Đặc trưng của Biến Ngẫu nhiên

Cac dac trung cua bien ngau nhien Các đặc trưng biến ngẫu nhiên  Kỳ vọng: EX  ∑ xpx EX     − xfxdx X liên tục # Phương sai VarX  E X − EX  X rời rạc  EX  − EX # Moment bậc k M k X  EX k  # Lưu ý  Trong định nghĩa kỳ vọng, điều kiện ∑|x|pxhoặc  |x|fxdx  điều kiện − phải thỏa Nghĩa X khả tích theo nghĩa tích phân Lebesgue theo độ đo xác suất P E1 A   PA Nếu X biến ngẫu nhiên bị chặn EX tồn Nếu X có moment bậc k có moment bậc bé k Nếu E|X| k   , xác suất (tail probability) hội tụ 0, nghĩa P|X|n lim n→ n k 0 Các phân phối thông dụng Example Example Tính chất Phân phối đồng thời  Hàm phân phối đồng thời hai biến ngẫu nhiên X,Y xác định bởi: Fa, b  PX ≤ a, Y ≤ b   −   a, b   # Phân phối biên theo biến X, Y xác định từ phân phối đồng thời: F X a  PX ≤ a, Y ≤  −   a, b   F Y b  PX ≤ , Y ≤ b −   a, b   # Ta nói X,Y có phân phối đồng thời liên tục tồn hàm fx, y thỏa: PX ∈ A, Y ∈ B  A B fx, ydxdy # Phân phối đồng thời  Nếu X,Y biến rời rạc mật độ đồng thời mật độ biên xác định bởi: pa, b  PX  a, Y  b p X a  ∑ b PX  a, Y  b p Y b  ∑ a PX  a, Y  b  Trong trường hợp liên tục # f X a   f Y a    −  − fa, ydy # fx, bdx Phân phối đồng thời  Nếu X,Y độc lập PX ∈ A, Y ∈ B  PA ∈ APY ∈ B  Khi cơng thức ref: DOCLAP  Fx, y  F X xF Y y   Corollary    fx, y  f X x f Y y px, y  p X x p Y y # # Với gx, y hàm hai biến liên tục Theorem  # Nếu X,Y độc lập với g, h hàm Borel ta có: EgXhY  EgXEhY # Nếu X, Y độc lập EXY  EXEY Hiệp phương sai: CovX, Y  EX − EXY − EY  EXY − EXEY Nếu CovX, Y  0, ta nói X,Y khơng tương quan (uncorrelated) Nếu X,Y độc lập chúng khơng tương quan Từ biến ngẫu nhiên X i độc lập # n n ∑ Xi Var  i1 ∑ VarX i  # i1 Example Cho X,Y phân phối đồng thời với p1, 1  5; p1, 2  1; p2, 1  1; p2, 2  Tính P Y 1, p X 1 Example fx, y  6xy2 − x − y  x  1;  y  otherwise # Tính f Y y, F X x Example Cho hàm phân phối đồng thời fx, y  xy  x  1;  y  # Tính EX, EY, VarX, VarY, CovX, Y Example Cho X , X có mật độ đồng thời fx , x   ≤ x1 ≤ x2 ≤ otherwise Đặt Y  X  X Xác định hàm mật độ phân phối Y Ta có PY ≤ y  y0 y≥2 # Với ≤ y ≤ ta có: F Y y  PY ≤ y   0≤x ≤x ≤1 fx , x dx dx 2 0≤x x ≤y Chia làm trường hợp ≤ y ≤ 1, ≤ y ≤ ta có: # y2 F Y y  PY ≤ y  ≤ y ≤ 1≤y≤2 # Phân phối hàm biến ngẫu nhiên Giả sử Y  f X , X  Y  f X , X  X  h Y , Y  X  h Y , Y  phép biến đổi có biến đổi ngược với định thức Jacobi ∂x , x   J ∂y , y  ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y , ∂x ∂y ≠0 # Khi hàm mật độ đồng thời Y , Y y , y  cho J ≠ xác định gy , y   fh y , y , h y , y |J| # Example Giả sử thời gian để khách hàng hoàn thành giao dịch ngân hàng từ lúc xếp hàng đến lúc kết thúc giao dịch X Ký hiệu X thời gian chờ hàng phục vụ Giả sử X 1, X có phân phối đồng thời fx , x   e −x ≤ x2 ≤ x1   elsewhere # Đặt Y  X  X , Y  X − X Tính hàm phân phối đồng thời Y , Y phân phối biên Y Y1  X1  X2, Y2  X1 − X2  J Hàm mật độ đồng thời X1  X2  ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y , ∂x ∂y Y Y 2 Y −Y 2   h Y , Y   h Y , Y  2, − 12 Định thức Jacobi  −1 # gy , y   fh y , y , h y , y |J|  e −y y   y2 ≤ y1   # Hàm sinh moment Hàm sinh moment Hàm sinh moment biến ngẫu nhiên X : t  Ee tX  # Ta có:  / t  EXe tX   n t  EX n e tX  →  / 0  EX  n 0  EX n  Nghĩa moment bậc n X xác định nhờ vào hàm sinh moment Example Tính hàm sinh moment X xác định EX, VarX # Theorem Hàm sinh moment xác định phân phối xác suất, nghĩa hai biến ngẫu nhiên có hàm sinh moment chúng có phân phối xác suất Theorem Nếu X,Y biến ngẫu nhiên độc lập  XY t   X t  Y t # Thật vậy, X,Y độc lập nên ta có:  XY t  Ee tXY   Ee tX e tY   Ee tX Ee tY  Example Tìm