slide bài giảng lý thuyết xác suất – thống kê toán các định lý giới hạn ứng dụng

Chương 5CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN ỨNG DỤNG... BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV  Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên có EX, VarX hữu hạn... Ý NGHĨAMặc dù từng biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối có t

Chương 5

CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN

ỨNG DỤNG

§1 BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV

 Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên có

E(X), Var(X) hữu hạn Khi đó ta có

 Bất đẳng thức tương đương

Var(X)

P X E(X)      1





ε > 0

§2 LUẬT SỐ LỚN

1 ĐỊNH LÝ CHEBYSHEV

2 HỆ QUẢ

3 ĐỊNH LÝ BERNOULLI

1 ĐỊNH LÝ CHEBYSHEV

 Dãy các đại lượng ngẫu nhiên X 1 , X 2 , …

thỏa mãn , ,

cov(X i , X j ) = 0 ( * )

 Khi đó:

Nếu thì

hội tụ đến

theo xác suất.

(*) chỉ cần giả thiết độc lập từng đôi

i i

E(X ) = μ Var(X ) = σi i 2

i j 

n

2 i 2

n

i 1

1

n

 



 



n

X X X X

n

  



n

i i=1

1

μ

n 

2 HỆ QUẢ

 Giả sử dãy các đại lượng ngẫu

nhiên X1, X2, … độc lập, có cùng phân phối, có kỳ vọng ,

phương sai hữu hạn.

Khi đó

Nói cách khác

i

E(X ) = μ

2 i

Var(X ) = σ

n

P

i=1

1

n

n

Ý NGHĨA

Mặc dù từng biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối có thể nhận giá trị khác nhiều so với kỳ vọng của chúng nhưng trung bình

số học với n khá lớn lại nhận giá trị gần (khi khá nhỏ) với

xác suất khá lớn (gần 1)

 Điều này có ý nghĩa quan trọng trong lý

thuyết mẫu (phần thống kê)

(μ)

n

i=1

1

n

μ  > 0

3 ĐỊNH LÝ BERNOULLI

Giả sử là tần suất xuất hiện

biến cố A trong n phép thử độc lập và p là xác suất xuất hiện biến cố A trong mỗi phép thử Khi đó với mọi ta có:

A

n n

> 0



A n

n

n

 

Khi số phép thử tăng lên vô hạn ta có tần suất của một biến cố ổn định xung quanh giá trị xác suất của biến cố đó.

Ý NGHĨA

§3 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM

phân phối với kỳ vọng , phương sai

(hữu hạn khác 0)

 Đặt

i

E(X ) = μ

n

X + X + + X - nμ

Z =

σ n

2 i

Var(X ) = σ

§3 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM

Khi đó với mọi ta có:

Trong đó đại lượng ngẫu nhiên Z có phân phối chuẩn chuẩn hóa

Nói cách khác Z n hội tụ theo phân phối

đến Z.

x R 

n n

lim P(Z x) P(Z x)

    

 : 

2

x t

2

1

2



 

 

 

NHẬN XÉT (1/2)

 Định lý này cho thấy dù các Xi có

thể là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc hay liên tục, độc lập có cùng phân phối nào đó, nhưng tổng chuẩn hóa

phối xấp xỉ phân phối N(0, 1)

phối chuẩn phổ biến và quan trọng trong thực tế.

NHẬN XÉT (2/2)

Từ định lý Giới hạn trung tâm ta

cũng suy ra được một kết quả quan trọng trong thống kê : trường hợp

(nhưng thỏa mãn các giả thiết),

khi n đủ lớn thì có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn

n

i i=1

1

n 

MỘT ÁP DỤNG KHÁC

Cho với n khá lớn ,

p không quá gần 0 và không quá gần 1

(np ≥ 10 và n(1 – p) ≥ 10)

Ta có thể xấp xỉ

( 2 )

X : N np, np(1- p)

X : B(n, p)

VÍ DỤ

Một nhà hàng khách sạn phải phục vụ

buổi ăn trưa cho một đoàn có 900 khách Nhà hàng phục vụ làm hai đợt liên tiếp Giả sử mỗi khách hàng được chọn ngẫu nhiên theo đợt 1 hoặc đợt 2 Hỏi nhà hàng phải

có ít nhất bao nhiêu chỗ ngồi để xác suất không có đủ chỗ ngồi cho khách đến ăn bé hơn 2%?

 Gọi X là số người chọn ăn đợt 1, khi đó

số người chọn ăn đợt 2 là 900 – X

 Ta có thể xem , và xấp xỉ

( n = 900 khá lớn

không quá gần 0 và không quá gần 1; np=450 ; )

1

X B 900;

2

:

( 2)

X : N 450; 15

1

p =

2

np(1 - p) = 15

VÍ DỤ

ăn trưa phục vụ cho đoàn khách.

(Chú ý: không thỏa

mãn)

P (X k) (900 X k) 98%

P(900 k X k) > 98%

    

k < 900 - k

VÍ DỤ

Tra bảng tích phân Laplace, ta chọn k

sao cho:

Từ đó

k 450 450 k > 98%

15 15

k 450

2 > 0,98

15

k 450 > 0,49

15

     





k 450

> 2, 33 (2,33) 0,4901 15

