Tổng minkowki và sự hội tụ của chuỗi các biến ngẫu nhiên đa trị

1 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Biến ngẫu nhiên đơn trị 1.1 Không gian xác suất 1.2 Ánh xạ đo biến ngẫu nhiên 1.3 Các loại biến ngẫu nhiên 12 1.4 Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên 14 1.5 Định lý hai chuỗi định lý ba chuỗi 17 Sự hội tụ chuỗi biến ngẫu nhiên đa trị 19 2.1 Tổng Minkowski 19 2.2 Khoảng cách Hausdorff P(E) 22 2.3 Phần tử ngẫu nhiên đa trị 25 2.4 Một số mệnh đề liên quan 30 2.5 Định lý hai chuỗi định lý ba chuỗi 31 Kết luận 43 MỞ ĐẦU Xác suất đa trị hướng nghiên cứu tương đối Toán học, có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác nhau: tối ưu hóa điều khiển, hình học ngẫu nhiên, tốn kinh tế, thống kê Có nhiều nhà tốn học nghiên cứu xác suất đa trị Chẳng hạn như: Gerald Beer, Charles Castaing, Fumio Hiai, Robert Lee Taylor, Các kết xác suất đa trị mở rộng thực kết xác suất đơn trị Mặt khác, lý thuyết xác suất, định lý ba chuỗi đóng vai trị quan trọng, để thiết lập định lý ba chuỗi cho dãy phần tử ngẫu nhiên đa trị, cần xây dựng khái niệm tổng phân tử ngẫu nhiên đơn trị Vì thế, chúng tơi định nghiên cứu đề tài Tổng Minkowski hội tụ chuỗi biến ngẫu nhiên đa trị Với đề tài thiết lập định lý ba chuỗi cho dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian tập compact không gian Banach mở rộng định lý hai chuỗi lý thuyết xác suất cổ điển Các kết trình bày chương luận văn Chương Biến ngẫu nhiên đơn trị Chương Sự hội tụ chuỗi biến ngẫu nhiên đa trị Luận văn thực trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo, PGS, TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán Tác giả xin cảm ơn thầy, cô giáo khoa Tốn nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 17 Xác Suất Thống Kê Toán học cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặt dù có nhiều cố gắng, luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy, giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng 11 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG BIẾN NGẪU NHIÊN ĐƠN TRỊ Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức biến ngẫu nhiên đơn trị, kỳ vọng, phương sai biến ngẫu nhiên đơn trị, định lý hai chuỗi định lý ba chuỗi Kolmogorov cổ điển 1.1 Không gian xác suất 1.1.1 Đại số σ-đại số Giả sử Ω ̸= ∅ P(Ω) họ tất tập Ω Mỗi họ C ⊂ P(Ω) gọi lớp Định nghĩa Lớp A ⊂ P(Ω) gọi đại số Ω ∈ A, A ∈ A ⇒ AC = Ω \ A ∈ A, A, B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A