A và B bất kỳ P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) b) A, B và C bất kỳ P(A + B + C ) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – – P(AC) – P(BC) + P(ABC) Thí dụ : Tung 2 đồng xu. Tính xác suất có ít nhất một sấp. Ω = { SS, NN, SN, NS} A = { Đồng xu 1 sấp} = {SS, SN} B = { Đồng xu 2 sấp} = {SS, NS} P(Có ít nhất một sấp) = P(A + B)A và B bất kỳ P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) b) A, B và C bất kỳ P(A + B + C ) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – – P(AC) – P(BC) + P(ABC) Thí dụ : Tung 2 đồng xu. Tính xác suất có ít nhất một sấp. Ω = { SS, NN, SN, NS} A = { Đồng xu 1 sấp} = {SS, SN} B = { Đồng xu 2 sấp} = {SS, NS} P(Có ít nhất một sấp) = P(A + B)
BÀI TẬP CHƯƠNG BIẾN NGẪU NHIÊN a) X P 12 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 1/36 [{11}] P( X 2) [] 36 [{12, 21}] P( X 3) [] 36 [{66}] P( X 12) [] 36 EX �xi pi 2.(1/ 36) 3.(2 / 36) 12.(1/ 36) i 1 DX �( xi EX ) pi i 1 (2 7) (1/ 36) (3 7) (2 / 36) (12 7) (1/ 36) 2 Hoặc 2 DX EX ( EX ) [2 (1/ 36) (2 / 36) 12 (1/ 36)] 35 / 2 b) Y P -4 15/36 21/36 P(Y 4) P( X �6) P( X 2) P( X 6) 1/ 36 / 36 15 / 36 P(Y 25) P(Y 4) 21/ 36 EY �yi pi 4.(15 / 36) 5.(21/ 36) 45 / 36 i 1 DY �( yi EY ) pi i 1 [4 (45 / 36)] (15 / 36) [5 (45 / 36)] (21/ 36) 19,69 2 Gọi X số đạn cần bắn Cần tính EX Trước hết cần lập bảng phân phối X X P 1/2 1/4 1/8 1/16 2/32 Ký hiệu Ai ={Viên thứ i trúng} P( X 1) P( A1 ) 1/ P( X 2) P( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 ) (1 1/ 2).(1/ 2) 1/ P( X 3) P ( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) (1 1/ 2).(1 1/ 2).1/ 1/8 P( X 4) P( A1 A2 A3 A4 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P ( A4 ) (1 1/ 2).(1 1/ 2).(1 1/ 2).(1/ 2) 1/16 P( X 5) P ( A1 A2 A3 A4 A5 ) P ( A1 A2 A3 A4 A5 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 ) P( A5 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P ( A4 ) P( A5 ) / 32 EX 1.(1/ 2) 2.(1/ 4) 5.(2 / 32) X P -4 1/16 -2 4/16 6/16 4/16 1/16 P( X 4) P( NNNN ) 1/16 P( X 2) P( NNNS ) P( NNSN ) P( NSNN ) P ( SNNN ) 1/16 1/16 1/16 1/16 /16 P( X 0) P( NNSS ) P ( NSNS ) P ( SNNS ) 1/16 1/16 /16 P( X 2) P( SSSN ) P( NSSS ) 1/16 1/16 /16 P( X 4) P( SSSS ) 1/16 Hoặc [( X 4)] [{NNNN }] P( X 4) 1/16 [ ] [] [{NNNS , NNSN , NSNN , SNNN }] P( X 2) /16 [ ] [{NNSS , NSNS , , SNNS}] P( X 0) /16 [ ] EX 4.(1/16) 4.(1/16) DX (4 0) (1/16) (4 0) (1/16) 2 a) Cho EX=1, EY=-2 E(2X+3Y)=2EX+3EY=2.1+3(-2)=-4 E(X-Y)=EX+E(-Y)=EX-EY=1+2=3 E(1/2)(X+Y)=(1/2)(EX+EY)=(1/2)(1-2)=-1/2 b) Cho EX=1, EX =2 2 E (X-7) =EX -2.7.EX+E49=2-14.1+49=37 X E(X-1)(X+3)=E( +3X-X-3) X =E +2EX-E3=2+2.1-3=1 c) Cho EX=2, E X =5 2 (EX) D(7X-4)=D7X+D(-4)=49DX+0=49[EX ] =49.(5-4)=49 D(-X+3)=D(-X)+D(3)=(-1)2 DX+0=DX=1 12 a) Sinh viên khơng biết Mơ hình nhị thức: + Phép thử Brenoulli: trả lời câu hỏi A={Trả lời đúng} P(A)=1/5 + Có n=6 phép thử độc lập + X số câu trả lời X ~ B(6, 1/5) P(Đậu)=P(X≥4)=P(X=4)+…+P(X=6) �C (1/ 5) (4 / 5) k 4 k k 6 k b) Mơ hình nhị thức: + Phép thử Bernoulli: trả lời câu sau A={Trả lời đúng} P(A)=1/5 + Có n=3 phép thử độc lập + Y số câu trả lời câu sau Y ~ B(3, 1/5) P(Đậu)=P(Y≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) = �C k 1 k k (1/ 5) (4 / 5) 3 k Hoặc P(Đậu)=1-P(Y3)=1-P(X≤3)= k -2 2e =1- � k=0 k! 16 Mơ hình Poisson: + Phép thử Bernoulli: in lỗi ngẫu nhiên vào trang sách A={Lỗi rơi vào trang 1} P(A)=1/500 (Nhỏ) + Có n=300 phép thử độc lập (Lớn) + X số lỗi rơi vào trang λ= np=300 1/500=0,6 - 0,6 X ~ P(0,6) 0,6 e P(X=2)= 2! 18 EX=np=2 DX=npq=4/3 q=2/3 p=1/3 n=6 Vậy X ~ B(6, 1/3) 19 Cho X~N(13, 16) P(X>20)=P(20