Biến ngẫu nhiên đa trị và các lát cắt đo được

1 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Cơ sở xác suất 1.2 Một số kiến thức giải tích hàm 1.3 Ánh xạ đo biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên đa trị lát cắt đo 11 2.1 Biến ngẫu nhiên đa trị 11 2.2 Các tính chất biến ngẫu nhiên đa trị 12 2.3 Lát cắt ánh xạ đa trị 17 Kết luận Tài liệu tham khảo 24 25 LỜI NÓI ĐẦU Giải tích xác suất đa trị hướng nghiên cứu tương đối Toán học, từ năm 30 kỷ XX nhà toán học thấy cần phải nghiên cứu ánh xạ đa trị, tức ánh xạ nhận giá trị tập hợp tập hợp Sự đời tạp chí quốc tế “Set - Valued Anlysis” vào năm 1993 mốc lớn trình phát triển hướng nghiên cứu Vai trị giải tích đa trị Tốn học ứng dụng tốn học cơng nhận rộng rãi Ánh xạ đa trị đo (biến ngẫu nhiên đa trị) khái niệm đối tượng nghiên cứu giải tích xác suất đa trị Xuất phát từ khái niệm này, nghiên cứu vấn đề khác như: Các dạng hội tụ dãy phần tử ngẫu nhiên đa trị, Kỳ vọng tính chất biến ngẫu nhiên đa trị, Luật số lớn biến ngẫu nhiên đa trị, Để tập dượt nghiên cứu khoa học nâng cao hiểu biết mình, hồn thành luận văn tốt nghiệp, mạnh dạn lựa chọn đề tài “Biến ngẫu nhiên đa trị lát cắt đo được” Mục đích luận văn thơng qua tài liệu, đọc hiểu trình bày cách có hệ thống vấn đề liên quan đến biến ngẫu nhiên đa trị, chi tiết chứng minh cần thiết vấn đề nghiên cứu, tìm ví dụ minh họa cho tình lý thuyết đồng thời tìm số kết dạng hệ Với mục đích đó, nội dung luận văn trình bày hai chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức sở làm tảng cho nội dung chương Chương Biến ngẫu nhiên đa trị lát cắt đo Trong phần này, hệ thống hóa trình bày cách chi tiết khái niệm, tính chất biến ngẫu nhiên đa trị lát cắt đo Luận văn hoàn thành khoa Sau đại học trường Đại học Vinh, hướng dẫn khoa học thầy giáo PGS TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Thầy Cơ giáo tổ Xác suất thống kê Tốn ứng dụng Khoa Toán - Trường Đại học Vinh tận tình dạy dỗ, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy Cô giáo Khoa Sau đại học - Trường Đại học Vinh, ban lãnh đạo trường Đại học Vinh, bạn bè đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả để tác giả hồn thành khóa học thực luận văn Mặc dù tác giả cố gắng nhiều hạn chế lực, kiến thức thời gian nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Rất mong ý kiến đóng góp q báu để luận văn hồn thiện Xin trân trọng cảm ơn Nghệ An, tháng 11 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Cơ sở xác suất Giả sử Ω = ∅ P(Ω) họ tất tập Ω Mỗi họ C ⊂ P(Ω) gọi lớp 1.1.1 Định nghĩa Lớp A ⊂ P(Ω) gọi đại số điều kiện sau thỏa mãn: (i) Ω ∈ A; (ii) A ∈ A Ac = Ω \ A ∈ A; (iii) A, B ∈ A A ∪ B ∈ A 1.1.2 Định nghĩa Lớp F ⊂ P(Ω) gọi σ -đại số điều kiện sau thỏa mãn: (i) Ω ∈ F ; (ii) A ∈ F Ac = Ω \ A ∈ F ; ∞ (iii’) An ∈ F với n = 1, 2, ∈ F n=1 1.1.3 Định nghĩa Giả sử C ⊂ P(Ω) Khi đó, đại số (t.