Lớp F ⊂ P(Ω) gọi σ-đại số Ω ∈ F, A ∈ F ⇒ AC = Ω \ A ∈ F, An ∈ F (∀n = 1, 2, ) ⇒ ∞ ∪ An ∈ F n=1 Chẳng hạn, dễ thấy lớp A = {∅, Ω}, F = P(Ω) σ-đại số Tính chất Từ định nghĩa trên, suy tính chất sau Trong điều kiện định nghĩa thay điều kiện A ∪ B ∈ A A ∩ B ∈ A ∞ ∪ An ∈ F n=1 ∞ ∩ An ∈ F n=1 Nếu A đại số, A, B ∈ A, B \ A ∈ A Nếu F σ-đại số F đại số Giao họ đại số (σ-đại số) đại số (σ-đại số) 1.1.2 σ-đại số sinh lớp σ-đại số Borel Định nghĩa Giả sử C ∈ P(Ω) Khi đại số (σ-đại số) bé chứa C gọi đại số (σ-đại số) sinh C, kí hiệu A (C) (σ(C)) Định lý Với C ∈ P(Ω), A (C) (σ(C)) tồn Chứng minh Đặt A(C) = ∩ {Aα : Aα đại số chứa C} Rõ ràng P(Ω) đại số chứa C nên tập lấy giao khác rỗng Khi A(C) đại số Mặt khác, F đại số chứa C hiển nhiên F chứa A(C) Vậy A(C) đại số sinh C Tính A(C) hiển nhiên Phép chứng minh σ-đại số hoàn toàn tương tự Định nghĩa Giả sử (X, T ) không gian tơpơ, σ-đại số sinh T gọi σ-đại số Borel kí hiệu B(X) Vậy B(X) = σ(T ) Nhận xét Nếu U sở T B(X) = σ(T ) = σ(U) Ví dụ B(R) = σ{(a, b)| − ∞ < a < b < +∞} = σ{(−∞, a)| − ∞ < a < +∞} = σ{[a, b)| − ∞ < a < b < +∞} B(Rn ) = σ{(−∞, a1 ) × × (−∞, an ), |ai ∈ R, (i = 1, , n)} 1.1.3 Không gian đo độ đo xác suất Giả sử Ω tập tuỳ ý khác rỗng, F σ-đại số tập Ω Khi đó, cặp (Ω, F) gọi không gian đo Giả sử (Ω, F) không gian đo Một ánh xạ P : F → R gọi độ đo xác suất F (i) P(A) với ∀A ∈ F (tính khơng âm); (ii) P(Ω) = (tính chuẩn hố); (iii) Nếu An ∈ F (n = 1, 2, 3, ), Ai ∩ Aj = Ai Aj = ∅ (i ̸= j) P( ∞ ∪ n=1 An ) = ∞ ∑ P(An ) (tính cộng tính đếm được) n=1 Các điều kiện (i)-(iii) gọi hệ tiên đề Kolmogorov xác suất Bộ ba (Ω, F, P) gọi không gian xác suất 1.2 Ánh xạ đo biến ngẫu nhiên 1.2.1 Ánh xạ đo Định nghĩa Giả sử (Ω1 , F1 ) (Ω2 , F2 ) hai không gian đo Ánh xạ X : Ω1 −→ Ω2 gọi ánh xạ F1 /F2 đo với B ∈ F2 X −1 (B) ∈ F1 Ví dụ Giả sử Ω1 ̸= ∅, F1 = P(Ω1 ); Ω2 ̸= ∅, F2 σ-đại số Ω2 Khi ánh xạ X : (Ω1 , F1 ) → (Ω2 , F2 ) F1 /F2 đo Giả sử Ω1 ̸= ∅, F1 = {Ω1 , ∅}; Ω2 ̸= ∅, F2 = P(Ω2 ), ánh xạ X : (Ω1 , F1 ) → (Ω2 , F2 ) F1 /F2 đo X ánh xạ Thật vậy, giả sử X F1 /F2 đo được, lấy ω0 ∈ Ω1 , đặt a = X(ω0 ) ∈ Ω2 Khi X F1 /F2 đo nên X −1 (a) ∈ F1 Mặt khác ω0 ∈ X −1 (a) nên X −1 (a) ̸= ∅, tức X −1 (a) = Ω1 Do X(Ω1 ) = {a}, hay X ánh xạ Giả sử X ánh xạ hằng, dễ dàng chứng minh X F1 /F2 đo 1.2.2 Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất, G σ- đại số σ- đại số F Khi ánh xạ X : Ω → R gọi biến ngẫu nhiên G- đo 30 2.4 Một số mệnh đề liên quan 