Giải một số phương trình tích phân kỳ dị và áp dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGÔ ĐỨC HÀ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, NĂM 2014 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình nghiêm khắc TS Lê Huy Chuẩn Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Qua đây, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới quý thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy tham gia giảng dạy khóa cao học 2011 - 2013, có cơng lao dạy dỗ tơi suốt q trình học tập Nhà trường Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn đồng nghiệp thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên để hồn thành tốt nhiệm vụ Hà nội, tháng năm 2014 Tác giả luận văn Ngô Đức Hà i Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm phương trình tích phâ 1.2 Phương trình tích phân kỳ dị 1.3 Tích phân theo nghĩa giá trị 1.4 Một số kết lý thuyết hà 1.5 Phương trình tích phân kỳ dị Phương pháp Riemann - Hilbert giải phương trình tích phân đường cong mở 2.1 Bài tốn Riemann - Hilbert 2.2 Phương trình tích phân Abel 2.3 Giải phương trình tích phân kỳ d 2.4 Phương trình tích phân kỳ dị với Một số phương pháp đặc biệt tìm nghiệm phương trình tích phân kỳ dị 3.1 Phương trình tích phân kỳ dị với 3.2 Phương trình tích phân với hạt nh 3.3 Sử dụng cơng thức Poincaré - Be Kết luận Tài liệu tham khảo ii Mở đầu Phương trình tích phân xuất cách tự nhiên nghiên cứu toán giá trị biên tốn học vật lý Trong q trình nghiên cứu phương trình tích phân việc đưa giá trị kỳ dị nhân vào phương trình tích phân đặt vấn đề khó đầy hấp dẫn việc tìm nghiệm phương trình tích phân Các kỹ thuật giải phương trình tích phân kỳ dị xây dựng phát triển mạnh mẽ kỷ XXI Các kỹ thuật gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học tiếng như: Noether, Muskhelishvili, Gakhov, Vekua, B N Mandal, A Chakrabarti, Luận văn “Giải số phương trình tích phân kỳ dị áp dụng” chia làm ba chương Chương trình bày kiến thức chuẩn bị sở lý thuyết cho hai chương sau, bao gồm khái niệm phương trình tích phân, phương trình tích phân kỳ dị, tích phân theo nghĩa giá trị Cauchy Sau số kết lý thuyết hàm biến phức: cơng thức tích phân Cauchy, cơng thức Poincaré - Bertrand Chương trình bày phương pháp Riemann - Hilbert áp dụng phương pháp vào giải số phương trình tích phân kỳ dị phương trình tích phân Riemann - Hilbert , Abel, phương trình tích phân kỳ dị với nhân Logarit Chương trình bày số phương pháp đặc biệt tìm nghiệm phương trình tích phân kỳ dị với hạt nhân kỳ dị dạng Cauchy dạng Logarit Những phương pháp tránh kỹ thuật phức tạp sử dụng phương pháp biến số phức mô tả Chương Các kết chương chương trình bày dựa tài liệu tham khảo [5] iii Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm phương trình tích phân Định nghĩa 1.1.1 Phương trình tích phân phương trình mà hàm số chưa biết có xuất dấu tích phân Ví dụ 1.1.1 Xét phương trình tích phân: a) Phương trình tích phân Fredholm ∫b Loại 1: K(x, t)φ(t)dt = f(x) a x b a ∫b Loại 2: φ(x) + λ K(x, t)φ(t)dt = f(x) a x b a λ số, K(x, t) f(x) hàm