 1056 . 1057 . 0003333349638 000333334906 1058 1059 . 1060 00 001125027317 1125027190 1061 1062 . 1063 . 002666870383 002666869814 1064 1065 . 1066 . 005209303464 005209302335 1067 1068 . 1069 . 009003475096 009003473190 1070 1071 . 1072 . 01430189176 01430188852 1073 1074 . 1075 . 02135938501 02135938017 1076 1077 . 1078 . 03043446755 03043446027 1079 1080 . 1081 . 10 04179115619 04179114620 1082 1083 . 1084 . 11 05570135122 05570133726 1085 1086 . 1087 . 12 07244787942 07244786118 1088 1089 . 1090 . 13 09232833426 09232831036 1091 1092 . 1093 . 14 1156598842 1156598536 1094 1095 . 1096 . 15 1427852733 1427852339 1097 1098 . 1099 . 16 1740803147 1740802646 1100 1101 . 1102 . 17 2099632827 2099632190 96 1103 18 1106 19 1109 20 1112 1104 . 2509067624 1107 . 2974527326 1110 . 3502319726 1105 . 2509066824 1108 . 2974526313 1111 . 3502318440 1113 Phương pháp Runge-Kutta cho kết gần với kết theo công thức phương trình. 1114 Ví dụ 3.2: Giải phương trình phương pháp Kantorovich, Kantorovich cải biên 1115 T , :c(0) = 0, = X B — 0, ĨX COS T — < T < 1. X' 1116 Đặt f ( x , t ) = X — 0, l x COS t 1117 =>• f ' x ( x , t ) = x — 0, x COS í, ĩx ì) = 20a; — 0.2 cos t. 1118 Chọn X Ữ ( T ) = 1119 v' = IKit) - fMt)M = 11*11. 1120 = max |t| + A max 111 = + A. 1121 0tocdohoitu(2); 1170 .09784608973 1171 Ví dụ 3.3: Giải phương trình vi phân sau phương pháp Kantorovich, Kantorovich cải biên 1172 y" = y' - 0.3 y' + te\ y'{ 0) = 0, te [0; 0.25]. 1173 Đặt X = y ' =>- x ' = y " , ta có phương trình tương đương 1174 X’ = X — 0.3x2 + TE . 1175 Đặt f(x, ị ) = 3x — 0.3x + te í 1176 1177 1178 =>- X '( X , T ) = X — 0.6;c, T) = 18X — 0.6. v’ = IKW - /Mí), i] II = ịịte^ị 1179 = max ITE I \ + X max \ E L + TE T \ = 0, 25>ỵẽ + + 0,25)1 1180 0[...]... tổng quát của phương trình đã cho là Y 3 X1 = — + C E 3 X Để tìm nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện như trên ta 4 5 Chương 2 6 y* 7 Ap dụng phương pháp lặp giải một số phương trình phi tuyến 8 Giải tích hàm phi tuyến nghiên cứu các toán tử không có tính tuyến tính Trong đề tài này, ta xét các phương trình toán tử phi tuyến và phương pháp giải số Chúng ta bắt đầu xem xét các phương trình toán tử có... Ta đưa phương trình về bài toán tìm điểm bất động (2.1) bằng cách đặt T( V ) = V — C0F(V) với hằng số c0 Ỷ 0, hay rộng hơn T( V ) = V — F( F ( V )) với F thỏa mãn: 19 F( W ) = 0 W = 0 20 Vậy phương trình (2.1) có thể đưa về phương trình (2.5) Và từ phép lặp (2.3) ta có được một phương pháp xấp xỉ để giải phương trình (2.5) ở mục 2.2, tôi sẽ trình bày việc giải phương trình bằng các phương pháp lặp trong... tính xấp xỉ bằng phương pháp lặp (2.25) 161 Xét một phương trình tích phân phi tuyến khác: 162 k(x,y)h(y,u(y))dy + f(x) 163 J a 164 với K ( X , Y ), H ( Y , U ), và F(X) u(x) a . số phương pháp lặp để giải phương trình phi tuyến với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về phương pháp này. 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu một số phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến. các phương pháp 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Hệ thống một số phương pháp lặp: phương pháp Newton, phương pháp Euler, phương pháp Runge-Kutta, phương pháp Kantorovich. ứng dụng giải số một số. dụng giải một số phương trình cụ thể trên máy tính. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu cách giải một số phương trình phi tuyến nhờ áp dụng phương pháp lặp. Phân tích sự hội tụ của các phương pháp.