Giải một số phương trình tích phân kỳ dị và áp dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGÔ ĐỨC HÀ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, NĂM 2014 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình nghiêm khắc TS Lê Huy Chuẩn Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Qua đây, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới quý thầy cô Khoa Toán - Cơ Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2011 - 2013, có công lao dạy dỗ suốt trình học tập Nhà trường Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn đồng nghiệp thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên để hoàn thành tốt nhiệm vụ Hà nội, tháng năm 2014 Tác giả luận văn Ngô Đức Hà i Mục lục Lời cảm ơn i Mở đầu iii Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm phương trình tích phân 1.2 Phương trình tích phân kỳ dị 1.3 Tích phân theo nghĩa giá trị Cauchy 1.4 Một số kết lý thuyết hàm biến phức 1.5 Phương trình tích phân kỳ dị chu tuyến 10 Phương pháp Riemann - Hilbert giải phương trình tích phân đường cong mở 12 2.1 Bài toán Riemann - Hilbert 13 2.2 Phương trình tích phân Abel 16 2.3 Giải phương trình tích phân kỳ dị với hạt nhân Logarit 21 2.4 Phương trình tích phân kỳ dị với nhân Logarit đoạn rời 30 Một số phương pháp đặc biệt tìm nghiệm phương trình tích phân kỳ dị 35 3.1 Phương trình tích phân kỳ dị với nhân Logarit 35 3.2 Phương trình tích phân với hạt nhân Cauchy 46 3.3 Sử dụng công thức Poincaré - Bertrand 48 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 ii Mở đầu Phương trình tích phân xuất cách tự nhiên nghiên cứu toán giá trị biên toán học vật lý Trong trình nghiên cứu phương trình tích phân việc đưa giá trị kỳ dị nhân vào phương trình tích phân đặt vấn đề khó đầy hấp dẫn việc tìm nghiệm phương trình tích phân Các kỹ thuật giải phương trình tích phân kỳ dị xây dựng phát triển mạnh mẽ kỷ XXI Các kỹ thuật gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học tiếng như: Noether, Muskhelishvili, Gakhov, Vekua, B N Mandal, A Chakrabarti, Luận văn “Giải số phương trình tích phân kỳ dị áp dụng” chia làm ba chương Chương trình bày kiến thức chuẩn bị sở lý thuyết cho hai chương sau, bao gồm khái niệm phương trình tích phân, phương trình tích phân kỳ dị, tích phân theo nghĩa giá trị Cauchy Sau số kết lý thuyết hàm biến phức: công thức tích phân Cauchy, công thức Poincaré - Bertrand Chương trình bày phương pháp Riemann - Hilbert áp dụng phương pháp vào giải số phương trình tích phân kỳ dị phương trình tích phân Riemann - Hilbert , Abel, phương trình tích phân kỳ dị với nhân Logarit Chương trình bày số phương pháp đặc biệt tìm nghiệm phương trình tích phân kỳ dị với hạt nhân kỳ dị dạng Cauchy dạng Logarit Những phương pháp tránh kỹ thuật phức tạp sử dụng phương pháp