2.4.1 Mệnh đề Giả sử A, B ∈ K(E), x ∈ E cho A = B + x, ∈ B, ∈ /A ∥B∥ 2∥A∥ Chứng minh Ta có diamA = sup ∥a − b∥ a,b∈A sup ∥a∥ + sup ∥b∥ = 2∥A∥ a∈A b∈A diamA 2∥A∥ Suy Mặt khác ta có diamA = diamB diamB = sup ∥x − y∥ x,y∈B sup ∥x∥ = ∥B∥ (do ∈ B) x∈B Suy ∥B∥ diamB 31 Do ∥B∥ 2.4.2 Mệnh đề Nếu ∞ ∑ 2∥A∥ xn chuỗi số dương hội tụ chuỗi n=1 ∞ ∑ x2n hội n=1 tụ Các kết sau trình bày tài liệu [3] 2.4.3 Mệnh đề Giả sử (Xn , n 1) dãy biến ngẫu nhiên đa trị, độc lập, ∞ ∑ nhận giá trị compact Nếu ∈ Xn hầu chắn chuỗi chuỗi Xn hội tụ n=1 ∞ ∑ ∥Xn ∥ hội tụ n=1 2.4.4 Mệnh đề Giả sử (Xn , n 1) dãy biến ngẫu nhiên đa trị, độc lập, nhận giá trị compact Nếu ∈ Xn hầu chắn chuỗi chuỗi ∞ ∑ EXn hội tụ n=1 ∞ ∑ E∥Xn ∥ hội tụ n=1 2.5 Định lý hai chuỗi định lý ba chuỗi 2.5.1 Định lý (Định lý hai chuỗi) Giả sử (Xn , n 1) dãy biến ngẫu nhiên đa trị, độc lập, nhận giá 32 trị compact cho hai chuỗi ∞ ∑ ∞ ∑ EXn n=1 DXn hội tụ n=1 n=1 hầu chắn Chứng minh Trường hợp 1: Nếu ∈ Xn h.c.c với n ∞ ∑ Theo giả thiết Suy ∞ ∑ E∥Xn ∥, n=1 EXn hội tụ n=1 ∞ ∑ ∥EXn ∥, n=1 ∞ ∑ ∥EXn ∥2 hội tụ n=1 Mặt khác ta có ∥Xn ∥2 = d2H (Xn , {0}) (dH (Xn , EXn ) + dH (EXn , {0}))2 2d2H (Xn , EXn ) + 2d2H (EXn , {0}) (Áp dụng bđt Bunhiacopski) Lấy kỳ vọng hai vế ta có E∥Xn ∥2 2Ed2H (Xn , EXn ) + 2E∥EXn ∥2 Suy ∞ ∑ n=1 E∥Xn ∥ 2 ∞ ∑ n=1 DXn + ∞ ∑ n=1 ∞ ∑ ∥EXn ∥2 Xn hội tụ 33 Kết hợp giả thiết ∞ ∑ DXn hội tụ ta có n=1 ∞ ∑ E∥Xn ∥2 hội tụ n=1 Ta lại có ∞ ∑ D∥Xn ∥ = n=1 Do ∞ ∑ ∞ ∑ E∥Xn ∥ − ∞ ∑ n=1 (E∥Xn ∥)2 n=1 D∥Xn ∥ hội tụ n=1 Sử dụng định lý hai chuỗi cổ điển cho dãy (∥Xn ∥, n 1) ta suy ∞ ∑ ∥Xn ∥ hội n=1 tụ Do ∞ ∑ Xn hội tụ n=1 Trường hợp 2: Nếu ∈ / Xn , với n Giả sử Xn = Yn + ηn , ∈ Yn h.c.c ηn biến ngẫu nhiên Vì ∞ ∑ n=1 Suy EXn hội tụ suy ∞ ∑ n=1 ∥EYn ∥ ∞ ∑ ∞ ∑ Eηn hội tụ, n=1 n=1 ∥EYn ∥2 hội tụ n=1 Ta có ∥Yn ∥ Suy ∞ ∑ 3∥Xn ∥ EYn hội tụ 34 ∞ ∑ E∥Yn ∥2 n=1 ∞ ∑ E∥Xn ∥2 n=1 ∞ ∑ 9(2 9(2 Do DXn + DXn + n=1 ∞ ∑ Suy n=1 ∞ ∑ ∞ ∑ ∥EXn ∥2 ) n=1 ∞ ∑ (2∥EYn ∥2 + 2∥Eηn ∥2 )) n=1 E∥Yn ∥2 hội tụ n=1 ∞ ∑ ∞ ∑ n=1 n=1 DYn D{ηn } hội tụ Kết hợp trường hợp ta có ∞ ∑ Yn hội tụ n=1 Sử dụng định lý hai chuỗi cho dãy (ηn , n Vậy ∞ ∑ 1) ta có ∞ ∑ ηn hội tụ n=1 Xn hội tụ n=1 2.5.2 Định lý (Định lý ba chuỗi) Giả sử (Xn , n 1) dãy biến ngẫu nhiên đa trị, độc lập, nhận giá trị compact Khi ∞ ∑ Xn (2.1) n=1 hội tụ hầu chắn ba chuỗi sau ∞ ∑ P{∥Xn ∥ > c} (2.2) n=1 ∞ ∑ n=1 EXn (c) (2.3) 35 ∞ ∑ DXn (c) (2.4) n=1 hội tụ với c > Chứng minh Ta xét hai trường hợp Trường hợp 1: Nếu ∈ Xn h.c.c với