Hàm số với giá trị thực X xác định trên KGSKSC Ω, được gọi là biến ngẫu nhiên nếu tập hợp là sự kiện. Biến ngẫu nhiên rời rạc : Khi tập hợp các giá trị của X có hữu hạn hoặc vô hạnHàm số với giá trị thực X xác định trên KGSKSC Ω, được gọi là biến ngẫu nhiên nếu tập hợp là sự kiện. Biến ngẫu nhiên rời rạc : Khi tập hợp các giá trị của X có hữu hạn hoặc vô hạn
Chương BIẾN NGẪU NHIÊN I Định nghĩa Hàm số với giá trị thực X xác định KGSKSC Ω, X : Ω → ¡ gọi biến ngẫu nhiên tập hợp kiện {ω ∈ Ω : X(ω ) = k, k ∈ ¡ } Biến ngẫu nhiên rời rạc : Khi tập hợp giá trị X có hữu hạn vơ hạn đếm phân tử Biến ngẫu nhiên liên tục : Khi tập hợp giá trị X khoảng trục số ( X có vơ hạn khơng đếm giá trị ) II Bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc X x1 xn x2 … P p1 p2 … Trong đópxni giá trị X pi = P(X =xi ) n Ta có ∑ p =1 i =1 i III Hàm phân phối xác suất Hàm số F ( x) = P( X ≤ x), x ∈ ¡ gọi hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X Tính chất : 1) ≤ F(x) ≤ 2) F(x) hàm không giảm: Nếu a < b F(a) ≤ F(b) 3) P( a < X ≤ b ) = F(b) – F(a) 4) F(+ ∞ ) = F (x) = F (+∞) F(–∞ ) = xlim → +∞ Trong ký hiệu lim F (x) = F (−∞) x→ −∞ Và IV Hàm mật độ phân phối xác suất biến ngẫu nhiên liên tục Nếu hàm phân phối liên F(x) biến ngẫu nhiên X biểux diễn dạng F ( x) = ∫ f (t )dt , x ∈ ¡ tục −∞ f(x) gọi hàm mật độ phân phối xác suất X Tính chất : 1) f ( x) ≥ 0, x ∈ ¡ 2) f ( x) = F ′( x) điểm liên tục 3) b f(x) P(a < X < b) = ∫ f ( x)dx a +∞ 4) ∫ f ( x )dx = −∞ 5) Nếu X liên tục với hàm mật độ f(x) ¡ P(X=x) = 0, ∀ x ∈ Từ P (tính a ≤ chất X ≤5bsuy ) = ra: P ( a < X < b) = = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X < b) P ( a < X ≤ b) = P ( a < X < b) + P ( X = b) Thật vậy, = P ( a < X < b) V Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên Kỳ vọng - Trung bình • Nếu X rời rạc kỳ vọng X n xác định sau : EX = ∑ xi pi i =1 • Nếu X liên tục +∞ EX = ∫ xf ( x) dx −∞ Tính chất : 1) EC = C , C số 2) ECX = C.EX 3) E(X+Y) = EX + EY 4) E(XY) = EX.EY X Y độc lập • Hai biến ngẫu nhiên X Y độc lập với A B khoảng kiện (Y ∈ B) độc lập (X ∈ A) 5) Cho hàm số g(x), n Eg ( X ) = ∑ g ( xi ) pi i =1 ,nếu X rời rạc Eg ( X ) = tục +∞ ∫ g ( x) f ( x )dx , X liên −∞ Thí dụ : Cho g(x) = x2 , g(X) = X2 , n EX = ∑ x pi 2 i i =1 +∞ EX = ∫ x f ( x)dx −∞ , X rời rạc , X liên tục Trong f(x) hàm mật độ X 2 Phương sai − Độ phân tán : Phương sai hay độ phân tán biến ngẫu nhiên X xác định sau: n DX = ∑ ( xi − EX ) pi DX= E(X - EX) 2 a) X rời rạci =1 +∞ b) X liên tục DX = ( x − EX ) f ( x ) dx ∫ −∞ Tính chất : 1) DC = , C số 2) DCX = C2 DX 3) D(X+Y) = DX + DY , X Y độc lập Cơng thức tính phương sai : DX = EX2 - (EX)2 VI Các luật phân phối xác suất Luật Bernoulli – B(1, p) X ~ B(1, p) X có bảng phân phối X P q p P(X=1) = p , P(X=0) = 1-p = q EX = p , DX = pq • Phép thử Bernoulli : - Có kiện A A Ký hiệu P(A)= p, P( A )= 1-p = q - Khi A xuất ta nói phép thử thành cơng, gọi p xác suất thành cơng • Mơ hình Bernoulli + Xét phép thử Bernoulli + Trong xác suất thành công p + X – số lần xuất thành cơng phép thử Khi X ~ B(1, p) 2 Luật Nhị thức – B(n, p) X ~ B(n, p) P( X = k ) = C p q k n k n−k với k = 0,1, … , n Ta có EX = np , DX = npq • Mơ hình Nhị thức : + Xét n phép thử Bernoulli + Trong xác suất thành công p + Các phép thử độc lập với ( Kết phép thử không ảnh hưởng đến kết phép thử kia) + X – số lần xuất thành công n phép thử Khi X ~ B(n, p) 3 Luật Poisson – P(λ) X ~ P(λ) k −λ λe P( X = k ) = k! , với k= 0,1,… EX = λ , DX = λ • Định lý Poisson k n k n− k lim C p q n→∞ p→ np→λ k −λ λ e = k! • Mơ hình Poisson + Xét n phép thử Bernoulli + Trong xác suất thành cơng p + Các phép thử độc lập với (Kết phép thử không ảnh hưởng đến kết phép thử kia) + X – số lần hành công n phép thử + Với n lớn ( n ≥ 100) p nhỏ ( p ≤ 0,01) λ = np ≤ 20 Khi X ~ P(λ) 4 Luật chuẩn (Luật Gauss) N(µ,σ ) 2 ( x − µ ) X ~ N(µ, σ ) X có hàm mật − độ σ x∈¡ f ( x) = e σ 2π EX = ; DX = , vi ã Luật chuẩn tắc – N(0, 1) Khi µ = 0, σ =1 ta có luật N(0, 1), gọi luật chuẩn tắc ký hiệu hàm mật x2 − độ ϕ ( x) = e x∈¡ 2π , với x ∫ Φ (phân x) = phối ϕ (tluật ) dt chuẩn Hàm , x ∈tắc ¡ ký hiệu −∞ •T ính chất: Φ (− x) = − Φ ( x) • Nếu Z ∼ N(0, 1), ta có P( a < Z < b) = Φ(b) - Φ(a) • Cơng thức chuyển đổi : Cho X ~ N(µ, σ ) b−µ a−µ P ( a < X < b) = Φ ÷− Φ ÷ σ σ Đặt X − EX X −µ X ′= = σ DX X’ gọi biến ngẫu nhiên chuẩn hóa từ X thu gọn, qui tâm từ X, ta có EX’ = 0, DX’ = ... KGSKSC Ω, X : Ω → ¡ gọi biến ngẫu nhiên tập hợp kiện {ω ∈ Ω : X(ω ) = k, k ∈ ¡ } Biến ngẫu nhiên rời rạc : Khi tập hợp giá trị X có hữu hạn vô hạn đếm phân tử Biến ngẫu nhiên liên tục : Khi tập... hiệu lim F (x) = F (−∞) x→ −∞ Và IV Hàm mật độ phân phối xác suất biến ngẫu nhiên liên tục Nếu hàm phân phối liên F(x) biến ngẫu nhiên X biểux diễn dạng F ( x) = ∫ f (t )dt , x ∈ ¡ tục −∞ f(x)... ( x) = P( X ≤ x), x ∈ ¡ gọi hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X Tính chất : 1) ≤ F(x) ≤ 2) F(x) hàm khơng giảm: Nếu a < b F(a) ≤ F(b) 3) P( a < X ≤ b ) = F(b) – F(a) 4) F(+ ∞ ) = F (x)