ư σ -đại số) bé chứa C gọi đại số (t.ư σ -đại số ) sinh C , ký hiệu A(C) (t.ư σ(C)) 1.1.4 Định nghĩa Giả sử (X, T ) không gian tơpơ Khi σ -đại số bé chứa T gọi σ -đại số Borel ký hiệu B(X) Điều nghĩa B(X) = σ(T ) 1.1.5 Định nghĩa Cho F σ -đại số tập Ω Khi cặp (Ω, F) gọi không gian đo 5 1.1.6 Định nghĩa Giả sử (Ω, F) không gian đo Một ánh xạ P : F → R gọi độ đo xác suất F thỏa mãn điều kiện sau: với A ∈ F (tính khơng âm); (i) P(A) (ii) P(Ω) = (tính chuẩn hóa); (iii) An ∈ F với n = 1, 2, Ai ∩ Aj = ∅ (i = j), ∞ ∞ An = P n=1 P(An ) (tính cộng tính đếm được) n=1 Khi ta có định nghĩa: Bộ (Ω, F, P) gọi không gian xác suất; Tập Ω gọi không gian biến cố sơ cấp; σ -đại số F gọi σ -đại số biến cố; Biến cố Ω ∈ F gọi biến cố chắn; Biến cố ∅ ∈ F gọi biến cố khơng thể có; Biến cố A = Ω \ A gọi biến cố đối biến cố A; Nếu A ∩ B := AB = ∅ A, B gọi biến cố xung khắc; Không gian (Ω, F, P) gọi không gian xác suất đầy đủ tập biến cố có xác suất không biến cố 1.1.7 Định nghĩa Cho (Ω1 , F1 ), (Ω2 , F2 ) hai không gian đo (i) Ánh xạ X : Ω1 → Ω2 gọi ánh xạ F1 /F2 -đo với B ∈ F2 X −1 (B) ∈ F1 (ii) Hàm f : Rn → R gọi hàm đo f −1 (B) ∈ B(Rn ) với B ∈ B(R), B(Rn ) σ -đại số Borel Rn 1.2 Một số kiến thức giải tích hàm Sau số vấn đề không gian mêtric 1.2.1 Định nghĩa Giả sử X = ∅ Một ánh xạ d : X × X → R gọi mêtric (khoảng cách) X (i) d(x, y) với x, y ∈ X ; (ii) d(x, y) = x = y ; (iii) d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X ; (iv) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) với x, y, z ∈ X Khi đó, cặp (X, d) gọi khơng gian mêtric Giả sử (X, d) không gian mêtric, x ∈ X r số thực dương Khi đó, tập hợp S(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r} gọi hình cầu mở tâm x, bán kính r Tập hợp S[x, r] = {y ∈ X : d(x, y) r} gọi hình cầu đóng tâm x, bán kính r Giả sử (X, d) khơng gian mêtric Ta nói dãy {xn : n 1} ⊂ X hội tụ x ∈ X n → ∞ d(xn , x) → n → ∞, ký hiệu xn → x Ta có định lý sau 1.2.2 Định lý Nếu (X, d) khơng gian mêtric, tập F ⊂ X tập đóng với dãy {xn , n 1} ⊂ F mà xn → x x ∈ F Giả sử (X, d) không gian mêtric Dãy {xn : n 1} ⊂ X gọi dãy Cauchy hay dãy bản, ∀ ε > 0, ∃N : d(xm , xn ) < ε, ∀m, n N Không gian mêtric (X, d) gọi không gian đầy đủ dãy Cauchy hội tụ Không gian mêtric (X, d) gọi khả ly tồn tập đếm trù mật Một tập A ⊂ X không gian mêtric (X, d) tập compact dãy {xn : n 1} ⊂ A chứa dãy {xnk : k 1} hội tụ tới điểm thuộc A Nếu (X, d) không gian compact tập đóng tập compact Tiếp theo số kiến thức không gian Banach 7 1.2.3 Định nghĩa Không gian vectơ X gọi không gian định chuẩn tồn ánh xạ : X → R thoả mãn (i) x 0, ∀x ∈ X ; (ii) x = ⇔ x = 0; (iii) kx = |k| x , ∀k ∈ R, ∀x ∈ X ; (iv) x + y x + y , ∀x, y ∈ X Nếu đặt d(x, y) = x − y (X, d) khơng gian mêtric Khi d gọi mêtric sinh chuẩn Nếu X khơng gian vectơ thực khơng gian định chuẩn (X, ) gọi không gian định chuẩn thực 1.2.4 Định nghĩa Không gian định chuẩn (X, ) gọi không gian Banach (X, d) khơng gian đầy đủ, d mêtric sinh chuẩn Nếu X không gian vectơ thực (X, ) khơng gian Banach, (X, ) gọi không gian Banach thực 1.3 Ánh xạ đo biến ngẫu nhiên 1.3.1 Định nghĩa Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất, G σ -đại số σ -đại số F Khi ánh xạ X : Ω → R gọi biến ngẫu nhiên G -đo ánh xạ G/B(R) đo (tức với B ∈ B(R) X −1 (B) ∈ G) Nếu X biến ngẫu nhiên F -đo ta cịn gọi X biến ngẫu nhiên, hay đại lượng ngẫu nhiên Nếu biến ngẫu nhiên X nhận hữu hạn giá trị gọi biến ngẫu nhiên đơn giản Mặt khác, ta thấy X biến ngẫu nhiên họ σ(X) = {X −1 (B) : B ∈ B(R)} lập thành σ -đại số σ -đại số F , σ -đại số gọi σ -đại số sinh X Đó σ -đại số bé X đo Từ suy X biến ngẫu nhiên G -đo σ(X) ⊂ G Sau số tính chất biến ngẫu nhiên 1.3.2 Mệnh đề X biến ngẫu nhiên điều kiện sau thỏa mãn: (i) (X < a) := (ω : X(ω) < a) ∈ F với a ∈ R; (ii) (X a) := (ω : X(ω) a) ∈ F với a ∈ R; (iii) (X > a) := (ω : X(ω) > a) ∈ F với a ∈ R; (iv) (X a) := (ω : X(ω) a) ∈ F với a ∈ R Chứng minh Chứng minh mệnh đề suy trực tiếp từ B(R) = σ{(−∞, a) : a ∈ R} = σ{(−∞, a] : a ∈ R} Sau định nghĩa ánh xạ đo nhận giá trị không gian mêtric 1.3.3 Định nghĩa Giả sử (Ω, A) không gian đo X không gian mêtric đầy đủ, khả ly Khi ánh xạ đơn trị: f : Ω → X gọi đo f −1 (B) := {ω ∈ Ω : f (ω) ∈ B} ∈ A với B ∈ B(X) 1.3.4 Định lý Giả sử (Ω, A) không gian đo X không gian mêtric đầy đủ, khả ly Nếu ánh xạ f : Ω → X giới hạn theo điểm dãy ánh xạ G -đo fk : Ω → X, (k ∈ N), nghĩa f (ω) = lim fk (ω), với ω ∈ Ω, k→∞ f ánh xạ G -đo Chứng minh Đặt L = {A ∈ B(X) : f −1 (A) ∈ G} 9 Khi ta thấy L σ -đại số Ta chứng minh L = B(X) Đầu tiên ta chứng minh F tập đóng X ∞ ∞ f −1 ∞ −1 fm (S(F, 1/k)), (F ) = k=1 n=1 m=n S(F, 1/k) = {x ∈ X : d(x, F ) < 1/k} Giả sử ω ∈ f −1 (F ), f (ω) ∈ F Ta có fn (ω) → f (ω) ⇒ d(fn (ω), f (ω)) → ⇒ ∀k, ∃n : d(fm (ω), f (ω)) < 1/k, ∀m n ⇒ ∀k, ∃n : d(fm (ω), F ) < 1/k, ∀m n ⇒ ∀k, ∃n : fm (ω) ∈ S(F, 1/k), ∀m n ⇒ ∀k, ∃n : ω ∈ f −1 (S(F, 1/k)), ∀m ∞ ∞ n ∞ f −1 (S(F, 1/k)) ⇒ω∈ k=1 n=1 m=n Do f −1 (F ) ⊂ ∞ ∞ ∞ f −1 (S(F, 1/k)) k=1 n=1 m=n ∞ ∞ ∞ Ngược lại, ω ∈ f −1 (S(F, 1/k)) k=1 n=1 m=n −1 n1 : ω ∈ fm (S(F, 1/k)) ∀k, ∃n1 cho ∀m ⇒∀k, ∃n1 cho ∀m n1 : fm (ω) ∈ (S(F, 1/k)) ⇒∀k, ∃n1 cho ∀m n1 : d(fm (ω), F ) < 1/k Mặt khác, fn (ω) → f (ω) nên d(fn (ω), f (ω)) → Khi ∀k, ∃n2 cho ∀m n2 : d(fm (ω), f (ω)) < 1/k Chọn n0 = max{n1 , n2 } ta d(f (ω), F ) d(fm (ω), f (ω)) + d(fm (ω), F ) < 2/k, ∀k, ∀m n0 Điều chứng tỏ d(f (ω), F ) = Vì F đóng nên f (ω) ∈ F , ω ∈ f −1 ∞ (F ) Điều dẫn đến ∞ ∞ f −1 (S(F, 1/k)) ⊂ f −1 (F ) k=1 n=1 m=n ∞ ∞ ∞ f −1 (F ) = −1 fm (S(F, 1/k)) k=1 n=1 m=n 10 −1 Vì fm (S(F, 1/k)) ∈ G nên f −1 (F ) ∈ G Do F ∈ L, tức L chứa tập đóng Từ suy σ(F đóng) ⊂ L, chứng tỏ B(X) ⊂ L Vậy L = B(X), hay f ánh xạ G -đo 11 CHƯƠNG BIẾN NGẪU NHIÊN ĐA TRỊ VÀ CÁC LÁT CẮT ĐO ĐƯỢC 2.1 Biến ngẫu nhiên đa trị Giả sử (Ω, A) không gian đo X không gian mêtric Ký hiệu P0 (X) = {A ⊂ X : A = ∅} họ tập khác rỗng X K(X) họ tập đóng, khác rỗng X 2.1.1 Định nghĩa Một ánh xạ F : Ω → P0 (X) gọi ánh xạ đa trị Tập G(F ) = {(ω, x) ∈ Ω × X : x ∈ F (ω)} gọi đồ thị F Với A ⊂ X, tập F −1 (A) = {ω ∈ Ω : F (ω) ∩ A = ∅} gọi nghịch ảnh tập A qua F Sau định nghĩa biến ngẫu nhiên đa trị 2.1.2 Định nghĩa (i) Ánh xạ đa trị F : Ω → K(X) gọi đo mạnh với tập đóng C ⊂ X F −1 (C) ∈ A (ii) Ánh xạ đa trị F : Ω → K(X) gọi đo yếu với tập mở O ⊂ X F −1 (O) ∈ A Một ánh xạ đa trị đo yếu thường gọi biến ngẫu nhiên đa trị (hay tập ngẫu nhiên) 2.1.3 Ví dụ Lấy Ω = [−1; 2] ⊂ R, A σ -đại số tập Ω (A = P(Ω)), X = R Xét ánh xạ đa trị F : Ω → K(X) xác định công thức F (x) = {−1} x < 0, F (x) = {1} x > 0, F (x) = [−1; 1] x = Khi F biến ngẫu nhiên đa trị 12 Chứng minh Ta có F : [−1; 2] → K(X)  {−1}, F (x) = {1},  [−1; 1], cho công thức: x < x > x = y ✻ •1 •O Đồ thị F ✲x •−1 Để chứng minh F biến ngẫu nhiên đa trị ta chứng minh với tập mở V ⊂ X F −1 (V ) = {x ∈ [−1; 2] : F (x) ∩ V = ∅} ∈ A Xét trường hợp sau: (1) Nếu {1} ∈ V, {−1} ∈ V F −1 (V ) = (0; 2] ∈ A; (2) Nếu {1} ∈ V, {−1} ∈ V F −1 (V ) = [−1; 0) ∈ A; (3) Nếu {1} ∈ V, {−1} ∈ V F −1 (V ) = [−1; 0] ∪ [0; 2] ∈ A; (4) Nếu {1} ∈ V, {−1} ∈ F −1 (V ) = {0} ∈ A; (5) Nếu V ∩ [−1; 1] = ∅ F −1 (V ) = ∅ ∈ A; (6) Nếu V ⊂ [−1; 1] F −1 (V ) = {0} ∈ A; (7) Nếu V ⊃ [−1; 1] F −1 (V ) = X ∈ A 2.2 Các tính chất biến ngẫu nhiên đa trị 2.2.1 Định lý Ánh xạ đa trị đo mạnh biến ngẫu nhiên đa trị 13 Chứng minh Giả sử F : Ω → K(X) ánh xạ đa trị đo mạnh Ta chứng minh F biến ngẫu nhiên đa trị, tức chứng minh với tập mở O ⊂ X, (O = X) F −1 (O) ∈ A Đặt Cn = x ∈ X : d(x, Oc ) n Đầu tiên ta chứng minh (i) Oc ∈ K(X); ∞ (ii) Cn đóng O = Cn n=1 Thật vậy, (i) Oc ∈ K(X) O mở (O = X) nên Oc đóng Oc = ∅, ta suy Oc ∈ K(X) (ii) Vì Cn = x ∈ X : d(x, Oc ) n nên n Lại d(., Oc ) ánh xạ liên tục nên Cn tập đo Lấy x ∈ X\Cn X\Cn = x ∈ X : d(x, Oc ) < d(x, Oc ) = a < 1/n, đặt r = 1/n − a Khi đó, với y ∈ S(x, r) d(y, Oc ) d(x, y) + d(x, Oc ) < r + a = 1/n Điều dẫn đến y ∈ X\Cn S(x, r) ⊂ X\Cn Như với x ∈ X\Cn tồn hình cầu mở S(x, r) ⊂ X\Cn nên X\Cn mở Do Cn đóng Mặt