Kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên đa trị

1 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Kiến thức sở 1.1 Các ký hiệu 1.2 Một số khái niệm Kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên đa trị 2.1 Một số tính chất phần tử ngẫu nhiên đa trị 2.2 Định nghĩa tính chất kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên đa trị 16 2.3 Kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên đa trị khơng gian xác suất khơng có nguyên tử 20 2.4 Quan hệ lát cắt kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên đa trị 23 2.5 Quan hệ kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên đa trị tích phân Bochner 26 Kết luận Tài liệu tham khảo 29 30 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết xác suất môn nghiên cứu quy luật chi phối đưa phương pháp tính tốn cho tượng ngẫu nhiên, tượng tưởng chừng khơng có quy luật Xuất phát từ thư từ trao đổi hai nhà toán học Blaise Pascal (1623-1662) Pierre de Fermat (1601-1665) xung quanh số toán liên quan đến trò chơi may rủi, lý thuyết xác suất hình thành, phát triển cách nhanh chóng trở thành chuyên ngành độc lập, lĩnh vực toán học chặt chẽ kể từ Kolmogorov công bố sách "Foundation of the Probability" năm 1933, ơng xây dựng lý thuyết xác suất phương pháp tiên đề Trong thập kỷ gần đây, lý thuyết phần tử ngẫu nhiên đa trị xuất có bước phát triển mạnh mẽ, dẫn tới nhiều ứng dụng lĩnh vực khác như: Tối ưu hóa điều khiển, hình học ngẫu nhiên, tốn kinh tế, thống kê, Các vấn đề thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà tốn học Chúng ta kể tên số nhà toán học tiêu biểu nghiên cứu lĩnh vực như: Gerald Beer, Charles Castaing, Fumio Hiai, Robert Lee Taylor, Các kết xác suất đa trị mở rộng thực kết xác suất đơn trị Trong lý thuyết xác suất đơn trị, kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên đóng vai trị quan trọng Vì xác suất đa trị, tìm hiểu kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên đa trị nghiên cứu tính chất đóng vai trị quan trọng Chính lý chúng tơi chọn đề tài "Kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên đa trị" để nghiên cứu Luận văn chia làm chương: Chương Kiến thức sở Trong chương này, giới thiệu số khái niệm sở liên quan đến nội dung chương sau Cụ thể, chúng tơi trình bày khái niệm, ký hiệu tính chất phần tử ngẫu nhiên đa trị Chương Kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên đa trị Chúng tơi trình bày khái niệm, tính chất kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên đa trị, kỳ vọng phần ngẫu nhiên đa trị khơng gian xác suất khơng có nguyên tử, quan