biến số phức mô tả Chương Các kết chương chương trình bày dựa tài liệu tham khảo [5] iii Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm phương trình tích phân Định nghĩa 1.1.1 Phương trình tích phân phương trình mà hàm số chưa biết có xuất dấu tích phân Ví dụ 1.1.1 Xét phương trình tích phân: a) Phương trình tích phân Fredholm ∫ b Loại 1: K(x, t)φ(t)dt = f (x) a x b a ∫ b Loại 2: φ(x) + λ K(x, t)φ(t)dt = f (x) a x b a λ số, K(x, t) f (x) hàm biết, φ(x) hàm chưa biết Hàm K(x, t) gọi nhân phương trình tích phân b) Phương ∫trình tích phân Volterral x Loại 1: K(x, t)φ(t)dt = f (x) a ∫ x K(x, t)φ(t)dt = f (x) Loại 2: φ(x) + λ a K(x, t), f (x) hàm biết, φ(x) hàm chưa biết Hàm K(x, t) gọi nhân phương trình tích phân 1.2 Phương trình tích phân kỳ dị Định nghĩa 1.2.1 Phương trình tích phân kỳ dị phương trình tích phân có nhân K(x, t) hàm không bị chặn miền lấy tích phân Chương Kiến thức chuẩn bị Dựa tính chất không bị chặn nhân, phân loại phương trình tích phân kỳ dị thành hai loại : Phương trình tích phân kỳ dị mạnh phương trình tích phân kỳ dị yếu Phương trình tích phân kỳ dị yếu phương trình tích phân với nhân K(x, t) thỏa mãn điều kiện tích phân ∫ b K(x, t)dt tồn theo nghĩa Riemann, với x ∈ (a, b) a Phương trình tích phân kỳ dị mạnh phương trình tích phân kỳ dị mà nhân K(x, t) có tính chất tồn x ∈ (a, b) cho ∫ b K(x, t)dt không tồn theo nghĩa Riemann a Ví dụ 1.2.1 a) Nhân K(x, t) = L(x, t) |x − t|α với L(x, t) hàm liên tục hình chữ nhật [a, b] × [a, b], L(x, x) ̸= α số (0 < α < 1) Khi tích phân ∫ b K(x, t)dt với a < x < b a tồn theo nghĩa Riemann Do tương ứng có phương trình tích phân kỳ dị yếu b) Nhân K(x, t) = L(x, t) ln |x − t| với L(x, t) hàm liên tục hình chữ nhật [a, b] × [a, b], L(x, x) ̸= Khi đó, phương trình tích phân ∫ b L(x, t) ln |x − t|φ(t)dt = f (x) φ(x) + λ a phương trình tích phân kỳ dị yếu c) Nhân K(x, t) = L(x, t) x−t a (3.3.12) Khi phương trình (3.3.11) trở thành a (1 − x ) 2 ∫1 −1 φ(t) dt + t−x ∫1 −1 (1 − t2 ) φ(t) dt = g(x), t−x p+1 −1 < x < 1, (3.3.13) 50 Chương Một số phương pháp đặc biệt tìm nghiệm phương trình tích phân kỳ dị 1−p (3.3.14) 1+p ( − x ) 21 −β Nhân hai vế phương trình (3.3.13) với , với −1 < ζ < 1+x x−ζ Sau lấy tích phân hai vế theo biến x với −1 x đổi thứ tự lấy tích a2 = phân tích phân lặp áp dụng PBF (3.3.1) L = (−1, 1), ta ( + ζ )β − (1 − ζ) (1 + a2 )π φ(ζ) 1−ζ ∫1 ∫1 ( + x )β ( φ(t) [ ) ] (1 − x) + +a dx dt t−ζ 1−x t−x x−ζ −1 ∫1 + −1 −1 (1 − t2 ) φ(t) [( − x ) 12 −β ( 1 )] + dt t−ζ 1+x t−x x−ζ = g1 (ζ), −1 < ζ < 1, (3.3.15) với β ẩn ( < Reβ < 1) g1 (ζ) = p+1 ∫1 −1 ( − x ) 21 −β g(x) dx 1+x x−ζ (3.3.16) Trong công thức (3.3.15) chuyển β thành − β thu ( − ξ )1−β (1 + a2 )π φ(ξ) 1+ξ ∫ { ∫1 ( + x )1−β ( φ(t) ) } +a (1 − x) dx dt + t−ξ 1−x t−x x−ξ − (1 − ξ) −1 ∫1 + −1 −1 (1 − t2 ) φ(t) { t−ξ ∫1 −1 ( − x )β− 21 ( 1 ) } + dx dt 1+x t−x x−ξ = g2 (ξ), −1 < ξ < 1, với g2 (ξ) = p+1 (3.3.17) ∫1 −1 ( − x )β− 12 g(x) dx 1+x x−ξ 51 (3.3.18) Chương Một số phương pháp đặc biệt tìm nghiệm phương trình tích phân kỳ dị Bây tính tích phân hệ thức (3.3.15) (3.3.17) cách sử dụng kết (3.3.6), thu ( + ξ )β πa2 − (1 − ξ) (1 + a2 )π φ(ξ) + 1−ξ sin πβ ∫1 − πa cot πβ −1 ∫ + π tan πβ −1 ∫1 φ(t)dt −1 ( + ξ )β ( + t )β } φ(t) { (1 − ξ) − (1 − t) dt t−ξ 1−ξ 1−t (1 − t2 ) φ(t) {( + ξ )β− 12 ( + t )β− 21 } − dt t−ξ 1−ξ 1−t = g1 (ξ), −1 < ξ < 1, (3.3.19) ( + ξ )1−β πa2 2 (1 + a )π φ(ξ) + − (1 − ξ) 1−ξ sin πβ ∫1 + πa cot πβ −1 ∫ φ(t)dt −1 ( + t )1−β } ( + ξ )1−β φ(t) { − (1 − t) (1 − ξ) dt t−ξ 1−ξ 1−t 1 (1 − t2 ) φ(t) {( + ξ ) 21 −β ( + t ) −β } − dt t−ξ 1−ξ 1−t − π tan πβ −1 = g2 (ξ), ∫1 −1 < ξ < Nhân hai vế (3.3.19) với (3.3.20) ( − ξ )β ( − ξ )1−β hai vế (3.3.20) với 1+ξ 1+ξ cộng lại, ta − 2π (1 + a2 )(1 − ξ)φ(ξ) ( − ξ )β ( − ξ )1−β πa2 c {( − ξ )β ( − ξ )1−β } = g1 (ξ) + g2 (ξ) − + 1+ξ 1+ξ sin πβ + ξ 1+ξ ∫ {( − ξ + t ) ( − ξ + t )1−β } φ(t) β + πa cot πβ (1 − t) − dt t−ξ 1+ξ 1−t 1+ξ 1−t −1 ∫1 − π tan πβ −1 {( − ξ ) ( + t ) φ(t) β β− 2 21 (1 − t ) t−ξ 1+ξ 1−t 52 Chương Một số phương pháp đặc biệt tìm nghiệm phương trình tích phân kỳ dị ( − ξ )1−β ( + t )β− 21 } − dt, −1 < ξ < 1, 1+ξ 1−t (3.3.21) ∫1 c= φ(t)dt (3.3.22) −1 Ta có biểu diễn (1 − t2 ) = (1 − t) ( + t ) 12 1−t Từ (3.3.21) ta nhận thấy nghiệm φ phương trình tích phân (3.3.13) xác định từ (3.3.21) chọn β cho a2 cot πβ = tan πβ ⇔ tan πβ = |a| Trong trường hợp nghiệm (3.3.13) [( − t ) ( − t )1−β β g (t) + g2 (t) φ(t) = − 2π (1 + a2 )(1 − t) + t 1+t πa2 c {( − t )β ( − t )1−β }] − + , −1 < t < sin πβ + t 1+t (3.3.23) Nhận xét Từ phương trình (3.3.13) suy φ hàm lẻ có c = Do nghiệm φ(t) có dạng ] [( − t ) β ( − t )1−β g1 (t) + g2 (t) , −1 < t < 1, φ(t) = − 2π (1 + a2 )(1 − t) + t 1+t (3.3.24) g1 , g2 hàm xác định từ (3.3.16) (3.3.18) 53 Kết luận Luận văn trình bày phương pháp giải số phương trình tích phân kỳ dị gồm có: • Phương pháp Riemann - Hilbert giải phương trình tích phân dạng Rieman - Hilbert, phương trình tích phân Abel phương trình tích phân kỳ dị với nhân Logarit • Một số phương pháp đặc biệt giải phương trình tích phân kỳ dị với nhân Cauchy nhân Logarit Các hướng phát triển từ luận văn • Nghiên cứu cách giải phương trình tích phân kỳ dị cấp cao • Nghiên cứu thêm phương pháp đặc biệt để giải phương trình tích phân kỳ dị • Nghiên cứu phương trình vi - tích phân kỳ dị Mặc dù cố gắng khả thời gian có hạn, luận văn tránh khỏi thiếu sót phương diện kiến thức lẫn kỹ soạn thảo LATEX Tác giả luận văn mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn bè đồng nghiệp để luận văn ngày hoàn chỉnh Tác giả xin chân thành cảm ơn! 54 Tài liệu tham