slide bài giảng lý thuyết xác suất – thống kê toán các quy luật phân phối xác suất thông dụng

PHÂN PHỐI NHỊ THỨCVÍ DỤ MỞ ĐẦU TUNG MỘT XÚC XẮC 4 LẦN TÍNH XÁC SUẤT ĐỂ MẶT 6 XUẤT HIỆN 3 LẦN... PHÂN PHỐI NHỊ THỨCVí dụ 1 Một bài trắc nghiệm của một game show trên truyền hình có 6 c

Chương 3

CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

THÔNG DỤNG

§1 PHÂN PHỐI NHỊ THỨC

VÍ DỤ MỞ ĐẦU

TUNG MỘT XÚC XẮC 4 LẦN TÍNH XÁC SUẤT ĐỂ MẶT 6 XUẤT HIỆN 3 LẦN

DÃY PHÉP THỬ BERNOULLI

Dãy n phép thử được gọi là dãy phép thử Bernoulli nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

DÃY PHÉP THỬ BERNOULLI

Bài toán Gọi X là số lần biến cố A

xảy ra trong n phép thử Tính xác suất P(X = k) (k = 0, 1, 2, …, n)

Gọi A i là biến cố “biến cố A xảy ra

trong phép thử thứ i”

 Để dễ hình dung vấn đề, ta xét

trường hợp n = 3

 Đặt q = 1 – p

p q

p q

p q p

q p

q p q

1

A

ĐỊNH NGHĨA

Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhị thức với tham số n, p (0 < p < 1 , n là số nguyên dương) ,

ký hiệu là , nếu tập các giá trị có thể có của X là {0, 1, 2, …, n}

với xác suất tương ứng

k = 0, 1, …, n

k k n k n

P(X k) C p (1 p) 

X : B(n,p)

PHÂN PHỐI NHỊ THỨC

Ví dụ 1 Một bài trắc nghiệm của một

game show trên truyền hình có 6 câu hỏi, mỗi câu có 5 phương án trả lời trong đó chỉ có một phương án trả lời đúng Một người làm bài trắc nghiệm này bằng cách chọn ngẫu nhiên 1 trong 5 phương án trả lời cho mọi câu hỏi Tính xác suất để người này trả lời đúng ít nhất 3 câu.

PHÂN PHỐI NHỊ THỨC

Ví dụ 2 Một cửa hàng có 5 lô sản

phẩm Mỗi lô có 10 sản phẩm trong đó có 9 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu Một khách hàng chọn ngẫu nhiên từ mỗi lô ra 3 sản phẩm Nếu lô hàng nào có 3 sản phẩm lấy ra đều là sản phẩm tốt thì mua lô hàng đó Tính xác suất

để có đúng 4 lô hàng được mua.

PHÂN PHỐI NHỊ THỨC

Ví dụ 3 Một bài trắc nghiệm có 10 câu

hỏi Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có một phương án trả lời đúng Một sinh viên làm bài trắc nghiệm này bằng cách chọn ngẫu nhiên một trong 4 phương án trả lời cho mọi câu hỏi Biết rằng mỗi câu trả lời đúng được 2 điểm, mỗi câu trả lời sai bị trừ 1 điểm Tính xác suất để sinh viên này được 14 điểm.

PHÂN PHỐI NHỊ THỨC

Ví dụ 4 Một phân xưởng có 50 máy hoạt

động độc lập với nhau Xác suất để mỗi máy bị hỏng trong một ca sản xuất là 0,09

a) Tính xác suất để trong một ca sản xuất có trên 90% máy không bị hỏng b) Tìm số máy bị hỏng trung bình và

số máy bị hỏng tin chắc nhất trong một ca sản xuất.

§2 PHÂN PHỐI SIÊU BỘI

Ví dụ mở đầu Một lô hàng có 10

sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng này ra 3 sản phẩm Tính xác suất để trong 3 sản phẩm được lấy ra có 2 sản phẩm tốt

Định nghĩa

Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là

có phân phối siêu bội với tham số N, M, n (N, M, n ∈ N và 0 < M < N , 0 < n < N) ,

ký hiệu là , nếu tập hợp các giá trị có thể có của X là các số tự nhiên k thỏa mãn

với xác suất tương ứng

C C P(X k)

C

-

-= =

§2 PHÂN PHỐI SIÊU BỘI

N

=

N n Var(X) npq

N 1

-=

-§2 PHÂN PHỐI SIÊU BỘI

Ví dụ Một lô hàng có 10 sản

phẩm, trong đó có 8 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ lô hàng này Gọi X là số sản phẩm tốt trong 2 sản phẩm được lấy ra.