hệ lát cắt kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên đa trị, mối quan hệ kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên đa trị tích phân Bochner Luận văn hồn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm khắc thầy giáo PGS TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người dạy cho tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập, nghiên cứu khoa học sống Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ Xác suất Thống kê Toán ứng dụng, thầy Khoa Tốn Tác giả đặc biệt cảm ơn người bạn Dương Xuân Giáp-giảng viên khoa Tốn anh chị, bạn nhóm Seminar "Xác suất thống kê " giúp đỡ tận tình cho tác giả Đồng thời, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới gia đình bạn bè quan tâm, động viên tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, giáo bạn đọc để luận văn hồn thiện Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương giới thiệu định nghĩa kiến thức liên quan đến luận văn 1.1 Các ký hiệu M[Ω, X] không gian hàm đa trị nhận giá trị đóng, khác ∅ khơng gian Banach X L1 [Ω, X] không gian hàm đa trị bị chặn, khả tích M[Ω, X] L1 [Ω, X] không gian hàm đo được, khả tích khơng gian Banach X K(X) tập hợp tập đóng, khác rỗng X Kc (X) tập hợp tập lồi X thuộc K(X) Kcc (X) tập hợp tập compact lồi X thuộc K(X) L1c [Ω, A, µ, X] = L1c [Ω, X] = {F ∈ L1 [Ω, X] : F (ω) ∈ Kc (X) h.k.n } L1cc [Ω, A, µ, X] = L1cc [Ω, X] = {F ∈ L1 [Ω, X] : F (ω) ∈ Kcc (X) h.k.n } L1c [Ω, A, µ, X] = L1c [Ω, X] bao đóng tập tất hàm đơn giản L1c [Ω, X] 1.2 Một số khái niệm 1.2.1 Định nghĩa Giả sử Ω = ∅, 2Ω họ tất tập Ω Khi A ⊂ 2Ω gọi đại số nếu: (i) Ω ∈ A, (ii) Nếu A ∈ A (Ω \ A) ∈ A, (iii) Nếu A, B ∈ A A ∪ B ∈ A 1.2.2 Định nghĩa Giả sử Ω = ∅, 2Ω họ tất tập Ω Khi A ⊂ 2Ω gọi σ -đại số nếu: (i) Ω ∈ A, (ii) Nếu A ∈ A (Ω \ A) ∈ A, (iii) Nếu An ∈ A, ∀n = 1, 2, 3, ∪∞ n=1 An ∈ A 1.2.3 Định nghĩa Giả sử Ω = ∅, A σ -đại số tập Ω Khi cặp (Ω, A) gọi không gian đo 1.2.4 Định nghĩa Giả sử (Ω, A) khơng gian đo Hàm µ : A → R gọi độ đo xác suất A thỏa mãn điều kiện sau: (i) ∀A ∈ A µ(A) ≥ 0, (ii) µ(Ω) = 1, (iii) Nếu An ∈ A, ∀n = 1, 2, 3, vAi ∩ Aj = ∅, ∀i = j ∞ µ(∪∞ n=1 An ) = µ(An ) n=1 + Bộ (Ω, A, µ) gọi khơng gian xác suất + Mỗi A ∈ A gọi biến cố + Tập Ω gọi không gian biến cố sơ cấp + Không gian xác suất (Ω, A, µ) gọi đầy đủ tập tập có xác suất biến cố Tức N ∈ A, µ(N ) = M ⊂ N M ∈ A 1.2.5 Định nghĩa Giả sử (X, T ) khơng gian Tơpơ Khi σ -đại số bé chứa T gọi σ -đại số Borel ký hiệu B(X) Vậy: B(X) σ -đại số bé chứa tập mở X 1.2.6 Định nghĩa Giả sử (Ω1 , F1 ), (Ω2 , F2 ) hai không gian đo Hàm f : Ω1 → Ω2 gọi ánh xạ F1 /F2 - đo với B ∈ F2 f −1 (B) ∈ F1 Hàm f : Rn → R gọi ánh xạ đo f −1 (B) ∈ B(Rn ) với ∀B ∈ B(R) Giả sử (Ω, A, µ) khơng gian xác suất, G σ -đại số σ -đại số A Khi ánh xạ f : Ω → R gọi biến ngẫu nhiên G -đo ánh xạ G B(R) đo 1.2.7 Phần tử ngẫu nhiên Giả sử (Ω, A, µ) không gian xác suất đầy đủ, X không gian Banach khả li, G σ - đại số A 1.2.7.1 Định nghĩa Ta nói ánh xạ f : Ω → X phần tử ngẫu nhiên G -đo được, nhận giá trị X f G/B(X)- đo (nghĩa với B ∈ B(X) f −1 (B) ∈ G ) Phần tử ngẫu nhiên A- đo gọi đơn giản phần tử ngẫu nhiên Ví dụ Xét ánh xạ f : Ω → X xác định f (ω) = ∀ω ∈ Ω Khi f phần tử ngẫu nhiên G - đo với G = {∅, Ω} Thật f −1 (B) =  /B ∅ ∈  Ω ∈ B nên f −1 (B) ∈ G với B ∈ B(X) 1.2.7.2 Kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên Với X không gian Banach, ta ký hiệu X ∗ = {f : X → R, f phiếm hàm tuyến tính, liên tục } Ta gọi X ∗ không gian liên hợp X Với f ∈ X ∗ , chuẩn f xác định công thức f = sup | f (x) | x ≤1 Giả sử g : Ω → X phần tử ngẫu nhiên, phần tử Eg ∈ X gọi kỳ vọng g với f ∈ X ∗ ta có f (Eg) = E(f (g)) ∈ R Ví dụ Cho a ∈ X, A ∈ A, g = aIA g(ω) =  a ω ∈ A  ω ∈ /A Ta có Eg = µ(A)a ∈ X Thật vậy, với f ∈ X ∗ f (Eg) = f (µ(A)a)) = µ(A)f (a), E(f (g)) = E[f (a)IA ] = f (a)EIA = f (a)µ(A) Vậy Eg = µ(A)a 1.2.8 Khơng gian xác suất khơng có ngun tử Cho A σ -đại số Ω Khi A ∈ A gọi nguyên tử A ⊂ A tồn B ⊂ A cho µ((A ∩ B) Trong đó: X A ) = Y = (X\Y ) ∪ (Y \X) 1.2.9 Định lý tách Cho X không gian Banach khả ly tập lồi đóng M ⊂ X Khi với x ∈ X tồn x∗ ∈ X ∗ , x∗ = cho: x, x∗ , − d(x, M ) ≥ sup y, x∗ y∈M 1.2.10 Định nghĩa Không gian Banach X gọi có tính chất RadonNikodym (RNP) với khơng gian đo hữu hạn (Ω, A, µ) hàm tập λ nhận giá trị X , xác định A, (λ : A → X), có biến phân hữu hạn µ-liên tục tuyệt đối tồn hàm f ∈ L1 (Ω, X) cho f dµ, ∀A ∈ A, λ(A) = A ánh xạ λ gọi µ-liên tục tuyệt đối với A ⊂ Ω mà µ(A) = λ(A) = CHƯƠNG KỲ VỌNG CỦA PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN ĐA TRỊ 2.1 Một số tính chất phần tử ngẫu nhiên đa trị 2.1.1 Phần tử ngẫu nhiên đa trị 2.1.1.1 Định nghĩa Giả sử (Ω, A) không gian đo được, X không gian Mêtric, 2X họ tập X Khi F : Ω → 2X gọi ánh xạ đa trị Khi D(F ) = {ω ∈ Ω : F (ω) = ∅} gọi miền xác định F ; G(F ) = {(ω, x) ∈ Ω × X : x ∈ F (ω)} gọi đồ thị F F −1 (A) = {ω ∈ Ω : F (ω) ∩ A = ∅}, (A ⊂ X ) gọi nghịch ảnh F 2.1.1.2 Định nghĩa Giả sử (Ω, A) không gian đo được, X không gian Mêtric Ký hiệu K(X) họ tập đóng khác rỗng X (i) Hàm đa trị F : Ω → K(X) gọi đo mạnh với tập đóng C X, F −1 (C) ∈ A (ii) Hàm đa trị F : Ω → K(X) gọi đo yếu với tập mở O X, F −1 (O) ∈ A (iii) Hàm đa trị đo yếu gọi phần tử ngẫu nhiên đa trị 10 *Ví dụ Cho Ω = [−1, 2] ⊂ R, X = R Và ánh xạ F : Ω → K(R) Với  {−1} ω <      F (ω) = {1} ω >      [−1, 1] ω = Khi F phần tử ngẫu nhiên đa trị D(F ) = Ω, G(F ) = {(ω, −1) : ω ∈ [−1, 0)} ∪ {(ω, 1) : ω ∈ (0, 2]} ∪ {(0, x) : x ∈ [−1, 1]} Chứng minh Để chứng minh F phần tử ngẫu nhiên đa trị ta chứng minh: Với tập mở V ⊂ X F −1 (V ) = {x ∈ [−1, 2] : F (x) ∩ V = ∅} ∈ A Ta xét trường hợp sau: (i) Nếu {1} ∈ V, {−1} ∈ / V F −1 (V ) = (0, 2] ∈ A (ii) Nếu {1} ∈ / V, {−1} ∈ V F −1 (V ) = [−1, 0) ∈ A (iii) Nếu {1} ∈ V, {−1} ∈ V F −1 (V ) = [−1, 2] ∈ A (iv) Nếu {1} ∈ / V, {−1} ∈ / V F −1 (V ) = {0} ∈ A (v) Nếu V ∩ [−1, 1] = ∅ F −1 (V ) = ∅ ∈ A (vi) Nếu V ⊂ [−1, 1] F −1 (V ) = {0} ∈ A (vii) Nếu V ⊃ [−1, 1] F −1 (V ) = X ∈ A 2.1.1.3 Định nghĩa Giả sử f : Ω → X ánh xạ đơn trị, F : Ω → 2X ánh xạ đa trị Khi f gọi lát cắt F f (ω) ∈ F (ω) h.c.c Ta ký hiệu SFp tập hợp tất lát cắt đo f thỏa mãn f p dµ < ∞ Ω 2.1.1.4 Định lý Cho (Ω, A) không gian đo X không gian Mêtric khả ly Cho F : Ω → 2X hàm đa trị thỏa mãn F (ω) tập đóng với ω ∈ Ω Xét điều kiện: 16 Khi ta {fn } ⊂ SFp Iφ (fn ) = φ(ω, g(ω))dµ + φ(ω, f0 (ω))dµ Cn ≤ Ω\Cn Ω Ω ζdµ Từ 2.2 (φ(ω, f0 (ω)) − ζ(ω))dµ ζdµ + Ω\Cn < β Cn ↑ Ω, ta có Iφ (fn ) < β, ∀n Định nghĩa tính chất kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên đa trị Ta ký hiệu Lp (Ω, A, µ; X) = Lp (Ω, X) không gian Banach hàm f đo được, khả tích bậc p (f : Ω → X) với chuẩn : 1/p p ||f ||p = ||f (ω)|| dµ , ≤ p < ∞ Ω ||f ||∞ = ess sup ||f (ω)|| ω∈Ω Lp (Ω, A, µ) = Lp khơng gian Banach hàm đo nhận giá trị thực 2.2.1 Định nghĩa Cho F ∈ M [Ω, X] Kỳ vọng F Ω định nghĩa : f dµ, f ∈ SF1 }, F dµ = { Ω Ω f dµ Ω tích phân Bochner f độ đo µ Với A ∈ A : Kỳ vọng A F dµ ={ A f dµ, f ∈ SF1 } gọi kỳ vọng F hạn chế A 2.2.2 Bổ đề Cho F1 , F2 ∈ M[Ω, X], F (ω) = cl(F1 (ω) + F2 (ω)) ∀ω ∈ Ω 17 Khi F ∈ M[Ω, X] Hơn nữa, SFp SFp khác rỗng với ≤ p < ∞ SFp = cl(SFp + SFp ) Chứng minh F ∈ M[Ω, X] suy trực tiếp từ điều kiện (v) Định lý 2.1.1.4 Nếu SFp SFp khác rỗng với ≤ p < ∞ theo Bổ đề 2.1.1.5 tồn hai dãy {f1i } ⊂ SFp {f2j } ⊂ SFp cho F1 (ω) = cl{f1i (ω)} F2 (ω) = cl{f2j (ω)} Vì F (ω) = cl{f1i (ω) + f2j (ω)}, ∀ω ∈ Ω Với f ∈ SFp > 0, sử dụng Bổ đề 2.1.1.6 ta chọn phân hoạch hữu hạn {A1 , · · ·, An } ⊂ Ω số nguyên i1 , , in ; j1 , , jn thỏa mãn n f− IAk (f1ik + f2jk ) p < k=1 Từ ta có SFp ⊂ cl(SFp + SFp ) 2.2.3 Bổ đề Cho F ∈ M[Ω, X] (coF )(ω) = coF (ω) bao đóng lồi F X với ω ∈ Ω, Khi coF ∈ M[Ω, X] Hơn nữa, SFp = ∅ với ≤ p < ∞ p ScoF = coSFp p Chứng minh: Cho SFp = ∅ với ≤ p < ∞, G = coF Từ SG