biết, φ(x) hàm chưa biết Hàm K(x, t) gọi nhân phương trình tích phân b) Phương ∫trìnhx tích phân Volterral Loại 1: K(x, t)φ(t)dt = f(x) a ∫x Loại 2: φ(x) + λ K(x, t)φ(t)dt = f(x) a K(x, t), f(x) hàm biết, φ(x) hàm chưa biết Hàm K(x, t) gọi nhân phương trình tích phân 1.2 Phương trình tích phân kỳ dị Định nghĩa 1.2.1 Phương trình tích phân kỳ dị phương trình tích phân có nhân K(x, t) hàm không bị chặn miền lấy tích phân Chương Kiến thức chuẩn bị Dựa tính chất khơng bị chặn nhân, phân loại phương trình tích phân kỳ dị thành hai loại : Phương trình tích phân kỳ dị mạnh phương trình tích phân kỳ dị yếu Phương trình tích phân kỳ dị yếu phương trình tích phân với nhân K(x, t) thỏa mãn điều kiện tích phân ∫ a b tồn theo nghĩa Riemann, với x ∈ (a, b) K(x, t)dt Phương trình tích phân kỳ dị mạnh phương trình tích phân kỳ dị mà nhân K(x, t) có tính chất tồn x ∈ (a, b) cho ∫ b K(x, t)dt khơng tồn theo nghĩa Riemann a Ví dụ 1.2.1 a) Nhân K(x, t) = L(x, t) α |x − t| với L(x, t) hàm liên tục hình chữ nhật [a, b] × [a, b], L(x, x) ≠ α số (0 < α < 1) Khi tích phân ∫ b K(x, t)dt với a < x < b a tồn theo nghĩa Riemann Do tương ứng có phương trình tích phân kỳ dị yếu b) Nhân K(x, t) = L(x, t) ln |x − t| với L(x, t) hàm liên tục hình chữ nhật [a, b] × [a, b], L(x, x) ≠ Khi đó, phương trình tích phân ∫ φ(x) + λ a b L(x, t) ln |x − t|φ(t)dt = f(x) phương trình tích phân kỳ dị yếu c) Nhân K(x, t) = Chương Kiến thức chuẩn bị với L(x, t) hàm khả vi L(x, x) ≠ Khi nhân K(x, t) nhận điểm t = x điểm kỳ dị mạnh Do phương trình tích phân tương ứng phương trình tích phân kỳ dị mạnh 1.3 Tích phân theo nghĩa giá trị Cauchy Định nghĩa 1.3.1 Cho định kỳ dị x0 ∈ Với ε > 0, kí hiệu ε kính ε, đặt Nếu giới hạn lim I(ε) tồn hữu hạn giới hạn gọi tích phân với ε→0 nghĩa giá trị Cauchy ký hiệu v.p ∫ Trong luận văn này, tích phân kỳ dị mạnh hiểu theo nghĩa giá trị Cauchy, tức ∫ Ví dụ 1.3.1 Xét tích phân ∫ I= a Rõ ràng tích phân (1.3.1) khơng tồn theo nghĩa Riemann Xét theo nghĩa giá trị Cauchy, ta có I = V.p ∫ a = b−c = ln c − a Chương Kiến thức chuẩn bị 1.4 Một số kết lý thuyết hàm biến phức Định nghĩa 1.4.1 Chu tuyến C đường cong đơn, đóng C Một chu tuyến C định hướng dương theo chiều ngược chiều kim đồng hồ + Định nghĩa 1.4.2 Cho chu tuyến C Khi kí hiệu D phần − mặt phẳng phức nằm bên chu tuyến , D phần mặt phẳng phức nằm bên chu tuyến Định nghĩa 1.4.3 Trong mặt phẳng phức C cho đường cong đo hàm φ(τ ) liên tục Khi tích phân F (z) = gọi tích phân dạng Cauchy, hàm τ − z gọi nhân Cauchy, hàm φ(τ ) gọi hàm mật độ Định nghĩa 1.4.4 Giả sử L tập liên thông f(z) hàm đơn trị L Hàm f gọi thỏa mãn điều kin Hăolder trờn L nu tn ti cỏc hng s dng M (gi l hng s Hăolder) v s dng α, < α (gọi số mũ Hăolder) cho vi mi cp im z1, z2 L ta có |f(z1) − f(z2)| M|z1 − z2| Định lý 1.4.1 Cho α chu tuyến mặt phẳng phức C hàm φ(τ ) thỏa mãn iu kin Hăolder trờn (z) = Khi ú (z) l hàm giải tích C\ Định lý 1.4.2 (B c bn) Cho iu kin Hăolder trờn (z) = Chương Kiến thức chuẩn bị Khi hàm (z) hàm liên tục , tức với t ∈ lim z→t tồn (t) Chú ý : Định lý 1.4.2 với điểm , trừ đầu