n Đặt ξn = ∥Xn ∥ ξn (c) = ∥Xn (c)∥ Điều kiện đủ : Giả sử ba chuỗi ∞ ∑ P{∥Xn ∥ > c} n=1 ∞ ∑ n=1 ∞ ∑ EXn (c) DXn (c) n=1 hội tụ Ta cần chứng minh chuỗi ∞ ∑ Xn hội tụ n=1 Theo mệnh đề 2.4.3 ta cần chứng minh chuỗi ∞ ∑ ∥Xn ∥ hội tụ n=1 Ta có ∞ ∑ P{∥ξn ∥ > c} n=1 hội tụ ( theo (2.2) cách đặt) Từ (2.3) suy ∞ ∑ n=1 E∥Xn (c)∥ hội tụ ( Theo 2.4.4) (2.5) 36 Suy ∞ ∑ Eξn (c) (2.6) n=1 hội tụ Do ∞ ∑ (Eξn (c))2 hội tụ (Theo 2.4.2) n=1 Mặt khác ta có ∥Xn (c)∥2 = d2H (Xn (c), {0}) (dH (Xn (c), EXn (c)) + dH (EXn (c), {0}))2 (do 2.2.2ii) 2d2H (Xn (c), EXn (c)) + 2d2H (EXn (c), {0}) (Áp dụng bđt Bunhiacopski) Lấy kỳ vọng hai vế ta có E∥Xn (c)∥2 2Ed2H (Xn (c), EXn (c)) + 2E∥EXn (c)∥2 Suy ∞ ∑ E∥Xn (c)∥ n=1 Từ (2.3) suy ∞ ∑ n=1 2 ∞ ∑ DXn (c) + n=1 ∥EXn (c)∥ hội tụ (theo 2.4.3) ∞ ∑ n=1 ∥EXn (c)∥2 (2.7) 37 Do ∞ ∑ ∥EXn (c)∥2 (2.8) n=1 hội tụ Từ (2.4), (2.7) (2.8) suy ∞ ∑ Suy ∞ ∑ ∞ ∑ E∥Xn (c)∥2 hội tụ n=1 Eξn2 (c) hội tụ n=1 Dξn (c) = n=1 = ∞ ∑ (Eξn2 (c) − (Eξn (c))2 ) n=1 ∞ ∑ Eξn2 (c) − n=1 ∞ ∑ (Eξn (c))2 n=1 Do ∞ ∑ Dξn (c) (2.9) n=1 hội tụ Từ (2.5), (2.6) (2.9) suy dãy (ξn , n lý ba chuỗi Kolmogorov nên Vậy ∞ ∑ n=1 Điều kiên cần: Giả sử Suy n=1 ξn hội tụ ∞ ∑ n=1 Xn hội tụ n=1 ∞ ∑ ∞ ∑ )thỏa mãn điều kiện định ∞ ∑ n=1 ∥Xn ∥ hội tụ Xn hội tụ hầu chắn ∥Xn ∥ hội tụ 38 Theo định lý ba chuỗi Kolmogorov ta có ba chuỗi ∞ ∑ P(∥Xn ∥ > c) n=1 ∞ ∑ E∥Xn (c)∥ (2.10) D∥Xn (c)∥ (2.11) n=1 ∞ ∑ n=1 hội tụ Từ ∞ ∑ E∥Xn (c)∥ hội tụ suy n=1 ∞ ∑ EXn (c) hội tụ n=1 Mặt khác d2H (Xn (c), EXn (c) (dH (Xn (c), {0}) + dH (EXn (c), {0}))2 2(d2H (Xn (c), {0}) + d2H (EXn (c), {0})) Suy d2H (Xn (c), EXn (c)) 2(∥Xn (c)∥2 + ∥EXn (c)∥2 ) Lấy kỳ vọng hai vế ta có Ed2H (Xn (c), EXn (c)) 2E∥Xn (c)∥2 + 2∥EXn (c)∥2 39 2E∥Xn (c)∥2 + 2∥EXn (c)∥2 Hay DXn (c) Do ∞ ∑ ∞ ∞ ∑ ∑ 2( E∥Xn (c)∥ + ∥EXn (c)∥2 ) DXn (c) n=1 n=1 (2.12) n=1 Từ (2.10) suy ∞ ∑ (E∥Xn (c)∥)2 (2.13) n=1 hội tụ Ta có D∥Xn (c)∥ = E∥Xn (c)∥2 − (E∥Xn (c)∥)2 Suy ∞ ∑ D∥Xn (c)∥ = ∞ ∑ n=1 E∥Xn (c)∥ − n=1 ∞ ∑ (E∥Xn (c)∥)2 n=1 Do ∞ ∑ n=1 E∥Xn (c)∥ = ∞ ∑ n=1 D∥Xn (c)∥ + ∞ ∑ n=1 (E∥Xn (c)∥)2 40 Từ (2.11) (2.13) suy Kết hợp (2.12) ta có ∞ ∑ E∥Xn (c)∥2 hội tụ n=1 ∞ ∑ DXn (c) hội tụ n=1 Trường hợp 2: Nếu ∈ / Xn ,với n Giả sử Xn = Yn + ηn , ∈ Yn h.c.c ηn biến ngẫu nhiên Điều kiện đủ Theo bổ đề 2.4.1 ta có ∥Yn ∥ 2∥Xn ∥ suy ∥Yn ∥ 3∥Xn ∥ Mặt khác ηn = Xn − Yn ⇒ ∥ηn ∥ = ∥Xn − Yn ∥ ∥Xn ∥ + ∥Yn ∥ Suy (∥ηn ∥ 3c) ⊂ (∥Xn ∥ c) Do P(∥ηn ∥ 3c) P(∥Xn ∥ c) 3∥Xn ∥ 41 Theo giả thiết ∞ ∑ ∞ ∑ P(∥Xn ∥ ∞ ∑ c) hội tụ nên