Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

Tr-ờng đại học vinh Khoa toán === === lê thị ph-ơng kỳ vọng biến ngẫu nhiên khóa luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học to¸n Vinh, 2009 =  = LỜI NĨI ĐẦU Hàm phân phối đại lượng ngẫu nhiên X cho ta lượng thông tin tương đối đầy đủ để khảo sát thân X Tuy nhiên việc biết toàn phân phối đại lượng ngẫu nhiên khó gặp thực tế Vì cần phải tìm số đặc trưng phân phối để qua nhận biết số tính chất cần thiết ca phõn phi Do đặc tr-ng phân phối cho ta l-ợng thông tin đại l-ợng ngẫu nhiên t-ơng ứng Cỏc c trng thng sử dụng lý thuyết xác suất thống kê toán học kỳ vọng toán học, phương sai, mơment, median,… Trong khố luận nghiên cứu tính chất kỳ vọng tốn học Kho¸ ln gåm hai phần Phần I: trình bày kiến thức sở cần thiết cho việc trình bày phần II Phần II: trình bày nội dung khoá luận Định nghĩa tính chất kỳ vọng biến ngẫu nhiên Trình bày chøng minh thĨ mét sè mƯnh ®Ị cđa kú vọng Khoá luận đ-ợc thực hoàn thành tr-ờng Đại học Vinh d-ới h-ớng dẫn tận tình, chu đáo thầy giáo PGS.TS Nguyễn Văn Quảng góp ý tạo điều kiện giúp đỡ thầy, cô giáo tổ xác suất thống kê toán ứng dụng khoa Toán Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn Văn Quảng, thầy cô giáo khoa toán bạn bè đà giúp đỡ tác giả hoàn thành khoá luận Vì lực thời gian hạn hẹp khoá luận tránh khỏi thiếu sót Rất mong quý thầy, cô giáo bạn bè góp ý giúp đỡ Tôi xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng năm 2009 Tác giả PhÇn I : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Biến ngẫu nhiên Giả sử (, F) không gian đo cho, = [-; +] 1.1.1 Định nghĩa Hàm thực X = X() xác định  lấy giá trị gọi hàm F -đo biến ngẫu nhiên suy rộng {: X()  B} = X-1 (B)  F , với B  B( ) (Ở B( )  - đại số tập Borel trục thực ) Thêm vào đó, X: = (-, +) thỡ X đ-ợc gọi bin ngu nhiờn 1.1.2 Định lý Giả sử X: Khi mệnh đề sau t-ơng đ-ơng a X biến ngẫu nhiên b { : X() < x }  F víi mäi x  c { : X()  x } F víi mäi x  d { : a  X()  b} F víi a < b bÊt kú 1.1.3 Hàm Borel Hàm : ( B( n n , B( n ))  ( , B ( )) gọi hàm Borel, )- đo được, nghĩa -1 (B)  B( n ) với B  B ( ) Nhận xét Từ định nghĩa suy ra,  : n  hàm liên tục  còng hàm Borel Đặc biệt hàm (x, y)  x + y; (x, y)  xy; (x, y)  x  y = max (x, y); (x, y)  x  y = (x, y) hàm Borel biến 1.1.4 Định lý Giả sử X1, …, Xn biến ngẫu nhiên xác định (, F )  (t1,…, tn) hàm Borel giá trị thực Khi Y = (X1, …, Xn) biến ngẫu nhiên Hệ Giả sử X, Y biến ngẫu nhiên cïng x¸c định (, F), a Khi đó, a ,  Y ,     ,   = (-  )  ,      biến ngẫu nhiên Đặc biệt Y khơng triệt tiêu X/Y biến ngẫu nhiên 1.1.5 Định lý Giả sử (Xn, n  1) l dóy bin ngu nhiờn xác định (, F)  n sup  