§2 PHÂN PHỐI SIÊU BỘI

 Quy luật phân phối xác suất

của X được biểu thị bởi bảng

45

16 45 1

45

VÍ DỤ

Var(X) = 0,28444

8 E(X) 2 1,6

10

§2 PHÂN PHỐI SIÊU BỘI

Ví dụ Một lô hàng có 100 sản

phẩm, trong đó có 90 sản phẩm tốt Lấy ngẫu nhiên 15 sản phẩm

từ lô hàng này Tìm số sản phẩm tốt trung bình và phương sai của

số sản phẩm tốt trong 15 sản phẩm được lấy ra

§2 PHÂN PHỐI SIÊU BỘI

X : H(N,M,n)

X : H(10,8, 2)

»

§2 PHÂN PHỐI SIÊU BỘI

Ta có thể xấp xỉ phân phối H(N,M,n) bởi phân phối

B(n,p) với khi

khá nhỏ Xấp xỉ khá tốt khi

M p

§2 PHÂN PHỐI SIÊU BỘI

§3 PHÂN PHỐI POISSON

Định lý (Giới hạn Poisson)

Nếu sao cho

và vẫn là hằng số thì với mọi số nguyên không âm k ta có:

n ® ¥ p ® 0

  np

k

k k n k n

n

e lim C p (1 p)

ĐỊNH NGHĨA

Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là

có phân phối Poisson với tham số ( > 0), ký hiệu là

nếu tập các giá trị có thể có của X là

{0, 1, 2, …} (tập các số tự nhiên N) với xác suất tương ứng

§3 PHÂN PHỐI POISSON

§3 PHÂN PHỐI POISSON

Ví dụ Mỗi chuyến xe người ta

chở được 1250 chai dược phẩm Xác suất để một chai

bị vỡ khi vận chuyển là 0,004 Tính xác suất để có ít nhất 2 chai bị vỡ khi vận chuyển.

§3 PHÂN PHỐI POISSON

Gọi X là số chai dược phẩm bị vỡ

NHẬN XÉT

►Nếu dùng

=BINOMDIST(1,1250,0.004,1) cho 0.040158

Khi đó

P(X 2) 1 0,040158 = 0,959842

  

§3 PHÂN PHỐI POISSON

Ví dụ Một công ty dịch vụ qua điện thoại (hoạt động thường trực) nhận được trung bình 300 lần gọi đến trong một giờ.

a) Tìm xác suất để công ty đó nhận được đúng 1 lần gọi đến trong 1 phút cho trước.

b) Tìm xác suất để công ty đó nhận được đúng 5 lần gọi trong 3 phút.

c) Tìm xác suất để trong 3 phút liên tiếp, mỗi phút công ty đó nhận được ít nhất một lần gọi đến.

§4 PHÂN PHỐI CHUẨN

1 ĐỊNH NGHĨA

2 ĐỊNH LÝ

3 CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT ĐỂ ĐẠI LƯỢNG

NGẪU NHIÊN X CÓ PHÂN PHỐI CHUẨN NHẬN GIÁ TRỊ THUỘC KHOẢNG (a, b)

NHẬN XÉT

X : B(60; 0, 3)

1 ĐỊNH NGHĨA

 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X được

gọi là có phân phối chuẩn với hai tham

số và nếu hàm mật độ của X là

trong đó là hằng số, là hằng số dương.

 Ký hiệu:

2 2

(x ) 2

 Điểm cực đại của đồ thị là

X : N(0,1)

x =m

1 ,

NHẬN XÉT (2/2)

 Hoành độ của hai điểm uốn

lần lượt là m- s m+s ,

2 2

(x ) 2

(x )

b

2 a

1 P(a X b) e dx

PHÂN PHỐI CHUẨN

Ví dụ Lợi nhuận của một nhà đầu

tư là đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình = 500

và độ lệch chuẩn = 15 (đơn

vị tính: triệu đồng) Tính xác suất để lợi nhuận của nhà đầu

tư này ở trong khoảng (485; 530)





PHÂN PHỐI CHUẨN

Ví dụ Trọng lượng của một loại

trái cây là đại lượng ngẫu nhiên

(đơn vị: g) Trái được xem là thuộc loại I nếu có trọng lượng lớn hơn 180g

Tính tỷ lệ trái loại I.

2

X : N(150,40 )