đóng, lồi Lp (Ω, X), coSFp ⊂ SGp suy SFp ⊂ SGp Từ chứng minh hội tụ cho dãy {fi } ⊂ SFp Bổ đề 2.1.1.5 định nghĩa m U = {g : g = m αi fi , αi ≥ 0, αi ∈ R, i=1 αi = 1, m ≥ 1} i=1 18 p G(ω) = cl{g(ω) : g ∈ U }, ∀ω ∈ Ω Khi U tập đếm SG p Với f ∈ SG > theo Bổ đề 2.1.1.6 ta chọn phân hoạch hữu hạn {A1 , , An } ⊂ Ω hàm g1 , , gn ∈ U thỏa mãn n f− IAk gk < p k=1 Khi tồn số tự nhiên m cho: gk = m i=1 αki m i=1 αki fi với ≤ k ≤ n, αki ≥ = Từ ta có n n IAk gk = k=1 m IAk ( k=1 αki fi ) i=1 n = (α1i1 , , αnin )( IAk fik ), k=1 (i1 , ,in ) ≤ ik ≤ m, ≤ k ≤ n Điều chứng tỏ n k=1 IAk gk tổ hợp lồi hàm SFp Do ta có: f ∈ coSFp 2.2.4 Định lý Ω F dµ Kỳ vọng (a) δ(cl với F ∈ L1 [Ω, X] có tính chất sau Ω F1 dµ, cl Ω F2 dµ) (b) cl Ω (F1 + F2 )dµ = cl( (c) cl Ω coF dµ = co ≤ ∆(F1 , F2 ), Ω F1 dµ + F1 , F2 ∈ L1 [Ω, X], Ω F2 dµ), F1 , F2 ∈ L1 [Ω, X], Ω F dµ Trong Ta định nghĩa phép toán M[Ω, X] sau: (i) Phép cộng: (F1 + F2 )(ω) = cl(F1 (ω) + F2 (ω)) với F1 , F2 ∈ M[Ω, X]; ω ∈ Ω (ii) (ξF (ω)) = ξ(ω)F (ω), 19 với F ∈ M[Ω, X] hàm ξ đo nhận giá trị thực, ω ∈ Ω (iii) (coF )(ω) = coF (ω) với ω ∈ Ω Với A, B tập đóng, khác rỗng khơng gian Banach X δ(A, B) = max{sup d(x, B), sup d(y, A)}, x∈A ∆(F1 , F2 ) = Ký hiệu: y∈B Ω δ(F1 (ω), F1 (ω))dµ Chứng minh (a) Với F1 , F2 ∈ L1 [Ω, X], f1 ∈ SF1 , sử dụng Bổ đề 2.1.5 ta suy f1 dµ − inf f2 ∈SF1 Ω Ω (f1 − f2 )dµ f2 dµ = inf1 f2 ∈SF ≤ inf1 f1 (ω) − f2 (ω) dµ f2 ∈SF Ω = Ω f1 (ω) − f2 (ω) dµ inf Ω f2 ∈SF = d(f1 (ω), F2 (ω))dµ Ω ≤ δ(F1 (ω), F2 (ω))dµ Ω = ∆(F1 , F2 ) Từ ta có d( Ω Vì f1 thuộc SF1 F2 dµ) ≤ ∆(F1 , F2 ) f1 dµ, Ω suy F2 dµ) ≤ ∆(F1 , F2 ), d(x, cl ∀x ∈ cl Ω F1 dµ Ω Tương tự F1 dµ) ≤ ∆(F1 , F2 ), d(y, cl ∀y ∈ cl Ω F2 dµ Ω Suy δ(cl F1 dµ, cl Ω F2 dµ) Ω 20 = max( sup x∈cl d(x, cl F2 dµ), Ω F dµ Ω sup y∈cl d(y, cl F dµ Ω F1 dµ)) Ω ≤ ∆(F1 , F2 ) Sử dụng Bổ đề 2.2.2 Bổ đề 2.2.3 với số phép biến đổi đơn giản ta chứng minh đẳng thức (b), (c) 2.3 Kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên đa trị khơng gian xác suất khơng có ngun tử 2.3.1 Định lý Nếu khơng gian xác suất (Ω, A, µ) khơng có ngun tử F ∈ L1 [Ω, X] cl Ω F dµ tập lồi Chứng minh: Định lý chứng minh nêu ta chứng minh ∀f1 , f2 ∈ SF1 ; ∀ > 0; ∀α, β > mà α + β = 1,tồn f ∈ SF1 cho α f2 dµ − f1 dµ + β Ω Ω Thật vậy, để chứng minh cl Ω F dµ (αx + βy) ∈ cl f dµ < ε Ω lồi ta chứng minh ∀x, y ∈ cl F dµ, (α + β = 1; α, β > 0) Ω Tức chứng minh: ∀ε > 0, ∃f ∈ SF1 αx + βy − f dµ < ε Ω Vì x, y ∈ cl Ω F dµ nên với x− = 2ε , ∃f1 , f2 ∈ SF1 cho f1 dµ < ε0 y − Ω f2 dµ < ε0 Ω Ω F dµ 21 Suy αx − α f1 dµ < αε0 βy − β Ω f2 dµ < βε0 Ω Do αx + βy − (α f1 dµ + β Ω f2 