khác, ta có x ∈ O ⇔ x ∈ Oc ⇔ d(x, Oc ) > ⇔ ∃n0 : d(x, Oc ) ⇔ x ∈ Cn0 ∞ ⇔x∈ Cn n=1 n0 14 ∞ Do O = Cn n=1 Tiếp theo, từ định nghĩa nghịch ảnh F , ta có F −1 (O) = ω ∈ Ω : F (ω) ∩ O = ∅ ∞ = ω ∈ Ω : F (ω) ∩ Cn = ∅ n=1 ∞ = ω∈Ω: (F (ω) ∩ Cn ) = ∅) n=1 ∞ ω ∈ Ω : F −1 (ω) ∩ Cn = ∅ = n=1 Vì F đo mạnh Cn đóng nên F −1 (Cn ) ∈ A Điều dẫn đến F −1 (O) ∈ A, từ suy F đo yếu, hay F biến ngẫu nhiên đa trị 2.2.2 Bổ đề Giả sử (Ω, A) không gian đo X, Y không gian mêtric khả ly Giả sử g : Ω × X → Y ánh xạ thỏa mãn (i) ánh xạ g(., x) đo với x ∈ X ; (ii) ánh xạ g(ω, ) liên tục với ω ∈ Ω Khi g ánh xạ đo σ -đại số A ⊗ B , A ⊗ B = σ {A × B ⊂ Ω × X : A ∈ A, B ∈ B} Chứng minh Theo Định lý 1.3.4, ta cần chứng minh tồn dãy ánh xạ gk : X ⊗ Y → Z, k ∈ N đo theo A ⊗ B hội tụ điểm đến g Giả sử {xi : i ∈ N} tập đếm trù mật X (ω, x) ∈ Ω × X Với k ∈ N, ký hiệu i = i(k) ∈ N số nhỏ cho x ∈ S(xi , k −1 ), điều tương đương với xi ∈ S(x, k −1 ) (2.1) 15 Ta đặt gk (ω, x) = g(ω, xi ) Từ (2.1) ánh xạ g(ω, ) liên tục nên lim gk (ω, x) = lim g(ω, xi(k) ) = g(ω, x), k→∞ k→∞ với (ω, x) ∈ Ω × X Ta phải chứng minh gk đo theo A ⊗ B Thật vậy, đặt i−1 −1 S(xj , k −1 ) Xi,k = S(xi , k )\ j=1 ∞ Vì {xi : i ∈ N} trù mật X nên ta có Xi,k = X i=1 Rõ ràng Xi,k ∈ B, với (i, k) ∈ N × N Ngồi ra, gk (ω, x) = g(ω, xi ), với (ω, x) ∈ Ω × Xi,k Điều chứng tỏ gk đo theo A ⊗ B Thật vậy, giả sử W ⊂ Y tập mở tùy ý Ta có gk−1 (W ) = {(ω, x) ∈ Ω × X : gk (ω, x) ∈ W } ∞ = {(ω, x) ∈ Ω × X : g(ω, xi ) ∈ W } i=1 ∞ (g(., xi ))−1 (W ) × Xi,k = i=1 tập thuộc A ⊗ B 2.2.3 Bổ đề Giả sử (Ω, A, µ) khơng gian có độ đo đủ, σ -hữu hạn X không gian mêtric đủ, khả ly Nếu M ∈ A ⊗ B PrX (M ) := {ω ∈ Ω : ∃x ∈ X, (ω, x) ∈ M } tập thuộc A (Hình chiếu lên Ω tập đo theo A ⊗ B đo theo A.) 16 2.2.4 Định lý Giả sử (Ω, A) không gian đo X không gian mêtric khả ly Giả sử F : Ω → K(X) ánh xạ đa trị Xét điều kện sau: (a) Với tập Borel B ⊂ X, F −1 (B) ∈ A (b) Với tập đóng C ⊂ X, F −1 (C) ∈ A (c) Với tập mở O ⊂ X, F −1 (O) ∈ A (d) ω → d(x, F (ω)) hàm đo với x ∈ X (e) G(F ) ∈ A ⊗ B(X) Khi ta có kết sau: (1) a ⇒ b ⇒ c ⇔ d ⇒ e (2) Nếu X đầy đủ A đầy đủ độ đo σ -hữu hạn a ⇔ b ⇔ c ⇔ d ⇔ e Chứng minh (1) (a) ⇒ (b): Khẳng định hiển nhiên σ -đại số Borel σ -đại số bé chứa tập mở nên tập mở tập Borel, tập đóng tập Borel (b) ⇒ (c): Áp dụng định lý 2.2.1 (c) ⇔ (d): Vì X không gian khả ly nên ánh xạ F đo F −1 (S(x, r)) tập đo với hình cầu mở S(x, r) X Mặt khác, ánh xạ ω → d(x, F (ω)) hàm đo với x ∈ X {ω : d(x, F (ω)) < r} tập đo với r > tùy ý Ta lại có F −1 (S(x, r)) = {ω : F (ω) ∩ S(x, r) = ∅} = {ω : d(x, F (ω)) < r} Điều kết hợp với lập luận ta có (c) ⇔ (d) (d) ⇒ (e): Giả sử với x ∈ X d(x, F (.)) hàm đo Vì F có giá trị đóng, khác rỗng