mút đường cong mở mặt phẳng phức C Định lý 1.4.3 (Cơng thức tích phân Cauchy) Giả sử D miền bị chặn với biên Jordan đo ∂D Nếu hàm f(z) chỉnh hình D liên tục D với điểm z ∈ D ta có cơng thức 2πi ∫ ∂D f(z) f(ζ) dζ = ζ−z z ∈ D, (1.4.4) z ∈/ D, ∂D biên có định hướng dương D Nhận xét: Cơng thức tích phân Cauchy biểu thị tính chất đặc biệt giá trị hàm chỉnh hình miền D hoàn toàn xác định giá trị biên Định lý 1.4.4 Giả sử đường cong đóng Jordan trơn hàm φ(ζ) thỏa mãn iu kin Hăolder trờn Khi ú giỏ tr chớnh theo Cauchy tích phân dạng Cauchy tồn tại điểm z0 ∈ Định lý 1.4.5 (Công thức Plemelj - Sokhotski) Cho tha iu kin Hăolder trờn vi t ∈ , ký hiệu (3.2.11) (3.2.13) (3.2.12) 47 Chương Một số phương pháp đặc biệt tìm nghiệm phương trình tích phân kỳ dị Đổi biến trở lại ta nghiệm phương trình (3.2.1) φ(x) = c0 số tùy ý, đồng 3.3 Sử dụng công thức Poincaré - Bertrand Trong phần nghiên cứu ứng dụng công thức Poincaré Bertrand (P-B) việc giải phương trình tích phân kỳ dị lặp loại Cauchy Công thức Poincaré - Bertrand Cho L chu tuyến đường cong trơn, φ(t, t1) hàm t t1 L thỏa mãn điều kiện Hăolder vi t v t1 Cho t0 l mt im cố định L không trùng đầu mút L Khi đó, ta có − L [L t0 t ∫ ∫ (3.3.1) Công thức (3.3.1) gọi công thức Poincaré - Bertrand (PBF) Chúng ta nghiên cứu ứng dụng (3.3.1) vào giải phương trình tích phân kỳ dị loại Cauchy Bài toán 1: Giải phương trình tích phân kỳ dị ∫1 φ(t) (T φ)(x) ≡ dt = f(x), −1 < x < 1, −1 φ(x) f(x) hàm thỏa mãn điều kin Hăolder trờn (1, 1) Gii Phng trỡnh (3.3.2) tng đương với (3.3.2) (1 − x ) 48 Chương Một số phương pháp đặc biệt tìm nghiệm phương trình tích phân kỳ dị Nhân hai vế phương trình (3.3.3) với Sau lấy tích phân hai vế với x ∈ (−1, 1), ta 1 (1 x ) −1 ∫ với −1 < ζ < 1, − β ẩn cho < Reβ < Đổi thứ tự lấy tích phân vế trái (3.3.4) sử dụng công thức PBF (3.3.1) với L = (−1, 1), thu ( − (1 1+ζ ζ − ζ) 1 = −x ( −1 ∫ Sử dụng kết sau ( xem [8]): +x −1 Hệ thức (3.3.5) trở thành ( −(1−ζ) ( 1+ζ (1 − ζ) − 49 ζ Chương Một số phương pháp đặc biệt tìm nghiệm phương trình tích phân kỳ dị Do vậy, ta nhận thấy (3.3.8) thỏa mãn hàm φ(x) phương trình tích phân (3.3.2) cho với tất số β cho < Reβ < Hệ thức (3.3.8) cho nghiệm phương trình tích phân (3.3.2) cách chọn số β cách thích hợp Chọn β = 2, từ (3.3.8) suy φ(ζ) = coi số tùy ý Trong trường hợp φ(t) hàm lẻ A = ∫1 Bài tốn 2: Giải phương trình tích phân p > −1 số biết hàm khoảng (0, 1) Giải Thực phép biến đổi: η = (1 − t ) g(x) = h((1 − x ) Khi phương trình (3.3.11) trở thành 2 a (1 − x ) 50 Chương Một số phương pháp đặc biệt tìm nghiệm phương trình tích phân kỳ dị a = Nhân hai vế phương trình (3.3.13) với Sau lấy tích phân hai vế theo biến x với −1 x đổi thứ tự lấy tích phân tích phân lặp áp dụng PBF (3.3.1) L = (−1, 1), ta (1 + ζ )β − (1 − ζ) 2 + a )π φ(ζ) − ζ + a2 (1 ∫ + = g1(ζ), với β ẩn ( < Reβ < 1) Trong công thức (3.3.15) chuyển β thành − β thu (1 − ξ )1−β (1 − ξ) (1 − + a2)π2φ(ξ) + ξ + a2 + ∫ = g2(ξ), −1 < ξ < 1, với 51 Chương Một số phương pháp đặc biệt tìm nghiệm phương trình tích phân kỳ dị Bây tính tích phân hệ thức (3.3.15) (3.3.17) cách sử dụng kết (3.3.6), thu −(1−ξ) − πa cot πβ ∫1 φ(t) { t − ξ1 − ξ1 − t (1 + ξ )β (1 + t)β} (1 − ξ) − (1 − t) dt −1 + π tan πβ ∫ = g1(ξ), −1 < ξ < 1, ( −(1−ξ) −1 + πa cot πβ − π tan πβ ∫ ∫ = g2(ξ), Nhân hai vế (3.3.19) với cộng lại, ta 2 − 2π (1 + a )(1 − ξ)φ(ξ) = 1−ξ (1 + ξ + πa2 cot πβ ∫1 φ(t) {(1 − ξ + t)β (1 − ξ + t)1−β} (1 − t) − dt t − ξ1 + ξ − t1 + ξ − t −1 π tan πβ − 52 Chương Một số phương pháp đặc biệt tìm nghiệm phương trình tích phân kỳ dị − Ta có biểu diễn Từ (3.3.21) ta nhận thấy nghiệm φ phương trình tích phân (3.3.13) xác định từ (3.3.21) chọn β cho Trong trường hợp nghiệm (3.3.13) φ(t) = Nhận xét Từ phương trình (3.3.13) suy φ hàm lẻ có c = Do nghiệm φ(t) có dạng φ(t) = − g1, g2 hàm xác định từ (3.3.16) (3.3.18) 53 Kết luận Luận văn trình bày phương pháp giải số phương trình tích phân kỳ dị gồm có: • Phương pháp Riemann - Hilbert giải phương trình tích phân dạng Rieman - Hilbert, phương trình tích phân Abel phương trình tích phân kỳ dị với nhân Logarit • Một số phương pháp đặc biệt giải phương trình tích phân kỳ dị với nhân Cauchy nhân Logarit Các hướng phát triển từ luận văn • Nghiên cứu cách giải phương trình tích phân kỳ dị cấp cao • Nghiên cứu thêm phương pháp đặc biệt để giải phương trình tích phân kỳ dị • Nghiên cứu phương trình vi - tích phân kỳ dị Mặc dù cố gắng khả thời gian có hạn, luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót phương diện kiến thức lẫn kỹ A soạn thảo L TEX Tác giả luận văn mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn bè đồng nghiệp để luận văn ngày hoàn chỉnh Tác giả xin chân thành cảm ơn! 54 Tài liệu tham khảo [A]Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long (2001), Giáo trình hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2009), Hàm biến phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Văn Mậu (2006), Lý thuyết toán tử phương trình tích phân kỳ dị, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Thủy Thanh (2005), Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tiếng Anh [5] B N Mandal, A Chakrabarti (2011), Applied singular integral equations, Science Publishers [6] A Chakrabarti (2008), Solution of a generalized Abel integral equation, J Integr Eqns & Applic [7] A Chakrabarti (2008), Applied integral equations, Vijay Nicole Imprints Pvt Ltd Chennai [8] F D Gakhov (1966), Boundary value problems, Pergamon Press, Oxford [9] F G Tricomi (1955), Integral equation, Interscience Publisher 55 ... chặn nhân, phân loại phương trình tích phân kỳ dị thành hai loại : Phương trình tích phân kỳ dị mạnh phương trình tích phân kỳ dị yếu Phương trình tích phân kỳ dị yếu phương trình tích phân với... Hilbert áp dụng phương pháp vào giải số phương trình tích phân kỳ dị phương trình tích phân Riemann - Hilbert , Abel, phương trình tích phân kỳ dị với nhân Logarit Chương trình bày số phương pháp đặc... niệm phương trình tích phâ 1.2 Phương trình tích phân kỳ dị 1.3 Tích phân theo nghĩa giá trị 1.4 Một số kết lý thuyết hà 1.5 Phương trình tích phân kỳ dị Phương pháp Riemann - Hilbert giải phương