dµ) < (α + β)ε0 Ω Vì f1 , f2 ∈ SF1 nên tồn ∃f ∈ SF1 cho α f2 dµ − f1 dµ + β Ω Ω f dµ < ε0 Ω Suy αx + βy − f dµ < ε0 (α + β + 1) Ω Tức αx + βy − f dµ < ε Ω Để chứng minh định lý, X ⊕ X ta xác định độ đo λ cho công thức λ(A) = ( f1 dµ, A A∈A f2 dµ), A Sử dụng tài liệu tham khảo [6] trang 126 ta thấy miền đóng λ lồi X ⊕ X , (tức tập M = cl{λ(A)|A ∈ A} tập lồi ) Ta có sin(∅) = (0, 0), λ(Ω) = ( f1 dµ, Ω f2 dµ) Ω Khi tồn A ∈ A cho fi dµ − α Ω ε fi dµ < , i ∈ {1, 2} A Do λ(∅), λ(Ω) ∈ M , M lồi nên αλ(Ω) + βλ(∅) ∈ M α + β = 1; α, β > Mặt khác, M đóng nên với ε > 0,tồn A ∈ A cho: αλ(Ω) + βλ(∅) − λ(A) < ε 22 Khi tồn A cho α( f2 dµ) − ( f1 dµ, Ω Ω f1 dµ, A f1 dµ) < A ε Tức tồn A cho f1 dµ − (α f2 dµ − f1 dµ), (α Ω A Ω f2 dµ) < A ε Từ ln tồn A thỏa mãn fi dµ − α Ω ε fi dµ < , i ∈ {1, 2} A Chọn f = IA · f1 + IΩ\A · f2 , tức  f (ω), với ω ∈ A    f (ω) = f (ω), với ω ∈ Ω\A    Suy f (ω) ∈ F (ω) hay f ∈ SF1 Khi α = α Ω Ω f1 dµ − Ω f dµ Ω f2 dµ − ( f1 dµ + β Ω ≤ α f2 dµ − f1 dµ + β Ω IA f1 dµ + Ω f2 dµ − f1 dµ + β A Ω < IΩ\A f2 dµ) Ω ε ε + = ε 2 f2 dµ Ω\A 23 2.3.2 Hệ Nếu khơng gian xác suất (Ω, A, µ) khơng có ngun tử F ∈ L1 [Ω, X] cl coF dµ = cl Ω F dµ Ω Chứng minh: Từ định lý 2.3.1 ta suy cl Ω F dµ tập lồi Khi F dµ = co cl F dµ = cl Ω Ω coF dµ Ω Vậy cl coF dµ = cl Ω 2.4 F dµ Ω Quan hệ lát cắt kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên đa trị 2.4.1 Định lý Cho F ∈ L1C [Ω, X] Khi hàm f ∈ L1 (Ω, X) lát cắt F (tức f ∈ SF1 ) khi: A f dµ ∈ cl A F dµ, ∀A ∈ A Chứng minh Điều kiện cần hiển nhiên f ∈ SF1 A f dµ ∈ A F dµ ∈ cl A F dµ *Điều kiện đủ: Cho F ∈ L1c [Ω, X] Do X khả ly nên ta chọn tập N với µ(N ) = dãy {Xi } ⊂ Kc (X) cho {Xi } trù mật tập {F (ω), ω ∈ Ω \ N } Với i ta ln có dãy {yij , j ≥ 1} đếm được, trù mật X \ Xi ∗ Với yij ∈ Xi ,theo định lí tách tồn yij ∈ X ∗ với yij∗ = cho yij , yij∗ − d(yij , Xi ) ≥ sup y, yij∗ (2.1) y∈Xi ∗ Đặt {x∗n } = {yij ; i, j ≥ 1} Dễ thấy với ω ∈ Ω \ N x ∈ X x ∈ F (ω) x, x∗n ≤ sup y∈F (ω) y, x∗n , n≥1 (2.2) 24 Thật vậy, rõ ràng có x ∈ F (ω) x, x∗n ≤ sup y, x∗n y∈F (ω) Ngược lại có x, x∗n ≤ sup y, x∗n , y∈F (ω) ta chứng minh x ∈ F (ω) Do {Xi } trù mật tập {F (ω), ω ∈ Ω \ N } nên {Xi } = {F (ω), ω ∈ Ω \ N } Giả sử x ∈ / F (ω) ⇒ x ∈ / Xi , ∀i ⇒ x ∈ Ω\Xi , ∀i Với > 0, tồn yij ∈ X\Xi cho: x − yij ≤ ε, (do {yij , i ≥ 1} đếm ,trù mật X\Xi ) Do x, x∗n ≤ sup y, x∗n y∈F (ω) nên y − x, x∗n ≥ sup (vì x∗ ánh xạ tuyến tính) y∈F (ω) Suy sup y − yij , x∗n + sup y∈F (ω) yij − x, x∗n ≥ y∈F (ω) Ta có | yij − x, x∗n | ≤ x∗n · yij − x ≤ Suy sup y − yij , x∗n + ≥ y∈F (ω) Do sup y∈F (ω) y, x∗n − yij , x∗n + ≥ 25 Do {Xi } trù mật tập {F (ω), ω ∈ Ω \ N } suy sup y, x∗n − yij , x∗n + ≥ y∈Xi Cho → ta sup y, x∗n − yij , x∗n ≥ y∈Xi Từ (2.1) suy −d(yij , Xi ) ≥ sup y, x∗n − yij , x∗n ≥ y∈Xi Do d(yij , Xi ) = Điều kéo theo yij ∈ Xi ( mâu thuẫn với giả thiết yij ∈ X\Xi ) Vậy x ∈ F (ω) Để chứng minh điều kiện đủ ta chứng minh f ∈ / SF1 A f dµ ∈ / A F dµ Giả sử f ∈ / SF1 , ∃n ∈ N, A ⊂ Ω cho: µ(A) > 0, f (ω) ∈ / F (Ω), ∀ω ∈ A Từ (2.2) ta f (ω), x∗n > sup y, x∗n , ∀ω ∈ A (2.3) y∈F (ω) Ta có f dµ, x∗n = A > f (ω), x∗n dµ A sup y, x∗n dµ (theo (2.3)) A y∈F (ω) g(ω), x∗n dµ = sup g∈SF1 (theo Bổ đề 2.1.5) A gdµ, x∗n = = sup g∈SF1 A sup x∈ A x, x∗n F dµ Vậy f dµ, x∗n > A sup x∈ A F dµ x, x∗n 26 Từ (2.2) suy f dµ ∈ / cl A F dµ A 2.4.2 Hệ Nếu X ∗ khả li Bổ đề 2.4.1 cho ∀F ∈ L1C [Ω, X] Chứng minh Nếu X ∗ khả ly, tồn dãy {x∗n } đếm trù mật X Vì F ∈ L1c [Ω, X] nên tồn dãy đơn giản {Fn } ⊂ L1c cho Fn → F Với Fn , ∃Nn : µ(Nn ) = Gọi N = ∝ n=1 ⇒ µ(N ) = Suy ra: ∀ω ∈ Ω\N ω ∈ Ω\Nn , ∀n Khi (2.2) với Fn ω ∈ Ω\N Chuyển qua giới hạn ta có (2.2) cho F 2.5 Quan hệ kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên đa trị tích phân Bochner Định lý sau mối quan hệ kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên đa trị tích phân Bochner Định lý (1) Cho N không gian Banach thực thỏa mãn định lý 2.1.4(1) Nếu F ∈ L1cc [Ω, X] cl Ω F dµ tích phân Bochner hàm đa trị L1 [Ω, N ] Hơn nữa, X có tính chất RN P tính chất cho Ω F dµ (2) Giả sử X có tính phản xạ E không gian Banach thỏa mãn định lý 2.1.4(2) Nếu F ∈ L1c [Ω, X] Ω F dµ tích phân Bochner hàm L1 [Ω, E] Chứng minh Ký hiệu (B) − Ω F dµ tích phân Bochner F L1 (Ω, N ) L1 (Ω, E) (1) Cho F ∈ L1cc [Ω, X] Từ Kcc (X) nón lồi đóng N ta (B) − Ω F dµ ∈ Kcc (X) Nếu F hàm đơn giản ta dễ dàng thấy Ω F dµ = (B) − Ω F dµ Với F hàm ln tồn dãy hàm đơn giản {Fn } ⊂ L1cc [Ω, X] cho 27 ∆(Fn , F ) → 0.Theo định lý 2.2.4 ta có ≤ δ(cl F dµ) ≤ ∆(Fn , F ) Fn dµ, cl Ω Ω Theo nguyên lý kẹp ta suy δ(cl F dµ) → Fn dµ, cl Ω ∆(Fn , F ) → 0) (Do Ω Mặt khác, xét L1 (Ω, N ) ta có δ((B) − Fn dµ, (B) − Ω Từ Ω Fn dµ = (B) − Ω Fn dµ, n F dµ) → Ω ≥ ta cl Ω F dµ = (B) − Bây ta giả sử X có tính RNP, ta chứng minh Cho {fn } ⊂ SF1 , x ∈ X Ω fn dµ Ω F dµ Ω F dµ tâp đóng − x → Khi tồn đại số đếm A0 , (A0 ⊂ A) cho tất hàm F fn , (n ≥ 1) A1 -đo được, A1 σ -đại số sinh A0 (sử dụng tài liệu tham khảo [7] trang 168) Với A ∈ A0 ta có { fn dµ} ⊂ A F dµ ⊂ (B) − F dµ ∈ Kcc (X) A A Suy trích dãy hội tụ từ dãy { A fn dµ} Sử dụng phương pháp đường chéo Cantor, tồn dãy {gn } ⊂ {fn } cho gn dµ, ∀A ∈ A0 λ(A) = lim n A Từ ||gn (ω)|| ≤ |F (ω)| h.k.n ∀n, theo tài liệu