nên G(F ) = {(ω, x) ∈ Ω × X : x ∈ F (ω)} = {(ω, x) ∈ Ω × X : d(x, F (ω)) = 0} (2.2) 17 Vì với x ∈ X hàm số d(., F (ω)) liên tục nên theo Bổ đề 2.2.2 cho trường hợp g(ω, x) = d(x, F (ω)), với (ω, x) ∈ Ω × X, ta suy g : Ω × X → R đo theo A ⊗ B Đẳng thức (2.2) kéo theo G(F ) = g −1 ({0}) Vì {0} ∈ B(R) g A ⊗ B(X)/B(R)-đo nên G(F ) ∈ A ⊗ B (2) Theo (1) (a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇔ (d) ⇒ (e) nên để có (2), ta cần chứng minh (e) ⇒ (a) đủ Thật vậy, giả sử G(F ) ∈ A ⊗ B B ⊂ X tập Borel Ta có F −1 (B) = {ω : F (ω) ∩ B = ∅} = {ω : (ω, x) ∈ G(F ) ∩ (Ω × B)} = P rΩ (G(F ) ∩ (Ω × B)) Vì G(F ) ∈ A ⊗ B Ω × B ∈ A ⊗ B nên theo Bổ đề 2.2.3 F −1 (B) ∈ A Vậy (e) ⇒ (a) 2.3 Lát cắt ánh xạ đa trị 2.3.1 Định nghĩa Giả sử f : Ω → X ánh xạ đơn trị F : Ω → K(X) ánh xạ đa trị Khi f gọi lát cắt F f (ω) ∈ F (ω) với ω ∈ Ω Tiếp theo định lý tồn lát cắt ánh xạ đa trị 2.3.2 Định lý Cho (Ω, A) không gian đo X không gian mêtric đầy đủ, khả ly Giả sử F : Ω → K(X) biến ngẫu nhiên đa trị, tồn lát cắt đo f : Ω → X F Chứng minh Vì X khơng gian mêtric khả ly nên tồn tập đếm trù mật X0 = {xi : i 1} Ta xây dựng dãy ánh xạ đo 18 fk : Ω → X , k = 0, 1, 2, nhận giá trị X0 cho fk hội tụ theo điểm đến lát cắt f F k → ∞ Khi đó, từ Định lý 1.3.4 suy f lát cắt đo cần tìm Ta xây dựng quy nạp dãy ánh xạ đo fk : Ω → X nhận giá trị X0 thỏa mãn điều kiện: (a) d(fk (ω), F (ω)) < 2−k với ω ∈ Ω, với k ∈ N (b) d(fk (ω), fk+1 (ω)) < 2−(k−1) với ω ∈ Ω, với k ∈ N Vì X0 trù mật X nên với x ∈ X với ε > tồn i ∈ N cho x ∈ S(xi , ε) Do đó, với ω ∈ Ω, gọi i = i(ω) số tự nhiên nhỏ cho F (ω) ∩ S(xi , 1) = ∅ (2.3) f0 (ω) = xi(ω) = xi , ∀ω ∈ Ω (2.4) Ta đặt Ta chứng minh f0 ánh xạ đo Thật vậy, với i ∈ N ta có i−1 f0−1 (xi ) = {ω ∈ Ω : F (ω) ∩ S(xi , 1) = ∅} {ω ∈ Ω : F (ω) ∩ S(xj , 1) = ∅} j=1 i−1 =F −1 (S(xi , 1)) F −1 (S(xj , 1)) ∈ A Ω\ j=1 F ánh xạ đa trị đo Với tập mở V f0−1 (V ) = f0−1 (xi ), i∈{j:xj ∈V } tập thuộc A Điều chứng tỏ f0 ánh xạ đo Từ (2.3) (2.4) ta cịn có d(f0 (ω), F (ω)) d (f0 (ω), F (ω) ∩ S(f0 (ω), 1)) < 1, với ω ∈ Ω, (2.5) khẳng định (a) thỏa mãn k = Giả sử ta xây dựng dãy hữu hạn ánh xạ fk : Ω → X , k = 0, 1, , m nhận giá trị X0 19 cho mệnh đề (a) (b) thỏa mãn, tức (am ) d(fk (ω), F (ω)) < 2−k với ω ∈ Ω, với k = 0, 1, , m (bm ) d(fk (ω), fk+1 (ω)) < 2−(k−1) với ω ∈ Ω, với k = 0, 1, , m − Với i ∈ N, ta đặt Si = {ω ∈ Ω : fm (ω) = xi } Ta thấy tập {Si : i ∈ N} đôi không giao nhau, ta có ∞ Si Từ (am ) ta suy Ω= i=1 F (ω) ∩ S(xi , 2−m ) = ∅, ∀ω ∈ Si (2.6) Cố định ω ∈ Ω chọn i ∈ N cho ω ∈ Si Ký hiệu j = j(ω) số tự nhiên nhỏ cho F (ω) ∩ S(xi , 2−m ) ∩ S(xj , 2−(m+1) ) = ∅ (2.7) Vì (2.6) nên số tự nhiên j = j(ω) thỏa mãn (2.7) tồn suy Đặt fm+1 (ω) = xj(ω) = xj