khảo [A] Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long (2001), Giáo trình hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2009), Hàm biến phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Văn Mậu (2006), Lý thuyết toán tử phương trình tích phân kỳ dị, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Thủy Thanh (2005), Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tiếng Anh [5] B N Mandal, A Chakrabarti (2011), Applied singular integral equations, Science Publishers [6] A Chakrabarti (2008), Solution of a generalized Abel integral equation, J Integr Eqns & Applic [7] A Chakrabarti (2008), Applied integral equations, Vijay Nicole Imprints Pvt Ltd Chennai [8] F D Gakhov (1966), Boundary value problems, Pergamon Press, Oxford [9] F G Tricomi (1955), Integral equation, Interscience Publisher 55 [...]... trong đó các phương trình tích phân (2.3.1) và (2.3.2) là kỳ dị yếu Chakrabarti (2006) đã đưa ra phương pháp tìm nghiệm của phương trình tích phân kỳ dị yếu (2.3.1) và (2.3.2) mà nghiệm thu được không phải tích phân kỳ dị mạnh a) Phương pháp tìm nghiệm phương trình tích phân (2.3.1) Bước 1 Xây dựng bài toán RHP tương ứng phương trình (2.3.1): Giả sử φ(t) là nghiệm của phương trình (2.3.1) Đặt ∫β Φ(z)... Chương 2 Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở và e−iπµ d λ(x) = 2πi dx ∫β x g(x) 1−µ Φ+ 0 (t)(t − x) dt Các công thức nghiệm (2.2.14) và (2.2.15) là tương đương 2.3 Giải phương trình tích phân kỳ dị với hạt nhân Logarit Nhiều vấn đề trong toán học vật lý mà để giải quyết nó đã đưa đến việc xuất hiện phương trình tích phân kỳ dị với hạt nhân Logarit Chúng ta nghiên cứu giải hai phương. .. ̸= −πi Phương trình (2.3) có dạng Φ+ (t) = G(t)Φ− (t) + g(t), t ∈ Γ, trong đó G(t), g(t) là các hàm H¨older liên tục trên Γ 12 (2.4) Chương 2 Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở Bài toán giải phương trình tích phân kỳ dị (2.1) được đưa về tìm hàm Φ(z) giải tích trên C\Γ và thỏa mãn phương trình (2.4) 2.1 Bài toán Riemann - Hilbert Phương pháp Riemann - Hilbert là phương pháp tìm... < 1 Phương trình tích phân Abel Phương trình tích phân Abel là phương trình có dạng ∫x a(x) α φ(t) dt + b(x) (x − t)µ ∫β x φ(t) dt = f (x), x ∈ (α, β), (t − x)µ 16 (2.2.1) Chương 2 Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở trong đó 0 < µ < 1 Có khá nhiều nhà toán học đã tiến hành các phương pháp khác nhau để giải (2.2.1) Sau đây, chúng ta tiến hành giải phương trình (2.2.1) bằng phương. .. Plemelj, ta có thể giải được một số phương trình tích phân kỳ dị trên đường cong đơn, kín đơn giản Ví dụ 1.5.1 Giải phương trình tích phân kỳ dị ∫ t2 − 9t + 18 1 φ(τ ) t(t − 3)φ(t) + dτ = , πi τ −t t t ∈ Γ, (1.5.1) Γ trong đó Γ là đường cong kín đơn sao cho z = 3 thuộc miền ngoài Γ và z = 0 