phân phối XY với X, Y độc lập trường hợp sau: X~Bn , p , Y~Bn , p  # X~P , Y~P  X~N ,  21 , Y~N ,  22  Kỳ vọng có điều kiện Trường hợp rời rạc Mật độ có điều kiện X với điều kiện Yy: Px, y PX  x, Y  y p X|Y x|y  PX  x|Y  y   P Y y PY  y # Phân phối có điều kiện X với điều kiện Yy F X|Y x|y  PX ≤ x|Y  y  ∑ p X|Y a|y # a≤x Kỳ vọng có điều kiện X với điều kiện Yy EX|Y  y  ∑ xp X|Y x|y # x P Y 1  ∑ px, 1  p X|Y 1|1  p1,1 P Y 1  p X|Y 2|1  p2,1 P Y 1  Trường hợp liên tục Mật độ có điều kiện X với điều kiện Yy: # # f X|Y x|y  fx, y f Y y # Phân phối có điều kiện X với điều kiện Yy F X|Y a|y  a  − f X|Y x|ydx # Kỳ vọng có điều kiện X với điều kiện Yy EX|Y  y  ∑ xf X|Y x|y x Example Example # Example Tính P0  X  1|Y  1 Kỳ vọng có điều kiện Ký hiệu EX|Y biến ngẫu nhiên (hàm Y) Y  y có giá trị trị EX|Y  y Khi EEX|Y  EX # Ta có: EX  ∑ y EX|Y  yPY  y EX    − EX|Y  yf Y ydy t/h rời rạc t/h liên tục Tính chất Tính tuyến tính: Tính dương EgX, Y|Y  y  EgX, y|Y  y EgX|Y  y  gX : Nếu X,Y độc lập EgXhY|Y  y  hyEgX|Y  y Tính kỳ vọng cách điều kiện hóa Example Số hợp đồng bảo hiểm trả công ty bảo hiểm tháng biến ngẫu nhiên N có kỳ vọng , phương sai r Số tiền trả cho # hợp đồng thứ i X i , độc lập có phân phối với kỳ vọng  phsai  Tính trung bình số tiền mà công ty bảo hiểm trả tháng N X∑ i1 X i : số tiền chi trả tháng Ta cần tính EX  E ∑ i1 X i N E ∑ i1 X i |N N E Mặt khác E ∑ i1 X i |N  n  E ∑ i1 X i Suy N n EX  ∑ N E ∑ Xi |N  n PN  n # i1 n   n ∑ nPN  n  EN   # n Problem Tính phương sai X Tổng ngẫu nhiên   Số khách hàng đến hệ thống phục vụ biến ngẫu nhiên N Gọi X i thời N gian mà hệ thống phục vụ dành cho khách hàng thứ i Ta có ∑ i1 X i tổng thời gian phục vụ yêu cầu cho hệ thống Số khách hàng đến máy ATM ngày biến ngẫu nhiên N Gọi X i N số tiền mà khách hàng thứ i rút Ta có ∑ i1 X i tổng số tiền cần có cho máy ATM ngày Problem Tính kỳ vọng phương sai X Định nghĩa tổng qt kỳ vọng có điều kiện Cho khơng gian xác suất , F, P, H  − đại số F X b.n.n , F, P Tồn b.n.n Z đo H cho ∀A ∈ H, A ZdP  A XdP B.n.n Z gọi kỳ vọng có điều kiện X, cho trước H, ký hiệu EX|H EX|Y  EX|Y   EX|Y  EX|Y EX|H hiểu ước lượng(không chệch) X dựa thơng tin Hđã # # có        Cơng thức ref: kyvongdieukien viết dạng E1 A EX|H  E1 A X Nếu Z ∈ H, EZEX|H  EZX EEX|H  EX Nếu X ∈ H EX|H  X Tính tuyến tính Tính dương Nếu Z ∈ H,EZX|H  ZEX|H Bất đẳng thức Markov Nếu X biến ngẫu nhiên không âm ∀a  0, PX ≥ a ≤ EX a # Bất đẳng thức Chebychev Giả sử X có kỳ vọng  phương sai  Khi P|X − | ≥  ≤ 2  Example Số sản phẩm sản xuất tuần nhà máy biến ngẫu nhiên với kỳ vọng 500 phương sai 100  Đánh giá PX ≥ 100 #  Đánh giá P400 ≤ X ≤ 600 Các dạng hội tụ Xét dãy b.n.n X n  có mật độ xác suất Example PX n  1  n , PX n  0  − n Khi P|X n | ≥   n→  Vậy X n  hội tụ theo xác suất n 01 ≥1 →0 Ghi nhớ Example Xét dãy hàm phân phối F n x  xn x≥n x0 n 0≤xn n≤x # Khi dễ thấy F n x → Fx  Example Xét dãy hàm phân phối F n x  Khi F n x → Fx  1− x0 x≥0 Luật số lớn - định lý hội giá trị trung tâm Với dãy b.n.n X n  độc lập có kỳ vọng chung  phương sai  , ta có: # ... sinh moment xác định phân phối xác suất, nghĩa hai biến ngẫu nhiên có hàm sinh moment chúng có phân phối xác suất Theorem Nếu X,Y biến ngẫu nhiên độc lập  XY t   X t  Y t # Thật vậy,... y  PY ≤ y  ≤ y ≤ 1≤y≤2 # Phân phối hàm biến ngẫu nhiên Giả sử Y  f X , X  Y  f X , X  X  h Y , Y  X  h Y , Y  phép biến đổi có biến đổi ngược với định thức Jacobi ∂x , x ...  n ∑ nPN  n  EN   # n Problem Tính phương sai X Tổng ngẫu nhiên   Số khách hàng đến hệ thống phục vụ biến ngẫu nhiên N Gọi X i thời N gian mà hệ thống phục vụ dành cho khách hàng