n , infn n hữu hạn Khi đó, sup  n , infn  n , limsup  n , liminf n n n n biến ngẫu nhiên Đặc biệt lim n =  ,  hữu hạn  biến ngẫu nhiên 1.1.6 Cấu trúc biến ngẫu nhiên Giả sử X biến ngẫu nhiên xác định (, F) đó, a) Tồn dãy biến ngẫu nhiên rời rạc hội tụ đến X b) Nếu X  tồn dãy biến ngẫu nhiên đơn giản (Xn ) cho Xn X 1.1.7 Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Giả sử (, F, ) l khụng gian xỏc sut, X : đó, hàm tập :B( B biến ngẫu nhiên Khi ) ( ) = (1 ()) đ-ợc gọi phân phèi x¸c st cđa X TÝnh chÊt +/  độ đo xác suất B ( ) +/ Nếu Q độ đo xác suất B ( ) Q phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X 1.1.8 Hàm phân phối xác suất Giả sử X biến ngẫu nhiên xác định (, F, F ( x) x , x ) Khi đó, hàm số đ-ợc gọi hàm phân phối biến ngẫu nhiên X Nhận xét Theo định nghĩa, hàm phân phối X thu hẹp độ đo xác Từ hàm phân phối F ( x) F ( x) có suất PX lớp khoảng (- ; x), x tính chất sau: +) F(x) đơn điệu: x y F(x) F(y) +) F(x) liên tục trái, có giới hạn điểm +) F(x) +) F(-):= xlim F ( x)  ; F () : lim F ( x)  x  1.1.9 Các loại biến ngẫu nhiên a) Biến ngẫu nhiên rời rạc Một biến ngẫu nhiên gọi biến ngẫu nhiên rời rạc nhận số hữu hạn đếm đ-ợc giá trị Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc, tập hợp tất giá trị có đ-ợc liệt kê dÃy hữu hạn hay vô hạn x1 , x2 , , xn , TËp tÊt c¶ giá trị có biến ngẫu nhiên X đ-ợc kí hiệu X( ) Bảng phân phối Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị ( xi ) pi (i 1, 2, , n, ) Khi bảng x1 , x2 , , xn , víi c¸c x¸c suất t-ơng ứng phân phối X có dạng X x1 x2 … xn … p1 p2 … pn … (chó ý p i 1) i b) BiÕn ngÉu nhiên liên tục Biến ngẫu nhiên X đ-ợc gọi biến ngẫu nhiên liên tục hàm phân phối F(x) hàm liên tục tồn hàm sè p(x) cho +) p(x)  x +) F(x) =  p(t )dt   x   Hàm số p(x) nêu đ-ợc gọi hàm mật độ xác suất X Tính chất b víi -   a < b  +  +) (a    b)   p( x)dx a  +)  p( x)dx   +) p( x)  F ' ( x) t¹i mäi điểm x mà p(x) liên tục 1.2 Tớnh c lp Giả sử (, F, ) không gian xác suất cố định 1.2.1 Định nghĩa Họ hữu hạn {Fi, i  I} -đại số F gọi độc lập (  Ai) =  (Ai) iI iI Ai  Fi (iI) Họ vô hạn {Fi , i  I} -đại số F gọi độc lập họ hữu hạn độc lập Họ biến ngẫu nhiên {  i , i  I} gọi độc lập họ -đại số sinh chúng {F (  i ), i  I} độc lập Họ biến cố {Ai, i  I}  F gọi độc lập họ biến ngẫu nhiên {   , i  I} độc lập i 1.2.2 Định lý Giả sử {Ci , i  I} họ tuỳ ý lớp F có tính chất sau a) Mỗi lớp Ci đóng phép giao b) Họ {Ci , i  I} độc lập theo nghĩa J  I hữu hạn Cj  Ci ta có (  Cj) =  jJ iJ ( j  J bÊt kú) (Cj) Khi đó, họ {(Ci), i I} cịng độc lập Phần II: K VNG biến ngẫu nhiên Định nghĩa tính chất 1.1 Định nghĩa Giả sử (, F, ) không gian xác suất, X:   biến