n=1 P(∥ηn ∥ > 3c) hội tụ hay n=1 P(∥ηn ∥ > c) hội tụ với c > n=1 Tương tự ta có ∞ ∑ P(∥Yn ∥ c) hội tụ với c > n=1 Chú ý { ηn (c) = Từ (2.3) suy Suy ∞ ∑ Eηn (c) hội tụ, n=1 ∞ ∑ η ∥η∥ c ∥η∥ > c ∥EYn (c)∥ n=1 ∞ ∑ ∞ ∑ EYn (c) hội tụ n=1 ∥EYn (c)∥2 hội tụ n=1 Ta có ∥Yn (c)∥ Suy ∞ ∑ E∥Yn (c)∥2 n=1 ∞ ∑ E∥Xn (c)∥2 n=1 ∞ ∑ 9(2 9(2 Do Vậy ∞ ∑ n=1 ∞ ∑ DXn (c) + DXn (c) + n=1 E∥Yn (c)∥2 hội tụ n=1 ∞ ∑ ∞ ∑ n=1 n=1 DYn (c) 3∥Xn (c)∥ D{ηn (c)} hội tụ ∞ ∑ ∥EXn (c)∥2 ) n=1 ∞ ∑ (2∥EYn (c)∥2 + 2∥Eηn (c)∥2 )) n=1 42 Từ phần đầu chứng minh định lý áp dụng định lý ba chuỗi Kolmogorov cho dãy vectơ ngẫu nhiên (ηn , n 1) ta suy hai chuỗi ∞ ∑ n=1 tụ Do ∞ ∑ Xn hội tụ n=1 ∞ ∑ Điều kiện cần Giả sử Suy ∞ ∑ n=1 Yn ∞ ∑ Xn hội tụ n=1 ηn hội tụ n=1 Từ dễ dàng suy chuỗi (2.2) (2.3) hội tụ Mặt khác DXn Do DXn (c) hội tụ DYn + D{ηn } Yn ∞ ∑ n=1 ηn hội 43 kết luận Luận văn thu kết sau: 1) Trình bày có hệ thống khái niệm biến ngẫu nhiên đơn trị, kỳ vọng phương sai biến ngẫu nhiên đơn trị 2) Trình bày có hệ thống khái niệm biến ngẫu nhiên đa trị, kỳ vọng phương sai biến ngẫu nhiên đa trị, khái niệm chứng minh chi tiết tính chất khoảng cách Hausdorff 3) Mở rộng định lý hai chuỗi lý thuyết xác suất cổ điển cho dãy phần tử ngẫu nhiên đa trị 4) Trình bày chứng minh định lý ba chuỗi cho dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian tập compact không gian Banach Khi điều kiện cho phép, cố gắng tiếp tục nghiên cứu hội tụ chuỗi bội biến ngẫu nhiên đa trị 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên (2001), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất Giáo dục [3] Ilya Molchanov (2005), Theory of random sets, Springer, London [4] Fumio Hiai and Hisaharu Umegaki (1977), Integrals, Conditional Expectations and Martingales of Multivalued Functions, Journal of Multivariate Analysis 7, 149 - 182 ... Trong trường hợp đặc biệt, X biến ngẫu nhiên đa trị F - đo X gọi cách đơn giản biến ngẫu nhiên đa trị Hiển nhiên, biến ngẫu nhiên đa trị A - đo biến ngẫu nhiên đa trị 2.3.2 Ví dụ Lấy Ω = [−1;... 1.3 Các loại biến ngẫu nhiên Trong phạm vi luận văn này, đề cập đến hai loại biến ngẫu nhiên Đó biến ngẫu nhiên rời rạc biến ngẫu nhiên liên tục 1.3.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc Định nghĩa Một biến. .. Nếu biến ngẫu nhiên X nhận hữu hạn giá trị, gọi biến ngẫu nhiên đơn giản Biến ngẫu nhiên gọi đại lượng ngẫu nhiên Trong trường hợp đặc biệt, X biến ngẫu nhiên F- đo được, X gọi cách đơn giản biến