Khi lấy x phần tử thuộc tập hợp vế trái (2.7) ta có d(fm (ω), fm+1 (ω)) = d(xi(ω) , xj(ω) ) = d(xi , xj ) d(xi , x) + d(xj , x) 2−m + 2−(m+1) < 2−(m−1) , nghĩa mệnh đề (b) với k = m + Ngoài ra, từ (2.7) ta suy d(fm+1 (ω), F (ω)) d fm+1 (ω), F (ω) ∩ S(xi , 2−m ) ∩ S(xj , 2−(m+1) ) < 2−(m+1) fm+1 (ω) = xj Vậy mệnh đề (a) với k = m + Như ta xây dựng ánh xạ đo fm+1 : Ω → X nhận giá trị X0 cho mệnh đề (a) (b) thỏa mãn 20 Mặt khác, từ mệnh đề (b) ta có d(fk+p (ω), fk (ω)) d(fk+p (ω), fk+p−1 (ω)) + d(fk+p−1 (ω), fk+p−2 (ω)) + + d(fk+1 (ω), fk (ω)) 2−(k+p−2) + 2−(k+p−3) + + 2−(k−1) 2−k+2 → k → ∞ Điều kéo theo {fk (ω) : k 1} la dãy Cauchy khơng gian mêtric X đầy đủ nên hội tụ Ta gọi lim fk (ω) = f (ω) Lấy giới hạn vế k→∞ mệnh đề (a) k → ∞ ta d(f (ω), F (ω)) = với ω ∈ Ω Do F đóng nên f (ω) ∈ F (ω) với ω ∈ Ω Vậy f lát cắt đo F 2.3.3 Định lý Cho (Ω, A) không gian đo X không gian mêtric đầy đủ, khả ly Giả sử F : Ω → K(X) ánh xạ đa trị, khẳng định sau tương đương: (a) F biến ngẫu nhiên đa trị (b) Tồn họ đếm lát cắt đo trù mật {fk }k∈N F (c) Với x ∈ X , hàm số ω → d(x, F (ω)) đo Chứng minh (a) ⇒ (b) Giả sử X0 = {xi : i ∈ N} tập đếm trù mật X Với k ∈ N i ∈ N, xét ánh xạ Fi,k : Ω → K(X) cho công thức Fi,k (ω) = F (ω) ∩ S(xi , k −1 ) F (ω) F (ω) ∩ S(xi , k −1 ) = ∅ trường hợp lại Rõ ràng F i,k : Ω → K(X), F i,k (ω) := Fi,k (ω), ánh xạ đa trị F i,k (ω) ⊂ F (ω), với ω ∈ Ω Ngoài ra, F i,k biến ngẫu nhiên đa trị Thật vậy, giả sử V ⊂ X tập mở 21 cho trước Vì F i,k (V ) = {ω ∈ Ω : F i,k (ω) ∩ V = ∅} = {ω ∈ Ω : Fi,k (ω) ∩ V = ∅} = {ω ∈ Ω : F (ω) ∩ S(xi , k −1 ) ∩ V = ∅} (Ω\{ω ∈ Ω : F (ω) ∩ S(xi , k −1 ) = ∅}) ∩ {ω ∈ Ω : F (ω) ∩ V = ∅} = F −1 (S(xi , k −1 ) ∩ V ) (Ω\F −1 (S(xi , k −1 ))) ∩ F −1 (V ) −1 F đo nên F i,k (V ) ∈ A Điều chứng tỏ F i,k biến ngẫu nhiên đa trị Theo định lý 2.3.2 F i,k có lát cắt đo fi,k : Ω → X Rõ ràng {fi,k : (i, k) ∈ N × N} họ đếm lát cắt đo F Ta chứng minh {fi,k (ω) : (i, k) ∈ N × N} = F (ω), ∀ω ∈ Ω (2.8) Lấy tùy ý ω ∈ Ω, x ∈ F (ω), ε > Để thu (2.8) ta cần chứng minh tồn (i, k) ∈ N × N cho fi,k (ω) ∈ S(x, ε) (2.9) Chọn k ∈ N cho k −1 < ε/2 chọn i ∈ N cho d(x, xi ) < k −1 Khi đó, x ∈ F (ω) ∩ S(xi , k −1 ) nên Fi,k (ω) = F (ω) ∩ S(xi , k −1 ) = ∅ Do Fi,k (ω) = F (ω) ∩ S(xi , k −1 ) Vì fi,k (ω) ∈ F i,k (ω) nên ta có fi,k (ω) ∈ S(xi , k −1 ) Vậy d(fi,k (ω), x) d(fi,k (ω), xi ) + d(xi , x) < k −1 + k −1 < ε, ta có (2.9) (b) ⇒ (c) Giả sử {fk }k∈N họ đếm lát cắt đo trù mật F Lấy tùy ý x ∈ X Với k ∈ N, xét hàm số ω → d(x, fk (ω)) Với 22 α ∈ R, tập hợp Xα := {ω ∈ Ω : d(x, fk (ω)) < α} = {ω ∈ Ω : fk (ω) ∈ S(x, α)} = fk−1 (S(x, α)) ∈ A Điều chứng tỏ với k ∈ N d(x, fk (.)) hàm số thực đo Vì hàm số ω → inf d(x, fk (ω)) k∈N đo