ngẫu nhiên (bnn) Kỳ vọng bnn X số, ký hiệu EX xác định công thức   = Xd   Chú ý Kỳ vọng X tồn không tồn Kỳ vọng biến ngẫu nhiên X tồn tích phân vế phải công thức tồn 1.2 Lược đồ xây dựng kỳ vọng * Nếu X biến ngẫu nhiên đơn giản có dạng n X=  i 1 n   EX : = i  (Ai) i 1 KÝ hiƯu L1o lµ tập hợp tất biến ngẫu nhiên đơn giản xác định (, F, ) * Nếu X biến ngẫu nhiên khơng âm X giới hạn dãy tăng biến ngẫu nhiên đơn giản (Xn, n  1) k 1  k 1 k    n    n   n.(  n) n   k 1 n.2n n   Khi EX : = nlim EXn  KÝ hiƯu L+ lµ tập biến ngẫu nhiên X giới hạn dãy tăng biến ngẫu nhiờn n gin khụng õm (Xn) Để chứng tỏ định nghĩa EX cho X L+ công thức đắn ta chứng minh bổ đề sau: Bỉ ®Ị Giả sử  XnX,  Yn X (Xn), (Yn)  L1o Khi lim EXn = lim EYn n n Chứng minh Thật vậy, cố định m Do tính liên tục hàm số (x, y)  inf (x,y) nên lim  inf (Xn, Ym) = inf(X, Ym) = Ym n Từ ta có lim EXn  lim E[inf(Xn, Ym)] = EYm n n Cho m   ta có lim EXn  lim EYm m n Đổi vai trò (  n ) ( Ym ) ta có lim EYn  lim EXm n m  * Nếu X biến ngẫu nhiên X = X+ -   Trong X+ = max ( X, 0)  0,   = max (  , 0)  Khi  : =  -  (nếu có nghĩa) 1.3 Ý nghĩa cña kú väng Kỳ vọng biÕn ngẫu nhiên giá trị trung bình theo xác suất đ¹i lượng ngẫu nhiên Trong trường hợp X nhận c¸c giá trị với xác suất kỳ vọng trung bình cộng X Đối với hệ học kỳ vọng trọng tâm hệ 1.4 Ví dụ 1) Lấy A  F, X =   Khi EX = (A) Thật Do X =   =   +   suy EX = (A) + (  ) = (A) 2) Tung đồng xu cân đối, đồng chất, gọi X số mặt sấp xuất Tính EX Giải Ta có  = {(S, S), (N, N), (S, N), (N, S)} X:   xác định X(S,S) = 2; X(N,S) = 1; X(S,N) = 1; X(N,N)= 0;   suy EX = Xd = ((N,N)) + ((S,N) ;(N,S)) + ((S,S))  = 1 + = 3) Cho   ,    T×m  [max( , )]; [min( , )] Giải Đặt   = max( , ),   = max( , ) =  min( , ), suy  =  [max( , )],   =  [  min( , )] =  [min( , )], suy  [min( , )]=  Ta cã    0,    vµ      ;      Suy   (   )     ,    (   )           Mµ   0,    suy  suy                  2 VËy  [max( , )]= ,  [min( , )] =  1.5 Tính chất 1) E(.) phiếm hàm tuyến tính L1o 2) NÕu X  EX  3) NÕu X  Y EX  EY Do     Chøng minh NÕu    hc Y   bất đẳng thức đầu hiển nhiên Nếu  th×    Do   Y nªn   Y  ,   Y  Tõ ®ã Y   Y    T-ơng tự Y Bất đẳng thức suy từ tính đơn điệu cña kú väng 4) Nếu Xn X ( tương ứng XnX ) EXn EX (tương ứng EXn  EX) Chứng minh * Trong L10 : Giả sử Xn  Đặt C = max X1() Khi đó, với  > 0,  Xn  C.I[  n >  ] +   Do đó,  EXn  C [Xn > ] +  Cho n   với lưu ý [Xn > ]  , ta có  lim EXn   n Vậy lim EXn = (vì  nhỏ tuỳ ý) n Do trên, XnX ( tương ứng ) X-Xn  (tương ứng Xn-X  0) EX - E  n = E(X-Xn)  (tương ứng EXn - EX  0)  * Trong L+ : V× Xn  L+ nên có dãy (  mn ) m1  Lo1 không âm, tăng theo m ) lim  X (m = Xn , (n1) n m ) Đặt Ym = sup X (m n , m  Ta có, n m )  sup X (nm 1)  sup X (nm 1) = Ym+1  sup Xn = Xm+1, n  m  (nm )  Ym = sup X (m n n m n m 1 n m n m 1 ) Vậy X (m n  Ym  Xm , Ym  Ym+1, n  m, ) E(X (m n )  E(Ym)  E(Xm), E(Ym)  E(Ym+1), n  m Cho m  , sau cho n   ta có X = lim  Xn = lim  Ym n m lim  EXn = lim  EYm = EX n m * Đối với biến ngẫu nhiên bÊt kỳ, ta biểu diễn dạng Xn = Xn+- Xn- với Xn+, Xn-  L+ 5) Nếu X = C (hằng số) EX = C 6) Nếu tồn EX với C  ta có E(CX) = C EX 10   n     (h.c.c), từ (  nk ) > xk( n ) = n  với n   Nếu X      Do  =    nên   (h.c.c)  Theo     suy   13) Nếu X  EX = X = (h.c.c) Chứng minh Ta có    1   n      suy 1            X = n  n   n    Do đó, 1  = với n = 1, 2, …    n  Từ đó, [ X > 0] = (      n 1 1 ) n    [ n 1 ] = n  hay X = (h.c.c) 14) Nếu X = Y (h.c.c), X khả tích EX = EY Chứng minh Giả sử X khả tích, X = Y (h.c.c) Khi Z = Y – X = (h.c.c), suy Z khả tích Y = X + Z cịng khả tích  Từ EY = EX + EZ = EX, 15) Bất đẳng thức Markov Giả sử X biến ngẫu nhiên khơng âm Khi đó,  EX với a > ta có: [X  a]  EX a Chứng minh           0X0 a k E k a (   a) = a>0, k >0 (   a k ) k 16) Bất đẳng thức Jensen :  hàm lồi dưới, X (X) biến ngẫu nhiên khả tích Khi đó, E(X)  (EX) Chứng minh Do  hàm lồi nên có đạo hàm trái đạo hàm phải điểm Ngoài x, xo  , (x)  (xo) + ’(xo) (x – xo) Thay x X, xo EX vào bất đẳng thức trên, sau lấy kỳ vọng vế ta E((X))  (EX) + ’(EX) (E(X – EX)) = (EX) ( h.c.c)  Các mệnh đề 2.1 MƯnh ®Ị Giả sử X1,…, Xn biến ngẫu nhiên có kỳ vọng hữu hạn Khi ®ã, Emax {X1,…,Xn}  max {EX1,…, EXn} Emin{X1,…,Xn}  {EX1,…, EXn} Chứng minh +) Đặt Y = max {X1, X2,…, Xn} Ta cã Y  X1, Y  X2,…, Y  Xn, suy EY  EX1, EY  EX2, …, EY  EXn , ®ã EY  max {EX1, …, EXn} Hay Emax {X1,…, Xn}  max {EX1,…, EXn} +) Tương tự đặt Z = {X1, X2,…, Xn} Ta cã Z  X1, X  X2, …, X  Xn, suy EZ  EX1,…, EZ  EXn , 15  ®ã EZ  {X1, X2,…, Xn} hay Emin{X1,…,Xn}  {EX1,…, EXn} 2.2 MƯnh ®Ị Giả sử   <  (p > đó) Khi đó, p [  > t] = lim t p t  Chứng minh  Ta có p   =  d p      |X|t |X|>t     |X|t |X|>t p p =   d +   d  p   d  p p Suy  >      d +  t p d [  > t ] |X|t   p p Cho t   d    |X|t Do ®ã      + lim t p (  > t) p p  §iỊu nµy kÐo theo lim tP (  > t) = t  2.3 MƯnh ®Ị Giả sử X1, X2,…, Xn biến ngẫu nhiên môment bậc <   Khi  X1  2   n    X1  + … +   n  Chứng minh      Ta áp dụng bất đẳng thức a  b  a + b , với <   LÊy kú väng hai vÕ ta cã  ab suy     ( a  b )   a   b ,    a  b ,  ab  0 ) 19 Từ áp dụng bất đẳng thức Markov ta nhận ( 1    n ) ( max |Yk| > )   1 k n =  1     n  n   ( max |Yk| > )  1 k n hay k 1 k   2.9 MÖnh ®Ò Giả sử X1, X2, …, Xn biến ngẫu nhiên độc lập, nhận giá trị nguyên, không âm EXi <  Khi đó, Emin {X1, X2,…, Xn} =   (X1  i) (X2  i)… (Xn  i) i 1 Chứng minh Trước hết ta nhận xét theo mƯnh ®Ị (2.5) X biến ngẫu nhiên nhận giá trị ngun, khơng âm EX =   (X  i) i 1 Suy Emin {X1, X2,…, Xn} =   (min{X1, X2,…, Xn}  i) i 1  =  (X1  i, X2  i,…, Xn  i) i 1  =  (X1  i) (X2  i)… (Xn i) i 2.10 Mệnh đề Giả sử X, Y hai biến ngẫu nhiên độc lập Khi đó, (Y ) .Y Tổng quát Giả sử X1, X2,, Xn l biÕn ngẫu nhiên độc lập Khi ®ã, E (X1 X2… Xn) = EX1 EX2… EXn Chứng minh +) Nếu X, Y hai biến ngẫu nhiên rời rạc ()   x1 , x2 , , xn  ; Y ()   y1 , y2 , , ym ,  20  Khi ®ã Z  .Y đại l-ợng ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị zij = xi y j với xác suất t-ơng ứng pij = ( xi ; Y  y j )  (  xi ) (Y  y j ) pi q j ( v× X, Y hai biến ngẫu nhiên độc lập ), ( i  1, 2, , n, ; j  1, 2, , m, ) Suy Z   xi y j pij   xi y j pi q j   xi pi  y j q j  .Y i j i j i j +) , Y hai biến ngẫu nhiên không âm, , Y giới hạn dÃy biến ngẫu nhiên đơn giản (n , n  1);(Yn , n  1) , k 1  k 1 k    n    n   n.(  n) n   k 1 n.2n n   k 1  k 1 k    n  Y  n   n.(Y  n) n   k 1 n.2n Yn   DƠ thÊy, víi mäi n ta cã n Yn độc lập Do đó, Y (lim n lim Yn )  (lim nYn )  lim  nYn n n n  n   lim nYn  lim  n lim Yn  Y n n n +)  , Y lµ biÕn ngẫu nhiên Khi đó,  ; Y  Y   Y  Xét thấy biến ngẫu nhiên không âm , độc lập biến ngẫu nhiên không âm Y ,Y , ta đ-ợc Y   (   )(Y   Y  )     Y   Y   Y   Y     Y    Y    Y    Y    (   )(Y  Y ) Y Bây giả sử ( i )i 1,n họ độc lập, ®ã  (1 ) vµ  (k ,  k n) độc lập Suy 3 n ®éc lËp, ®ã (1.2 n )  1.(2 n ) Lại có (12 )  (k ,3  k  n) ®éc lËp Suy n độc lập, ®ã (2 3 n )  2 (3 n ) 21 Tiếp tục trình sau hữu hạn b-ớc ta đ-ợc E (X1 X2 Xn) = EX1 EX2… EXn 2.11 MƯnh ®Ị Giả sử X biến ngẫu nhiên khơng âm, có kỳ vọng hữu hn, F(x) hàm phân phối X Khi ú +   EX =  [1- F(x)]dx Chứng minh Ta có   EX =  Xd  X    =    dx  d     X    =    I(X x)dx d     +     =   (I(X x)dx) d  +        =   I(X x)d dx  +  =  (X x)dx  (®ỉi thứ tự tích phân theo định lý Fubini) + =  [1-F(x)]dx   2.12 MƯnh ®Ị Giả sư X lµ biến ngẫu nhiên khơng âm, F(x) lµ hàm phân phối X v < ( > đó) Khi đó, 22 +  -1  =   x [1- F(x)]dx  Chng minh Gọi F ( x) hàm phân phối cđa  Khi ®ã, F ( x) = (   x)  (   x1/ )  F ( x1/ ) Sư dơng mƯnh ®Ị (2.11) cho  suy +   EX =  [1- F(x1/)]dx Đặt x1/ = t suy x = t , dx = t-1dt Khi x=0  t=0 x  +  t  + + +   EX =  [1 – F (t)].t-1dt =   [1 – F (t)]t-1dt   0 Đỉi vai trị x t ta có +   EX =   [1 – F (x)]x-1dx  2.13 MƯnh ®Ị Giả sử X biến ngẫu nhiên khụng õm, F(x) hàm phân phèi cđa X vµ EX < + ( < đó) Khi đó, +  EX =   x-1.F(x)dx  Chứng minh Với  < 0, F(x) hàm phân phối biến ngẫu nhiên X không âm 23 + +      EX < + EX =  x dF(x) = x F(x)   0 +   F(x)d x  +  = -  x-1F(x)dx  +   = ||  x-1F(x)dx (vì  < 0) +   EX = || x-1F(x)dx Vy 2.14 Mệnh đề Giả sử biến ngẫu nhiên X nhận hữu hạn giá trị không âm n x1 , x2 , , xr Khi ®ã lim  max{ x1 , x2 , , xr } n   n Chøng minh Gi¶ sư x1 = max{ x1 , x2 , , xr }, pi = Khi ®ã ( X  xi ) , i=1,2,…,r  n 1 x1n 1 p1   xrn 1 pr  n  n x1 p1   xrn pr  Suy x1n 1 p1 xrn 1 pr   x1n p1   xrn pr x1n p1   xrn pr x1n 1 p1 xrn 1 pr  n 1 lim lim  +…+ n x n p   x n p n x n p   x n p n   n 1 r r 1 r r lim = x1    = x1 = max{ x1 , x2 , , xr } 24  2.15 Mệnh đề Giả sử X biến ngẫu nhiên, r >0 bÊt kú Khi ®ã,      n1/ r        r n 0 n 1    n1/r  Chứng minh Thật vậy, đặt Y j.  j 1 j    j 1   r  Z   ( j  1).  j    j 1   j 0 r Khi ®ã, Y    Z , ®ã Y     Z r r (1) Mặt khác n     n1/r    n 1 j  n  j   j 1 n 1   j j 1  j   r  j  1    j   r  j  1    j   r  j  1    Y   n0  (2)     n1/r    n 0 j n  j   j 0 n o   j   r  j  1    j   r  j  1     ( j  1) j 0  Z Tõ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh 25  j   r  j  1  (3) Kết luận Trong khoá luận đà trình bày đ-ợc số vấn đề sau: - Nhắc lại số khái niệm tính chất lý thuyết xác suất cần thiết nh- : khái niệm biến ngẫu nhiên, hàm Borel, tính độc lập, hàm phân phối biến ngẫu nhiên - Trình bày chứng minh tính chất kỳ vọng - Trình bày chứng minh cách chi tiết số mệnh đề kỳ vọng Do hạn hẹp thời gian nh- lực nên khoá luận nhiều thiếu sót Rất mong quý thầy, cô giáo bạn sinh viên đóng góp ý kiến giúp đỡ 26 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Quảng (2007), Giáo trình xác suất, NXB Đại häc Qc Gia HN [2] Ngun ViÕt Phó - Ngun Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, NXB §¹i häc Qc Gia HN [3] Ngun Duy TiÕn - Vũ Viết Yên (2003), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục 27 Mục lục Trang Lời nói đầu Phần I: Kiến thức chuẩn bị BiÕn ngÉu nhiªn 2 Hµm Borel CÊu tróc cđa biÕn ngÉu nhiªn Phân phối xác st cđa biÕn ngÉu nhiªn Hàm phân phối xác suất C¸c loại biến ngẫu nhiên TÝnh ®éc lËp Phần II: Kỳ vọng biến ngẫu nhiên Định nghĩa tính chất Các mệnh đề 14 KÕt luËn 25 Tài liệu tham khảo 26 28 ... liminf n n n n biến ngẫu nhiên Đặc biệt lim n =  ,  hữu hạn  biến ngẫu nhiên 1.1.6 Cấu trúc biến ngẫu nhiên Giả sử X biến ngẫu nhiên xác định (, F) đó, a) Tồn dãy biến ngẫu nhiên rời rạc... x)  x 1.1.9 Các loại biến ngẫu nhiên a) Biến ngẫu nhiên rời rạc Một biến ngẫu nhiên gọi biến ngẫu nhiên rời rạc nhận số hữu hạn đếm đ-ợc giá trị Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc, tập hợp tất... công thức   = Xd   Chú ý Kỳ vọng X tồn khơng tồn Kỳ vọng biến ngẫu nhiên X tồn tích phân vế phải cơng thức tồn 1.2 Lược đồ xây dựng kỳ vọng * Nếu X biến ngẫu nhiên đơn giản có dạng n X= 