thuộc miền trong Γ (Hình 1.2) Γ D− D+ 3 Hình 1.2 Giải Đặt ∫ Φ(z) = Γ φ(τ ) dτ, τ −z z∈ / Γ (1.5.2) Sử dụng công thức... 3)2 11 Chương 2 Phương pháp Riemann - Hilbert giải phương trình tích phân trên đường cong mở Xét phương trình tích phân kỳ dị loại 2 với nhân Cauchy ∫ φ(τ ) c(t)φ(t) + dτ = f (t), z ∈ C\Γ τ −t (2.1) Γ với Γ là hợp hữu hạn các đường cong mở và c(t), f (t),φ(t) là các hàm H¨older liên tục trên Γ Đặt 1 Φ(z) = 2πi ∫ Γ φ(τ ) dτ, τ −z z ∈ Γ (2.2) Sử dụng công thức Plemelj (1.4.6), phương trình (2.1) trở... xét: 1 Điều kiện i) và ii) của (2.3.44) có thể tránh được nếu chọn A = 0 = B 2 Trong công thức nghiệm (2.3.42) nếu thêm vào điều kiện nghiệm bị chặn tại x = α và x = β, phải bổ sung thêm hai điều kiện: v) Ψ′ (α) = 0 và vi) Ψ′ (β) = 0 2.4 (2.3.45) Phương trình tích phân kỳ dị với nhân Logarit trên các đoạn rời nhau Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu các phương trình tích phân kỳ dị với nhân Logarit... Giải phương trình (2.1) trong trường hợp c(t) = ρ (ρ là hằng số thực) và Γ là khoảng mở (0, 1): ∫1 ρφ(t) + 0 φ(τ ) dτ = f (t), τ −t t ∈ (0, 1) (2.1.8) với f (t) bị chặn trong lân cận t = 0, kỳ dị yếu tại t = 1 và giả thiết rằng hàm φ(t) cũng bị chặn trong lân cận t = 0, kỳ dị yếu tại t = 1 14 Chương 2 Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở Giải Giả sử φ(t) là nghiệm của phương trình. .. đoạn rời nhau Bằng cách biến đổi đưa về bài toán RHP, lớp phương trình này đã được Banerjea và Rakshif giải quyết thành công vào năm 2007 Xét phương trình tích phân n ∫ ∑ βj φ(t) ln |t − x|dt = f (x), x ∈ L = j=1 α n ∪ (αj , βj ) (2.4.1) j=1 j Bước 1 Xây dựng bài toán RHP tương ứng với phương trình (2.4.1): Giả sử φ(t) là nghiệm của phương trình (2.4.1) Đặt n ∫ ∑ βj Φ(z) = j=1 α j φ(t) ln(t−z)dt−A... với hạt nhân Logarit Chúng ta nghiên cứu giải hai phương trình tích phân kỳ dị nhân Logarit thường gặp: ∫β φ(t) ln |t − x|dt = f (x), α < x < β, (2.3.1) t−x dt = f (x), t+x α < x < β, (2.3.2) α và ∫β φ(t) ln α ở đó φ(x) và f (x) là các hàm có đạo hàm trong khoảng (α, β) Có một số cách giải phương trình (2.3.1) và (2.3.2), như của Porker (1972) và Chakrabarti (1997) đã chỉ ra nghiệm φ(x) = [ ∫β 1 1 π ... chặn nhân, phân loại phương trình tích phân kỳ dị thành hai loại : Phương trình tích phân kỳ dị mạnh phương trình tích phân kỳ dị yếu Phương trình tích phân kỳ dị yếu phương trình tích phân với... Hilbert áp dụng phương pháp vào giải số phương trình tích phân kỳ dị phương trình tích phân Riemann - Hilbert , Abel, phương trình tích phân kỳ dị với nhân Logarit Chương trình bày số phương pháp đặc... gọi nhân phương trình tích phân 1.2 Phương trình tích phân kỳ dị Định nghĩa 1.2.1 Phương trình tích phân kỳ dị phương trình tích phân có nhân K(x, t) hàm không bị chặn miền lấy tích phân Chương