Do {fk (ω) : k ∈ N} = F (ω) nên ta có inf d(x, fk (ω)) = d(x, F (ω)), k∈N ta suy hàm số ω → d(x, F (ω)) đo (c) ⇒ (a) Giả sử với x ∈ X , hàm số ω → d(x, fk (ω)) đo Khi đó, với α ∈ R ta có {ω ∈ Ω : d(x, F (ω)) < α} tập đo Vì {ω ∈ Ω : d(x, F (ω)) < α} = {ω ∈ Ω : F (ω) ∩ S(x, α) = ∅} = F −1 (S(x, α)) nên F −1 (S(x, α)) ∈ A Cho trước tập mở tùy ý V ⊂ Y , sử dụng kết nhận xét 2.2.2 ta biểu diễn V dạng ∞ V = S(xj , rj ), rj > với j j=1 Khi ∞ F −1 F −1 (S(xj , rj )) (V ) = j=1 tập đo Vậy F biến ngẫu nhiên đa trị Từ định lý ta có hệ sau 23 2.3.4 Hệ Cho (Ω, A) không gian đo X không gian mêtric đầy đủ, khả ly Giả sử F, F1 , F2 biến ngẫu nhiên đa trị Khi (i) d(x, F (ω)) biến ngẫu nhiên với x ∈ X (ii) H(F1 (ω), F2 (ω)) biến ngẫu nhiên thực Trên tập hợp biến ngẫu nhiên đa trị, ta xác định phép toán sau: Phép cộng: Giả sử F1 , F2 hai ánh xạ đa trị Khi (F1 ⊕ F2 )(ω) = cl(F1 (ω) + F2 (ω)), với ω ∈ Ω Phép nhân: Giả sử F ánh xạ đa trị, ξ ánh xạ (đơn trị) nhận giá trị thực Khi (ξF )(ω) = ξ(ω)F (ω), với ω ∈ Ω Bao lồi đóng: Giả sử F ánh xạ đa trị Khi (coF )(ω) = coF (ω), với ω ∈ Ω 2.3.5 Hệ Giả sử (Ω, A) không gian đo X không gian mêtric đầy đủ, khả ly Khi đó, F1 , F2 hai biến ngẫu nhiên đa trị, ξ biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực, F1 ⊕ F2 , ξF, coF biến ngẫu nhiên đa trị 24 KẾT LUẬN Kết luận văn Luận văn thu kết sau: Trình bày số kiến thức sở xác suất, số kiến thức giải tích hàm, ánh xạ đo biến ngẫu nhiên Trình bày khái niệm biến ngẫu nhiên đa trị với ví dụ minh họa tính chất liên quan Trình bày chi tiết khái niệm lát cắt đo biến ngẫu nhiên đa trị với tính chất liên quan Hướng phát triển luận văn Nghiên cứu định lý giới hạn biến ngẫu nhiên đa trị luật số lớn, định lý ba chuỗi, 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Đông Yên (2007), Giải tích đa trị, NXB Khoa học Tự nhiên Công nghệ [3] Ilya Molchanov (2005), Theory of Random Sets, Springer, London [4] S Li, Y Ogura and V Kreinovich (2002), Limit theorems and applications of set-valued and fuzzy set-valued random variables, Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht  ... 2.2 Các tính chất biến ngẫu nhiên đa trị 2.2.1 Định lý Ánh xạ đa trị đo mạnh biến ngẫu nhiên đa trị 13 Chứng minh Giả sử F : Ω → K(X) ánh xạ đa trị đo mạnh Ta chứng minh F biến ngẫu nhiên đa trị, ... Nếu X biến ngẫu nhiên F -đo ta cịn gọi X biến ngẫu nhiên, hay đại lượng ngẫu nhiên Nếu biến ngẫu nhiên X nhận hữu hạn giá trị gọi biến ngẫu nhiên đơn giản Mặt khác, ta thấy X biến ngẫu nhiên. .. B(X) ⊂ L Vậy L = B(X), hay f ánh xạ G -đo 11 CHƯƠNG BIẾN NGẪU NHIÊN ĐA TRỊ VÀ CÁC LÁT CẮT ĐO ĐƯỢC 2.1 Biến ngẫu nhiên đa trị Giả sử (Ω, A) không gian đo X không gian mêtric Ký hiệu P0 (X) =