tham khảo [7]( trang 292, 321) giới hạn λ(A) tồn với A ∈ A1 λ X -đo A1 (đóng µ-liên tục) Do tính RNP,tồn g ∈ L1 (Ω, A1 , µ; X) cho λ(A) = A gn dµ, ∀A Từ gn dµ ∈ cl gdµ = lim A n A F dµ, A ∈ A1 A ∈ A1 28 Sử dụng Bổ đề 2.4.1 ta g ∈ SF1 , x = Ω gdµ ∈ Ω F dµ 29 KẾT LUẬN Luận văn giải vấn đề sau đây: Nêu số tính chất kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên đa trị Nêu tính chất kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên đa trị khơng gian xác suất khơng có ngun tử Tìm hiểu mối quan hệ lát cắt kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên đa trị Trình bày mối quan hệ kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên đa trị tích phân Bochner Một số hướng nghiên cứu luận văn: - Nghiên cứu định lý giới hạn dãy biến ngẫu nhiên đa trị - Nghiên cứu điều kiện dãy biến ngẫu nhiên đa trị để dãy biến ngẫu nhiên đa trị tuân theo luật số lớn 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO tiếng việt [1] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Duy Tiến-Vũ Viết Yên (2001), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục, Hà Nội tiếng anh [3] Charles Castaing and Nguyen Van Quang and Duong Xuan Giap (2011), Mosco convergence of strong law of large numbers for double array of closed valued radom variables in Banach space, Jounal of Nonlinear and Convex Analysis, (accepted) [4] Fumio Hiai and Hisaharu Umegaki (1977), Integrals,Conditional Expectations, and Martingales of Multivalued Functions, Journal of Multivariate Analysis 7, 149-182 [5] Ilya Molchanov (2005), Theory of Rodom Set, Springer, London [6] UHL, J.J., JR (1969) The range of a vector-valued measure Proc Amer Math Soc 23 158-163 [7] Dunford, N and Schwartz, J.T (1958) Linear Operators, Part I: General Theory , Interscience, New York ... hiệu tính chất phần tử ngẫu nhiên đa trị Chương Kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên đa trị Chúng trình bày khái niệm, tính chất kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên đa trị, kỳ vọng phần ngẫu nhiên đa trị không gian... tính chất kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên đa trị Nêu tính chất kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên đa trị khơng gian xác suất khơng có ngun tử Tìm hiểu mối quan hệ lát cắt kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên đa trị Trình... đối với A ⊂ Ω mà µ(A) = λ(A) = 9 CHƯƠNG KỲ VỌNG CỦA PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN ĐA TRỊ 2.1 Một số tính chất phần tử ngẫu nhiên đa trị 2.1.1 Phần tử ngẫu nhiên đa trị 2.1.1.1 Định nghĩa Giả sử (Ω, A) không